μικροκαμωμένη και όμορφη απλή εργασίααπό την κατηγορία αυτών που χρησιμεύουν ως σανίδα σωτηρίας για έναν πλωτό μαθητή. Στη φύση, το νυσταγμένο βασίλειο των μέσων Ιουλίου, οπότε ήρθε η ώρα να ηρεμήσετε με ένα φορητό υπολογιστή στην παραλία. Νωρίς το πρωί, μια ηλιαχτίδα θεωρίας έπαιξε για να επικεντρωθεί σύντομα στην πρακτική, η οποία, παρά τη δηλωμένη ελαφρότητα της, περιέχει θραύσματα γυαλιού στην άμμο. Από αυτή την άποψη, συνιστώ να εξετάσετε ευσυνείδητα μερικά παραδείγματα αυτής της σελίδας. Για να λύσετε πρακτικές εργασίες, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε παράγωγακαι να κατανοήσουν το υλικό του άρθρου Διαστήματα μονοτονίας και άκρα μιας συνάρτησης.
Πρώτον, εν συντομία για το κύριο πράγμα. Σε ένα μάθημα για συνέχεια λειτουργίαςΈδωσα τον ορισμό της συνέχειας σε ένα σημείο και της συνέχειας σε ένα διάστημα. Η παραδειγματική συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα διατυπώνεται με παρόμοιο τρόπο. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα τμήμα εάν:
1) είναι συνεχής στο διάστημα ?
2) συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιάκαι στο σημείο αριστερά.
Η δεύτερη παράγραφος ασχολείται με τα λεγόμενα μονομερής συνέχειαλειτουργεί σε ένα σημείο. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τον ορισμό του, αλλά θα παραμείνω στη γραμμή που ξεκίνησε νωρίτερα:
Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το δεξί όριο συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο: 
. Είναι συνεχής στο σημείο αριστερά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το αριστερό του όριο είναι ίσο με την τιμή σε αυτό το σημείο: 
Φαντάσου το πράσινες κουκκίδες- αυτά είναι τα νύχια στα οποία στερεώνεται η μαγική τσίχλα:
Πάρτε διανοητικά την κόκκινη γραμμή στα χέρια σας. Προφανώς, όσο και αν τεντώσουμε το γράφημα πάνω-κάτω (κατά μήκος του άξονα), η συνάρτηση θα παραμείνει περιορισμένος- ένας φράκτης από πάνω, ένας φράκτης κάτω, και το προϊόν μας βόσκει σε μια μάντρα. Ετσι, μια συνάρτηση συνεχής σε ένα τμήμα οριοθετείται σε αυτό. Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης, αυτό το φαινομενικά απλό γεγονός δηλώνεται και αποδεικνύεται αυστηρά Το πρώτο θεώρημα του Weierstrass.… Πολλοί άνθρωποι ενοχλούνται που οι στοιχειώδεις δηλώσεις τεκμηριώνονται κουραστικά στα μαθηματικά, αλλά αυτό έχει σημαντικό νόημα. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος κάτοικος του μεσαίωνα τράβηξε το γράφημα στον ουρανό πέρα από τα όρια της ορατότητας, αυτό εισήχθη. Πριν από την εφεύρεση του τηλεσκοπίου, η περιορισμένη λειτουργία στο διάστημα δεν ήταν καθόλου εμφανής! Αλήθεια, πώς ξέρεις τι μας περιμένει πέρα από τον ορίζοντα; Άλλωστε, κάποτε η Γη θεωρούνταν επίπεδη, έτσι σήμερα ακόμη και η συνηθισμένη τηλεμεταφορά απαιτεί απόδειξη =)
Σύμφωνα με δεύτερο θεώρημα Weierstrass, συνεχής στο τμήμαη λειτουργία φτάνει σε αυτήν ακριβή επάνω άκρηκαι το δικό του ακριβές κάτω άκρο .
Ο αριθμός καλείται επίσης τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμακαι συμβολίζεται με , και τον αριθμό - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμασημαδεμένο .
Στην περίπτωσή μας: 
Σημείωση
: θεωρητικά, οι εγγραφές είναι κοινές 
.
Στο περίπου, υψηλότερη τιμήβρίσκεται όπου το υψηλό σημείογραφικά, και το μικρότερο - πού είναι το χαμηλότερο σημείο.
Σπουδαίος!Όπως έχει ήδη επισημανθεί στο άρθρο σχετικά άκρα της συνάρτησης, τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησηςΚαι μικρότερη τιμήλειτουργίες – ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ, Τι μέγιστη λειτουργίαΚαι ελάχιστη λειτουργία. Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός είναι το ελάχιστο της συνάρτησης, αλλά όχι η ελάχιστη τιμή.
Παρεμπιπτόντως, τι συμβαίνει εκτός τμήματος; Ναι, ακόμα και η πλημμύρα, στο πλαίσιο του εξεταζόμενου προβλήματος, αυτό δεν μας ενδιαφέρει καθόλου. Η εργασία περιλαμβάνει μόνο την εύρεση δύο αριθμών 
και τέλος!
Επιπλέον, η λύση είναι καθαρά αναλυτική, επομένως, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε!
Ο αλγόριθμος βρίσκεται στην επιφάνεια και προτείνεται από το παραπάνω σχήμα:
1) Βρείτε τις τιμές συνάρτησης στο κρίσιμα σημεία, που ανήκουν σε αυτό το τμήμα.
Πιάστε ακόμα ένα τσουρέκι: δεν χρειάζεται να το ελέγξετε επαρκής κατάστασηακραίο, επειδή, όπως μόλις αποδείχθηκε, η παρουσία ενός ελάχιστου ή μέγιστου δεν είναι ακόμη εγγυημένηποια είναι η ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή. Η συνάρτηση επίδειξης φτάνει στο μέγιστο της και, κατά τη θέληση της μοίρας, ο ίδιος αριθμός είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα . Αλλά, φυσικά, μια τέτοια σύμπτωση δεν συμβαίνει πάντα.
Έτσι, στο πρώτο βήμα, είναι πιο γρήγορος και ευκολότερος ο υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν στο τμήμα, χωρίς να ενοχλείται αν έχουν ακρότατα ή όχι.
2) Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.
3) Μεταξύ των τιμών της συνάρτησης που βρίσκονται στην 1η και 2η παράγραφο, επιλέγουμε τη μικρότερη και την πιο μεγάλος αριθμός, γράψτε την απάντηση.
Καθόμαστε στην ακτή της γαλάζιας θάλασσας και χτυπάμε τα τακούνια σε ρηχά νερά:
Παράδειγμα 1
Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα
Λύση:
1) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν σε αυτό το τμήμα:
Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεύτερο κρίσιμο σημείο:
2) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος: 
3) Λήφθηκαν «τολμηρά» αποτελέσματα με εκθετικές τιμές και λογάριθμους, γεγονός που περιπλέκει σημαντικά τη σύγκριση τους. Για το λόγο αυτό, θα οπλιστούμε με μια αριθμομηχανή ή το Excel και θα υπολογίσουμε τις κατά προσέγγιση τιμές, χωρίς να ξεχνάμε ότι: 
Τώρα όλα είναι ξεκάθαρα.
Απάντηση:
Κλασματικό-ορθολογικό παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 6
Βρείτε το μέγιστο και ελάχιστη τιμήλειτουργίες στο τμήμα
Από πρακτικής άποψης, το πιο ενδιαφέρον είναι η χρήση της παραγώγου για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Με τι συνδέεται; Μεγιστοποίηση κερδών, ελαχιστοποίηση κόστους, προσδιορισμός του βέλτιστου φορτίου εξοπλισμού... Με άλλα λόγια, σε πολλούς τομείς της ζωής, πρέπει κανείς να λύσει το πρόβλημα της βελτιστοποίησης κάποιων παραμέτρων. Και αυτό είναι το πρόβλημα της εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών της συνάρτησης.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης αναζητείται συνήθως σε κάποιο διάστημα X , που είναι είτε ολόκληρο το πεδίο της συνάρτησης είτε μέρος του τομέα. Το ίδιο το διάστημα X μπορεί να είναι ένα τμήμα γραμμής, ένα ανοιχτό διάστημα 
, ένα άπειρο διάστημα .
Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας ρητά δεδομένης συνάρτησης μιας μεταβλητής y=f(x) .
Πλοήγηση στη σελίδα.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης - ορισμοί, απεικονίσεις.
Ας σταθούμε εν συντομία στους κύριους ορισμούς.
Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
, που για οποιαδήποτε 
η ανισότητα είναι αλήθεια.
Η μικρότερη τιμή της συνάρτησηςΤο y=f(x) στο διάστημα X ονομάζεται τέτοια τιμή 
, που για οποιαδήποτε η ανισότητα είναι αλήθεια.
Αυτοί οι ορισμοί είναι διαισθητικοί: η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή που γίνεται αποδεκτή στο υπό εξέταση διάστημα με την τετμημένη.
Σταθερά σημείαείναι οι τιμές του ορίσματος στο οποίο εξαφανίζεται η παράγωγος της συνάρτησης.
Γιατί χρειαζόμαστε ακίνητα σημεία όταν βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το θεώρημα του Fermat. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έχει ένα άκρο (τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο) σε κάποιο σημείο, τότε αυτό το σημείο είναι ακίνητο. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει συχνά τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της στο διάστημα X σε ένα από τα ακίνητα σημεία από αυτό το διάστημα.
Επίσης, μια συνάρτηση μπορεί συχνά να λάβει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε σημεία όπου η πρώτη παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει και η ίδια η συνάρτηση ορίζεται.
Ας απαντήσουμε αμέσως σε μια από τις πιο συνηθισμένες ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα: «Είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης»; Όχι πάντα. Μερικές φορές τα όρια του διαστήματος X συμπίπτουν με τα όρια του τομέα της συνάρτησης ή το διάστημα X είναι άπειρο. Και ορισμένες συναρτήσεις στο άπειρο και στα όρια του πεδίου ορισμού μπορούν να λάβουν και απείρως μεγάλες και απείρως μικρές τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν μπορεί να ειπωθεί τίποτα για τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Για λόγους σαφήνειας, δίνουμε μια γραφική απεικόνιση. Δείτε τις φωτογραφίες - και πολλά θα γίνουν ξεκάθαρα.
Στο τμήμα
Στο πρώτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y ) και τις μικρότερες (min y ) τιμές σε σταθερά σημεία μέσα στο τμήμα [-6;6] .
Εξετάστε την περίπτωση που φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Αλλάξτε το τμήμα σε . Σε αυτό το παράδειγμα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται σε ένα σταθερό σημείο και η μεγαλύτερη - σε ένα σημείο με τετμημένη που αντιστοιχεί σε δεξιό περίγραμμαδιάστημα.
Στο σχήμα Νο. 3, τα οριακά σημεία του τμήματος [-3, 2] είναι οι τετμημένες των σημείων που αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Στην ανοιχτή γκάμα
Στο τέταρτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y) και τις μικρότερες (min y) τιμές σε σταθερά σημεία εντός του ανοιχτού διαστήματος (-6;6).
Στο μεσοδιάστημα, δεν μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.
Στο άπειρο
Στο παράδειγμα που φαίνεται στο έβδομο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή (max y ) σε ένα ακίνητο σημείο με την τετμημένη x=1 , και η μικρότερη τιμή (min y ) επιτυγχάνεται στο δεξιό όριο του διαστήματος. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3 .
Στο διάστημα, η συνάρτηση δεν φτάνει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή. Καθώς το x=2 τείνει προς τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο μείον το άπειρο (η ευθεία γραμμή x=2 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη), και καθώς η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3 . Μια γραφική απεικόνιση αυτού του παραδείγματος φαίνεται στο Σχήμα 8.
Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης στο τμήμα.
Γράφουμε έναν αλγόριθμο που μας επιτρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
- Βρίσκουμε τον τομέα της συνάρτησης και ελέγχουμε αν περιέχει ολόκληρο το τμήμα .
- Βρίσκουμε όλα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος και τα οποία περιέχονται στο τμήμα (συνήθως τέτοια σημεία εμφανίζονται σε συναρτήσεις με όρισμα κάτω από το πρόσημο της μονάδας και σε συναρτήσεις ισχύος με κλασματικό-ορθολογικό εκθέτη). Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε μεταβείτε στο επόμενο σημείο.
- Καθορίζουμε όλα τα ακίνητα σημεία που εμπίπτουν στο τμήμα. Για να γίνει αυτό, το εξισώνουμε με το μηδέν, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν υπάρχουν σταθερά σημεία ή κανένα από αυτά δεν εμπίπτει στο τμήμα, τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
- Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα επιλεγμένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), σε σημεία όπου δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), καθώς και στα x=a και x=b .
- Από τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης, επιλέγουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη - θα είναι οι επιθυμητές μέγιστες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης, αντίστοιχα.
Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο κατά την επίλυση ενός παραδείγματος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Παράδειγμα.
Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης
- στο τμήμα?
- στο διάστημα [-4;-1] .
Λύση.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εκτός από το μηδέν, δηλαδή . Και τα δύο τμήματα εμπίπτουν στο πεδίο ορισμού.
Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς: 
Προφανώς, η παράγωγος της συνάρτησης υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων και [-4;-1] .
Τα ακίνητα σημεία προσδιορίζονται από την εξίσωση. Η μόνη πραγματική ρίζα είναι x=2 . Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στο πρώτο τμήμα.
Για την πρώτη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε ένα ακίνητο σημείο, δηλαδή για x=1 , x=2 και x=4 : 
Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
επιτυγχάνεται στο x=1 , και η μικρότερη τιμή 
– σε x=2 .
Για τη δεύτερη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης μόνο στα άκρα του τμήματος [-4;-1] (καθώς δεν περιέχει ούτε ένα ακίνητο σημείο): 
Αφήστε τη λειτουργία y=φά(Χ)συνεχής στο τμήμα [ α, β]. Όπως είναι γνωστό, μια τέτοια συνάρτηση φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το τμήμα. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει αυτές τις τιμές είτε σε ένα εσωτερικό σημείο του τμήματος [ α, β] ή στο όριο του τμήματος.
Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [ α, β] απαραίτητη:
1) βρείτε κρίσιμα σημείασυναρτήσεις στο διάστημα ( α, β);
2) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία που βρέθηκαν.
3) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος, δηλαδή για Χ=ΕΝΑκαι x = σι;
4) από όλες τις υπολογισμένες τιμές της συνάρτησης, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.
Παράδειγμα.Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης
στο τμήμα.
Εύρεση κρίσιμων σημείων:
Αυτά τα σημεία βρίσκονται μέσα στο τμήμα. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
στο σημείο Χ= 3 και στο σημείο Χ= 0.
Διερεύνηση συνάρτησης κυρτότητας και σημείου καμπής.
Λειτουργία y = φά (Χ) που ονομάζεται κυρτόανάμεσα (ένα, σι) , εάν η γραφική παράσταση του βρίσκεται κάτω από μια εφαπτομένη που σχεδιάζεται σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος, και καλείται κυρτό προς τα κάτω (κοίλο)αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.
Το σημείο στη μετάβαση μέσω του οποίου η κυρτότητα αντικαθίσταται από την κοιλότητα ή το αντίστροφο ονομάζεται σημείο καμπής.
Αλγόριθμος για τη μελέτη της κυρτότητας και του σημείου καμπής:
1. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους, δηλαδή τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.
2. Βάλτε κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή, σπάζοντας την σε διαστήματα. Βρείτε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε κάθε διάστημα. αν , τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω, αν, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω.
3. Αν κατά τη διέλευση από ένα κρίσιμο σημείο του δεύτερου είδους αλλάζει πρόσημο και στο σημείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν, τότε το σημείο αυτό είναι η τετμημένη του σημείου καμπής. Βρείτε την τεταγμένη του.
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Διερεύνηση συνάρτησης σε ασύμπτωτες.
Ορισμός.Η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ονομάζεται ευθεία, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος σε αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν με απεριόριστη αφαίρεση του σημείου του γραφήματος από την αρχή.
Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετα, οριζόντια και κεκλιμένα.
Ορισμός.Απευθείας κλήση κάθετη ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x), αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίσο με το άπειρο, δηλαδή
όπου είναι το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, δηλαδή δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού.
Παράδειγμα.
ΡΕ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
Χ= 2 - σημείο θραύσης.
Ορισμός.Ευθεία y=ΕΝΑπου ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x)στο , εάν
Παράδειγμα.
|
Χ | |||
|
y |
Ορισμός.Ευθεία y=κx +σι (κ≠ 0) καλείται λοξή ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x)εκεί όπου
Γενικό σχήμα μελέτης συναρτήσεων και σχεδίασης.
Αλγόριθμος έρευνας συναρτήσεωνy = f(x) :
1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης ρε (y).
2. Βρείτε (αν είναι δυνατόν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων (με Χ= 0 και σε y = 0).
3. Διερεύνηση για άρτιες και περιττές συναρτήσεις ( y (‒ Χ) = y (Χ) ‒ ισοτιμία; y(‒ Χ) = ‒ y (Χ) ‒ Περιττός).
4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
5. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6. Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.
7. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας (κοίλης) και καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
8. Με βάση την έρευνα που έγινε να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Παράδειγμα.Διερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της.
1) ρε (y) =
Χ= 4 - σημείο θραύσης.
2) Πότε Χ = 0,
(0; – 5) – σημείο τομής με ω.
Στο y = 0,
3)
y(‒
Χ)=
λειτουργία γενική εικόνα(ούτε ζυγός ούτε περιττός).
4) Διερευνούμε για ασυμπτώματα.
α) κάθετη
β) οριζόντια
γ) βρείτε πλάγιες ασύμπτωτες όπου
‒λοξή ασυμπτωτική εξίσωση
5) Στην εξίσωση αυτή δεν απαιτείται να βρεθούν διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6)
Αυτά τα κρίσιμα σημεία χωρίζουν ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο διάστημα (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) και (10; +∞). Είναι βολικό να παρουσιαστούν τα ληφθέντα αποτελέσματα με τη μορφή του παρακάτω πίνακα.
Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Η ομάδα εργασιών που σχετίζονται με την παράγωγο περιλαμβάνει εργασίες - στη συνθήκη, δίνεται το γράφημα της συνάρτησης, πολλά σημεία σε αυτό το γράφημα και το ερώτημα είναι:
Σε ποιο σημείο η τιμή του παραγώγου είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη);
Ας επαναλάβουμε εν συντομία:
Η παράγωγος στο σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που διέρχεταιαυτό το σημείο στο γράφημα.
Στοο συνολικός συντελεστής της εφαπτομένης, με τη σειρά του, είναι ίσος με την εφαπτομένη της κλίσης αυτής της εφαπτομένης.
*Αυτό αναφέρεται στη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα x.
1. Σε διαστήματα αύξουσας συνάρτησης, η παράγωγος έχει θετική αξία.
2. Στα διαστήματα της μείωσής της η παράγωγος έχει αρνητική τιμή.
Σκεφτείτε το ακόλουθο σκίτσο:
Στα σημεία 1,2,4, η παράγωγος της συνάρτησης έχει αρνητική τιμή, αφού τα σημεία αυτά ανήκουν στα φθίνοντα διαστήματα.
Στα σημεία 3,5,6 η παράγωγος της συνάρτησης έχει θετική τιμή, αφού τα σημεία αυτά ανήκουν στα διαστήματα της αύξησης.
Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι ξεκάθαρα με την τιμή της παραγώγου, δηλαδή δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί τι πρόσημο έχει (θετικό ή αρνητικό) σε ένα συγκεκριμένο σημείο του γραφήματος.
Επιπλέον, αν κατασκευάσουμε νοερά εφαπτομένες σε αυτά τα σημεία, θα δούμε ότι οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία 3, 5 και 6 σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 ° και τις ευθείες που διέρχονται από τα σημεία 1, 2 και 4 σχηματίζουν με τον άξονα oX, γωνίες που κυμαίνονται από 90 o έως 180 o.
* Η σχέση είναι σαφής: οι εφαπτομένες που διέρχονται από τα σημεία που ανήκουν στα διαστήματα των αυξανόμενων συναρτήσεων σχηματίζονται με τον άξονα oX αιχμηρές γωνίες, οι εφαπτομένες που διέρχονται από τα σημεία που ανήκουν στα διαστήματα των φθίνουσες συναρτήσεις σχηματίζουν αμβλείες γωνίες με τον άξονα oX.
Τώρα το σημαντικό ερώτημα!
Πώς αλλάζει η τιμή της παραγώγου; Εξάλλου, η εφαπτομένη σε διαφορετικά σημεία του γραφήματος συνεχής λειτουργίασχηματίζει διαφορετικές γωνίες, ανάλογα από ποιο σημείο της γραφικής παράστασης διέρχεται.
* Ή, μιλώντας απλή γλώσσα, η εφαπτομένη βρίσκεται, όπως ήταν, «πιο οριζόντια» ή «πιο κατακόρυφα». Κοίτα:
Οι ευθείες γραμμές σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να κυμαίνεται από 0 έως 90 o
Οι ευθείες γραμμές σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να κυμαίνεται από 90 o έως 180 o
Αν λοιπόν υπάρχουν ερωτήσεις:
- σε ποιο από τα δεδομένα σημεία του γραφήματος η τιμή της παραγώγου έχει τη μικρότερη τιμή;
- σε ποιο από τα δεδομένα σημεία του γραφήματος η τιμή της παραγώγου έχει τη μεγαλύτερη τιμή;
τότε για την απάντηση είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε πώς μεταβάλλεται η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας της εφαπτομένης στο εύρος από 0 έως 180 o.
*Όπως ήδη αναφέρθηκε, η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα x.
Η τιμή της εφαπτομένης αλλάζει ως εξής:
Όταν η κλίση της ευθείας μεταβάλλεται από 0 o σε 90 o, η τιμή της εφαπτομένης, και επομένως της παραγώγου, αλλάζει από 0 σε +∞, αντίστοιχα.
Όταν η κλίση της ευθείας μεταβάλλεται από 90 o σε 180 o, η τιμή της εφαπτομένης, και επομένως της παραγώγου, αλλάζει ανάλογα –∞ σε 0.
Αυτό φαίνεται καθαρά από το γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης:
Με απλά λόγια:
Όταν η γωνία κλίσης της εφαπτομένης είναι από 0 o έως 90 o
Όσο πιο κοντά είναι στο 0 o, τόσο μεγαλύτερη η τιμή της παραγώγου θα είναι κοντά στο μηδέν (στη θετική πλευρά).
Όσο πιο κοντά είναι η γωνία στις 90°, τόσο περισσότερο θα αυξάνεται η τιμή της παραγώγου προς το +∞.
Όταν η γωνία κλίσης της εφαπτομένης είναι από 90 o έως 180 o
Όσο πιο κοντά είναι στο 90 o, τόσο περισσότερο η τιμή της παραγώγου θα μειωθεί προς –∞.
Όσο πιο κοντά είναι η γωνία στις 180 o, τόσο μεγαλύτερη η τιμή της παραγώγου θα είναι κοντά στο μηδέν (στην αρνητική πλευρά).
317543. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ) και σημειωμένα σημεία–2, –1, 1, 2. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η τιμή της παραγώγου είναι μεγαλύτερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.
Έχουμε τέσσερα σημεία: δύο από αυτά ανήκουν στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –1 και 1) και δύο στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –2 και 2).
Μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι στα σημεία -1 και 1 η παράγωγος έχει αρνητική τιμή, στα σημεία -2 και 2 έχει θετική τιμή. Επομένως, σε αυτή η υπόθεσηείναι απαραίτητο να αναλυθούν τα σημεία -2 και 2 και να προσδιοριστεί ποιο από αυτά θα έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ας κατασκευάσουμε εφαπτομένες που διέρχονται από τα υποδεικνυόμενα σημεία:
Η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας α και του άξονα της τετμημένης θα είναι μεγαλύτερη αξίατην εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της ευθείας b και αυτού του άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παραγώγου στο σημείο -2 θα είναι η μεγαλύτερη.
Θα απαντήσουμε επόμενη ερώτηση: σε ποιο σημείο -2, -1, 1 ή 2 η τιμή της παραγώγου είναι η μεγαλύτερη αρνητική; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.
Η παράγωγος θα έχει αρνητική τιμή στα σημεία που ανήκουν στα φθίνοντα διαστήματα, οπότε θεωρήστε τα σημεία -2 και 1. Ας κατασκευάσουμε τις εφαπτομένες που διέρχονται από αυτά:
Το βλέπουμε αυτό αμβλεία γωνίαμεταξύ της ευθείας b και του άξονα oX είναι "πιο κοντά" στο 180Ο , άρα η εφαπτομένη του θα είναι μεγαλύτερη από την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται από την ευθεία α και τον άξονα x.
Έτσι, στο σημείο x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι η μεγαλύτερη αρνητική.
317544. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ) και σημειωμένα σημεία–2, –1, 1, 4. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η τιμή της παραγώγου είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.
Έχουμε τέσσερα σημεία: δύο από αυτά ανήκουν στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –1 και 4) και δύο στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –2 και 1).
Μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι στα σημεία -1 και 4 η παράγωγος έχει αρνητική τιμή, στα σημεία -2 και 1 έχει θετική τιμή. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να αναλυθούν τα σημεία –1 και 4 και να προσδιοριστεί ποιο από αυτά θα έχει τη μικρότερη τιμή. Ας κατασκευάσουμε εφαπτομένες που διέρχονται από τα υποδεικνυόμενα σημεία:
Η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας α και του άξονα της τετμημένης θα είναι μεγαλύτερη από την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας b και αυτού του άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παραγώγου στο σημείο x = 4 θα είναι η μικρότερη.
Απάντηση: 4
Ελπίζω να μην σας «υπερφόρτωσα» με τον όγκο της γραφής. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά, πρέπει μόνο να κατανοήσει κανείς τις ιδιότητες του παραγώγου, του γεωμετρική αίσθησηκαι πώς μεταβάλλεται η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας από 0 σε 180 ο.
1. Αρχικά, προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου σε αυτά τα σημεία (+ ή -) και επιλέξτε τα απαραίτητα σημεία (ανάλογα με την ερώτηση που τίθεται).
2. Κατασκευάστε εφαπτομένες σε αυτά τα σημεία.
3. Χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση ταγγεσοειδούς, σημειώστε σχηματικά τις γωνίες και την οθόνηΑλέξανδρος.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα;
Για αυτό ακολουθούμε τον γνωστό αλγόριθμο:
1 . Βρίσκουμε συναρτήσεις ODZ.
2 . Εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης
3 . Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν
4 . Βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της και από αυτά προσδιορίζουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης:
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης , τότε η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
5 . Βρίσκουμε μέγιστο και ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
ΣΕ το μέγιστο σημείο της συνάρτησης, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "+" σε "-".
ΣΕ ελάχιστο σημείο της συνάρτησηςτο παράγωγο αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+".
6 . Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος,
- τότε συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα μέγιστα σημεία, και επιλέξτε το μεγαλύτερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
- ή συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ελάχιστα σημεία, και επιλέξτε το μικρότερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης
Ωστόσο, ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο διάστημα, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να μειωθεί σημαντικά.
Εξετάστε τη συνάρτηση 
. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό:
Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από την Open Task Bank για
1 . Εργασία B15 (#26695)
Στην τομή.
1. Η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x
Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις και η παράγωγος είναι θετική για όλες τις τιμές του x. Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξιό άκρο του διαστήματος, δηλαδή στο x=0.
Απάντηση: 5.
2 . Εργασία B15 (Αρ. 26702)
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης 
στο τμήμα.
Συνάρτηση 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Η παράγωγος είναι μηδέν στο , ωστόσο, σε αυτά τα σημεία δεν αλλάζει πρόσημο:
Επομένως, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξί άκρο του διαστήματος, στο .
Για να καταστεί σαφές γιατί η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο, μετατρέπουμε την έκφραση για την παράγωγο ως εξής:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Απάντηση: 5.
3 . Εργασία B15 (#26708)
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα .
1. Συναρτήσεις ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ας τοποθετήσουμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.
Το διάστημα περιέχει δύο αριθμούς: και
Ας βάλουμε τα σημάδια. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου στο σημείο x=0: 
. Όταν διέρχεται από τα σημεία και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.
Ας απεικονίσουμε την αλλαγή των προσημάτων της παραγώγου της συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένων:
Προφανώς, το σημείο είναι ένα ελάχιστο σημείο (όπου η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+") και για να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο και στο αριστερό άκρο του τμήματος, .