Prezentacija na temu Dirichletovog principa. d) zadaci o aritmetičkoj sredini

Naš projekat je edukativan, praktična primjena. IN školski obilazak Olimpijada je odgovorila na izazov. Odlučili smo detaljnije proučiti ovo pitanje: - Upoznali smo se sa literaturom na ovu temu. - Pogledali smo istorijsku građu. - Proučavali smo Dirichletov princip. - Pripremio sažetak i prezentaciju. - Naučio kako ga koristiti prilikom rješavanja problema. - Planiramo da razgovaramo sa učenicima 6. razreda.

Dirichlet je rođen u vestfalskom gradu Direnu u porodici upravnika pošte. Sa 12 godina Dirihle je počeo da uči u gimnaziji u Bonu, dve godine kasnije u jezuitskoj gimnaziji u Kelnu, gde mu je, između ostalih nastavnika, predavao Georg Ohm. Od 1822. do 1827. živio je kao kućni učitelj u Parizu, gdje se kretao u Furijeovom krugu. Biografija

Godine 1827 dobija poziciju privatnog docenta na Univerzitetu Breslau (Wroclaw). - 1829. godine prelazi u Berlin, gde neprekidno radi 26 godina, prvo kao docent. - Zatim od 1831. kao izvanredni profesor. - Od 1839. kao redovni profesor na Univerzitetu u Berlinu. Godine 1855. Dirichlet je postao, kao Gaussov nasljednik, profesor više matematike na Univerzitetu u Getingenu. Biografija

Ako ima m zečeva u n ćelija, a m > n, tada se najmanje dva zeca nalaze u najmanje jednoj ćeliji. n, onda najmanje dva zeca sjede u barem jednom kavezu."> n, tada najmanje dva zeca sjede u barem jednom kavezu."> n, tada najmanje dva zeca sjede u barem jednom kavezu najmanje dva zeca." title="Ako ima m zeca u n ćelija, a m > n, onda postoje najmanje dva zeca u najmanje jednoj ćeliji."> title="Ako ima m zečeva u n ćelija, a m > n, tada se najmanje dva zeca nalaze u najmanje jednoj ćeliji."> !}

Ako ima m golubova u n ćelija, i m

N, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija sadrži najviše m:n zečeva." title="Generalizovani Dirichletov princip Pretpostavimo da m zečeva sjedi u n Tada ako m > n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija sadrži najmanje m:n zečeva." class="link_thumb"> 9 !} Generalizirani Dirichletov princip Pretpostavimo da m zečeva sjedi u n ćelija. Tada ako je m > n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija sadrži najmanje m:n zečeva. n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija sadrži najmanje m:n zečeva."> n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a također najmanje jedna druga ćelija ne sadrži više od m:n zečeva."> n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a također najmanje jedna druga ćelija ne sadrži više od m:n zečeva. " title="( !LANG:Uopšteni Dirichletov princip Pretpostavimo da je m zečeva smješteno u n ćelija. Onda ako je m > n, onda barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija ne sadrži više od m:n zečeva."> title="Generalizirani Dirichletov princip Pretpostavimo da m zečeva sjedi u n ćelija. Tada ako je m > n, tada barem jedna ćelija sadrži najmanje m:n zečeva, a najmanje jedna druga ćelija sadrži najmanje m:n zečeva."> !}

12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji najmanje "title=" U razredu ima 15 učenika. Dokažite da u istom mjesecu rođendane slave najmanje 2 učenika. Rješenje: Neka 15 učenika biti “zečevi” Tada će “ćelije” biti mjeseci u godini, ima ih 12. Pošto je 15>12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji najmanje" class="link_thumb"> 10 !} U razredu je 15 učenika. Dokažite da najmanje 2 učenika slave rođendane u istom mjesecu. Rješenje: Neka 15 učenika budu “zečevi”. Tada će “ćelije” biti mjeseci u godini, ima ih 12. Pošto je 15>12, onda će, prema Dirichletovom principu, postojati barem jedna “ćelija” u kojoj će najmanje 2 “zeca” sjedi. Odgovor: Postoji mjesec u kojem će se slaviti rođendani najmanje 2 učenika u razredu. Zadatak 1. 12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji najmanje "> 12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji barem jedna "ćelija" u kojoj će sjediti najmanje 2 "zeca". Odgovor: Postoji mjesec , u kojem će se slaviti rođendani najmanje 2 učenika u odjeljenju. Zadatak 1."> 12, tada će po Dirichletovom principu biti najmanje" title="Ima 15 učenika u razredu.Dokazati da u istom mjesecu rođendane slave najmanje 2 učenika.Rješenje: Neka 15 učenika budu „zečevi.“ Tada će „ćelije“ biti mjeseci u godini, ima ih 12. Od 15. >12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji najmanje"> title="U razredu je 15 učenika. Dokažite da najmanje 2 učenika slave rođendane u istom mjesecu. Rješenje: Neka 15 učenika budu “zečevi”. Tada će "ćelije" biti mjeseci u godini, ima ih 12. Pošto je 15>12, onda, prema Dirichletovom principu, postoji najmanje"> !}

Kolya je napravio 8 rupa u tepihu dimenzija 3x3 metra. Dokažite da je od nje moguće izrezati prostirku 1x1 metar bez ikakvih rupa unutra. Rješenje: Isjecimo tepih na 9 prostirki dimenzija 1x1 metar, jer ima 9 prostirki - "kaveza", i 8 rupa - "golubova". Odgovor: Unutra je tepih bez rupa. Zadatak 2.

U odeljenju 3A ima 27 učenika koji znaju ukupno 109 pesama. Dokažite da postoji školarac koji zna najmanje 5 pjesama. Rješenje: Pretpostavimo da svaki učenik ne zna više od 4 pjesme. To znači da 27 školaraca ne zna više od 427 = 108 (pjesme) Odgovor: To znači da postoji školarac koji zna najmanje 5 pjesama. Zadatak 3.

U gradu postoji 15 škola. Tu studira 6.015 školaraca. IN koncertna sala Gradska palata kulture 400 mesta. Dokažite da postoji škola čiji učenici ne staju u ovu salu. Rješenje: Pretpostavimo da svaka škola nema više od 400 učenika. To znači da je u svim školama = 6000 (školska djeca). Odgovor: Dakle, učenici ove škole neće stati u salu od 400 mjesta. Zadatak 4.

Škola ima 5 osmih razreda: 8A, ..., 8D. Svaki od njih ima 32 učenika. Dokažite da postoji 14 ljudi rođenih u istom mjesecu. Rješenje: Pretpostavimo da se svakog mjeseca ne rodi više od 13 učenika. To znači da je za 12 mjeseci rođeno 1213=156 (školske djece). Ali prema uslovu, u školi uči 532 = 160 (ljudi). Odgovor: To znači da postoji mjesec u kojem je rođeno više od 13 učenika, odnosno najmanje 14. Zadatak 5.

Unutar jednakostraničnog trougla sa stranicom od 1 cm nalazi se 5 tačaka. Dokažite da je razmak između neka dva od njih manji od 0,5 cm. Rješenje: Možete dobiti 4 "ćelije" tako što ćete podijeliti jednakostranični trokut crtanjem segmenata koji povezuju sredinu stranica. Tada dobijamo 4 jednakostranična trokuta sa stranicama od 0,5 cm, koji će biti naše "ćelije". Zadatak 6.

4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke." title="2 1 4 3 Trokuti - "ćelije", 5 tačaka - 5 " zečevi.“ 5 >4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trougao sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke." class="link_thumb"> 16 !} Trokuti su „ćelije“, 5 tačaka su 5 „zečeva“. 5>4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke. 4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke."> 4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke."> 4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke." title="2 1 4 3 Trokuti - “ ćelije”, 5 bodova - 5 “zečeva”.5 >4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trougao sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke."> title="2 1 4 3 Trokuti – „ćelije“, 5 poena – 5 „zečeva“. 5>4, prema Dirichletovom principu, postoji jednakostranični trokut sa stranicom od 0,5 cm, koji sadrži najmanje dvije tačke."> !} Zaključci: Dakle, korištenjem ovu metodu, potrebno je da: Odredite šta je zgodno u zadatku da se uzme kao „ćelije“, a šta kao „zečevi“. Dobijte "ćelije"; najčešće ima manje (više) “ćelija” od jednog (ili više) “zečeva”. Odaberite potrebnu formulaciju Dirichletovog principa za rješenje. Dirichletov princip je važan, zanimljiv i koristan. Može se koristiti u Svakodnevni život, koji se razvija logičko razmišljanje. Ovim se rješavaju mnogi olimpijski zadaci posebna metoda. Omogućava generalizaciju.

Dirichlet Peter August Lejeune (1805-1859) -
Njemački matematičar, strani dopisni član Sankt Peterburške akademije nauka
(1837), član mnogih drugih akademija.
Dirichlet je rođen u vestfalskom gradu Direnu u porodici upravnika pošte.
Sa 12 godina, Dirichlet je počeo da uči u gimnaziji u Bonu, dvije godine kasnije u
Jezuitska gimnazija u Kelnu, gdje su, između ostalih učitelja, njegovi
predavao Georg Ohm. Od 1822. do 1827. živio je kao kućni učitelj u
Pariz, gdje se kretao u Furijeovom krugu.1827. dobije posao
mjesto privatnog docenta na Univerzitetu u Breslauu. Godine 1829. on
preselio se u Berlin, gdje je radio neprekidno 26 godina, prvo
kao docent. Zatim od 1831. kao izvanredni profesor. Od 1839
kao redovni profesor na Univerzitetu u Berlinu. Godine 1855. Dirichlet
postaje, kao Gaussov nasljednik, profesor visokog obrazovanja
Matematika na Univerzitetu u Getingenu.

U kombinatorici, Dirichletov princip je izjava koja utvrđuje
veza između objekata ("zečevi") i kontejnera ("ćelije")
kada su ispunjeni određeni uslovi. Na engleskom i neke
na drugim jezicima izjava je poznata kao "princip goluba"
kutije" kada su objekti golubovi, a kontejneri
kutije.
9 ćelija sadrži 7 golubova,
po principu
Bar Dirichlet
9-7=2 ćelije su slobodne
9 ćelija sadrži 10 golubova,
barem prema Dirichletovom principu
nalaze se u istoj ćeliji
više od jednog goluba

Formulacije

Najčešći je sljedeći
formulacija
ovaj princip:
Ako su zečevi smješteni u kaveze, i
broj zečeva više brojaćelije, onda iako
bilo bi više od jednog u jednoj ćeliji
zec.
Zvuči općenitija formulacija
dakle:
Ako je m zečeva smješteno u n ćelija, onda iako
u jednoj ćeliji treba biti najmanje m/n
zečeve, kao i u najmanje jednom kavezu
nema više od m/n zečeva.

Pogledajmo primjere različitih problema riješenih korištenjem Dirichletovog principa.

1. U razredu ima 15 učenika. Dokazati
da će biti najmanje 2 učenika,
slavljenje rođendana u istom mjesecu.
RJEŠENJE:
Neka 15 učenika budu “zečevi”. Zatim "ćelije"
biće mjeseci u godini, ima ih 12. Pošto je 15 > 12, onda prema
prema Dirichletovom principu, postoji barem jedan
kavez koji će primiti najmanje 2
"zec". Odnosno, postojaće mesec u kojem će biti
slaviti rođendane ništa manje
2 učenika u razredu.

Zadano je 12 cijelih brojeva. Dokažite da možete izabrati 2 od njih, čija je razlika djeljiva sa 11.

RJEŠENJE
Uzmimo brojeve kao "zečeve". Pošto ih ima 12, dakle
Trebalo bi biti manje "ćelija". Neka "ćelije"
- Ovo su ostaci od dijeljenja cijelog broja sa 11.
Ukupno će biti 11 "ćelija": O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.10. Zatim, po Dirichletovom principu, postoji
"kavez" u kojem će sjediti najmanje 2
"zec", odnosno postoje 2 cijela broja sa jednim
podsjetnik. I razlika između dva broja sa istim
ostatak dijeljenja sa 11 će biti djeljiv sa 11

Kolya je napravio 8 rupa u tepihu dimenzija 3x3 metra. Dokažite da je od nje moguće izrezati prostirku 1x1 metar bez ikakvih rupa u njoj.

Kolya je napravio 8 rupa u tepihu dimenzija 3x3 metra.
Dokažite da se može izrezati u tepih veličine
1x1 metar, bez rupa unutra.
(Rupe se mogu smatrati rupama.)
RJEŠENJE
Ovdje će rupe biti "zečevi".
Izrežite tepih na 9 prostirki
dimenzije 1x1 metar. Jer
ima 9 "kaveznih" prostirača i 8 "zečjih" rupa, onda će biti najmanje
jedna "ćelija" u kojoj neće biti
“zečevi”, odnosno postoji prostirka
nema rupa unutra.

Dakle, koristeći ovu metodu, trebate:
Odredite šta je zgodno u problemu uzeti za „ćelije“ i
kakvi su to "zečevi"?
Dobijte "ćelije"; najčešće ima manje "ćelija"
(više) od „zečeva“ za jednog (ili više).
Odaberite potrebnu formulaciju za rješenje
Dirichletov princip.
Dirichletov princip je važan, zanimljiv i koristan. Njegovo
može se koristiti u svakodnevnom životu, koji se razvija
logičko razmišljanje.
Ovim se rješavaju mnogi olimpijski zadaci
posebna metoda. Omogućava generalizaciju.

TEMA: “Dirichletov princip”

Izvedeno:

Zvereva Ekaterina Aleksandrovna

Učenik 8. razreda

Naučni rukovodilac: Kirpičeva E.E.

2011 - 2012 akademske godine

Ciljevi:

1. Pročitajte Dirichletovu biografiju

2. Razmotrite različite formulacije Dirichletovog principa

3. Naučite primijeniti naučeni princip u rješavanju problema

4. Klasificirajte zadatke prema njihovom sadržaju:

a) geometrijski problemi;

b) zadaci za parove;

c) zadaci za izlaske i rođendane;

d) zadaci o aritmetičkoj sredini;

e) problemi djeljivosti;

f) problemi kombinatorike;

g) problemi teorije brojeva;

5. Smislite svoje probleme i riješite ih koristeći Dirichletov princip

Biografija

DIRICHLE Peter Gustav Lejeune (13.2.1805-5.5.1859) - njemački matematičar. Rod. Düren. 1822-1827 D. je bio kućni učitelj u Parizu. Bio je dio kruga mladih naučnika koji su se grupisali oko J. Fouriera. Godine 1827. D. preuzima mjesto vanrednog profesora u Breslavlju; od 1829. radio je u Berlinu. 1831-1855 - profesor na Univerzitetu u Berlinu, a nakon smrti K. Gaussa (1855) - na Univerzitetu u Getingenu.

Biografija

D. stvoreno opšta teorija algebarske jedinice u polju algebarskih brojeva.
U oblasti matematičke analize, D. je prvi precizno formulisao i proučio koncept uslovne konvergencije niza i dao rigorozan dokaz o mogućnosti proširenja komadno neprekidne i monotone funkcije u Fourierov red, koji je služio kao osnova za mnoga dalja istraživanja.
Značajni radovi D. bili su u mehanici i matematičkoj fizici, posebno u teoriji potencijala.

Biografija

D. je napravio niz velikih otkrića u teoriji brojeva: uspostavio je formule za broj klasa binarnih kvadratnih oblika sa datom determinantom i dokazao teoremu o beskonačnosti broja prostih brojeva u aritmetička progresija cijelih brojeva čiji su prvi član i razlika relativno prosti. Da bi riješio ove probleme, D. je primijenio analitičke funkcije nazvane Dirichletove funkcije (serija).

Dirichletov princip

„Što se tiče učestalosti spominjanja od strane školaraca, Dirichlet je zauvijek zagarantovan za jedno od najviših mjesta.”

Najčešće korištena formulacija:

„Ako u n ćelija ima

n + 1 "zečevi",

odnosno kavez koji sadrži najmanje 2 "zeca"

Najčešće korištena formulacija: „Ako ima n + 1 „zeca“ u n ćelija, onda postoji ćelija u kojoj postoje najmanje 2 „zeca“

Nekoliko izjava:

U1. “Ako nema više od n-1 “zečeva” u n ćelija, onda postoji prazna ćelija.”

U2. “Ako ima n + 1 “zeca” u n ćelija, onda postoji ćelija u kojoj postoje najmanje 2 “zeca”

U3. „Ako n ćelija ne sadrži više od nk-1 „zečeva“, onda neke od ćelija ne sadrže više od k-1 „zečeva“

U4. „Ako n ćelija sadrži najmanje n k+1 „zečeva“, onda neke od ćelija sadrže najmanje k+1 „zečeva“

U5. Kontinuirani Dirichletov princip.

“Ako je aritmetička sredina nekoliko brojeva veća od a, onda je barem jedan od ovih brojeva veći od a”;

U6. “Ako je zbir n brojeva manji od S, onda je barem jedan od ovih brojeva manji od S/n.”

U7. “Među p + 1 cijelim brojevima postoje dva broja koja daju isti ostatak kada se podijele s p.”

1 ) Geometrijski problemi

Dokažite da ako je linija l, koji se nalazi u ravni trougla ABC, ne prolazi ni kroz jedan od njegovih vrhova, onda ne može presjeći sve tri strane trougla. Rješenje

Poluravnina na kojoj je prava linija l cijepa ravan trougla ABC, označiti sa q 1 i q 2 ; smatraćemo da su ove poluravnine otvorene (tj. ne sadrže tačke prave l). Vrhovi dotičnog trougla (tačke A , B , C) će biti "zečevi" i poluavioni q 1 i q 2 - "ćelije". Svaki "zec" završi u nekom "kavezu" (na kraju krajeva, pravoj liniji l ne prolazi ni kroz jednu tačku A , B , C). Pošto postoje tri “zeca”, ali samo dvije “ćelije”, onda će biti dva “zeca” koja padaju u jednu “ćeliju”; drugim riječima, postoje dva vrha trougla ABC, koji pripadaju istoj poluravni.

Neka su, recimo, tačke A i B u istoj poluravni, odnosno leže na istoj strani prave l. Zatim segment AB se ne ukršta sa l. Dakle, u trouglu ABC pronašao stranu koja se ne siječe s pravom l .

Unutar jednakostraničnog trougla sa stranom 1 nalazi se 5 tačaka. Dokažite da je rastojanje između neka dva od njih manje od 0,5

Prema Dirichletovom principu, od pet tačaka će biti najmanje dvije

u jednom od četiri trougla. Udaljenost između ovih tačaka

manje od 0,5, jer tačke ne leže u vrhovima trouglova.

(Ovdje koristimo dobro poznatu lemu da je dužina segmenta koji se nalazi unutar trokuta manja od dužine njegove najduže stranice.)

br. 3. ("u parovima") Na planeti Zemlji, okean zauzima više od polovine površine. Dokažite da je moguće naznačiti dvije dijametralno suprotne tačke u svjetskim okeanima.

Afrika se nalazi između

37°N w. i 35°S geografske širine, između 17°W, 51°W d.

Kontinent se nalazi između pribl

9° W Geografska dužina i 169°W duž., 12° J. w. 81° s.š. w.

Rješenje. Smatrajmo tačke okeana „zečevima“, a parove dijametralno suprotnih tačaka planete „ćelijama“. Broj "zečeva" u u ovom slučaju je površina okeana, a broj "ćelija" je pola oblasti planete. Pošto je površina okeana više od polovine površine planete, ima više "zečeva" nego "ćelija". Zatim postoji “kavez” u kojem se nalaze najmanje dva “zeca”, tj. par suprotnih tačaka, od kojih su obe okean. U2

Zadatak br. 4. U četinarskoj šumi ima 800.000 stabala smrče. Svako drvo smreke nema više od 500.000 iglica. Dokažite da postoje najmanje dvije smreke sa isti broj igle

Rješenje. Broj "ćelija" je 500.000 (svaka smreka može imati od 1 iglice do 500.000 iglica, 800.000 smreke je broj "zečeva", jer ima više "zečeva" nego ćelija, što znači da postoji "kavez" u kojem najmanje dva "zeca". To znači da postoje najmanje dvije smreke sa istim brojem iglica. (U2)

Rješenje. Najmanje dva broja od 11 daju isto

ostatak kada se podijeli sa 10. Neka su to A = 10a + r i B = 10b + r.

Tada se njihova razlika podijeli sa 10: A - B = 10(a - b). (U2)

Zadatak br. 5. (“djeljivo”)

Dano je 11 različitih cijelih brojeva. Dokažite da od njih možete izabrati dva broja čija je razlika djeljiva sa 10.

Zadatak br. 6. (“djeljivo”)

Dokažite da se broj N 5 završava istom cifrom kao i broj N.

Dokažimo da je N 5 -N višekratnik broja 10.

Zadatak br. 7. (“kombinatorici”) Kutija sadrži 4 loptice različite boje(mnogo bijelih, mnogo crnih, mnogo plavih, mnogo crvenih). Koliki je najmanji broj loptica koje se moraju dodirom izvaditi iz vrećice da bi među njima očigledno bile dvije iste boje?

Rješenje

Uzmimo kuglice kao “zečeve”, a crne, bijele, plave i crvene boje kao “ćelije”. Ima 4 ćelije, pa ako ima najmanje 5 zečeva, onda će neka dva pasti u jednu ćeliju (biće 2 kuglice iste boje).

Problem kombinatorike

Br. 8. Andrejin mlađi brat obojio je dame u osam boja. Na koliko načina Andrej može postaviti 8 dama različitih boja na tablu tako da u svakoj koloni i svakom redu bude po jedan dam?

Na koliko načina Andrej može postaviti 8 bijelih dama na tablu tako da u svakoj koloni i svakom redu bude po jedan dam?

Rješenje problema.

Razmotrimo prvo slučaj kada su dame bijeli. Postavićemo dame. U prvoj koloni možemo postaviti čekrk u bilo koju od 8 ćelija. U drugoj koloni - u bilo kojoj od 7 ćelija. (Zato što ne možete postaviti damu na istu liniju kao i prvi dama.) Slično, u trećem redu možemo postaviti dama u bilo koju od 6 ćelija, u četvrtom redu - u bilo koju od pet, itd. Ukupno , dobijamo 8 načina .

2) Sada razmotrite slučaj dama u boji. Uzmimo proizvoljan raspored bijelih dama. Ove cekere ćemo obojati u 8 boja, tako da bilo koje dvije budu obojene različite boje. Prvu možemo obojiti u jednu od 8 boja, drugu u jednu od preostalih 7 boja itd. itd. To jest, postoji samo 8 metoda bojenja. Pošto postoji i 8 načina rasporeda, a svaki od ovih rasporeda možemo obojiti na 8 načina, onda je ukupan broj načina u ovom slučaju 8·8=8².

Odgovor: 8² načina, 8 načina.

Problem (metoda od "suprotnog")

Br. 9. Više od 10.000.000 ljudi živi u Moskvi. Svaka osoba ne može imati više od 300.000 vlasi na glavi. Dokažite da vjerovatno ima 34 Moskovljana sa istim brojem vlasi na glavi.

1) Može biti 0, 1, ..., 300.000 dlaka na glavi - ukupno 300.001 opcija. Svakog Moskovljanina ćemo dodijeliti jednoj od 300.001 grupe ovisno o količini kose.

2) Ako se ne može pronaći 34 Moskovljana sa istom količinom kose, to znači da bilo koja od stvorenih grupa ne uključuje više od 33 osobe.

3) Onda u Moskvi nema više ljudi nego

33·300 001=9 900 033

4) To znači da će sigurno biti takvih 34 Moskovljana.

Korišteni internet resursi:

images.yandex.ru (fotografija Dirichlet, slike o školi)
http://bars-minsk.narod.ru/teachers/dirichle.html
http://www.bestreferat.ru/referat-4776.html

Slajd 1

Slajd 2

Hipoteza: primjena odgovarajućih formulacija Dirichletovog principa je najviše racionalan pristup prilikom rešavanja problema. Najčešće korištena formulacija je: „Ako postoji n + 1 „zeca“ u n ćelija, odnosno ćelija u kojoj se nalaze najmanje 2 „zeca“. Svrha: proučavanje jedne od osnovnih metoda matematike, Dirichletov princip

Slajd 3

Predmet mog istraživanja je Dirichletov princip Predmet mog istraživanja su različite formulacije Dirichletovog principa i njihova primjena u rješavanju problema Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13.2.1805 - 5.5.1859) - njemački matematičar.

Slajd 4

Ovaj princip kaže da ako je skup od N elemenata podijeljen na n disjunktnih dijelova koji nemaju zajednički elementi, gdje je N>n onda će barem jedan dio imati više od jednog elementa. Najčešće se Dirichletov princip formuliše u jednom od sljedećih oblika: Ako ima n + 1 “zečeva” u n ćelija, tj. ćelija u kojoj ima najmanje 2 -x "zeca"

Slajd 5

Algoritam za primjenu Dirichletovog principa Odredite šta su u zadatku „ćelije“, a šta „zečevi“ Primijenite odgovarajuću formulaciju Dirichletovog principa?

Slajd 6

U1. „Ako nema više od n-1 „zečeva“ u n ćelija, onda postoji prazna ćelija“ U2. “Ako postoji n + 1 “zeca” u n ćelija, onda postoji ćelija u kojoj postoje najmanje 2 “zeca” “ U3. "Ako u n ćelija nema više od nk-1 "zečeva", onda u nekim ćelijama nema više od k-1 "zečeva" U4. "Ako u n ćelija ima najmanje n k+1 " zečevi", tada neke od ćelija sadrže najmanje k+1 "zečeva"

Slajd 7

U5. "Neprekidni Dirichletov princip. "Ako je aritmetička sredina nekoliko brojeva veća od a, tada je barem jedan od ovih brojeva veći od a"; U6. "Ako je zbir n brojeva manji od S, tada je barem jedan od ovi brojevi su manji od S/n." U7: "Među p + 1 cijelim brojevima postoje dva broja koja daju isti ostatak kada se podijele s p."

Slajd 8

Zadatak. U četinarskoj šumi ima 800.000 stabala smrče. Svako drvo smreke nema više od 500.000 iglica. Dokažite da postoje najmanje dvije smreke sa istim brojem iglica. Naučna klasifikacija Kraljevstvo: Biljke Odsek: Gimnosperme Klasa: Četinari Porodica: Bor Vrsta: Smreka

Slajd 9

Rješenje. Broj "ćelija" je 500.000 (svaka smreka može imati od 1 iglice do 500.000 iglica, 800.000 smreke je broj "zečeva", pošto ima više "zečeva" nego ćelija, što znači da postoji "kavez" u najmanje dva "zeca". To znači da postoje najmanje dvije smreke sa istim brojem iglica. U2

Slajd 10

Zadatak Broj vlasi na glavi nije veći od 140.000. Dokažite da među 150.000 ljudi ima 2 sa istim brojem vlasi na glavi Negroidi Mongoloidi Kavkazi

Slajd 11

Rješenje. Broj “ćelija” je 140.000 (svaka osoba može imati od 0 do 140.000), 150.000 ljudi je broj “zečeva”, pošto ima više “zečeva” nego ćelija, što znači da postoji “kavez” u kojem nije manje od dva "zeca". To znači da postoje najmanje dvije osobe sa istim brojem dlaka

Slajd 12

Problem Na planeti Zemlji, okean zauzima više od polovine površine. Dokažite da je moguće naznačiti dvije dijametralno suprotne tačke u svjetskim okeanima. Kontinent se nalazi između približno 9° W. Geografska dužina i 169°W duž., 12° J. w. 81° s.š. w. Afrika se nalazi između 37° s. w. i 35° J. geografske širine, između 17°W, 51°W d.

Slajd 13

Rješenje. Smatrajmo tačke okeana „zečevima“, a parove dijametralno suprotnih tačaka planete „ćelijama“. Broj "zečeva" u ovom slučaju je površina okeana, a broj "ćelija" je polovina površine planete. Pošto je površina okeana više od polovine površine planete, ima više "zečeva" nego "ćelija". Zatim postoji “kavez” u kojem se nalaze najmanje dva “zeca”, tj. par suprotnih tačaka, od kojih su obe okean. U2

Slajd 14

Geometrijski problem iznutra jednakokraki trapez ima 4 tačke na strani 2. Dokaži da je rastojanje između neka dva od njih manje od 1. Rješenje. Podijelimo trapez sa stranicom 2 na tri trougla sa stranom 1. Nazovimo ih “ćelije”, a tačke – “zečevi”. Prema Dirichletovom principu, od četiri tačke, najmanje dvije će završiti u jednom od tri trougla. Udaljenost između ovih tačaka je manja od 1, jer tačke ne leže u vrhovima trokuta

Slajd 15

Kombinatorički problem U kutiji se nalaze kuglice od 4 različite boje (mnogo bijelih, mnogo crnih, mnogo plavih, mnogo crvenih). Koliki je najmanji broj loptica koje se moraju dodirom izvaditi iz vrećice da bi među njima očigledno bile dvije iste boje? Rješenje Uzmimo kuglice kao “zečeve”, a boje crne, bijele, plave i crvene kao “ćelije”. Ima 4 ćelije, pa ako ima najmanje 5 zečeva, onda će neka dva pasti u jednu ćeliju (biće 2 kuglice iste boje).

Slajd 16

Problem djeljivosti Problem. Dano je 11 različitih cijelih brojeva. Dokaži da od njih možeš izabrati dva broja čija je razlika djeljiva sa 10. Rješenje. Najmanje dva broja od 11 daju isti ostatak kada se podijele sa 10. Neka su to A = 10a + r i B = 10b + r. Tada se njihova razlika dijeli sa 10: A - B = 10(a - b).U2

Slajd 17

Problem Dano n+1 različito prirodni brojevi. Dokažite da je od njih moguće izabrati dva broja A i B čija je razlika djeljiva sa n. Zadatak Dokažite da među n+1 različitih prirodnih brojeva postoje najmanje dva broja A i B takva da je broj A2 - B2 je djeljiv sa n. Dokažimo da je (A – B)(A+B) višekratnik broja n. Zadatak Dokažite da među n+1 različitih prirodnih brojeva postoje najmanje dva broja A i B takva da je broj A3 – B3 djeljiv sa n. Dokažimo da je (A – B)(A2+AB +B2) višekratnik broja n

Slajd 2

Hipoteza: upotreba odgovarajućih formulacija Dirichletovog principa je najracionalniji pristup rješavanju problema. Najčešće korištena formulacija je: „Ako postoji n + 1 „zeca“ u n ćelija, odnosno ćelija u kojoj se nalaze najmanje 2 „zeca“. Svrha: proučavanje jedne od osnovnih metoda matematike, Dirichletov princip

Slajd 3

Slajd 4

Ovaj princip kaže da ako se skup od N elemenata podijeli na n disjunktnih dijelova koji nemaju zajedničkih elemenata, gdje je N>n tada će barem jedan dio imati više od jednog elementa. Najčešće se Dirichletov princip formuliše u jednom od sljedeći oblici: Ako postoji n + 1 "zeca" u n ćelija, onda postoji ćelija koja sadrži najmanje 2 "zeca"

Slajd 5

Algoritam za primjenu Dirichletovog principa Odredite šta su u zadatku „ćelije“, a šta „zečevi“ Primijenite odgovarajuću formulaciju Dirichletovog principa?

Slajd 6

Slajd 7

Slajd 8

Zadatak. U četinarskoj šumi ima 800.000 stabala smrče. Svako drvo smreke nema više od 500.000 iglica. Dokažite da postoje najmanje dvije smreke sa istim brojem iglica.

Naučna klasifikacija Carstvo: Biljke Odsek: Gimnosperme Klasa: Četinari Porodica: Bor Vrsta: Smreka

Slajd 9

Slajd 10

Problem: Broj vlasi na glavi nije veći od 140 000. Dokažite da među 150 000 ljudi ima 2 sa istim brojem vlasi na glavi.

Negroidi Mongoloidi Kavkazoidi

Slajd 11

Slajd 12

Problem Na planeti Zemlji, okean zauzima više od polovine površine. Dokažite da je moguće naznačiti dvije dijametralno suprotne tačke u svjetskim okeanima.

Kontinent se nalazi između približno 9° W. Geografska dužina i 169°W duž., 12° J. w. 81° s.š. w. Afrika se nalazi između 37° s. w. i 35° J. geografske širine, između 17°W, 51°W d.

Slajd 13

Slajd 14

Geometrijski problem Postoje 4 tačke unutar jednakokračnog trapeza sa stranom 2. Dokažite da je rastojanje između neka dva od njih manje od 1.

Rješenje. Podijelimo trapez sa stranicom 2 na tri trougla sa stranom 1. Nazovimo ih “ćelije”, a tačke – “zečevi”. Prema Dirichletovom principu, od četiri tačke, najmanje dvije će završiti u jednom od tri trougla. Udaljenost između ovih tačaka je manja od 1, jer tačke ne leže u vrhovima trokuta

Slajd 15

Kombinatorički problem: Kutija sadrži kuglice 4 različite boje (mnogo bijelih, mnogo crnih, mnogo plavih, mnogo crvenih). Koliki je najmanji broj loptica koje se moraju dodirom izvaditi iz vrećice da bi među njima očigledno bile dvije iste boje?

Rješenje Uzmimo kuglice kao “zečeve”, a boje crne, bijele, plave i crvene kao “ćelije”. Ima 4 ćelije, pa ako ima najmanje 5 zečeva, onda će neka dva pasti u jednu ćeliju (biće 2 kuglice iste boje).

Slajd 16

Slajd 17

Zadatak Dat je n+1 različitih prirodnih brojeva. Dokaži da je među njima moguće izabrati dva broja A i B čija je razlika djeljiva sa n. Zadatak Dokaži da među n+1 različitih prirodnih brojeva postoje najmanje dva broja A i B takva da je broj A2 - B2 je djeljiv sa n. Dokažimo da je (A – B)(A+B) višekratnik broja n. Zadatak Dokažite da među n+1 različitih prirodnih brojeva postoje najmanje dva broja A i B takva da je broj A3 – B3 djeljiv sa n. Dokažimo da je (A – B)(A2+AB+B2) višekratnik broja n