Τι είναι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη μιας γωνίας θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Πώς λέγονται οι πλευρές; ορθογώνιο τρίγωνο? Αυτό είναι σωστό, υποτείνουσα και πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (στο παράδειγμά μας αυτή είναι η πλευρά \(AC\)). τα πόδια είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές \(AB\) και \(BC\) (αυτές που γειτνιάζουν με ορθή γωνία), και, αν θεωρήσουμε τα σκέλη σε σχέση με τη γωνία \(BC\), τότε το σκέλος \(AB\) είναι το διπλανό σκέλος και το σκέλος \(BC\) είναι το αντίθετο. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;
Ημίτονο γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του απέναντι (μακρινού) ποδιού προς την υποτείνουσα.
Στο τρίγωνο μας:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Συνημίτονο γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.
Στο τρίγωνο μας:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Εφαπτομένη της γωνίας– αυτή είναι η αναλογία της απέναντι (μακρινής) πλευράς προς τη διπλανή (κοντινή).
Στο τρίγωνο μας:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Συμεφαπτομένη γωνίας– αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).
Στο τρίγωνο μας:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι να χωρίσετε σε τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένη γραμμήΚαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςΚαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:
Συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;
Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να θυμάστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθώς οι λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (στην ίδια γωνία). Δεν πιστεύω; Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) . Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας \(\beta \) από το τρίγωνο \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.
Εάν κατανοείτε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και εμπεδώστε τους!
Για το τρίγωνο \(ABC \) που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε \(\sin \ \alpha,\ \cos \ \alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(πίνακας) \)
Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία \(\beta \) .
Απαντήσεις: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος
Κατανοώντας τις έννοιες των μοιρών και των ακτίνων, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με \(1\) . Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Θα είναι πολύ χρήσιμο όταν μελετάτε τριγωνομετρία. Επομένως, ας το δούμε λίγο πιο αναλυτικά.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος κατασκευάζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\) (στο παράδειγμά μας, αυτό είναι η ακτίνα \(AB\)).
Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(x\) και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα \(y\). Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε το εξεταζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε το τρίγωνο \(ACG\) . Είναι ορθογώνιο επειδή το \(CG\) είναι κάθετο στον άξονα \(x\).
Τι είναι το \(\cos \ \alpha \) από το τρίγωνο \(ACG \); Σωστά \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι \(AC\) είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, που σημαίνει \(AC=1\) . Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στον τύπο μας για το συνημίτονο. Να τι συμβαίνει:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Με τι ισούται το \(\sin \ \άλφα \) από το τρίγωνο \(ACG \); Λοιπόν, φυσικά, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας \(AC\) σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Λοιπόν, μπορείτε να πείτε ποιες συντεταγμένες έχει το σημείο \(C\) που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Τι γίνεται αν συνειδητοποιήσετε ότι τα \(\cos \ \alpha \) και \(\sin \alpha \) είναι απλώς αριθμοί; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\cos \alpha \); Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη \(x\)! Και σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί το \(\sin \alpha \); Σωστά, συντονίστε \(y\)! Το θέμα λοιπόν \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Τι είναι τότε τα \(tg \alpha \) και \(ctg \alpha \) ίσα; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας το καταλάβουμε \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ΕΝΑ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:
Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε ξανά σε ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : γωνία (όπως δίπλα στη γωνία \(\beta \) ). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για μια γωνία \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
\(\αρχή(πίνακας)(l)\sin \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\γωνία ((C )_(1)((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\γωνία ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(πίνακας) \)
Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \(y\) ; η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - συντεταγμένη \(x\) ; και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις ισχύουν για οποιαδήποτε περιστροφή του διανύσματος ακτίνας.
Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα \(x\). Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα πάρετε επίσης μια γωνία ορισμένης τιμής, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα – αρνητικός.
Άρα, γνωρίζουμε ότι ολόκληρη η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι \(360()^\circ \) ή \(2\pi \) . Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά \(390()^\circ \) ή κατά \(-1140()^\circ \); Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), έτσι, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση \(30()^\circ \) ή \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Στη δεύτερη περίπτωση, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση \(-60()^\circ \) ή \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά \(360()^\circ \cdot m\) ή \(2\pi \cdot m\) (όπου \(m\) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός ), αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γωνία \(\beta =-60()^\circ \) . Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)και τα λοιπά. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο \(\beta +360()^\circ \cdot m\)ή \(\beta +2\pi \cdot m\) (όπου \(m\) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(πίνακας) \)
Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε ποιες είναι οι τιμές:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\κείμενο (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\κείμενο (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(πίνακας) \)
Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:
Έχετε δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(πίνακας)\)
Από εδώ, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία μέσα \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες \(\left(0;1 \right) \) , επομένως:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 90()^\circ \)- δεν υπάρχει;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Περαιτέρω, τηρώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες μέσα \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \δεξιά) \), αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.
Απαντήσεις:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ \pi \)- δεν υπάρχει
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 270()^\circ \)- δεν υπάρχει
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(ctg)\ 2\pi \)- δεν υπάρχει
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Δεξί βέλος \text(tg)\ 450()^\circ \)- δεν υπάρχει
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:
Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
\(\αριστερά \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Πρέπει να το θυμάστε ή να μπορείτε να το εξάγετε!! \) !}
Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)που δίνεται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμάστε:
Μην φοβάστε, τώρα θα σας δείξουμε ένα παράδειγμα μιας αρκετά απλής απομνημόνευσης των αντίστοιχων τιμών:
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις ημιτονοειδείς τιμές και για τα τρία μέτρα γωνίας ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας στο \(30()^\circ \) . Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές \(4\), είναι πολύ απλό να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημιτόνου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(πίνακας)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Ο αριθμητής "\(1 \)" θα αντιστοιχεί στο \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) και ο παρονομαστής "\(\sqrt(\text(3)) \)" θα αντιστοιχεί σε \(\κείμενο (tg)\ 60()^\circ \ \) . Οι τιμές συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που υποδεικνύονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με τα βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε μόνο τις τιμές \(4\) από τον πίνακα.
Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο
Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας το βγάλουμε γενικός τύποςγια να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου. Για παράδειγμα, εδώ είναι ένας κύκλος μπροστά μας:
Μας δίνεται αυτό το σημείο \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι \(1,5\) . Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου \(P\) που λαμβάνονται περιστρέφοντας το σημείο \(O\) κατά \(\δέλτα \) μοίρες.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη \(x\) του σημείου \(P\) αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος \(TP=UQ=UK+KQ\) . Το μήκος του τμήματος \(UK\) αντιστοιχεί στη συντεταγμένη \(x\) του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με \(3\) . Το μήκος του τμήματος \(KQ\) μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:
\(\cos \ \δέλτα =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Δεξί βέλος KQ=r\cdot \cos \ \δέλτα \).
Τότε έχουμε ότι για το σημείο \(P\) η συντεταγμένη \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \δέλτα =3+1,5\cdot \cos \ \δέλτα \).
Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο \(P\) . Ετσι,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =2+1,5\cdot \sin \δέλτα \).
Έτσι, μέσα γενική εικόναΟι συντεταγμένες των σημείων καθορίζονται από τους τύπους:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \), Οπου
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου,
\(r\) - ακτίνα του κύκλου,
\(\δέλτα \) - γωνία περιστροφής της διανυσματικής ακτίνας.
Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, αφού οι συντεταγμένες του κέντρου είναι ίσες με μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:
\(\αρχή(πίνακας)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \δέλτα =\cos \ \δέλτα \\ y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \δέλτα =0+1\cdot \sin \ \δέλτα =\sin \ \δέλτα \end(πίνακας) \)
Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.Για να εκτελέσετε υπολογισμούς, πρέπει να ενεργοποιήσετε τα στοιχεία ελέγχου ActiveX!
Η τριγωνομετρία είναι κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τη χρήση τους στη γεωμετρία. Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας ξεκίνησε στην αρχαία Ελλάδα. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, επιστήμονες από τη Μέση Ανατολή και την Ινδία συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης.
Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣκαι ορισμοί της τριγωνομετρίας. Εξετάζει τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Η σημασία τους επεξηγείται και απεικονίζεται στο πλαίσιο της γεωμετρίας.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Αρχικά, οι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι γωνία εκφράστηκαν ως προς τον λόγο των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Το ημίτονο μιας γωνίας (sin α) είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από αυτή τη γωνία προς την υποτείνουσα.
Συνημίτονο της γωνίας (cos α) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γωνίας (t g α) - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική πλευρά.
Γωνιακή συνεφαπτομένη (c t g α) - ο λόγος της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.
Αυτοί οι ορισμοί δίνονται για οξεία γωνίαορθογώνιο τρίγωνο!
Ας δώσουμε μια εικονογράφηση.
Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία Γ, το ημίτονο της γωνίας Α είναι ίσο με τον λόγο του σκέλους BC προς την υποτείνουσα ΑΒ.
Οι ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές αυτών των συναρτήσεων από τα γνωστά μήκη των πλευρών του τριγώνου.
Σημαντικό να θυμάστε!
Το εύρος τιμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι από -1 έως 1. Με άλλα λόγια, το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουν τιμές από -1 έως 1. Το εύρος τιμών της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές.
Οι ορισμοί που δίνονται παραπάνω ισχύουν για οξείες γωνίες. Στην τριγωνομετρία, εισάγεται η έννοια της γωνίας περιστροφής, η τιμή της οποίας, σε αντίθεση με μια οξεία γωνία, δεν περιορίζεται σε 0 έως 90 μοίρες Η γωνία περιστροφής σε μοίρες ή ακτίνια εκφράζεται με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από - ∞ έως + ∞. .
Σε αυτό το πλαίσιο, μπορούμε να ορίσουμε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη γωνίας αυθαίρετου μεγέθους. Ας φανταστούμε έναν κύκλο μονάδας με το κέντρο του στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.
Το αρχικό σημείο Α με συντεταγμένες (1, 0) περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του μοναδιαίου κύκλου μέσα από μια ορισμένη γωνία α και πηγαίνει στο σημείο Α 1. Ο ορισμός δίνεται ως προς τις συντεταγμένες του σημείου A 1 (x, y).
Ημίτονο (αμαρτία) της γωνίας περιστροφής
Το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y). sin α = y
Συνημίτονο (cos) της γωνίας περιστροφής
Το συνημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). cos α = x
Εφαπτομένη (tg) της γωνίας περιστροφής
Η εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τετμημένη του. t g α = y x
Συνεφαπτομένη (ctg) της γωνίας περιστροφής
Η συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τεταγμένη της. c t g α = x y
Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αυτό είναι λογικό, γιατί η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου μετά την περιστροφή μπορούν να προσδιοριστούν σε οποιαδήποτε γωνία. Η κατάσταση είναι διαφορετική με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Η εφαπτομένη είναι απροσδιόριστη όταν ένα σημείο μετά την περιστροφή πηγαίνει σε ένα σημείο με μηδενική τετμημένη (0, 1) και (0, - 1). Σε τέτοιες περιπτώσεις, η έκφραση για την εφαπτομένη t g α = y x απλά δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Η κατάσταση είναι παρόμοια με την συνεφαπτομένη. Η διαφορά είναι ότι η συνεφαπτομένη δεν ορίζεται σε περιπτώσεις που η τεταγμένη ενός σημείου πηγαίνει στο μηδέν.
Σημαντικό να θυμάστε!
Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες α.
Η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Η συνεφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Όταν αποφασίζει πρακτικά παραδείγματαμην πείτε "ημίτονο της γωνίας περιστροφής α". Οι λέξεις «γωνία περιστροφής» απλώς παραλείπονται, υπονοώντας ότι είναι ήδη ξεκάθαρο από το πλαίσιο αυτό που συζητείται.
Αριθμοί
Τι γίνεται με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού και όχι της γωνίας περιστροφής;
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη ενός αριθμού
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμού tείναι ένας αριθμός που είναι αντίστοιχα ίσος με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε tακτίνιο.
Για παράδειγμα, το ημίτονο του αριθμού 10 π είναι ίσο με το ημίτονο της γωνίας περιστροφής 10 π rad.
Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον προσδιορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.
Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός tένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο συνδέεται με το κέντρο στην αρχή του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθορίζονται μέσω των συντεταγμένων αυτού του σημείου.
Το σημείο εκκίνησης στον κύκλο είναι το σημείο Α με συντεταγμένες (1, 0).
Θετικός αριθμός t
Αρνητικός αριθμός tαντιστοιχεί στο σημείο στο οποίο θα πάει το σημείο εκκίνησης αν κινηθεί γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα και περάσει τη διαδρομή t.
Τώρα που έχει εδραιωθεί η σύνδεση μεταξύ ενός αριθμού και ενός σημείου σε έναν κύκλο, προχωράμε στον ορισμό του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.
Sine (αμαρτία) του t
Ημίτον ενός αριθμού t- τεταγμένη σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t. αμαρτία t = y
Συνημίτονο (συν) του t
Συνημίτονο ενός αριθμού t- τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. cos t = x
Εφαπτομένη (tg) του t
Εφαπτομένη ενός αριθμού t- ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t. t g t = y x = αμαρτία t cos t
Οι τελευταίοι ορισμοί είναι σύμφωνοι και δεν έρχονται σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου. Σημειώστε τον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό t, συμπίπτει με το σημείο στο οποίο πηγαίνει το σημείο εκκίνησης μετά τη στροφή κατά γωνία tακτίνιο.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιακού και αριθμητικού ορίσματος
Κάθε τιμή της γωνίας α αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τιμήτο ημίτονο και το συνημίτονο αυτής της γωνίας. Όπως όλες οι γωνίες α εκτός από α = 90 ° + 180 ° k, η k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη τιμή εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ορίζεται για όλα τα α εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Μπορούμε να πούμε ότι τα sin α, cos α, t g α, c t g α είναι συναρτήσεις της γωνίας άλφα, ή συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.
Ομοίως, μπορούμε να μιλήσουμε για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός tαντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου ενός αριθμού t. Όλοι οι αριθμοί εκτός από π 2 + π · k, k ∈ Z, αντιστοιχούν σε μια τιμή εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, ομοίως, ορίζεται για όλους τους αριθμούς εκτός από π · k, k ∈ Z.
Βασικές συναρτήσεις της τριγωνομετρίας
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα με ποιο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης (γωνιακό όρισμα ή αριθμητικό όρισμα) έχουμε να κάνουμε.
Ας επιστρέψουμε στους ορισμούς που δόθηκαν στην αρχή και στη γωνία άλφα, η οποία βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες. Οι τριγωνομετρικοί ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι πλήρως συνεπείς με γεωμετρικούς ορισμούς, που δίνεται χρησιμοποιώντας τους λόγους διαστάσεων ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας το δείξουμε.
Ας πάρουμε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ας περιστρέψουμε το σημείο εκκίνησης Α (1, 0) κατά γωνία έως και 90 μοιρών και ας σχεδιάσουμε μια κάθετη στον άξονα της τετμημένης από το σημείο Α 1 (x, y) που προκύπτει. Στο ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει, γωνία A 1 O H ίσο με γωνίαστροφή α, το μήκος του σκέλους O H είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). Το μήκος του σκέλους απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y) και το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με ένα, αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου.
Σύμφωνα με τον ορισμό από τη γεωμετρία, το ημίτονο της γωνίας α είναι ίσο με το λόγο της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Αυτό σημαίνει ότι ο προσδιορισμός του ημιτονοειδούς μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσω του λόγου διαστάσεων ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α, με το άλφα να βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες.
Ομοίως, η αντιστοιχία των ορισμών μπορεί να παρουσιαστεί για συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Παραδείγματα:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Επιχείρημα και νόημα
Συνημίτονο οξείας γωνίας
Συνημίτονο οξείας γωνίαςμπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο - είναι ίσο με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Παράδειγμα :
1) Ας δοθεί μια γωνία και πρέπει να προσδιορίσουμε το συνημίτονο αυτής της γωνίας.
2) Ας συμπληρώσουμε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτή τη γωνία.
3) Έχοντας μετρήσει τις απαιτούμενες πλευρές, μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο.
Συνημίτονο ενός αριθμού
Ο αριθμητικός κύκλος σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε το συνημίτονο οποιουδήποτε αριθμού, αλλά συνήθως βρίσκετε το συνημίτονο των αριθμών κάπως σχετικό με: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Για παράδειγμα, για τον αριθμό \(\frac(π)(6)\) - το συνημίτονο θα είναι ίσο με \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Και για τον αριθμό \(-\)\(\frac(3π)(4)\) θα είναι ίσος με \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (περίπου \ (-0 ,71\)).
Για το συνημίτονο για άλλους αριθμούς που συναντώνται συχνά στην πράξη, βλ.
Η τιμή συνημιτόνου βρίσκεται πάντα στην περιοχή από \(-1\) έως \(1\). Σε αυτή την περίπτωση, το συνημίτονο μπορεί να υπολογιστεί για απολύτως οποιαδήποτε γωνία και αριθμό.
Συνημίτονο οποιασδήποτε γωνίας
Χάρη στον αριθμητικό κύκλο, μπορείτε να προσδιορίσετε το συνημίτονο όχι μόνο μιας οξείας γωνίας, αλλά και μιας αμβλείας, αρνητικής και ακόμη μεγαλύτερης από \(360°\) (πλήρης περιστροφή). Πώς να το κάνετε αυτό είναι πιο εύκολο να το δείτε μία φορά παρά να το ακούσετε \(100\) φορές, επομένως δείτε την εικόνα.
Τώρα μια εξήγηση: ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσδιορίσουμε το συνημίτονο της γωνίας ΚΟΑΜε μέτρο βαθμούσε \(150°\). Συνδυάζοντας το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕμε το κέντρο του κύκλου και την πλευρά Εντάξει– με τον άξονα \(x\). Μετά από αυτό, αφήστε στην άκρη \(150°\) αριστερόστροφα. Στη συνέχεια η τεταγμένη του σημείου ΕΝΑθα μας δείξει το συνημίτονο αυτής της γωνίας.
Αν μας ενδιαφέρει μια γωνία με μέτρο μοιρών, για παράδειγμα, σε \(-60°\) (γωνία KOV), κάντε το ίδιο, αλλά ρυθμίστε το \(60°\) δεξιόστροφα.
Και τέλος, η γωνία είναι μεγαλύτερη από \(360°\) (γωνία CBS) - όλα είναι παρόμοια με το ηλίθιο, μόνο αφού πάμε δεξιόστροφα μια πλήρη στροφή, πηγαίνουμε στον δεύτερο κύκλο και "βρίσκουμε την έλλειψη βαθμών". Συγκεκριμένα, στην περίπτωσή μας, η γωνία \(405°\) απεικονίζεται ως \(360° + 45°\).
Είναι εύκολο να μαντέψετε ότι για να σχεδιάσετε μια γωνία, για παράδειγμα, σε \(960°\), πρέπει να κάνετε δύο στροφές (\(360°+360°+240°\)) και για μια γωνία σε \(2640 °\) - ολόκληρο επτά.
Όπως θα μπορούσατε να αντικαταστήσετε, τόσο το συνημίτονο ενός αριθμού όσο και το συνημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας ορίζονται σχεδόν πανομοιότυπα. Αλλάζει μόνο ο τρόπος που βρίσκεται το σημείο στον κύκλο.
Σημάδια συνημίτονου κατά τέταρτα
Χρησιμοποιώντας τον άξονα συνημιτόνου (δηλαδή τον άξονα της τετμημένης, που επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στο σχήμα), είναι εύκολο να προσδιοριστούν τα σημάδια των συνημιτόνων κατά μήκος του αριθμητικού (τριγωνομετρικού) κύκλου:
Όπου οι τιμές στον άξονα είναι από \(0\) έως \(1\), το συνημίτονο θα έχει σύμβολο συν (Ι και IV τέταρτα - πράσινη περιοχή),
- όπου οι τιμές στον άξονα είναι από \(0\) έως \(-1\), το συνημίτονο θα έχει σύμβολο μείον (ΙΙ και ΙΙΙ τέταρτα - μωβ περιοχή).
Σχέση με άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
- ίδια γωνία (ή αριθμός): κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- η ίδια γωνία (ή αριθμός): με τον τύπο \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- και το ημίτονο της ίδιας γωνίας (ή αριθμού): ο τύπος \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Για άλλους τύπους που χρησιμοποιούνται πιο συχνά, βλ.
Λύση της εξίσωσης \(\cosx=a\)
Η λύση της εξίσωσης \(\cosx=a\), όπου \(a\) είναι ένας αριθμός όχι μεγαλύτερος από \(1\) και όχι μικρότερος από \(-1\), δηλ. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Εάν \(a>1\) ή \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Παράδειγμα . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Λύση:
Ας λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό κύκλο. Για αυτό:
1) Ας φτιάξουμε τους άξονες.
2) Ας φτιάξουμε έναν κύκλο.
3) Στον άξονα συνημιτόνου (άξονας \(y\)) σημειώστε το σημείο \(\frac(1)(2)\) .
4) Σχεδιάστε μια κάθετη στον άξονα του συνημιτόνου μέσω αυτού του σημείου.
5) Σημειώστε τα σημεία τομής της κάθετης και του κύκλου.
6) Ας υπογράψουμε τις τιμές αυτών των σημείων: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Ας γράψουμε όλες τις τιμές που αντιστοιχούν σε αυτά τα σημεία χρησιμοποιώντας τον τύπο \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Απάντηση: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Συνάρτηση \(y=\cos(x)\)
Αν σχεδιάσουμε τις γωνίες σε ακτίνια κατά μήκος του άξονα \(x\) και τις τιμές συνημιτόνου που αντιστοιχούν σε αυτές τις γωνίες κατά μήκος του άξονα \(y\), έχουμε το ακόλουθο γράφημα:
Αυτό το γράφημα ονομάζεται και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
Ο τομέας ορισμού είναι οποιαδήποτε τιμή του x: \(D(\cos(x))=R\)
- εύρος τιμών - από \(-1\) έως \(1\) συμπεριλαμβανομένων: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- ζυγό: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- περιοδική με περίοδο \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:
άξονας τετμημένης: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), όπου \(n ϵ Z\)
Άξονας Y: \((0;1)\)
- διαστήματα σταθερότητας πρόσημου:
η συνάρτηση είναι θετική στα διαστήματα: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), όπου \(n ϵ Z\)
η συνάρτηση είναι αρνητική στα διαστήματα: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), όπου \(n ϵ Z\)
- διαστήματα αύξησης και μείωσης:
η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα: \((π+2πn;2π+2πn)\), όπου \(n ϵ Z\)
η συνάρτηση μειώνεται στα διαστήματα: \((2πn;π+2πn)\), όπου \(n ϵ Z\)
- μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης:
η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή \(y=1\) στα σημεία \(x=2πn\), όπου \(n ϵ Z\)
η συνάρτηση έχει μια ελάχιστη τιμή \(y=-1\) στα σημεία \(x=π+2πn\), όπου \(n ϵ Z\).
Κόλποςοξεία γωνία α ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος απεναντι αποπόδι σε υπόταση.
Συμβολίζεται ως εξής: αμαρτία α.
ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία α ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Ορίζεται ως εξής: cos α.
Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία α είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
Χαρακτηρίζεται ως εξής: tg α.
Συνεφαπτομένηοξεία γωνία α είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.
Ορίζεται ως εξής: ctg α.
Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας εξαρτώνται μόνο από το μέγεθος της γωνίας.
Κανόνες:
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες σε ορθογώνιο τρίγωνο:
(α - οξεία γωνία απέναντι από το πόδι σι και δίπλα στο πόδι ένα . Πλευρά Με – υποτείνουσα. β – δεύτερη οξεία γωνία).
σι | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ένα | 1 | |
σι | 1 | |
ένα | 1 1 | |
αμαρτία α |
Καθώς αυξάνεται η οξεία γωνίααμαρτία α καιtan α αύξηση, καιcos α μειώνεται.
Για οποιαδήποτε οξεία γωνία α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = αμαρτία α
Παράδειγμα-εξήγηση:
Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC
AB = 6,
π.Χ. = 3,
γωνία Α = 30º.
Ας μάθουμε το ημίτονο της γωνίας Α και το συνημίτονο της γωνίας Β.
Λύση .
1) Αρχικά, βρίσκουμε την τιμή της γωνίας Β. Όλα είναι απλά εδώ: αφού σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι 90º, τότε γωνία Β = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Ας υπολογίσουμε την αμαρτία Α. Γνωρίζουμε ότι το ημίτονο είναι ίσο με το λόγο της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Για τη γωνία Α, η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά BC. Ετσι:
π.Χ. 3 1
αμαρτία Α = -- = - = -
AB 6 2
3) Τώρα ας υπολογίσουμε το cos B. Γνωρίζουμε ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα. Για τη γωνία Β, το διπλανό σκέλος είναι η ίδια πλευρά BC. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει και πάλι να διαιρέσουμε το BC με το AB - δηλαδή, να εκτελέσουμε τις ίδιες ενέργειες όπως κατά τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας Α:
π.Χ. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Το αποτέλεσμα είναι:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Από αυτό προκύπτει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με το συνημίτονο της άλλης οξείας γωνίας - και το αντίστροφο. Αυτό ακριβώς σημαίνουν οι δύο τύποι μας:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = αμαρτία α
Ας βεβαιωθούμε ξανά για αυτό:
1) Έστω α = 60º. Αντικαθιστώντας την τιμή του α στον ημιτονοειδές τύπο, παίρνουμε:
αμαρτία (90º – 60º) = συν 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Έστω α = 30º. Αντικαθιστώντας την τιμή του α στον συνημιτονικό τύπο, παίρνουμε:
cos (90° – 30º) = αμαρτία 30º.
cos 60° = αμαρτία 30º.
(Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την τριγωνομετρία, ανατρέξτε στην ενότητα Άλγεβρα)
Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.
Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.
Κοφτερή γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.
Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)
Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .
Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.
Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.
Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.
Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.
ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:
Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος του παρακείμενου σκέλους προς την υποτείνουσα:
Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:
Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:
Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):
Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.
Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.
Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;
Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.
Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .
Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;
Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.
Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης τριγωνομετρικές συναρτήσειςγωνία- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.
Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.
Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.
Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.
1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .
Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.
Επειδή η , .
2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα .
Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το πρόβλημα λύθηκε.
Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!
Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.
Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Υπάρχουν πολλά προβλήματα στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά που περιλαμβάνουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη εξωτερικής γωνίας τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.