Penrose mosaic at gintong ratio. Penrose mosaic, o kung paano inasahan ng mga arkitekto ng Central Asian ang pagtuklas ng mga siyentipikong Europeo sa limang siglong Miscellaneous. Mosaic sa kalikasan

Slide 1

At sinaunang mga pattern ng Islam

Penrose mosaic

Ang pagtatanghal ay ginawa ng isang mag-aaral ng grade 7B, Central Educational Center No. 1679, Marina Zherder. Ang mga tagapamahala ng proyekto Siyukova E.V. at Zherder V.M.

Slide 2

Ano ang mosaic

Ang mosaic ay isang pattern na binuo mula sa mga tile iba't ibang anyo. Maaari nilang ihanda ang isang walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Slide 3

Ang periodic mosaic ay isang mosaic na ang pattern ay inuulit sa regular na pagitan. Ang non-periodic mosaic ay isang mosaic na ang pattern ay maaaring ulitin sa hindi regular na pagitan.

Slide 4

Mosaic sa kalikasan

Mayroon ding maraming mga halimbawa ng pana-panahong mosaic sa kalikasan. Karamihan ay mga kristal mga solido- halimbawa: Salt crystal Diamond crystal Graphite crystal Graphene crystal

Slide 5

Mosaic sa mga ipininta ni Escher

Ang mga mosaic ay isang mahalagang tema sa sining. Ang pintor na si M.C. Escher ay kilala sa kanyang mga mosaic at hindi tunay na pagpipinta.

Slide 6

Ano ang isang Penrose mosaic?

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay lumikha ng isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis, na naging kilala bilang Penrose mosaic.

Slide 7

Mga polygonal na mosaic na slab

Ang Penrose mosaic ay isang mosaic na binuo mula sa polygonal tile ng dalawa ilang mga anyo.

Slide 8

Symmetry ng mosaic

Ang nagreresultang imahe ay mukhang ito ay isang uri ng "maindayog" na palamuti - isang larawang may translational symmetry.

Slide 9

Simetrya

Ang ibig sabihin ng translational symmetry ay maaari kang pumili ng isang partikular na piraso sa isang pattern na maaaring "kopyahin" sa isang eroplano, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel transfer.

Slide 10

Istraktura ng Mosaics

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ang Penrose pattern ay walang ganoong paulit-ulit na mga istraktura - ito ay hindi pana-panahon. Ngunit ito ay hindi isang bagay ng optical illusion, ngunit hindi magulo ang mosaic: mayroon itong fifth-order rotational symmetry.

Slide 11

Pinakamababang anggulo

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring paikutin ng pinakamababang anggulo na katumbas ng 360 / n degrees, kung saan ang n ay ang pagkakasunud-sunod ng symmetry, sa sa kasong ito n = 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang multiple ng 360 / 5 = 72 degrees.

Slide 12

Hindi pangkaraniwang kababalaghan

Noong 1984, natuklasan ni Dan Shechtman, habang pinag-aaralan ang istraktura ng isang aluminyo-magnesium na haluang metal, na atomic na sala-sala Ang sangkap na ito ay nagpapakita ng isang pisikal na kababalaghan na hindi karaniwan para sa mga kristal.

Slide 13

"Maling" mga kristal

Isang sample ng isang substance na napapailalim sa espesyal na pamamaraan mabilis na paglamig, nakakalat ang electron beam upang ang isang binibigkas na pattern ng diffraction na may fifth-order symmetry sa lokasyon ng diffraction maxima (icosahedral symmetry) ay nabuo sa photographic plate.

Slide 14

Quasicrystals

Sumang-ayon ang mga siyentipiko na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang katulad espesyal na kondisyon mga sangkap. At isang mathematical model para dito ay matagal nang handa - ang Penrose mosaic.

Slide 15

Noong 2007, naglathala ang mga physicist na sina Peter Lu at Paul Steinhardt ng isang artikulo sa journal Science on Penrose mosaics.

Publikasyon 2007

Slide 16

Interes sa quasicrystals

Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Slide 17

Mga pattern sa Asya

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay na ito ay nakatuon sa malayo mula sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham. Binigyang-pansin ni Peter Lu ang mga pattern na sumasaklaw sa mga moske sa Asia, na itinayo noong Middle Ages.

Slide 18

Mayroong dalawang mga estilo sa Islamic ornament: Girikh (pers.) - isang kumplikadong geometric na palamuti na binubuo ng mga linya na inilarawan sa pangkinaugalian sa hugis-parihaba at polygonal na mga hugis. Sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ito para sa panlabas na dekorasyon ng mga moske at mga aklat sa malalaking publikasyon.

Mga istilo. Girikh

Slide 19

Islimi (pers.) – isang uri ng palamuti na binuo sa kumbinasyon ng bindweed at spiral. Nilalaman sa isang inilarawan sa pangkinaugalian o naturalistikong anyo ang ideya ng isang patuloy na pag-unlad ng namumulaklak na madahong shoot. Ito ay pinakalaganap sa pananamit, aklat, panloob na dekorasyon mga mosque, mga pinggan.

Slide 20

Mosaic ng Uzbekistan

Habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga mosaic pattern na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila.

Cover ng Koran mula 1306-1315 at pagguhit ng mga geometric na fragment kung saan nakabatay ang pattern.

Slide 21

Mosaic mula sa iba't ibang bansa

Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Slide 23

Mga scheme ng Girikh

Slide 24

Order ng construction

Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang mga sinaunang pattern ay naging eksaktong mga konstruksyon ng Penrose mosaic!

Slide 25

Sa tradisyon ng Islam, mayroong mahigpit na pagbabawal sa paglalarawan ng mga tao at hayop, kaya ang mga geometric na pattern ay naging napakapopular sa disenyo ng mga gusali.

Mga tradisyong Islam

Slide 26

Ang sikreto ng mga sinaunang panginoon

Ginawa itong iba-iba ng mga medyebal na master. Ngunit walang nakakaalam kung ano ang sikreto ng kanilang "diskarte". Kaya, ang lihim ay lumalabas na sa paggamit ng mga espesyal na mosaic na maaaring, habang nananatiling simetriko, punan ang eroplano nang hindi nauulit ang sarili nito.

Isang kahihiyan! Ang mga tao ng Middle Ages ay nalampasan ang mga modernong siyentipiko. Naisip namin na ang advanced na matematika at crystallography ang aming mga nagawa. Ito ay lumiliko na walang ganoon - lahat ng ito ay nangyari kalahating libong taon na ang nakalilipas. Bilang karagdagan, ang modernong agham ay tila nalampasan hindi ng pinakamahusay na mga matematiko, ngunit ng mga simpleng artista. Well, marahil hindi masyadong simple... Ngunit gayon pa man!

Hindi, talaga, ang mga modernong mathematician ay gumagawa ng kalokohan! Alinman sila ay nagtiklop ng papel ng 12 beses, pagkatapos ay naggantsilyo sila ng mga equation ng Lorentz, o pinipilipit nila ang mga bola sa mga donut. Sa pangkalahatan, ang tanging seryosong tao na natitira ay sina Perelman at Okunov - lahat ng pag-asa ay nasa kanila...

Ngunit ito ay kagiliw-giliw na ang mga tao ay gumawa ng mga tagumpay sa matematika noong sinaunang panahon, kung minsan ay hindi naglalagay ng anumang espesyal na kahalagahan sa kanila. Kapansin-pansin din na inuulit ng mga siyentipiko ang parehong "sinaunang" mga pagtuklas ngayon, nang hindi naghihinala na sila ay nag-imbento ng isang bagay na umiral nang walang kanilang mga hula sa loob ng maraming siglo.

Halimbawa, ang Ingles na matematiko na si Roger Penrose ay dumating sa ganoong bagay noong 1973 - isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis. Alinsunod dito, naging kilala ito bilang Penrose mosaic. Ano ang tiyak tungkol dito?

Penrose mosaic ayon sa lumikha nito. Ito ay binuo mula sa dalawang uri ng mga rhombus, ang isa ay may anggulo na 72 degrees, ang isa ay may anggulo na 36 degrees. Ang larawang ginagawa nito ay simetriko, ngunit hindi pana-panahon (larawan mula sa en.wikipedia.org).

Ang Penrose mosaic ay isang pattern na binuo mula sa polygonal tile ng dalawang partikular na hugis (medyo magkaibang rhombus). Maaari nilang ihanda ang isang walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Ang nagreresultang imahe ay mukhang ito ay isang uri ng "maindayog" na palamuti - isang larawang may translational symmetry. Ang ganitong uri ng symmetry ay nangangahulugan na maaari kang pumili ng isang partikular na piraso sa isang pattern na maaaring "kopyahin" sa isang eroplano, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel na paglipat (sa madaling salita, nang walang pag-ikot at walang pagpapalaki).

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ang pattern ng Penrose ay walang ganoong paulit-ulit na mga istraktura - ito ay aperiodic. Ngunit ang punto ay hindi isang optical illusion, ngunit ang katotohanan na ang mosaic ay hindi magulo: mayroon itong ikalimang-order na rotational symmetry.

Ang mga halimbawa ng quasicystals ay isang haluang metal ng AlMnPd at Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustrasyon ni Paul J. Steinhardt).

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring iikot sa pinakamababang anggulo na 360/ n degree, kung saan n– pagkakasunud-sunod ng simetrya, sa kasong ito n= 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang multiple ng 360 / 5 = 72 degrees.

Sa loob ng humigit-kumulang isang dekada, ang imbensyon ni Penrose ay itinuturing na hindi hihigit sa isang cute na abstraction sa matematika. Gayunpaman, noong 1984, natuklasan ni Dan Shechtman, isang propesor sa Israel Institute of Technology (Technion), habang pinag-aaralan ang istraktura ng isang aluminyo-magnesium na haluang metal, na ang diffraction ay nangyayari sa atomic lattice ng sangkap na ito.

Paano tayo narito? Ang tanong ay hindi madali, kaya ang mga siyentipiko ay sumang-ayon na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang bagay tulad ng isang espesyal na estado ng bagay.

Ipinapakita dito ang isa sa mga halimbawa ng paglalagay ng tile na ipinakita sa isang ika-15 siglong Arabic na manuskrito. Gumamit ang mga mananaliksik ng mga kulay upang i-highlight ang mga paulit-ulit na lugar. Ang lahat ng mga geometric na pattern ng medieval na Arab masters na pinag-aralan nina Lu at Steinhardt ay binuo batay sa limang elementong ito. Tulad ng nakikita mo, ang mga paulit-ulit na elemento ay hindi kinakailangang nakahanay sa mga hangganan ng tile (larawan ni Peter J. Lu).

Buweno, ang kagandahan ng pagtuklas, tulad ng iyong nahulaan, ay ang isang mathematical na modelo para dito ay matagal nang handa. At, tulad ng malamang na natanto mo, ito ay isang Penrose mosaic. Ngunit ang isang ito ay hindi pa sampung taong gulang, ngunit mas matanda. Nakilala lamang ito sa ating mga araw, sa bukang-liwayway ng ika-21 siglo, at ang modelong ito ay naging mas matanda kaysa sa maiisip ng isa.

Noong 2007, si Peter J. Lu, isang physicist mula sa Harvard University, kasama ang isa pang physicist, si Paul J. Steinhardt, ngunit mula sa Princeton University, ay naglathala ng isang artikulo sa Science on mosaics Penrose (Si Lou ay dapat na kilala sa mga regular na mambabasa ng Membrane - mayroon kaming napag-usapan na ang tungkol sa kanyang mga natuklasan sa pagputol ng brilyante ng mga sinaunang palakol at kumplikadong sinaunang mga makina). Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay hindi ito nakatuon sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham.

Ang mga pattern ng "Quasicrystalline" ay natagpuan ang kanilang lugar hindi lamang sa arkitektura. Dito makikita mo ang pabalat ng Koran mula 1306-1315 at isang pagguhit ng mga geometric na fragment kung saan nakabatay ang pattern. Ito at ang mga sumusunod na halimbawa ay hindi tumutugma sa mga sala-sala ng Penrose, ngunit may ikalimang-order na rotational symmetry (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Iginuhit ni Lu ang pansin sa mga pattern na sumasaklaw sa mga moske sa Asya, na itinayo noong Middle Ages. Ang mga madaling makikilalang disenyong ito ay ginawa mula sa mga mosaic tile. Ang mga ito ay tinatawag na girihi (mula sa salitang Arabic para sa "knot") at isang geometric na disenyo na katangian ng sining ng Islam at binubuo ng mga polygonal na hugis.

Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang mga pattern na ito ay nilikha gamit ang isang ruler at compass. Gayunpaman, ilang taon na ang nakalilipas, habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern ng mosaic na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila.

Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Nalaman niya na ang mga pattern na ito ay halos magkapareho at natukoy ang mga pangunahing elemento ng girikh na ginagamit sa lahat ng geometric na disenyo. Bilang karagdagan, natagpuan niya ang mga guhit ng mga imaheng ito sa mga sinaunang manuskrito, na ginamit ng mga sinaunang artista bilang isang uri ng cheat sheet para sa dekorasyon ng mga dingding.

Ngunit ang lahat ng ito, lumalabas, ay hindi napakahalaga. Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. At ito ay hindi partikular na nakakagulat.

Ang talagang kawili-wili ay, na nakalimutan ang tungkol sa gayong mga scheme, ang mga tao ay nakatagpo muli sa ibang pagkakataon. Oo, oo, ang mga sinaunang pattern ay hindi hihigit sa kung ano ang mga siglo mamaya ay tatawaging Penrose lattices at matatagpuan sa istraktura ng quasicrystals!

Itinatampok ng mga larawang ito ang magkatulad na mga lugar, bagama't sila ay mula sa ibang-iba na mga moske (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Sa tradisyon ng Islam, mayroong mahigpit na pagbabawal sa paglalarawan ng mga tao at hayop, kaya ang mga geometric na pattern ay naging napakapopular sa disenyo ng mga gusali. Ang mga medyebal na master sa paanuman ay pinamamahalaang gawin itong magkakaibang. Ngunit walang nakakaalam kung ano ang sikreto ng kanilang "diskarte". Kaya, ang lihim ay lumalabas na sa paggamit ng mga espesyal na mosaic na maaaring, habang nananatiling simetriko, punan ang eroplano nang hindi nauulit ang sarili nito.

Ang isa pang "panlinlang" ng mga larawang ito ay na, sa pamamagitan ng "pagkopya" ng gayong mga pakana sa iba't ibang mga templo ayon sa mga guhit, hindi maiiwasang payagan ng mga artista ang mga pagbaluktot. Ngunit ang mga paglabag sa kalikasan na ito ay minimal. Maaari lamang itong ipaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na walang punto sa malakihang mga guhit: ang pangunahing bagay ay ang prinsipyo kung saan itatayo ang larawan.

Upang mag-ipon ng mga girikh, limang uri ng mga tile ang ginamit (sampu at pentagonal rhombus at "butterflies"), na pinagsama sa isang mosaic na katabi ng bawat isa nang walang libreng puwang sa pagitan nila. Ang mga mosaic na nilikha mula sa kanila ay maaaring magkaroon ng rotational at translational symmetry nang sabay-sabay, o fifth-order rotational symmetry lamang (iyon ay, sila ay Penrose mosaic).

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum ng 1304. Sa kanan ay isang muling pagtatayo ng mga girikh (larawan ni Peter J. Lu).

Itinuring ng mga mananaliksik ang santuwaryo ni Imam Darb-i sa lungsod ng Isfahan ng Iran, na itinayo noong 1453, bilang isang halimbawa ng halos perpektong istrukturang quasicrystalline.

Ang pagtuklas na ito ay humanga sa maraming tao. American Association for the Advancement of Science (

Tungkol sa pagkakaroon Mga mosaic ng Penrose Hindi alam ng lahat, lalo na kung minsan ang kamangha-manghang mosaic na ito ay literal na nasa ilalim ng paa.
Kapag binisita namin ng asawa ko ang pamilya ng aming anak sa Finland, siyempre, naglalakad kami sa maaliwalas at maayos na lungsod ng Helsinki. Ang programa ng aming pamamalagi ay kinakailangang kasama ang pagbisita sa Academic Bookstore Akateeminen Kirjakauppa, na matatagpuan sa gitna sa Keskuskatu Street, na sa Russian ay nangangahulugang Central Street. Ang pagbisita sa bookstore na ito ay nagbibigay sa amin ng aesthetic na kasiyahan at, bagama't ang mga libro ay mahal sa Finland, lagi naming gustong bumili ng kahit isang maliit, magandang larawang libro tungkol sa mga bulaklak at halaman.
Isang araw, pinayuhan kami ng aking anak, isang propesyon na matematiko, kapag naglalakad sa kahabaan ng pedestrian street na ito na maingat na isaalang-alang paglalagay ng mga tile sa ibabaw. Ipinaliwanag niya kung ano iyon Penrose mosaic.

Lahat tayo ay nakakita ng mga tile, siyempre. Kadalasan nangyayari ito Hugis parisukat. Ang mga tile ay inilatag sa iba't ibang magagandang pattern.

Minsan ginagamit ang mga tile na may iba't ibang hugis at sukat, ngunit pangkalahatang anyo Ang ibabaw na takip ay parisukat pa rin.

Minsan ang mga tile ay inilatag offset, o hindi-square na mga tile ay ginagamit

Ngunit ang lahat ng mga pattern na ito ay binubuo pa rin ng mga paulit-ulit na bahagi

Sa kalye ng Keskuskatu sa Helsinki, ang mga tile ay inilatag sa gayon hindi umuulit ang pattern.

Hanggang sa 1964, walang naniniwala na posible na makabuo ng isang hanay ng mga tile na maaaring magamit upang ihanda ang isang eroplano nang hindi inuulit ang pattern.
Noong 1964, ang mathematician na si Robert Berger ay nakabuo ng ganoong set. Sa kasamaang palad, mayroong 20,426 na tile sa hanay na ito ng iba't ibang hugis at sukat.
Halos kaagad, naisip niya kung paano bawasan ang bilang ng iba't ibang mga tile sa isang set sa 104 na uri.
Noong 1968, binawasan ng sikat na mathematician na si Donald Knuth ang bilang ng iba't ibang tile sa 92.

Noong 1971, si Raphael Robinson ay nakabuo ng isang set ng anim na tile lamang na maaaring magamit upang takpan ang isang ibabaw nang walang pag-uulit. Ngunit malamang na hindi mo nais na gamitin ang mga ito sa iyong banyo.

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay nakabuo ng isang set ng anim na magagandang tile. Kung takpan mo ang kahit isang napakalaking palapag gamit ang mga tile na ito, hindi mauulit ang pattern.

Ang tunay na katanyagan ay dumating kay Roger Penrose nang matuklasan niya na dalawang uri lamang ng mga tile ang sapat upang lumikha ng isang natatanging pattern. Ang mga tile na ito ay mga geometric na hugis - mga rhombus, bahagyang naiiba sa bawat isa.
Ito ay isang larawan ng mathematician na si Roger Penrose laban sa isang ibabaw na natatakpan ng hindi umuulit na pattern.
Pag-tile ng eroplano hindi paulit-ulit na palamuti gawa sa tile ay tinatawag na ngayon Penrose mosaic.

Ang resultang pag-tile ay mukhang ang mosaic ay may isang tiyak na pag-aari ng mahusay na proporsyon, kapag ang ilang bahagi ng geometric na pattern ay maaaring ilipat nang kahanay nang hindi umiikot, at ang mga bahagi ay maaaring pagsamahin sa bawat isa.

Sa katunayan, sa maingat na pagsusuri ng Penrose mosaic, mapapansin ng isa na ang pattern ay walang periodicity, sa parehong oras ang pattern ay hindi magulo. Ang symmetry ng Penrose geometric pattern ay tinatawag na rotational, at mahigpit na mathematically, fifth order.

Sa loob ng halos sampung taon, ang matematikal na imbensyon ni Roger Penrose ay walang inilapat na halaga at higit na kilala sa mga mathematician. Ngunit noong 1984, ang propesor ng Israel na si Dan Shechtman, na nag-aaral ng solid state physics, ay natuklasan ang diffraction ng parehong ikalimang order sa atomic lattice ng isang aluminum-magnesium alloy. Kapag tinatalakay ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, pinagtibay ng mga siyentipiko ang kilalang Penrose mosaic bilang isang modelo ng matematika.

Nang maglaon ay lumabas na ang pagtakip sa ibabaw na may mga geometric na figure na walang mga gaps o overlap ay malawakang ginagamit sa sining ng Islam noong Middle Ages. Sa Asya, ang mga moske ay natatakpan ng mga mosaic na geometric na pattern. Ang mga diagram na matatagpuan sa mga sinaunang manuskrito ay nagpapahiwatig na ang mga pattern na nagpapalamuti sa mga dingding ay hindi magulo, ngunit binubuo ng ilang mga numero, nakaayos sa mahigpit na pagkakasunud-sunod. Dahil ipinagbabawal ang sining ng Islam na maglarawan ng mga hayop o tao, pinalamutian ng mga sinaunang master ang mga templo na may mga geometric na pattern.
Ang malawak na pagkakaiba-iba ng mga hindi paulit-ulit na pattern ay nagbubunga ng paghanga at sorpresa. Ang dahilan ay tiyak na nakasalalay sa katotohanan na ginamit ang mga ito mga espesyal na uri mosaic, marami sa mga ito ay may parehong fifth-order rotational symmetry, at sa katunayan ay Penrose mosaic. Maaaring ipagpalagay na ang papel ng matematika ay napakahalaga sa medyebal na sining ng Islam.

Sa ibaba ay nag-aalok ako ng mga larawan para tingnan Penrose mosaic tile pedestrian street Keskuskatu sa Helsinki. Ang ibabaw ay natatakpan ng mga tile na walang gaps o overlaps, habang ang pattern ay hindi nauulit kahit saan.

At ang mga sinaunang tao
mga pattern ng islam
Nakumpleto ang pagtatanghal
mag-aaral ng grade 7B, Central Education Center No. 1679
Zherder Marina.
Mga tagapamahala ng proyekto
Sinyukova E.V. at Zherder V.M.
5klass.net

Ano ang mosaic

Mosaic regalo
isang pattern
gawa sa tiles
iba't ibang anyo. sa kanila
maaaring sementado
walang katapusan
eroplanong wala
mga espasyo.

Ang periodic mosaic ay isang mosaic,
ang pattern na kung saan ay paulit-ulit sa pamamagitan ng
pantay na pagitan.
Ang non-periodic mosaic ay isang mosaic,
isang pattern na maaaring ulitin
sa hindi regular na pagitan.

Mosaic sa kalikasan

Marami ring halimbawa sa kalikasan
panaka-nakang mosaic. Higit sa lahat
mga kristal ng solid - halimbawa:
kristal ng asin
kristal na brilyante
Graphite na kristal
Crystal ng graphene

Mosaic sa mga ipininta ni Escher

Ang mga mosaic ay isang mahalagang paksa sa
sining. Artista
Si M.C. Escher ay sikat sa kanya
mosaic at hindi totoo
mga kuwadro na gawa.

Ano ang isang Penrose mosaic?

Noong 1973
Ingles
mathematician na si Roger
Penrose (Roger
Penrose) nilikha
espesyal na mosaic
mula sa geometric
mga numero, na
naging kilala bilang Penrose mosaic.

Mga polygonal na mosaic na slab

Ang Penrose mosaic ay kumakatawan
mosaic na binuo mula sa polygonal
mga tile ng dalawang tiyak na hugis.

Symmetry ng mosaic

Ang nagresultang imahe ay mukhang
parang ito ay isang uri ng "maindayog"
palamuti - isang larawan,
pagmamay-ari
broadcast
simetriya.

Simetrya

Ang ibig sabihin ng translational symmetry
Ano ang maaari mong piliin sa pattern?
isang tiyak na piraso na maaaring
"kopya" sa eroplano, at pagkatapos
pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa
parallel transfer.

10. Istraktura ng Mosaics

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, magagawa mo
tingnan na walang ganoon sa pattern ng Penrose
paulit-ulit na mga istraktura - ito
hindi pana-panahon. Ngunit ito ay hindi isang bagay ng
optical illusion, ngunit na ang mosaic
hindi magulo: siya
may
rotational
ikalimang simetrya
utos.

11. Pinakamababang anggulo

Ibig sabihin nito ay
larawan ay posible
buksan
pinakamababang anggulo,
katumbas ng 360/n degrees,
kung saan n ang utos
simetriya, dito
kaso n = 5.
Samakatuwid, ang anggulo
turn na wala
hindi nagbabago, dapat
multiple ng 360 / 5 = 72
degrees.

12. Hindi pangkaraniwang pangyayari

Noong 1984 Dan
Nag-aaral si Shekhtman
pag-aaral ng istraktura
aluminyo-magnesium haluang metal,
natuklasan iyon noong
atomic na sala-sala
sangkap na ito
nangyayari
hindi pangkaraniwan para sa
mga kristal
pisikal na kababalaghan.

13. "Maling" mga kristal

Isang sample ng isang substance na napapailalim sa
espesyal na mabilis na paraan
paglamig, nakakalat ang electron beam
upang sa photographic plate a
binibigkas
diffraction
pagpipinta na may simetrya
ikalimang order sa
lokasyon
diffraction
maximum
(simetrya ng icosahedron).

14. Quasicrystals

Napagkasunduan ng mga siyentipiko
na ibinigay
magkakaroon ng isang pagpipilian
pangalanan ang iyong pangalan
quasicrystals -
parang espesyal
estado ng bagay. AT
matagal na yun para sa kanya
ay handa na
matematikal na modelo
- Penrose mosaic.

15.

Publikasyon 2007
Noong 2007, ang mga physicist na sina Peter Lu at Paul
Inilathala ni Steinhardt sa magasin
Artikulo sa agham sa mosaic
Penrose.

16. Interes sa quasicrystals

Mukhang,
hindi inaasahan dito
kaunti: pagbubukas
mga quasicrystal
naaakit ng live
interes dito
paksang pinangunahan
sa hitsura ng isang bunton
mga publikasyon sa
pang-agham na pamamahayag.

17. Mga pattern sa Asya

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay na ito
ay hindi nakatuon sa modernong agham.
At sa pangkalahatan - hindi agham. Peter Lu
napansin ang mga pattern
sumasaklaw sa mga mosque
sa Asya, itinayo
noong Middle Ages.

18.

Mga istilo. Girikh
Sa Islamic ornament mayroong dalawa
istilo:
Girikh (pers.) – kumplikado
geometric na palamuti,
binubuo ng inilarawan sa pangkinaugalian
hugis-parihaba at polygonal
mga hugis ng linya. Sa karamihan ng mga kaso
ginagamit para sa panlabas
disenyo ng mga mosque at mga aklat sa malaki
publikasyon.

19. Islami

Islimi (pers.) – isang uri ng palamuti,
binuo sa koneksyon ng bindweed at
mga spiral. Embodies sa inilarawan sa pangkinaugalian
o naturalistikong anyo ng ideya
patuloy na namumulaklak
nangungulag shoot. Pinakamahusay
ito ay naging laganap sa pananamit,
mga aklat, panloob na dekorasyon ng mga moske,
mga pinggan

20. Mosaic ng Uzbekistan

Habang naglalakbay papasok
Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern
mosaic na pinalamutian ang lokal
medieval architecture, at napansin sa
isang bagay na pamilyar sa kanila.
Pabalat ng Koran 1306-1315 at
pagguhit
geometriko
mga fragment
kung saan ito nakabatay
pattern.

21. Mosaic mula sa iba't ibang bansa

Bumalik sa loob
Harvard, naging scientist
isaalang-alang
magkatulad na motibo sa
mosaic sa mga dingding
medyebal
mga gusali
Afghanistan, Iran,
Iraq at Turkey.

22. Islamic mosaic

Ang halimbawang ito ay napetsahan sa ibang pagkakataon
panahon - 1622 (Mosque ng India).

23. Mga iskema ng Girikh

Natuklasan ni Peter Lu ang geometriko na iyon
ang girikh circuits ay halos magkapareho, at
nakilala ang mga pangunahing elemento
ginagamit sa lahat
mga geometric na pattern. Bukod sa,
natagpuan niya ang mga guhit ng mga larawang ito sa
mga sinaunang manuskrito, na
ginamit ng mga sinaunang artista
bilang isang uri ng cheat sheet sa
palamuti sa dingding.

24. Order ng pagtatayo

Upang lumikha ng mga pattern na ito ginamit namin ang hindi
simple, random na naimbento na mga contour,
at ang mga figure na matatagpuan sa
sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga sinaunang pattern
naging tumpak na mga pagtatayo ng mga mosaic
Penrose!

25.

Mga tradisyong Islam
Sa tradisyon ng Islam
nagkaroon ng mahigpit
pagbabawal ng imahe
tao at hayop,
samakatuwid sa disenyo
malalaking gusali
nakakuha ng kasikatan
geometriko
palamuti.

26. Ang sikreto ng mga sinaunang panginoon

Medieval masters
ginawa ito
iba't iba. Pero ano
naging sikreto nila
"mga diskarte" - walang sinuman
alam. Kaya narito ang sikreto kung paano
beses na lumalabas na
gamitin
mga espesyal na mosaic,
sino kaya, natitira
simetriko,
punan ang eroplano, hindi
paulit-ulit.

27. "focus"

Isa pang "daya" ng mga ito
Ang "daya" ng mga imahe ay iyon,
"pagkopya" ng gayong mga scheme sa
iba't ibang templo sa paligid
mga guhit, mga artista
ay hindi maiiwasang kailanganin
payagan ang mga pagbaluktot. Pero
mga paglabag dito
ang karakter ay minimal.
Ito ay maipapaliwanag lamang ng
na ang mga master ay hindi
ginamit ang mga guhit kapag
paggawa ng mosaic.

28. Mga tile

Para sa pag-assemble ng mga timbang
ginamit na mga tile ng lima
species (sampu at
pentagonal rhombuses at
"butterflies"), na
ang mga mosaic ay pinagsama-sama,
magkatabi
walang libre
espasyo sa pagitan
sila.

29. Symmetry ng mga mosaic

Ang mga mosaic ay nilikha mula sa kanila,
maaaring magkaroon kaagad
rotational at
broadcast
symmetry, iyon lang
rotational symmetry
ikalimang utos (iyon ay
ay mga mosaic
Penrose).

30. Girihi

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum
1304 taon. Sa kanan – muling pagtatayo ng mga girikh

31. Petsa ng paglitaw ng mga mosaic

Ang pagkakaroon ng pananaliksik sa daan-daang
petsa
hitsura
mga larawan
mosaic
medyebal
Muslim
atraksyon,
Nagawa nina Lou at Steinhardt
petsa ng hitsura
katulad na kalakaran XIII
siglo. Unti-unti ito
paraan para makuha ang lahat
mahusay na katanyagan at
Ang XV siglo ay naging malawak
laganap.

32. Mga ceramic tile

Humigit-kumulang na nakikipag-date
sumasabay sa panahon
pag-unlad ng teknolohiya
palamuti
mga palasyo, mosque,
iba't ibang mahalaga
makintab na mga gusali
kulay
ceramic tile
sa anyo ng iba't-ibang
polygons. yun
may isang ceramic
mga espesyal na tile
nabuo ang mga form
partikular para sa mga girikh.
Ceramic
baldosa

33. Konklusyon

Ano ang natuklasan ng agham ng Kanluranin
batay sa isang malaking paglalahat
matinik na karanasan, silangang agham
ginawa batay sa intuwisyon at pakiramdam
maganda. At ang mga resulta ay halata: sa
sagisag ng mga batas ng geometry sa
pagsasanay ng mga nag-iisip ng Silangan
nauna sa mga Kanluranin ng limang siglo!

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay lumikha ng isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis, na naging kilala bilang Penrose mosaic.
Ang Penrose mosaic ay isang pattern na binuo mula sa polygonal tile ng dalawang partikular na hugis (medyo magkaibang rhombus). Maaari nilang ihanda ang isang walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Penrose mosaic ayon sa lumikha nito.
Ito ay binuo mula sa dalawang uri ng rhombus,
ang isa ay may anggulo na 72 degrees, ang isa ay may anggulo na 36 degrees.
Ang larawan ay lumalabas na simetriko, ngunit hindi pana-panahon.

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring paikutin ng isang minimum na anggulo na katumbas ng 360 / n degrees, kung saan ang n ay ang pagkakasunud-sunod ng simetrya, sa kasong ito n = 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang maramihang ng 360 / 5 = 72 degrees.

Ang mga nakaraang ideya na umiral sa solid state physics ay hindi kasama ang posibilidad na ito: ang istraktura ng pattern ng diffraction ay may fifth-order symmetry. Ang mga bahagi nito ay hindi maaaring pagsamahin sa pamamagitan ng parallel transfer, na nangangahulugan na ito ay hindi isang kristal sa lahat. Ngunit ang diffraction ay katangian ng isang kristal na sala-sala! Sumang-ayon ang mga siyentipiko na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang bagay na tulad ng isang espesyal na estado ng bagay. Well, ang kagandahan ng pagtuklas ay ang isang mathematical model para dito ay matagal nang handa - ang Penrose mosaic.

At medyo kamakailan ay naging malinaw na ang mathematical construction na ito ay marami mas maraming taon kaysa sa maisip ng isa. Noong 2007, si Peter J. Lu, isang physicist mula sa Harvard University, kasama ang isa pang physicist, si Paul J. Steinhardt, ngunit mula sa Princeton University, ay nag-publish ng isang artikulo sa Science on mosaics Penrose. Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay hindi ito nakatuon sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham. Binigyang-pansin ni Peter Lu ang mga pattern na sumasaklaw sa mga moske sa Asia, na itinayo noong Middle Ages. Ang mga madaling makikilalang disenyong ito ay ginawa mula sa mga mosaic tile. Ang mga ito ay tinatawag na girihi (mula sa salitang Arabe para sa "knot") at isang geometriko na disenyong katangian ng sining ng Islam at binubuo ng mga polygonal na hugis.

Isang halimbawa ng layout ng tile na ipinapakita sa isang 15th-century na Arabic na manuscript.
Gumamit ang mga mananaliksik ng mga kulay upang i-highlight ang mga paulit-ulit na lugar.
Ang lahat ng mga geometric na pattern ay itinayo batay sa limang elementong ito.
medieval Arab masters. Mga umuulit na elemento
hindi kinakailangang tumutugma sa mga hangganan ng tile.

Mayroong dalawang mga estilo sa Islamic ornament: geometric - girikh, at floral - islimi.
Girikh(pers.) - isang kumplikadong geometric na pattern na binubuo ng mga linya na inilarawan sa pangkinaugalian sa hugis-parihaba at polygonal na mga hugis. Sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ito para sa panlabas na dekorasyon ng mga moske at mga aklat sa malalaking publikasyon.
Islami(pers.) – isang uri ng palamuti na binuo sa kumbinasyon ng bindweed at spiral. Nilalaman sa inilarawan sa pangkinaugalian o naturalistic na anyo ang ideya ng isang patuloy na umuusbong na namumulaklak na mga dahon ng shoot at may kasamang walang katapusang iba't ibang mga pagpipilian. Ito ay pinakalaganap sa pananamit, aklat, panloob na dekorasyon ng mga mosque, at mga pinggan.

Cover ng Koran ng 1306-1315 at pagguhit ng mga geometric na fragment,
kung saan nakabatay ang pattern. Ito at ang mga sumusunod na halimbawa ay hindi magkatugma
Penrose lattices, ngunit may fifth-order rotational symmetry

Bago ang pagtuklas ni Peter Lu, pinaniniwalaan na ang mga sinaunang arkitekto ay lumikha ng mga pattern ng giriha gamit ang isang ruler at compass (kung hindi sa pamamagitan ng inspirasyon). Gayunpaman, ilang taon na ang nakalilipas, habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern ng mosaic na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila. Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Ang sample na ito ay may petsang higit sa late period– 1622 (Mosque ng India).
Kung titingnan ito at ang pagguhit ng istraktura nito, hindi maaaring hindi humanga sa pagsusumikap
mga mananaliksik. At, siyempre, ang mga masters mismo.

Natuklasan ni Peter Lu na ang mga geometric na pattern ng mga girikh ay halos magkapareho at nagawang tukuyin ang mga pangunahing elemento na ginagamit sa lahat ng geometric na disenyo. Bilang karagdagan, natagpuan niya ang mga guhit ng mga imaheng ito sa mga sinaunang manuskrito, na ginamit ng mga sinaunang artista bilang isang uri ng cheat sheet para sa dekorasyon ng mga dingding.
Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang mga sinaunang pattern ay naging eksaktong mga konstruksyon ng Penrose mosaic!

Itinatampok ng mga larawang ito ang parehong mga lugar,
bagama't ito ay mga larawan mula sa iba't ibang mosque

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum ng 1304. Sa kanan – muling pagtatayo ng mga girikh

Pagkatapos suriin ang daan-daang mga larawan ng medieval Muslim sites, sina Lu at Steinhardt ay nakapag-date ng trend sa ika-13 siglo. Ang pamamaraang ito ay unti-unting nakakuha ng katanyagan at noong ika-15 siglo ito ay naging laganap. Ang pakikipag-date ay halos kasabay ng panahon ng pagbuo ng pamamaraan ng pagdekorasyon ng mga palasyo, moske, at iba't ibang mahahalagang gusali na may mga glazed colored ceramic tile sa hugis ng iba't ibang polygon. Iyon ay, ceramic tile mga espesyal na anyo partikular na nilikha para sa mga Girikh.

Itinuring ng mga mananaliksik ang santuwaryo ni Imam Darb-i sa lungsod ng Isfahan ng Iran, na itinayo noong 1453, bilang isang halimbawa ng halos perpektong istrukturang quasicrystalline.

Portal ng dambana ng Imam Darb-i sa Isfahan (Iran).
Narito ang dalawang sistema ng mga girikh ay nakapatong sa isa't isa.

Column mula sa courtyard ng isang mosque sa Turkey (circa 1200)
at ang mga pader ng isang madrasah sa Iran (1219). Ito ay mga maagang gawa
at dalawa lang ang gamit nila mga elemento ng istruktura, natagpuan ni Lou

Ngayon ay nananatiling makahanap ng mga sagot sa isang bilang ng mga misteryo sa kasaysayan ng Girikh at ang mga mosaic ng Penrose. Paano at bakit natuklasan ng mga sinaunang mathematician ang mga istrukturang quasicrystalline? Ang mga medieval Arab ba ay nagbigay ng mosaic ng anumang kahulugan maliban sa masining? Bakit nakalimutan ang isang kawili-wiling konsepto ng matematika sa kalahating milenyo? At ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay kung ano ang iba pa mga makabagong pagtuklas ay bago, na talagang nakalimutan nang luma?