Ova lekcija je namenjena samostalno učenje tema "Dihedralni ugao". U ovoj lekciji učenici će se upoznati sa jednim od najvažnijih geometrijskih oblika, diedralnim uglom. Također u lekciji ćemo naučiti kako odrediti linearni ugao razmatranog geometrijska figura i koliki je diedarski ugao u osnovi figure.
Ponovimo šta je ugao na ravni i kako se mjeri.
Rice. 1. Avion
Razmotrimo ravan α (slika 1). Od tačke O dva zraka emaniraju - OB I OA.
Definicija. Figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke naziva se ugao.
Ugao se mjeri u stepenima i radijanima.
Prisjetimo se šta je radijan.
Rice. 2. Radian
Ako imamo centralni ugao čija je dužina luka jednaka poluprečniku, onda se takav centralni ugao naziva ugao od 1 radijan. ,∠ AOB= 1 rad (slika 2).
Odnos između radijana i stupnjeva.
drago.
Shvatili smo, drago mi je. (). onda, 
Definicija. Diedarski ugao figura koju formira prava linija naziva se A i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom A, koji ne pripadaju istoj ravni.
Rice. 3. Poluravni
Razmotrimo dvije poluravnine α i β (slika 3). Njihova zajednička granica je A. Ova figura se naziva diedralni ugao.
Terminologija
Poluravnine α i β su lica diedralnog ugla.
Pravo A je ivica diedralnog ugla.
Na zajedničkoj ivici A diedarski ugao, izaberite proizvoljnu tačku O(Sl. 4). U poluravni α iz tačke O vratiti okomicu OA na pravu liniju A. Iz iste tačke O u drugoj poluravni β konstruišemo okomicu OB do ivice A. Imam ugao AOB, koji se naziva linearni ugao diedralnog ugla.
Rice. 4. Mjerenje diedarskog ugla
Dokažimo jednakost svih linearnih uglova za dati diedarski ugao.
Neka imamo diedarski ugao (slika 5). Hajde da izaberemo tačku O i tačka O 1 na pravoj liniji A. Konstruirajmo linearni ugao koji odgovara tački O, tj. nacrtamo dvije okomice OA I OB u ravninama α i β do ivice A. Dobijamo ugao AOB- linearni ugao diedralnog ugla.
Rice. 5. Ilustracija dokaza
Od tačke O 1 nacrtajmo dvije okomice OA 1 I OB 1 do ivice A u ravninama α i β i dobijamo drugi linearni ugao A 1 O 1 B 1.
Rays O 1 A 1 I OA kosmjerne, jer leže u istoj poluravni i paralelne su jedna s drugom kao dvije okomite na istu pravu A.
Isto tako, zraci Otprilike 1 u 1 I OB su korežirani, što znači ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kao uglovi sa kosmjernim stranicama, što je trebalo dokazati.
Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.
Dokazati: A ⊥ AOB.
Rice. 6. Ilustracija dokaza
Dokaz:
OA ⊥ A po izgradnji, OB ⊥ A po konstrukciji (slika 6).
Nalazimo da je linija A okomito na dve prave koje se seku OA I OB van aviona AOB, što znači da je ravna A okomito na ravan OAV, što je trebalo dokazati.
Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom. To znači da je onoliko stepeni radijana sadržano u linearnom uglu, isti broj stepeni radijana je sadržan u njegovom diedralnom uglu. U skladu s tim razlikuju se sljedeće vrste diedarskih uglova.
akutna (slika 6)
Diedarski ugao je oštar ako je njegov linearni ugao oštar, tj. .
Ravno (sl. 7)
Diedarski ugao je pravi kada mu je linearni ugao 90° - tup (sl. 8)
Diedarski ugao je tup kada je njegov linearni ugao tup, tj. 
.
Rice. 7. Pravi ugao
Rice. 8. Tupi ugao
Primjeri konstruiranja linearnih uglova u realnim figurama
ABCD- tetraedar.
1. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB.
Rice. 9. Ilustracija za problem
Izgradnja:
Govorimo o diedralnom uglu, koji formira ivica AB i ivice ABD I ABC(Sl. 9).
Hajde da napravimo direktan DN okomito na ravan ABC, N- osnova okomice. Nacrtajmo nagnuto DM okomito na pravu liniju AB,M- nagnuta baza. Teoremom o tri okomice zaključujemo da je projekcija kose NM takođe okomito na pravu AB.
Odnosno, sa tačke gledišta M obnovljene su dvije okomite na ivicu AB na dvije strane ABD I ABC. Dobili smo linearni ugao DMN.
primeti, to AB, ivica diedarskog ugla, okomita na ravan linearnog ugla, tj. DMN. Problem je riješen.
Komentar. Diedarski ugao se može označiti na sljedeći način: DABC, Gdje
AB- ivica i tačke D I WITH leže na različitim stranama ugla.
2. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AC.
Nacrtajmo okomicu DN u avion ABC i skloni DN okomito na pravu liniju AC. Teoremom o tri okomice nalazimo to NN- kosa projekcija DN u avion ABC, takođe okomito na pravu AC.DNH- linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AC.
U tetraedru DABC sve ivice su jednake. Dot M- sredina rebra AC. Dokaži da je ugao DMV- linearni diedarski ugao TID, tj. diedarski ugao sa ivicom AC. Jedno od njegovih lica je ACD, sekunda - DIA(Sl. 10).
Rice. 10. Ilustracija za problem
Rješenje:
Trougao ADC- jednakostraničan, DM- medijana, a samim tim i visina. znači, DM ⊥ AC. Isto tako, trougao AINC- jednakostraničan, INM- medijana, a samim tim i visina. znači, VM ⊥ AC.
Dakle, sa tačke gledišta M rebra AC diedarski ugao restaurira dvije okomice DM I VM na ovu ivicu u licima diedarskog ugla.
Dakle, ∠ DMIN je linearni ugao diedralnog ugla, što je trebalo dokazati.
Dakle, definisali smo diedarski ugao, linearni ugao diedarskog ugla.
U sljedećoj lekciji ćemo pogledati okomitost pravih i ravni, zatim ćemo naučiti šta je diedarski ugao u osnovi figura.
Spisak referenci na teme "Diedarski ugao", "Dihedarski ugao u osnovi geometrijskih figura"
- Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za opšte obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
- Geometrija. 10. razred: udžbenik za obrazovne institucije sa dubinskim i specijalizovanim studijama matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Drfa, 2008. - 233 str.: ilustr.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
Zadaća na temu "Dedarski ugao", određivanje diedarskog ugla u osnovi figura
Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (osnovni i specijalizovani nivoi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
Zadaci 2, 3 str.
Šta je linearni diedarski ugao? Kako to izgraditi?
ABCD- tetraedar. Konstruiraj linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom:
A) IND b) DWITH.
ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Konstruisati linearni ugao diedralnog ugla A 1 ABC sa rebrom AB. Odredite njenu mjeru stepena.
TEKST TRANSKRIPTA ČASA:
U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i tačke. Zrake koje izlaze iz jedne tačke formiraju jedan od svojih geometrijskih oblika - ugao.
Znamo da se linearni ugao mjeri u stepenima i radijanima.
U stereometriji se objektima dodaje ravan. Figura koju čine prava linija a i dvije poluravnine sa zajedničkom granicom a koje u geometriji ne pripadaju istoj ravni naziva se diedarski ugao. Poluravnine su lica diedralnog ugla. Prava a je ivica diedralnog ugla.
Diedarski ugao, kao i linearni ugao, može se imenovati, izmjeriti i konstruirati. To je ono što moramo saznati u ovoj lekciji.
Nađimo diedarski ugao na modelu tetraedra ABCD.
Diedarski ugao sa ivicom AB naziva se CABD, gde tačke C i D pripadaju različitim stranama ugla, a ivica AB se naziva sredinom
Oko nas ima dosta objekata sa elementima u obliku diedralnog ugla.
U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je napravljena u obliku dvije nagnute ravni koje se konvergiraju prema centru.
Prilikom gradnje kuća koristi se tzv dvovodni krov. Na ovoj kući krov je napravljen u obliku dvodelnog ugla od 90 stepeni.
Diedarski ugao se također mjeri u stepenima ili radijanima, ali kako ga izmjeriti.
Zanimljivo je da se krovovi kuća oslanjaju na rogove. A rogova obloga formira dva krovna nagiba pod određenim uglom.
Prebacimo sliku na crtež. Na crtežu, da bi se pronašao diedarski ugao, na njegovoj ivici je označena tačka B. Iz ove tačke su povučene dve zrake BA i BC okomito na ivicu ugla. Ugao ABC koji formiraju ove zrake naziva se linearni diedarski ugao.
Stepen mjera diedralnog ugla je stepen mera njegov linearni ugao.
Izmjerimo ugao AOB.
Mera stepena datog diedralnog ugla je šezdeset stepeni.
Za diedarski ugao može se nacrtati beskonačan broj linearnih uglova;
Razmotrimo dva linearna ugla AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj strani i okomite su na pravu liniju OO1, pa su kosmjerne. Grede OB i O1B1 su također kousmjerene. Dakle, ugao AOB jednak je uglu A1O1B1 kao uglovi sa kosmernim stranicama.
Dakle, diedarski ugao karakteriše linearni ugao, a linearni uglovi su oštar, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedarskih uglova.
Tup ugao je ako je njegov linearni ugao između 90 i 180 stepeni.
Pravi ugao ako je njegov linearni ugao 90 stepeni.
Oštar ugao, ako je njegov linearni ugao od 0 do 90 stepeni.
Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog ugla.
Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.
Neka je ugao AOB linearni ugao datog diedarskog ugla. Po konstrukciji, zrake AO i OB su okomite na pravu a.
Ravan AOB prolazi kroz dve prave AO i OB koje se seku prema teoremi: Ravan prolazi kroz dve prave koje se seku, i to samo jednu.
Prava a je okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ovoj ravni, što znači, na osnovu okomitosti prave i ravni, prava a je okomita na ravan AOB.
Za rješavanje problema važno je biti u stanju konstruirati linearni ugao datog diedralnog ugla. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB za tetraedar ABCD.
Riječ je o diedralnom kutu, koji formiraju, prvo, ivica AB, jedna strana ABD, a druga ABC.
Evo jednog načina da ga izgradite.
Nacrtajmo okomicu iz tačke D na ravan ABC Označimo tačku M kao osnovu okomice. Podsjetimo da se u tetraedru osnova okomice poklapa sa centrom upisane kružnice u osnovi tetraedra.
Nacrtajmo nagnutu liniju iz tačke D okomito na ivicu AB, označimo tačku N kao osnovu nagnute linije.
U trouglu DMN, segment NM će biti projekcija nagnutog DN na ravan ABC. Prema teoremi o tri okomice, ivica AB će biti okomita na projekciju NM.
To znači da su stranice ugla DNM okomite na ivicu AB, što znači da je konstruisani ugao DNM željeni linearni ugao.
Razmotrimo primjer rješavanja problema izračunavanja diedralnog ugla.
Jednakokraki trougao ABC i pravilan trougao ADB ne leže u istoj ravni. Segment CD je okomit na ravan ADB. Naći diedarski ugao DABC ako je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Diedralni ugao DABC je jednak njegovom linearnom uglu. Hajde da izgradimo ovaj ugao.
Nacrtajmo nagnuti CM okomit na ivicu AB, pošto je trougao ACB jednakokrak, tada će se tačka M poklopiti sa sredinom ivice AB.
Prava linija CD je okomita na ravan ADB, što znači da je okomita na pravu liniju DM koja leži u ovoj ravni. A segment MD je projekcija nagnutog CM na ravan ADV.
Prava AB je po konstrukciji okomita na nagnuti CM, što znači da je po teoremi o tri okomice okomita na projekciju MD.
Dakle, dvije okomice CM i DM nalaze se na ivicu AB. To znači da formiraju linearni ugao CMD diedralnog ugla DABC. I sve što treba da uradimo je da ga nađemo pravougaonog trougla CDM.
Dakle, segment CM je medijana i visina jednakokraki trougao DIA, tada je prema Pitagorinoj teoremi krak SM jednak 4 cm.
Iz pravouglog trougla DMB, prema Pitagorinoj teoremi, krak DM jednak je dvama korijenima od tri.
Kosinus ugla iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka MD i hipotenuze CM i jednak je tri korijena od tri puta dva. To znači da je ugao CMD 30 stepeni.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
PRVO POGLAVLJE PRAVI I AVIONI
V. DIHEDRALNI UGLOVI, PRAVI UGAO SA RAVNINOM,
UGAO DVIJE UKRŠĆEĆE DESNE PRAVE, POLIGEDALNI UGLOVI
Diedralni uglovi
38. Definicije. Dio ravnine koji leži s jedne strane bilo koje prave linije koja leži u ovoj ravni naziva se poluravni. Figura koju čine dvije poluravnine (P i Q, slika 26) koje izlaze iz jedne prave linije (AB) naziva se diedarski ugao. Direktan AB se zove rub, a poluravnine P i Q - stranke ili ivice diedarski ugao.
Takav ugao se obično označava sa dva slova postavljena na njegovom rubu (diedralni ugao AB). Ali ako na jednoj ivici postoji nekoliko diedarskih uglova, onda je svaki od njih označen sa četiri slova, od kojih su srednja dva na ivici, a vanjska dva na plohama (na primjer, diedarski ugao SCDR) (Sl. 27).
Ako se iz proizvoljne tačke D povuku ivice AB (slika 28) na svakoj plohi okomitoj na ivicu, tada se ugao CDE formiran od njih naziva linearni ugao diedarski ugao.
Veličina linearnog ugla ne zavisi od položaja njegovog vrha na ivici. Dakle, linearni uglovi CDE i C 1 D 1 E 1 su jednaki jer su im stranice, respektivno, paralelne i u istom pravcu.
Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu, jer sadrži dve prave okomite na nju. Stoga, da bi se dobio linearni ugao, dovoljno je presjeći lice datog diedralnog ugla ravninom okomitom na ivicu i uzeti u obzir rezultujući ugao u ovoj ravni.
39. Jednakost i nejednakost diedarskih uglova. Dva diedralna ugla se smatraju jednakima ako se mogu kombinovati kada se umetnu; inače, koji god se diedarski ugao smatra manjim, činiće dio drugog ugla.
Kao uglovi u planimetriji, diedarski uglovi mogu biti susjedna, vertikalna itd.
Ako su dva susedna diedarska ugla jednaka jedan drugom, onda se svaki od njih naziva pravi diedarski ugao.
Teoreme. 1) Jednaki diedarski uglovi odgovaraju jednakim linearnim uglovima.
2) Veći diedarski ugao odgovara većem linearnom uglu.
Neka su PABQ i P 1 A 1 B 1 Q 1 (slika 29) dva diedralna ugla. Ubacimo ugao A 1 B 1 u ugao AB tako da se ivica A 1 B 1 poklapa sa ivicom AB, a lice P 1 sa licem P.
Onda ako ovi diedral uglovi su jednaki, tada se lice Q 1 poklapa sa licem Q; ako je ugao A 1 B 1 manji od ugla AB, tada će lice Q 1 zauzeti neki položaj unutar diedralnog ugla, na primjer Q 2.
Pošto smo to primijetili, uzmimo neku tačku B na zajedničkoj ivici i kroz nju povučemo ravan R, okomitu na ivicu. Iz preseka ove ravni sa stranama diedarskih uglova dobijaju se linearni uglovi. Jasno je da ako se diedarski uglovi poklapaju, onda će imati isti linearni ugao CBD; ako se uglovi diedara ne poklapaju, ako, na primjer, lice Q 1 zauzima položaj Q 2, tada će veći diedarski ugao imati veći linearni ugao (naime: / CBD > / C 2 BD).
40. Konverzne teoreme. 1) Jednaki linearni uglovi odgovaraju jednakim diedralnim uglovima.
2) Veći linearni ugao odgovara većem diedralnom uglu .
Ove teoreme se mogu lako dokazati kontradikcijom.
41. Posljedice. 1) Pravi diedarski ugao odgovara pravom linearnom uglu, i obrnuto.
Neka je (slika 30) diedarski ugao PABQ prava linija. To znači da je jednak susednom uglu QABP 1. Ali u ovom slučaju, linearni uglovi CDE i CDE 1 su takođe jednaki; a pošto su susedni, svaki od njih mora biti ravan. Obrnuto, ako su susjedni linearni uglovi CDE i CDE 1 jednaki, onda su susjedni diedarski uglovi jednaki, tj. svaki od njih mora biti ravan.
2) Svi pravi diedarski uglovi su jednaki, jer su im linearni uglovi jednaki .
Isto tako, lako je dokazati da:
3) Vertikalni diedralni uglovi su jednaki.
4) Dihedral uglovi sa paralelnim i identično (ili suprotno) usmerenim ivicama su jednaki.
5) Ako za jedinicu diedarskih uglova uzmemo diedarski ugao koji odgovara jedinici linearnih uglova, onda možemo reći da se diedarski ugao meri njegovim linearnim uglom.
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
DIHEDRALNI UGAO Nastavnik matematike GOU srednje škole br. 10 Eremenko M.A.
Glavni ciljevi lekcije: Upoznavanje sa pojmom diedarskog ugla i njegovog linearnog ugla. Razmotriti zadatke za primenu ovih pojmova.
Definicija: Diedarski ugao je figura koju čine dvije poluravnine sa zajedničkom graničnom pravom linijom.
Veličina diedralnog ugla je veličina njegovog linearnog ugla. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - linearni diedarski ugao ACD B
Dokažimo da su svi linearni uglovi diedarskog ugla međusobno jednaki. Razmotrimo dva linearna ugla AOB i A 1 OB 1. Zrake OA i OA 1 leže na istoj strani i okomite su na OO 1, pa su kosmjerne. Grede OB i OB 1 su također kousmjerene. Dakle, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (kao uglovi sa kousmerenim stranicama).
Primjeri diedarskih uglova:
Definicija: Ugao između dvije ravnine koje se seku je najmanji od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni.
Zadatak 1: U kocki A ... D 1 pronađite ugao između ravnina ABC i CDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 2: U kocki A ... D 1 pronađite ugao između ravnina ABC i CDA 1. Odgovor: 45 o.
Problem 3: U kocki A ... D 1, pronađite ugao između ravnina ABC i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 4: U kocki A ... D 1 pronađite ugao između ravnina ACC 1 i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 5: U kocki A ... D 1, pronađite ugao između ravnina BC 1 D i BA 1 D. Rješenje: Neka je O središte B D. A 1 OC 1 – linearni ugao diedarskog ugla A 1 B D C 1.
Problem 6: U tetraedru DABC sve ivice su jednake, tačka M je sredina ivice AC. Dokažite da je ∠ DMB linearni ugao diedralnog ugla BACD.
Rješenje: Trouglovi ABC i ADC su pravilni, dakle, BM ⊥ AC i DM ⊥ AC i stoga je ∠ DMB linearni ugao diedralnog ugla DACB.
Zadatak 7: Iz temena B trougla ABC, čija stranica AC leži u ravni α, povučena je okomita BB 1 na ovu ravan. Odrediti rastojanje od tačke B do prave AC i do ravni α, ako je AB=2, ∠VAS=150 0 i diedarski ugao VASV 1 jednak 45 0.
Rješenje: ABC je tupokutni trokut sa tupi ugao I, prema tome, osnova visine BC leži na nastavku stranice AC. VC – udaljenost od tačke B do AC. BB 1 – udaljenost od tačke B do ravni α
2) Kako je AC ⊥BK, onda je AC⊥KB 1 (po teoremi, inverzna teorema oko tri okomice). Dakle, ∠VKV 1 je linearni ugao diedralnog ugla BASV 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 =VK· sin 45 0 , VV 1 =