Zdravo, dragi prijatelji! Nastavljamo sa razmatranjem zadataka vezanih za proučavanje funkcija. Preporučujem ga, što je neophodno za rješavanje problema nalaženja maksimalne (minimalne) vrijednosti funkcije i pronalaženja maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije.
Problemi s logaritmima za pronalaženje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije mi. U ovom članku ćemo razmotriti tri problema u kojima se radi o pronalaženju maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcija, a data funkcija sadrži prirodni logaritam.
Teorijska poenta:
Po definiciji logaritma, izraz pod predznakom logaritma mora biti veći od nule. *Ovo se mora uzeti u obzir ne samo kod ovih zadataka, već i kod rješavanja jednačina i nejednačina koje sadrže logaritam.
Algoritam za pronalaženje maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije:
1. Izračunajte derivaciju funkcije.
2. Izjednačavamo je sa nulom i rješavamo jednačinu.
3. Dobivene korijene označavamo na brojevnoj pravoj.*Također označavamo tačke u kojima izvod ne postoji. Dobijmo intervale u kojima se funkcija povećava ili smanjuje.
4. Odredite predznake izvoda na ovim intervalima (zamjenjujući proizvoljne vrijednosti iz njih u izvod).
5. Izvodimo zaključak.
Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = ln (x–11)–5x+2
Zapišimo odmah da je x–11>0 (po definiciji logaritma), odnosno x > 11.
Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (11;∞).
Nađimo nule derivacije:
Tačka x = 11 nije uključena u domenu definicije funkcije i izvod u njoj ne postoji. Na brojevnoj osi označavamo dvije tačke 11 i 11.2. Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz intervala (11;11,2) i (11,2;+∞) u pronađeni izvod i opišemo ponašanje funkcije na slici :
Dakle, u tački x = 11.2 derivacija funkcije mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.
Odgovor: 11.2
Odlučite sami:
Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=ln (x+5)–2x+9.
Naći minimalnu tačku funkcije y=4x– ln (x+5)+8
Zapišimo odmah da je x+5>0 (po svojstvu logaritma), odnosno x>–5.
Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (– 5;+∞).
Nađimo derivaciju date funkcije:
Nađimo nule derivacije:
Tačka x = –5 nije uključen u domenu definicije funkcije i izvod u njemu ne postoji. Označite dvije tačke na brojevnoj osi–5 i –4,75. Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz intervala (–5;–4,75) i (–4,75;+∞) u pronađeni izvod i oslikamo ponašanje funkcije na slici:
Dakle, u tački x = –4,75 derivacija funkcije mijenja predznak iz negativnog u pozitivan, što znači da je ovo željena minimalna tačka.
Odgovor: – 4,75
Odlučite sami:
Pronađite minimalnu tačku funkcije y=2x–ln (x+3)+7.
Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = x 2 –34x+140lnx–10
Prema svojstvu logaritma, izraz pod njegovim predznakom je veći od nule, odnosno x > 0.
Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (0; +∞).
Nađimo derivaciju date funkcije:
Nađimo nule derivacije:
Odlučivanje kvadratna jednačina, dobijamo: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.
Tačka x = 0 nije uključen u domenu definicije funkcije i izvod u njemu ne postoji. Označavamo tri tačke na brojevnoj osi 0, 7 i 10.
Os vola je podijeljena na intervale: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz dobijenih intervala u pronađeni izvod i oslikajmo ponašanje funkcije na slici:
To je sve. Želim ti uspjeh!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
77419.Nađi maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –48x+17
Nađimo nule derivacije:
Uzmimo korijene:
Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom vrijednosti iz intervala u rezultirajuću derivaciju i opišemo ponašanje funkcije na slici:
Otkrili smo da u tački –4 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan. Dakle, tačka x=–4 je željena maksimalna tačka.
Odgovor: –4
77423. Naći maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –3x 2 +2
Nađimo derivaciju date funkcije:
Izjednačimo derivaciju sa nulom i riješimo jednačinu:
U tački x=0 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo maksimalna tačka.
77427. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=x 3 +2x 2 +x+3
Nađimo derivaciju date funkcije:
Kada izjednačimo izvod na nulu i riješimo jednačinu:
Odredimo predznake derivacije funkcije i na slici prikažemo intervale povećanja i smanjenja funkcije zamjenom vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije:
U tački x=–1 derivacija mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.
Odgovor: –1
77431. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=x 3 –5x 2 +7x–5
Nađimo derivaciju funkcije:
Nađimo nule derivacije:
3x 2 – 10x + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
U tački x = 1 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.
77435. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=7+12x–x 3
Nađimo derivaciju funkcije:
Nađimo nule derivacije:
12 – 3x 2 = 0
Rješavajući kvadratnu jednačinu dobijamo:
*Ovo su tačke mogućeg maksimuma (minimuma) funkcije.
Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo nule izvoda. Odredimo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i šematski predočimo povećanje i smanjenje na intervalima:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
U tački x = 2 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.
*Za istu funkciju, minimalna tačka je tačka x = – 2.
77439. Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=9x 2 – x 3
Nađimo derivaciju funkcije:
Nađimo nule derivacije:
18x –3x 2 = 0
3x(6 – x) = 0
Rješavajući jednačinu dobijamo:
*Ovo su tačke mogućeg maksimuma (minimuma) funkcije.
Konstruirajmo brojevnu pravu i označimo nule izvoda. Odredimo predznake derivacije zamjenom proizvoljne vrijednosti iz svakog intervala u izraz derivacije funkcije i šematski predočimo povećanje i smanjenje na intervalima:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
U tački x=6 derivacija mijenja svoj predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.
*Za istu funkciju, minimalna tačka je tačka x = 0.
Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo pratimo dobro poznati algoritam:
1 . Pronalaženje ODZ funkcija.
2 . Pronalaženje derivacije funkcije
3 . Izjednačavanje derivacije sa nulom
4 . Pronalazimo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih određujemo intervale povećanja i smanjenja funkcije:
Ako je na intervalu I derivacija funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I derivacija funkcije , tada funkcija opada u ovom intervalu.
5 . Mi nalazimo maksimalne i minimalne tačke funkcije.
IN na maksimalnoj tački funkcije, derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.
IN minimalna tačka funkcijederivat mijenja znak iz "-" u "+".
6 . Pronalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na maksimalnim tačkama, i odaberite najveći od njih ako trebate pronaći najveća vrijednost funkcije
- ili usporedite vrijednost funkcije na krajevima segmenta i na minimalnim tačkama, i odaberite najmanji od njih ako trebate pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj algoritam se može značajno smanjiti.
Razmotrite funkciju 
. Grafikon ove funkcije izgleda ovako:
Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Otvorene banke zadataka za
1 . Zadatak B15 (br. 26695)
Na segmentu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, a izvod je pozitivan za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, odnosno na x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Izvod je jednak nuli na , međutim, u ovim točkama ne mijenja predznak:
Stoga, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i uzima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za izvod na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Zadatak B15 (br. 26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijski krug.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, određujemo predznak derivacije u tački x=0: 
. Prilikom prolaska kroz tačke i, derivacija mijenja predznak.
Opišimo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očigledno, tačka je minimalna tačka (u kojoj derivacija mijenja predznak iz “-” u “+”), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, trebate uporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj tački i na lijevom kraju segmenta, .
Funkcija i proučavanje njenih karakteristika zauzima jedno od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafovi koji prikazuju ne samo njena svojstva, već i parametre derivacije ove funkcije. Hajde da razumemo ovu tešku temu. Dakle, koji je najbolji način za pronalaženje maksimalnih i minimalnih tačaka funkcije?
Funkcija: definicija
Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednostima druge veličine može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f(x 2) je kvadratna i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Recimo da je x = 9, tada će vrijednost naše funkcije biti jednaka 9 2 = 81.
Funkcije se razlikuju različite vrste: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Proučavali su ih tako izuzetni umovi kao što su Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Njihova djela služe kao uporište moderne načine proučavanje funkcija. Prije pronalaženja minimalnih tačaka, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njene derivacije.
Derivat i njegova uloga
Sve funkcije ovise o svojim varijablama, što znači da mogu promijeniti svoju vrijednost u bilo kojem trenutku. Na grafu će to biti prikazano kao kriva koja ili pada ili raste duž ordinatne ose (ovo je cijeli skup "y" brojeva duž vertikalnog grafikona). Dakle, određivanje maksimalne i minimalne tačke funkcije je upravo vezano za ove „oscilacije“. Hajde da objasnimo kakav je to odnos.
Izvod bilo koje funkcije se grafički prikazuje kako bi se proučile njene osnovne karakteristike i izračunala brzina promjene funkcije (tj. mijenja svoju vrijednost u zavisnosti od varijable "x"). U trenutku kada funkcija raste, grafik njene derivacije će se takođe povećati, ali u bilo kojoj sekundi funkcija može početi da opada, a zatim će se graf derivacije smanjiti. One tačke u kojima se derivacija menja iz predznaka minus u znak plus nazivaju se tačke minimuma. Da biste znali kako pronaći minimalne bodove, trebali biste bolje razumjeti
Kako izračunati derivat?
Definicija i funkcije podrazumijevaju nekoliko koncepata iz Općenito, sama definicija derivacije može se izraziti na sljedeći način: to je veličina koja pokazuje brzinu promjene funkcije.
Matematički način određivanja za mnoge učenike se čini komplikovanim, ali u stvarnosti je sve mnogo jednostavnije. Vi samo trebate slijediti standardni plan za pronalaženje derivata bilo koje funkcije. U nastavku opisujemo kako možete pronaći minimalnu točku funkcije bez primjene pravila diferencijacije i bez pamćenja tablice derivacija.
- Možete izračunati derivaciju funkcije koristeći graf. Da biste to učinili, morate prikazati samu funkciju, a zatim na njoj uzeti jednu tačku (tačka A na slici). Nacrtajte liniju okomito do ose apscise (tačka x 0), a u tački A nacrtajte tangentu na graf funkcije. X-osa i tangenta formiraju određeni ugao a. Da biste izračunali koliko brzo se funkcija povećava, morate izračunati tangens ovog ugla a.
- Ispada da je tangent ugla između tangente i smjera x-ose derivacija funkcije u malom području s tačkom A. Ova metoda smatra se geometrijskim načinom određivanja derivacije.
Metode za proučavanje funkcije
IN školski program U matematici je moguće pronaći minimalnu tačku funkcije na dva načina. Već smo raspravljali o prvoj metodi koristeći graf, ali kako možemo odrediti numerička vrijednost derivat? Da biste to učinili, morat ćete naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva izvoda i pomažu u pretvaranju varijabli poput “x” u brojeve. Sljedeća metoda je univerzalna, tako da se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (i geometrijske i logaritamske).
- Potrebno je izjednačiti funkciju sa funkcijom derivacije, a zatim pojednostaviti izraz koristeći pravila diferencijacije.
- U nekim slučajevima, kada je data funkcija u kojoj je varijabla "x" u djelitelju, potrebno je odrediti regiju prihvatljive vrijednosti, izuzimajući iz njega tačku “0” (iz jednostavnog razloga što u matematici nikada ne treba dijeliti sa nulom).
- Nakon toga, trebali biste transformirati izvorni oblik funkcije u jednostavnu jednačinu, izjednačavajući cijeli izraz sa nulom. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f(x) = 2x 3 +38x, tada je prema pravilima diferencijacije njen izvod jednak f"(x) = 3x 2 +1. Zatim ovaj izraz transformiramo u jednadžba sljedećeg oblika: 3x 2 +1 = 0 .
- Nakon rješavanja jednadžbe i pronalaženja “x” tačaka, treba ih nacrtati na x-osi i odrediti da li je izvod u ovim presjecima između označenih tačaka pozitivan ili negativan. Nakon oznake, postat će jasno u kojem trenutku funkcija počinje opadati, odnosno mijenja predznak od minusa do suprotnog. Na taj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.
Pravila diferencijacije
Najosnovnija komponenta u proučavanju funkcije i njenog derivata je poznavanje pravila diferencijacije. Samo uz njihovu pomoć možete transformirati glomazne izraze i velike složene funkcije. Hajde da se upoznamo s njima, ima ih dosta, ali su svi vrlo jednostavni zbog prirodnih svojstava i stepena i logaritamskih funkcija.
- Derivat bilo koje konstante jednak je nuli (f(x) = 0). To jest, derivacija f(x) = x 5 + x - 160 će imati sljedeći oblik: f" (x) = 5x 4 +1.
- Derivat zbira dva člana: (f+w)" = f"w + fw".
- Derivat logaritamska funkcija: (log a d)" = d/ln a*d. Ova formula se primjenjuje na sve vrste logaritama.
- Derivat snage: (x n)"= n*x n-1. Na primjer, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
- Izvod sinusoidne funkcije: (sin a)" = cos a. Ako je sin ugla a 0,5, onda je njegov izvod √3/2.
Ekstremne tačke
Već smo raspravljali o tome kako pronaći minimalne točke, ali postoji koncept i funkcije. Ako minimum označava one tačke u kojima se funkcija mijenja iz znaka minus u plus, tada su tačke maksimuma one točke na x-osi u kojima se derivacija funkcije mijenja iz plusa u suprotno - minus.
Maksimalne točke možete pronaći pomoću gore opisane metode, ali treba uzeti u obzir da one označavaju ona područja u kojima funkcija počinje opadati, odnosno derivacija će biti manja od nule.
U matematici je uobičajeno generalizirati oba koncepta, zamjenjujući ih frazom "tačke ekstrema". Kada zadatak od vas traži da odredite ove tačke, to znači da morate izračunati derivaciju date funkcije i pronaći minimalne i maksimalne tačke.