Trikhleb Daniil, μαθητής της 7ης τάξης
γνωριμία με την άμεση αναλογικότητα και τον συντελεστή άμεσης αναλογικότητας (εισαγωγή της έννοιας του γωνιακού συντελεστή ").
Δημιουργία γραφήματος ευθείας αναλογικότητας.
εξέταση της αμοιβαίας διάταξης των γραφημάτων ευθείας αναλογικότητας και μιας γραμμικής συνάρτησης με την ίδια κλίση.
Κατεβάστε:
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Η ευθεία αναλογικότητα και η γραφική παράσταση της
Ποιο είναι το όρισμα και η τιμή μιας συνάρτησης; Ποια μεταβλητή ονομάζεται ανεξάρτητη, εξαρτημένη; Τι είναι μια συνάρτηση; ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ Ποιο είναι το εύρος μιας συνάρτησης;
Τρόποι για να ορίσετε μια λειτουργία. Αναλυτική (με χρήση τύπου) Γραφική (με χρήση γραφήματος) Πίνακας (με χρήση πίνακα)
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων, των οποίων οι τετμημένες είναι ίσες με τις τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΤΕ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Σχεδιάστε τη συνάρτηση y = 2 x +1, όπου 0 ≤ x ≤ 4 . Κάντε ένα τραπέζι. Στο γράφημα, βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο x \u003d 2,5. Σε ποια τιμή του ορίσματος η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με 8;
Ορισμός Η άμεση αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να προσδιοριστεί με έναν τύπο της μορφής y \u003d k x, όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, k δεν είναι μηδέναριθμός. (κ- συντελεστής ευθείας αναλογικότητας) Ευθεία αναλογική εξάρτηση
8 Γράφημα ευθείας αναλογικότητας - μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή (σημείο O (0,0)) Για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y \u003d kx, αρκούν δύο σημεία, ένα από τα οποία είναι O (0,0) Για k > 0, το γράφημα βρίσκεται σε τέταρτα συντεταγμένων I και III. Για κ
Γραφήματα συναρτήσεων ευθείας αναλογικότητας y x k>0 k>0 k
Εργασία Προσδιορίστε ποια από τις γραφικές παραστάσεις δείχνει τη συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας.
Εργασία Προσδιορίστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που φαίνεται στο σχήμα. Επιλέξτε έναν τύπο από τους τρεις προτεινόμενους.
προφορική εργασία. Μπορεί το γράφημα της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο y \u003d k x, όπου k
Προσδιορίστε ποια από τα σημεία A (6, -2), B (-2, -10), C (1, -1), E (0,0) ανήκουν στο γράφημα ευθείας αναλογικότητας που δίνεται από τον τύπο y \u003d 5x 1) A (6; -2) -2 \u003d 5 6 - 2 \u003d rect 30. Το σημείο Α δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 είναι σωστό. Το σημείο Β ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - λάθος Το σημείο Γ δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=5x. 4) E (0; 0) 0 = 5 0 0 = 0 - αληθές. Το σημείο Ε ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=5x
TEST 1 επιλογή 2 επιλογή αριθμός 1. Ποιες από τις συναρτήσεις που δίνονται από τον τύπο είναι ευθέως ανάλογες; A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
Νο 2. Γράψτε τους αριθμούς των γραμμών y = kx , όπου k > 0 1 επιλογή k
Νο 3. Προσδιορίστε ποια από τα σημεία ανήκουν σε ένα γράφημα t ευθείας αναλογικότητας που δίνεται από τον τύπο Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 επιλογή C (1, -1), E (0,0) 2 επιλογή
y =5x y =10x III A VI και IV E 1 2 3 1 2 3 Όχι. Σωστή απάντηση Σωστή απάντηση Αρ.
Ολοκληρώστε την εργασία: Δείξτε σχηματικά πώς βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης που δίνεται από τον τύπο: y \u003d 1,7 x y \u003d -3,1 x y \u003d 0,9 x y \u003d -2,3 x
ΕΡΓΑΣΙΑ Από τα παρακάτω γραφήματα, επιλέξτε μόνο ευθέως αναλογικά γραφήματα.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Συναρτήσεις y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1,5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d 5 y 3x -ημ. - 0,3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Επιλέξτε συναρτήσεις της μορφής y \u003d k x (άμεση αναλογικότητα) και γράψτε τις
Συναρτήσεις ευθείας αναλογικότητας Y \u003d 2x Y \u003d -1,5x Y \u003d 5x Y \u003d -0,3x y x
y Γραμμικές συναρτήσεις που δεν είναι ευθέως αναλογικές συναρτήσεις 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \u003d 2x
Εργασία για το σπίτι: σελ. 15 σελ. 65-67, Αρ. 307; Νο. 308.
Ας το επαναλάβουμε ξανά. Τι νέο έμαθες; Τι έχεις μαθει? Τι σας δυσκόλεψε ιδιαίτερα;
Μου άρεσε το μάθημα και το θέμα έγινε κατανοητό: Μου άρεσε το μάθημα, αλλά δεν είναι ακόμα όλα ξεκάθαρα: Δεν μου άρεσε το μάθημα και το θέμα δεν είναι ξεκάθαρο.
Βασικοί στόχοι:
- Εισαγωγή της έννοιας της άμεσης και αντιστρόφως αναλογικής εξάρτησης των ποσοτήτων·
- διδάξτε πώς να λύσετε προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτές τις εξαρτήσεις.
- προώθηση της ανάπτυξης δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων·
- εδραίωση της ικανότητας επίλυσης εξισώσεων χρησιμοποιώντας αναλογίες.
- επαναλάβετε τα βήματα με τα συνηθισμένα και δεκαδικά;
- αναπτύσσω λογική σκέψηΦοιτητές.
ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΕΓΩ. Αυτοδιάθεση στη δραστηριότητα(Ώρα διοργάνωσης)
- Παιδιά! Σήμερα στο μάθημα θα εξοικειωθούμε με τα προβλήματα που επιλύθηκαν χρησιμοποιώντας αναλογίες.
II. Επικαιροποίηση γνώσεων και διόρθωση δυσκολιών σε δραστηριότητες
2.1. προφορική εργασία (3 λεπτά)
- Βρείτε τη σημασία των εκφράσεων και βρείτε τη λέξη κρυπτογραφημένη στις απαντήσεις.
14 - s; 0,1 - και; 7 - l; 0,2 - α; 17 - σε; 25 - έως
- Βγήκε η λέξη - δύναμη. Μπράβο!
- Το σύνθημα του σημερινού μας μαθήματος: Η δύναμη είναι στη γνώση! Ψάχνω - άρα μαθαίνω!
- Κάντε μια αναλογία των αριθμών που προκύπτουν. (14:7=0,2:0,1 κ.λπ.)
2.2. Εξετάστε τη σχέση μεταξύ γνωστών ποσοτήτων (7 λεπτά)
- η διαδρομή που διένυσε το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα και ο χρόνος της κίνησής του: S = v t(με αύξηση της ταχύτητας (χρόνος), η διαδρομή αυξάνεται).
- η ταχύτητα του αυτοκινήτου και ο χρόνος που πέρασε στο δρόμο: v=S:t(με αύξηση του χρόνου για να διανύσει το μονοπάτι, η ταχύτητα μειώνεται).
–
το κόστος των αγαθών που αγοράζονται σε μία τιμή και η ποσότητα του:
C \u003d a n (με αύξηση (μείωση) της τιμής, το κόστος αγοράς αυξάνεται (μειώνεται).
- η τιμή του προϊόντος και η ποσότητα του: a \u003d C: n (με αύξηση της ποσότητας, η τιμή μειώνεται)
- η περιοχή του ορθογωνίου και το μήκος του (πλάτος): S = a b (με αύξηση του μήκους (πλάτος), η περιοχή αυξάνεται.
- το μήκος του ορθογωνίου και το πλάτος: a = S: b (με αύξηση του μήκους, το πλάτος μειώνεται.
- ο αριθμός των εργαζομένων που εκτελούν κάποια εργασία με την ίδια παραγωγικότητα εργασίας και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας: t \u003d A: n (με αύξηση του αριθμού των εργαζομένων, ο χρόνος που δαπανάται για την εκτέλεση εργασίας μειώνεται) κ.λπ.
Λάβαμε εξαρτήσεις στις οποίες, με αύξηση της μίας τιμής πολλές φορές, η άλλη αυξάνεται αμέσως κατά το ίδιο ποσό (φαίνεται με βέλη για παραδείγματα) και εξαρτήσεις στις οποίες, με αύξηση σε μία τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή μειώνεται κατά τον ίδιο αριθμό φορών.
Τέτοιες σχέσεις ονομάζονται ευθείες και αντίστροφες αναλογίες.
Ευθέως ανάλογη εξάρτηση- μια εξάρτηση στην οποία με αύξηση (μείωση) σε μια τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό.
Αντιστρόφως αναλογική σχέση- μια εξάρτηση στην οποία με αύξηση (μείωση) σε μια τιμή πολλές φορές, η δεύτερη τιμή μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό.
III. Δήλωση της μαθησιακής εργασίας
Ποιο είναι το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε; (Μάθετε να διακρίνετε τις άμεσες και αντίστροφες σχέσεις)
- Αυτό - στόχοςτο μάθημά μας. Τώρα διατυπώστε θέμαμάθημα. (Άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα).
- Μπράβο! Γράψτε το θέμα του μαθήματος στα τετράδιά σας. (Ο δάσκαλος γράφει το θέμα στον πίνακα.)
IV. «Ανακάλυψη» νέας γνώσης(10 λεπτά)
Ας αναλύσουμε τα προβλήματα 199.
1. Ο εκτυπωτής εκτυπώνει 27 σελίδες σε 4,5 λεπτά. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να εκτυπωθούν 300 σελίδες;
27 σελίδες - 4,5 λεπτά.
300 σελ. - x?
2. Υπάρχουν 48 πακέτα τσαγιού σε ένα κουτί, 250 g το καθένα. Πόσες συσκευασίες των 150g θα βγουν από αυτό το τσάι;
48 συσκευασίες - 250 γρ.
Χ? - 150 γρ.
3. Το αυτοκίνητο διένυσε 310 χλμ., έχοντας ξοδέψει 25 λίτρα βενζίνη. Πόσο μακριά μπορεί να διανύσει ένα αυτοκίνητο με γεμάτο ρεζερβουάρ 40 λίτρων;
310 km - 25 l
Χ? – 40 λίτρα
4. Το ένα από τα γρανάζια του συμπλέκτη έχει 32 δόντια και το άλλο έχει 40. Πόσες στροφές θα κάνει η δεύτερη ταχύτητα ενώ η πρώτη θα κάνει 215 στροφές;
32 δόντια - 315 σ.α.λ
40 δόντια - x;
Για να σχηματίσετε μια αναλογία, είναι απαραίτητη μια κατεύθυνση των βελών, γι 'αυτό, σε αντίστροφη αναλογία, μια αναλογία αντικαθίσταται από την αντίστροφη.
Στον πίνακα οι μαθητές βρίσκουν την αξία των ποσοτήτων, στο χωράφι οι μαθητές λύνουν ένα πρόβλημα της επιλογής τους.
– Διατύπωση κανόνα για την επίλυση προβλημάτων με άμεση και αντιστρόφως αναλογικότητα.
Ένας πίνακας εμφανίζεται στον πίνακα:
V. Πρωτογενής εμπέδωση στον εξωτερικό λόγο(10 λεπτά)
Εργασίες στα φύλλα:
- Από 21 κιλά βαμβακόσπορου προέκυψαν 5,1 κιλά λάδι. Πόσο λάδι θα ληφθεί από 7 κιλά βαμβακόσπορου;
- Για την κατασκευή του γηπέδου, 5 μπουλντόζες καθάρισαν το χώρο σε 210 λεπτά. Πόσο καιρό θα χρειάζονταν 7 μπουλντόζες για να καθαρίσουν αυτήν την περιοχή;
VI. Ανεξάρτητη εργασίαμε αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο(5 λεπτά)
Δύο μαθητές ολοκληρώνουν μόνοι τους τις εργασίες Νο. 225 σε κρυφούς πίνακες και οι υπόλοιποι σε τετράδια. Στη συνέχεια ελέγχουν την εργασία σύμφωνα με τον αλγόριθμο και τη συγκρίνουν με τη λύση στον πίνακα. Τα λάθη διορθώνονται, οι αιτίες τους διευκρινίζονται. Εάν η εργασία ολοκληρωθεί, σωστά, τότε δίπλα στους μαθητές βάλτε ένα σύμβολο "+" για τον εαυτό τους.
Οι μαθητές που κάνουν λάθη στην ανεξάρτητη εργασία μπορούν να χρησιμοποιήσουν συμβούλους.
VII. Ένταξη στο σύστημα γνώσης και επανάληψη№ 271, № 270.
Έξι άτομα δουλεύουν στον μαυροπίνακα. Μετά από 3–4 λεπτά, οι μαθητές που εργάστηκαν στον πίνακα παρουσιάζουν τις λύσεις τους και οι υπόλοιποι ελέγχουν τις εργασίες και συμμετέχουν στη συζήτησή τους.
VIII. Αντανάκλαση δραστηριότητας (το αποτέλεσμα του μαθήματος)
- Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα;
- Τι επανέλαβες;
Ποιος είναι ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων αναλογίας;
Φτάσαμε στο στόχο μας;
- Πώς βαθμολογείτε τη δουλειά σας;
Η έννοια της ευθείας αναλογικότητας
Φανταστείτε ότι σκέφτεστε να αγοράσετε την αγαπημένη σας καραμέλα (ή οτιδήποτε σας αρέσει πραγματικά). Τα γλυκά του μαγαζιού έχουν τη δική τους τιμή. Ας υποθέσουμε 300 ρούβλια ανά κιλό. Όσο περισσότερες καραμέλες αγοράζετε, τόσο περισσότερα λεφτάπληρωμή. Δηλαδή, αν θέλετε 2 κιλά - πληρώστε 600 ρούβλια και αν θέλετε 3 κιλά - δώστε 900 ρούβλια. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα με αυτό, σωστά;
Εάν ναι, τότε είναι πλέον σαφές για εσάς τι είναι η άμεση αναλογικότητα - αυτή είναι μια έννοια που περιγράφει την αναλογία δύο ποσοτήτων που εξαρτώνται η μία από την άλλη. Και η αναλογία αυτών των ποσοτήτων παραμένει αμετάβλητη και σταθερή: κατά πόσα μέρη αυξάνεται ή μειώνεται το ένα από αυτά, κατά τον ίδιο αριθμό μερών το δεύτερο αυξάνεται ή μειώνεται αναλογικά.
Η άμεση αναλογικότητα μπορεί να περιγραφεί με τον ακόλουθο τύπο: f(x) = a*x, και το a σε αυτόν τον τύπο είναι μια σταθερή τιμή (a = const). Στο παράδειγμά μας με τα γλυκά, η τιμή είναι σταθερή, σταθερή. Δεν αυξάνεται ούτε μειώνεται, όσα γλυκά κι αν αποφασίσετε να αγοράσετε. Η ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα) x είναι πόσα κιλά γλυκά πρόκειται να αγοράσετε. Και η εξαρτημένη μεταβλητή f(x) (συνάρτηση) είναι πόσα χρήματα καταλήγετε να πληρώσετε για την αγορά σας. Μπορούμε λοιπόν να αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στον τύπο και να πάρουμε: 600 r. = 300 r. * 2 κιλά.
Το ενδιάμεσο συμπέρασμα είναι το εξής: αν το όρισμα αυξηθεί, η συνάρτηση αυξάνεται επίσης, εάν το όρισμα μειωθεί, η συνάρτηση επίσης μειώνεται
Η συνάρτηση και οι ιδιότητές της
Ευθεία αναλογική συνάρτησηείναι ειδική περίπτωσηγραμμική συνάρτηση. Εάν η γραμμική συνάρτηση είναι y = k*x + b, τότε για την ευθεία αναλογικότητα μοιάζει με αυτό: y = k*x, όπου k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας και αυτός είναι πάντα ένας αριθμός μη μηδενικός. Ο υπολογισμός του k είναι εύκολος - βρίσκεται ως πηλίκο μιας συνάρτησης και ενός ορίσματος: k = y/x.
Για να γίνει πιο σαφές, ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα. Φανταστείτε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β. Η ταχύτητά του είναι 60 km/h. Αν υποθέσουμε ότι η ταχύτητα κίνησης παραμένει σταθερή, τότε μπορεί να ληφθεί ως σταθερή. Και στη συνέχεια γράφουμε τις συνθήκες με τη μορφή: S \u003d 60 * t και αυτός ο τύπος είναι παρόμοιος με τη συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας y \u003d k * x. Ας κάνουμε έναν παραλληλισμό περαιτέρω: εάν k \u003d y / x, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου μπορεί να υπολογιστεί, γνωρίζοντας την απόσταση μεταξύ Α και Β και τον χρόνο που δαπανάται στο δρόμο: V \u003d S / t.
Και τώρα, από την εφαρμοσμένη εφαρμογή της γνώσης για την ευθεία αναλογικότητα, ας επιστρέψουμε στη λειτουργία της. Οι ιδιότητες του οποίου περιλαμβάνουν:
Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών (καθώς και το υποσύνολο του).
η συνάρτηση είναι περίεργη.
η αλλαγή στις μεταβλητές είναι ευθέως ανάλογη με όλο το μήκος της αριθμητικής γραμμής.
Η ευθεία αναλογικότητα και η γραφική παράσταση της
Μια γραφική παράσταση μιας ευθέως αναλογικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει το σημείο αρχής. Για την κατασκευή του, αρκεί να σημειώσετε μόνο ένα ακόμη σημείο. Και συνδέστε το και την προέλευση της γραμμής.
Στην περίπτωση γραφήματος, k είναι η κλίση. Αν η κλίση λιγότερο από το μηδέν(κ< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), το γράφημα και η μορφή του άξονα x αιχμηρή γωνία, και η συνάρτηση αυξάνεται.
Και μια ακόμη ιδιότητα του γραφήματος της συνάρτησης ευθείας αναλογικότητας σχετίζεται άμεσα με την κλίση k. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο μη ταυτόσημες συναρτήσεις και, κατά συνέπεια, δύο γραφήματα. Έτσι, αν οι συντελεστές k αυτών των συναρτήσεων είναι ίσοι, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι παράλληλες στον άξονα των συντεταγμένων. Και αν οι συντελεστές k δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται.
Παραδείγματα εργασιών
Ας αποφασίσουμε ένα ζευγάρι προβλήματα άμεσης αναλογικότητας
Ας ξεκινήσουμε απλά.
Εργασία 1: Φανταστείτε ότι 5 κότες γεννούσαν 5 αυγά σε 5 ημέρες. Και αν είναι 20 κότες, πόσα αυγά θα γεννήσουν σε 20 μέρες;
Λύση: Να χαρακτηρίσετε τον άγνωστο ως x. Και θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής: πόσες φορές έχουν γίνει περισσότερα κοτόπουλα; Διαιρέστε το 20 με το 5 και μάθετε ότι είναι 4 φορές. Και πόσες φορές περισσότερα αυγά θα γεννήσουν 20 κότες τις ίδιες 5 μέρες; Επίσης 4 φορές περισσότερο. Έτσι, βρίσκουμε τα δικά μας ως εξής: 5 * 4 * 4 \u003d 80 αυγά θα γεννήσουν 20 κότες σε 20 ημέρες.
Τώρα το παράδειγμα είναι λίγο πιο περίπλοκο, ας επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα από τη «Γενική Αριθμητική» του Νεύτωνα. Εργασία 2: Ένας συγγραφέας μπορεί να γράψει 14 σελίδες ενός νέου βιβλίου σε 8 ημέρες. Αν είχε βοηθούς, πόσα άτομα θα χρειαζόταν για να γράψει 420 σελίδες σε 12 μέρες;
Λύση: Θεωρούμε ότι ο αριθμός των ατόμων (συγγραφέας + βοηθοί) αυξάνεται με την αύξηση του όγκου της εργασίας εάν έπρεπε να γίνει στον ίδιο χρόνο. Πόσες φορές όμως; Διαιρώντας το 420 με το 14, διαπιστώνουμε ότι αυξάνεται κατά 30 φορές. Αλλά επειδή, σύμφωνα με την προϋπόθεση της εργασίας, δίνεται περισσότερος χρόνος για εργασία, ο αριθμός των βοηθών δεν αυξάνεται κατά 30 φορές, αλλά με αυτόν τον τρόπο: x \u003d 1 (συγγραφέας) * 30 (φορές): 12/8 (ημέρες). Ας μεταμορφωθούμε και ας μάθουμε ότι x = 20 άτομα θα γράψουν 420 σελίδες σε 12 ημέρες.
Ας λύσουμε ένα άλλο πρόβλημα παρόμοιο με αυτά που είχαμε στα παραδείγματα.
Εργασία 3: Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν για το ίδιο ταξίδι. Ο ένας κινούνταν με ταχύτητα 70 km/h και διένυε την ίδια απόσταση σε 2 ώρες με τον άλλο σε 7 ώρες. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου.
Λύση: Όπως θυμάστε, η διαδρομή καθορίζεται μέσω της ταχύτητας και του χρόνου - S = V *t. Εφόσον και τα δύο αυτοκίνητα ταξίδεψαν με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να εξισώσουμε τις δύο εκφράσεις: 70*2 = V*7. Πού βρίσκουμε ότι η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι V = 70*2/7 = 20 km/h.
Και μερικά ακόμη παραδείγματα εργασιών με συναρτήσεις άμεσης αναλογικότητας. Μερικές φορές στα προβλήματα απαιτείται να βρεθεί ο συντελεστής k.
Εργασία 4: Δεδομένων των συναρτήσεων y \u003d - x / 16 και y \u003d 5x / 2, προσδιορίστε τους συντελεστές αναλογικότητας τους.
Λύση: Όπως θυμάστε, k = y/x. Επομένως, για την πρώτη συνάρτηση, ο συντελεστής είναι -1/16, και για τη δεύτερη, k = 5/2.
Και μπορεί επίσης να συναντήσετε μια εργασία όπως η Εργασία 5: Καταγράψτε τον τύπο της άμεσης αναλογικότητας. Η γραφική παράσταση του και η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d -5x + 3 βρίσκονται παράλληλα.
Λύση: Η συνάρτηση που μας δίνεται στη συνθήκη είναι γραμμική. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία αναλογικότητα είναι μια ειδική περίπτωση μιας γραμμικής συνάρτησης. Και γνωρίζουμε επίσης ότι αν οι συντελεστές των k συναρτήσεων είναι ίσοι, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι το μόνο που απαιτείται είναι να υπολογίσετε τον συντελεστή μιας γνωστής συνάρτησης και να ορίσετε την άμεση αναλογικότητα χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο: y \u003d k * x. Συντελεστής k \u003d -5, ευθεία αναλογικότητα: y \u003d -5 * x.
συμπέρασμα
Τώρα έχετε μάθει (ή θυμηθήκατε, αν έχετε ήδη καλύψει αυτό το θέμα πριν), τι λέγεται ευθεία αναλογικότητα, και το θεώρησε παραδείγματα. Μιλήσαμε επίσης για τη συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας και το γράφημά της, λύσαμε μερικά προβλήματα για παράδειγμα.
Εάν αυτό το άρθρο ήταν χρήσιμο και βοήθησε στην κατανόηση του θέματος, πείτε μας για αυτό στα σχόλια. Για να ξέρουμε αν μπορούμε να σας ωφελήσουμε.
blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Η αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία μια αλλαγή σε μία από αυτές συνεπάγεται αλλαγή στην άλλη κατά το ίδιο ποσό.
Η αναλογικότητα είναι άμεση και αντίστροφη. Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε καθένα από αυτά.
Περιεχόμενο μαθήματοςΆμεση αναλογικότητα
Ας υποθέσουμε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 km/h. Θυμόμαστε ότι η ταχύτητα είναι η απόσταση που διανύθηκε ανά μονάδα χρόνου (1 ώρα, 1 λεπτό ή 1 δευτερόλεπτο). Στο παράδειγμά μας, το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 km/h, δηλαδή σε μία ώρα θα διανύσει απόσταση ίση με πενήντα χιλιόμετρα.
Ας σχεδιάσουμε την απόσταση που διένυσε το αυτοκίνητο σε 1 ώρα.
Αφήστε το αυτοκίνητο να κινηθεί για άλλη μια ώρα με την ίδια ταχύτητα πενήντα χιλιομέτρων την ώρα. Τότε αποδεικνύεται ότι το αυτοκίνητο θα διανύσει 100 χλμ
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, ο διπλασιασμός του χρόνου οδήγησε σε αύξηση της απόστασης που διανύθηκε κατά το ίδιο ποσό, δηλαδή δύο φορές.
Μεγέθη όπως ο χρόνος και η απόσταση λέγεται ότι είναι ευθέως ανάλογες. Η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα.
Η ευθεία αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία η αύξηση της μίας από αυτές συνεπάγεται αύξηση της άλλης κατά το ίδιο ποσό.
και αντίστροφα, εάν μια τιμή μειωθεί συγκεκριμένο αριθμόφορές, το άλλο μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.
Ας υποθέσουμε ότι αρχικά σχεδιαζόταν να οδηγήσει ένα αυτοκίνητο 100 km σε 2 ώρες, αλλά μετά από 50 km, ο οδηγός αποφάσισε να κάνει ένα διάλειμμα. Τότε αποδεικνύεται ότι μειώνοντας την απόσταση στο μισό, ο χρόνος θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό. Με άλλα λόγια, μια μείωση της απόστασης που διανύθηκε θα οδηγήσει σε μείωση του χρόνου κατά τον ίδιο παράγοντα.
Ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό των ευθέως αναλογικών μεγεθών είναι ότι η αναλογία τους είναι πάντα σταθερή. Δηλαδή, κατά την αλλαγή των τιμών των άμεσα αναλογικών μεγεθών, η αναλογία τους παραμένει αμετάβλητη.
Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η απόσταση ήταν αρχικά ίση με 50 km και ο χρόνος ήταν μία ώρα. Ο λόγος της απόστασης προς το χρόνο είναι ο αριθμός 50.
Αυξήσαμε όμως τον χρόνο κίνησης κατά 2 φορές, κάνοντάς τον ίσο με δύο ώρες. Ως αποτέλεσμα, η απόσταση που διανύθηκε αυξήθηκε κατά το ίδιο ποσό, δηλαδή έγινε ίση με 100 km. Η αναλογία εκατό χιλιομέτρων προς δύο ώρες είναι και πάλι ο αριθμός 50
Ο αριθμός 50 ονομάζεται συντελεστής ευθείας αναλογικότητας. Δείχνει πόση απόσταση υπάρχει ανά ώρα κίνησης. ΣΕ αυτή η υπόθεσηο συντελεστής παίζει το ρόλο της ταχύτητας κίνησης, αφού η ταχύτητα είναι ο λόγος της απόστασης που διανύθηκε προς το χρόνο.
Οι αναλογίες μπορούν να γίνουν από άμεσα ανάλογες ποσότητες. Για παράδειγμα, οι αναλογίες και αποτελούν την αναλογία:
Πενήντα χιλιόμετρα σχετίζονται με μια ώρα όπως τα εκατό χιλιόμετρα σχετίζονται με δύο ώρες.
Παράδειγμα 2. Το κόστος και η ποσότητα των αγαθών που αγοράζονται είναι ευθέως ανάλογα. Εάν 1 κιλό γλυκών κοστίζει 30 ρούβλια, τότε 2 κιλά από τα ίδια γλυκά θα κοστίζουν 60 ρούβλια, 3 κιλά - 90 ρούβλια. Με την αύξηση του κόστους των αγορασθέντων αγαθών αυξάνεται και η ποσότητα του κατά το ίδιο ποσό.
Δεδομένου ότι η αξία ενός εμπορεύματος και η ποσότητα του είναι ευθέως ανάλογες, η αναλογία τους είναι πάντα σταθερή.
Ας γράψουμε την αναλογία τριάντα ρούβλια προς ένα κιλό
Τώρα ας γράψουμε με τι ισούται η αναλογία εξήντα ρούβλια προς δύο κιλά. Αυτή η αναλογία θα είναι πάλι ίση με τριάντα:
Εδώ, ο συντελεστής ευθείας αναλογικότητας είναι ο αριθμός 30. Αυτός ο συντελεστής δείχνει πόσα ρούβλια ανά κιλό γλυκών. Σε αυτό το παράδειγμα, ο συντελεστής παίζει το ρόλο της τιμής ενός κιλού αγαθού, αφού η τιμή είναι η αναλογία του κόστους των αγαθών προς την ποσότητα του.
Αντιστρόφως αναλογικότητα
Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 80 χιλιόμετρα. Ο μοτοσικλετιστής έφυγε από την πρώτη πόλη και με ταχύτητα 20 km/h έφτασε στη δεύτερη πόλη σε 4 ώρες.
Αν η ταχύτητα ενός μοτοσικλετιστή ήταν 20 km/h, αυτό σημαίνει ότι κάθε ώρα διένυε απόσταση ίση με είκοσι χιλιόμετρα. Ας απεικονίσουμε στο σχήμα την απόσταση που διένυσε ο μοτοσικλετιστής και το χρόνο της κίνησής του:
Στην επιστροφή, η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή ήταν 40 χλμ./ώρα και πέρασε 2 ώρες στο ίδιο ταξίδι.
Είναι εύκολο να δούμε ότι όταν αλλάζει η ταχύτητα, ο χρόνος κίνησης έχει αλλάξει κατά το ίδιο ποσό. Και άλλαξε μέσα αντιθετη πλευρα- δηλαδή, η ταχύτητα αυξήθηκε, και ο χρόνος, αντίθετα, μειώθηκε.
Μεγέθη όπως η ταχύτητα και ο χρόνος ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα. Η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα.
Αντιστρόφως αναλογικότητα είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, κατά την οποία η αύξηση της μιας από αυτές συνεπάγεται μείωση της άλλης κατά το ίδιο ποσό.
και αντίστροφα, αν η μία τιμή μειωθεί κατά έναν ορισμένο αριθμό φορές, τότε η άλλη αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.
Για παράδειγμα, αν στο δρόμο της επιστροφής η ταχύτητα ενός μοτοσικλετιστή ήταν 10 km / h, τότε θα κάλυπτε τα ίδια 80 km σε 8 ώρες:
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μείωση της ταχύτητας οδήγησε σε αύξηση του χρόνου ταξιδιού κατά τον ίδιο παράγοντα.
Η ιδιαιτερότητα των αντιστρόφως ανάλογων μεγεθών είναι ότι το γινόμενο τους είναι πάντα σταθερό. Δηλαδή, κατά την αλλαγή των τιμών των αντιστρόφως ανάλογων ποσοτήτων, το προϊόν τους παραμένει αμετάβλητο.
Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η απόσταση μεταξύ των πόλεων ήταν 80 km. Κατά την αλλαγή της ταχύτητας και του χρόνου του μοτοσικλετιστή, αυτή η απόσταση παρέμενε πάντα αμετάβλητη.
Ένας μοτοσικλετιστής μπορούσε να διανύσει αυτή την απόσταση με ταχύτητα 20 χλμ./ώρα σε 4 ώρες και με ταχύτητα 40 χλμ./ώρα σε 2 ώρες και με ταχύτητα 10 χλμ./ώρα σε 8 ώρες. Σε όλες τις περιπτώσεις, το γινόμενο της ταχύτητας και του χρόνου ήταν ίσο με 80 km
Σας άρεσε το μάθημα;
Γίνετε μέλος μας νέα ομάδα Vkontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα
Γραμμική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που μπορεί να δοθεί από τον τύπο y = kx + b,
όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τα k και b είναι κάποιοι αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.
Ο αριθμός k ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής– γράφημα της συνάρτησης y = kx + b.
Αν k > 0, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας y = kx + b προς τον άξονα Χαρωματώδης; αν κ< 0, то этот угол тупой.
Αν οι κλίσεις των γραμμών που είναι γραφήματα δύο γραμμικών συναρτήσεων είναι διαφορετικές, τότε αυτές οι γραμμές τέμνονται. Και αν οι κλίσεις είναι ίδιες, τότε οι γραμμές είναι παράλληλες.
Γράφημα συνάρτησης y=kx +σι, όπου k ≠ 0, είναι ευθεία παράλληλη στην ευθεία y = kx.
ευθεία αναλογία.
Άμεση αναλογικότηταείναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί από τον τύπο y = kx, όπου x είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, k είναι ένας αριθμός μη μηδενικός. Ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής ευθείας αναλογικότητας.
Το γράφημα της ευθείας αναλογικότητας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή (βλ. σχήμα).
Η ευθεία αναλογικότητα είναι μια ειδική περίπτωση μιας γραμμικής συνάρτησης.
Ιδιότητες συνάρτησηςy=kx:
Αντιστρόφως αναλογικότηταείναι μια συνάρτηση που μπορεί να οριστεί από τον τύπο:
κ
y=-
Χ
Οπου Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή και κείναι ένας αριθμός μη μηδενικός.
Ένα αντίστροφο ανάλογο γράφημα είναι μια καμπύλη που ονομάζεται υπερβολή(βλέπε εικόνα).
Για μια καμπύλη που είναι γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης, οι άξονες ΧΚαι yλειτουργούν ως ασύμπτωτα. Ασύμπτωτοείναι η ευθεία που προσεγγίζουν τα σημεία της καμπύλης καθώς απομακρύνονται προς το άπειρο.
κ
Ιδιότητες συνάρτησηςy=-:
Χ