Paano kunin ang ugat ng 15. Pagkuha ng square root ng mga numero

Ano ang square root?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Ang konsepto na ito ay napaka-simple. Natural, sasabihin ko. Sinisikap ng mga mathematician na makahanap ng reaksyon para sa bawat aksyon. May karagdagan - mayroon ding pagbabawas. May multiplication - may division din. May squaring... Kaya meron din pagkuha parisukat na ugat! Iyon lang. Ang pagkilos na ito ( parisukat na ugat) sa matematika ay ipinahiwatig ng icon na ito:

Ang icon mismo ay tinatawag isang magandang salita "radikal".

Paano i-extract ang ugat? Mas magandang tingnan mga halimbawa.

Ano ang square root ng 9? Anong numerong squared ang magbibigay sa atin ng 9? Ang 3 squared ay nagbibigay sa amin ng 9! Yung:

Ngunit ano ang square root ng zero? Walang problema! Anong numerong squared ang ginagawa ng zero? Oo, nagbibigay ito ng zero! Ibig sabihin:

Nakuha ko, ano ang square root? Pagkatapos ay isaalang-alang namin mga halimbawa:

Mga sagot (magulo): 6; 1; 4; 9; 5.

Nagpasya? Talaga, gaano ba kadali iyon?!

Ngunit... Ano ang ginagawa ng isang tao kapag nakakita siya ng ilang gawain na may mga ugat?

Nagsisimulang malungkot ang isang tao... Hindi siya naniniwala sa pagiging simple at magaan ng kanyang mga ugat. Kahit na parang alam niya ano ang square root...

Ito ay dahil binalewala ng tao ang ilang mahahalagang punto kapag pinag-aaralan ang mga ugat. Pagkatapos ang mga usong ito ay naghihiganti ng malupit sa mga pagsusulit at pagsusulit...

Point one. Kailangan mong kilalanin ang mga ugat sa pamamagitan ng paningin!

Ano ang square root ng 49? pito? Tama! Paano mo nalaman na pito na? Kuwadrado ang pito at nakakuha ng 49? Tama! Mangyaring tandaan na kunin ang ugat sa 49 kailangan naming gawin ang reverse operation - square 7! At siguraduhing hindi kami makaligtaan. O maaaring hindi nila ...

Ito ang hirap pagkuha ng ugat. Square anumang numero na wala mga espesyal na problema. I-multiply ang isang numero nang mag-isa gamit ang isang column - iyon lang. Ngunit para sa pagkuha ng ugat Walang ganoong simple at hindi ligtas na teknolohiya. Kailangan natin pulutin sagutin at suriin kung ito ay tama sa pamamagitan ng pag-square nito.

Ang masalimuot na proseso ng creative na ito - pagpili ng sagot - ay lubos na pinasimple kung ikaw Tandaan mga parisukat ng mga sikat na numero. Parang multiplication table. Kung, sabihin nating, kailangan mong i-multiply ang 4 sa 6, hindi ka magdagdag ng apat na 6 na beses, hindi ba? Agad na lumabas ang sagot na 24. Bagama't, hindi lahat ay nakakakuha nito, oo...

Libre at matagumpay na gawain na may mga ugat ay sapat na upang malaman ang mga parisukat ng mga numero mula 1 hanggang 20. Bukod dito doon At pabalik. Yung. dapat ay madali mong bigkasin ang pareho, sabihin nating, 11 squared at ang square root ng 121. Upang makamit ang memorization na ito, mayroong dalawang paraan. Ang una ay upang matutunan ang talahanayan ng mga parisukat. Malaking tulong ito sa paglutas ng mga halimbawa. Ang pangalawa ay ang paglutas ng higit pang mga halimbawa. Ito ay lubos na makatutulong sa iyo na matandaan ang talahanayan ng mga parisukat.

At walang mga calculator! Para sa mga layunin ng pagsubok lamang. Kung hindi, babagal ka nang walang awa sa panahon ng pagsusulit...

Kaya, ano ang square root At kung paano kunin ang mga ugat- Sa tingin ko ito ay malinaw. Ngayon alamin natin kung ANO ang maaari nating makuha sa kanila.

Ikalawang punto. Root, hindi kita kilala!

Anong mga numero ang maaari mong kunin ang mga square root? Oo, halos alinman sa kanila. Mas madaling maunawaan kung saan ito galing ito ay ipinagbabawal kunin ang mga ito.

Subukan nating kalkulahin ang ugat na ito:

Para magawa ito, kailangan nating pumili ng numero na ibibigay sa atin ng squared -4. Pumili kami.

Ano, hindi kasya? 2 2 ay nagbibigay ng +4. (-2) 2 ang nagbibigay muli ng +4! Iyon lang... Walang mga numero na, kapag naka-square, ay magbibigay sa atin ng negatibong numero! Kahit na alam ko ang mga numerong ito. Ngunit hindi ko sasabihin sa iyo). Mag-college ka at malalaman mo sa sarili mo.

Ang parehong kuwento ay mangyayari sa anumang negatibong numero. Kaya ang konklusyon:

Isang expression kung saan mayroong negatibong numero sa ilalim ng square root sign - walang saysay! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon. Ito ay ipinagbabawal tulad ng paghahati sa zero. Tandaan ang katotohanang ito nang matatag! O sa madaling salita:

Mga parisukat na ugat ng mga negatibong numero hindi maalis!

Ngunit sa lahat ng iba pa, ito ay posible. Halimbawa, ito ay lubos na posible upang makalkula

Sa unang tingin, ito ay napakahirap. Pagpili ng mga fraction at pag-square sa mga ito... Huwag mag-alala. Kapag naunawaan natin ang mga katangian ng mga ugat, ang mga ganitong halimbawa ay mababawasan sa parehong talahanayan ng mga parisukat. Ang buhay ay magiging mas madali!

Okay, fractions. Ngunit nakakatagpo pa rin kami ng mga expression tulad ng:

ayos lang. Lahat pare-pareho. Ang square root ng dalawa ay ang bilang na, kapag squared, ay nagbibigay sa atin ng dalawa. Tanging ang bilang na ito ay ganap na hindi pantay... Narito ito:

Ang kawili-wili ay ang fraction na ito ay hindi nagtatapos... Ang mga naturang numero ay tinatawag na hindi makatwiran. Sa square roots ito ang pinakakaraniwang bagay. Sa pamamagitan ng paraan, ito ang dahilan kung bakit tinatawag ang mga expression na may mga ugat hindi makatwiran. Malinaw na ang pagsulat ng gayong walang katapusang fraction sa lahat ng oras ay hindi maginhawa. Samakatuwid, sa halip na isang walang katapusang fraction, iniiwan nila ito nang ganito:

Kung, kapag nilulutas ang isang halimbawa, napupunta ka sa isang bagay na hindi maaaring makuha, tulad ng:

tapos iiwan natin ng ganun. Ito ang magiging sagot.

Kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng mga icon

Siyempre, kung ang ugat ng numero ay kinuha makinis, dapat mong gawin ito. Ang sagot sa gawain ay nasa anyo, halimbawa

Isang kumpletong sagot.

At, siyempre, kailangan mong malaman ang tinatayang mga halaga mula sa memorya:

Ang kaalamang ito ay lubos na nakakatulong upang masuri ang sitwasyon sa mga kumplikadong gawain.

Ikatlong punto. Ang pinaka tuso.

Ang pangunahing pagkalito sa pagtatrabaho sa mga ugat ay sanhi ng puntong ito. Siya ang nagbibigay ng tiwala sa sarili niyang kakayahan... Haharapin natin ng maayos ang puntong ito!

Una, kunin natin muli ang square root ng apat sa kanila. Naabala na ba kita sa ugat na ito?) Di bale, ngayon ay magiging kawili-wili!

Anong numero ang ginagawa ng 4 square? Well, dalawa, dalawa - Nakarinig ako ng mga hindi nasisiyahang sagot...

Tama. Dalawa. Ngunit din minus dalawa magbibigay ng 4 squared... Samantala, ang sagot

tama at ang sagot

matinding pagkakamali. Ganito.

Kaya ano ang deal?

Sa katunayan, (-2) 2 = 4. At sa ilalim ng kahulugan ng square root ng apat minus dalawa medyo angkop... Ito rin ang square root ng apat.

Ngunit! SA kurso sa paaralan Karaniwang isinasaalang-alang ng mga mathematician ang square roots mga non-negative na numero lang! Ibig sabihin, zero at lahat ay positibo. Kahit na ang isang espesyal na termino ay naimbento: mula sa numero A- Ito hindi negatibo bilang na ang parisukat ay A. Ang mga negatibong resulta kapag kumukuha ng arithmetic square root ay itinatapon lang. Sa paaralan, ang lahat ay square roots - aritmetika. Bagaman hindi ito partikular na binanggit.

Okay, understandable naman. Mas mabuti pa na huwag nang mag-abala sa mga negatibong resulta... Hindi pa ito kaguluhan.

Nagsisimula ang pagkalito kapag nilulutas ang mga quadratic equation. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na equation.

Ang equation ay simple, isinusulat namin ang sagot (tulad ng itinuro):

Ang sagot na ito (talagang tama, sa pamamagitan ng paraan) ay isang pinaikling bersyon lamang dalawa mga sagot:

Tigil tigil! Sa itaas ko lang isinulat na ang square root ay isang numero Laging hindi negatibo! At narito ang isa sa mga sagot - negatibo! Disorder. Ito ang una (ngunit hindi ang huling) problema na nagdudulot ng kawalan ng tiwala sa mga ugat... Solusyonan natin ang problemang ito. Isulat natin ang mga sagot (para lamang sa pag-unawa!) tulad nito:

Hindi binabago ng mga panaklong ang kakanyahan ng sagot. Pinaghiwalay ko lang ng bracket palatandaan mula sa ugat. Ngayon ay malinaw mong makikita na ang ugat mismo (sa mga bracket) ay hindi negatibong numero pa rin! At ang mga palatandaan ay resulta ng paglutas ng equation. Pagkatapos ng lahat, kapag nilulutas ang anumang equation dapat nating isulat Lahat Xs na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay ng tamang resulta. Ang ugat ng lima (positibo!) na may parehong plus at minus ay umaangkop sa aming equation.

Ganito. kung ikaw kunin lang ang square root mula sa kahit ano, ikaw Laging nakuha mo isang hindi negatibo resulta. Halimbawa:

Dahil ito- arithmetic square root.

Ngunit kung magdesisyon ka ng isang bagay quadratic equation, uri:

yun Laging iyon pala dalawa sagot (may plus at minus):

Dahil ito ang solusyon sa equation.

pag-asa, ano ang square root Malinaw na ang iyong mga punto. Ngayon ay nananatili upang malaman kung ano ang maaaring gawin sa mga ugat, kung ano ang kanilang mga katangian. At ano ang mga punto at patibong... sorry, mga bato!)

Ang lahat ng ito ay nasa mga sumusunod na aralin.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang pagkalkula (o pag-extract) ng square root ay maaaring gawin sa maraming paraan, ngunit lahat ng mga ito ay hindi masyadong simple. Mas madali, siyempre, gumamit ng calculator. Ngunit kung hindi ito posible (o gusto mong maunawaan ang kakanyahan ng square root), maaari kong ipaalam sa iyo na pumunta sa sumusunod na paraan, ang algorithm nito ay ang mga sumusunod:

Kung wala kang lakas, pagnanais o pasensya para sa napakahabang mga kalkulasyon, maaari kang gumamit ng magaspang na pagpili; ang kalamangan nito ay ito ay hindi kapani-paniwalang mabilis at, na may wastong katalinuhan, tumpak. Halimbawa:

Noong nasa paaralan ako (early 60s), tinuruan kaming kumuha ng square root ng kahit anong numero. Ang pamamaraan ay simple, panlabas na katulad ng mahabang dibisyon, ngunit upang ipakita ito dito ay mangangailangan ng kalahating oras ng oras at 4-5 libong mga character ng teksto. Ngunit bakit kailangan mo ito? May phone ka or other gadget, nmn may calculator. Mayroong calculator sa anumang computer. Sa personal, mas gusto kong gawin ang mga ganitong uri ng kalkulasyon sa Excel.

Kadalasan sa paaralan kailangan mong makahanap ng square roots magkaibang numero. Ngunit kung nakasanayan nating patuloy na gumamit ng calculator para dito, kung gayon sa mga pagsusulit ay hindi ito magiging posible, kaya kailangan nating matutunang hanapin ang ugat nang walang tulong ng isang calculator. At sa prinsipyo posible itong gawin.

Ang algorithm ay ang mga sumusunod:

Tingnan muna ang huling digit ng iyong numero:

Halimbawa,

Ngayon kailangan nating matukoy ang humigit-kumulang na halaga para sa ugat ng pinakakaliwang pangkat

Sa kaso kapag ang isang numero ay may higit sa dalawang grupo, kailangan mong hanapin ang ugat tulad nito:

Ngunit ang susunod na numero ay dapat na ang pinakamalaking, kailangan mong piliin ito tulad nito:

Ngayon kailangan nating bumuo ng bagong numero A sa pamamagitan ng pagdaragdag ng sumusunod na grupo sa natitira na nakuha sa itaas.

Sa aming mga halimbawa:

Mas mataas ang column, at kapag higit sa labinlimang character ang kailangan, kadalasang nagpapahinga ang mga computer at teleponong may mga calculator. Ito ay nananatiling suriin kung ang paglalarawan ng pamamaraan ay kukuha ng 4-5 libong mga character.

Maglagay ng anumang numero, mula sa decimal point binibilang namin ang mga pares ng mga digit sa kanan at kaliwa

Halimbawa, 1234567890.098765432100

Ang isang pares ng mga digit ay parang dalawang-digit na numero. Ang ugat ng dalawang-digit ay isang-digit. Pumili kami ng isang digit na ang parisukat ay mas mababa sa unang pares ng mga digit. Sa aming kaso ito ay 3.

Tulad ng paghahati sa isang hanay, isinusulat namin ang parisukat na ito sa ilalim ng unang pares at ibawas ito mula sa unang pares. Ang resulta ay may salungguhit. 12 - 9 = 3. Idagdag ang pangalawang pares ng mga numero sa pagkakaibang ito (ito ay magiging 334). Sa kaliwa ng bilang ng mga berms, ang dobleng halaga ng bahaging iyon ng resulta na natagpuan na ay pupunan ng isang numero (mayroon tayong 2 * 6 = 6), na kapag pinarami ng hindi nakuhang numero, ito ay hindi lalampas sa bilang na may pangalawang pares ng mga digit. Nakuha namin na ang nahanap na figure ay lima. Muli nating nahanap ang pagkakaiba (9), idagdag ang susunod na pares ng mga digit upang makakuha ng 956, muling isulat ang dobleng bahagi ng resulta (70), muling dagdagan ito ng nais na digit, at iba pa hanggang sa huminto ito. O sa kinakailangang katumpakan ng mga kalkulasyon.

Una, upang makalkula ang square root, kailangan mong malaman nang mabuti ang multiplication table. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ay 25 (5 by 5 = 25) at iba pa. Kung kukuha ka ng mas kumplikadong mga numero, maaari mong gamitin ang talahanayang ito, kung saan ang pahalang na linya ay mga yunit at ang patayong linya ay sampu.



Kumain magandang paraan kung paano hanapin ang ugat ng isang numero nang walang tulong ng mga calculator. Upang gawin ito kakailanganin mo ng isang ruler at isang compass. Ang punto ay makikita mo sa ruler ang halaga na nasa ilalim ng iyong ugat. Halimbawa, maglagay ng marka sa tabi ng 9. Ang iyong gawain ay hatiin ang numerong ito sa pantay na bilang ng mga segment, iyon ay, sa dalawang linya na 4.5 cm bawat isa, at sa isang pantay na segment. Madaling hulaan na sa huli ay makakakuha ka ng 3 segment na 3 sentimetro bawat isa.

Ang pamamaraan ay hindi madali para sa malalaking numero hindi gagana, ngunit maaari itong kalkulahin nang walang calculator.

nang walang tulong ng isang calculator, ang paraan ng pagkuha ng square root ay itinuro sa panahon ng Sobyet sa paaralan noong ika-8 baitang.

Upang gawin ito kailangan mong masira multi-digit na numero mula kanan hanggang kaliwa sa gilid ay may 2 digit :

Ang unang digit ng ugat ay ang buong ugat ng kaliwang bahagi, in sa kasong ito, 5.

Ibawas namin ang 5 squared mula sa 31, 31-25 = 6 at idagdag ang susunod na bahagi sa anim, mayroon kaming 678.

Ang susunod na digit x ay itinugma sa dobleng lima upang

10x*x ang maximum, ngunit mas mababa sa 678.

x=6, dahil 106*6 = 636,

Ngayon kinakalkula namin ang 678 - 636 = 42 at idagdag ang susunod na gilid 92, mayroon kaming 4292.

Muli ay hinahanap namin ang maximum na x tulad ng 112x*x lt; 4292.

Sagot: ang ugat ay 563

Maaari kang magpatuloy sa ganitong paraan hangga't kinakailangan.

Sa ilang mga kaso, maaari mong subukang i-decompose ang radical number sa dalawa o higit pang square factor.

Kapaki-pakinabang din na tandaan ang talahanayan (o hindi bababa sa ilang bahagi nito) - ang mga parisukat ng mga natural na numero mula 10 hanggang 99.



Iminumungkahi ko ang isang bersyon na naimbento ko para sa pagkuha ng square root ng isang column. Ito ay naiiba sa karaniwang kilala, maliban sa pagpili ng mga numero. Pero sa huli kong nalaman, ang pamamaraang ito umiral na ng maraming taon bago ako isinilang. Inilarawan ito ng dakilang Isaac Newton sa kanyang aklat na General Arithmetic o isang libro tungkol sa arithmetic synthesis at analysis. Kaya dito ipinakita ko ang aking pananaw at katwiran para sa algorithm ng pamamaraan ng Newton. Hindi na kailangang kabisaduhin ang algorithm. Maaari mo lamang gamitin ang diagram sa figure bilang isang visual aid kung kinakailangan.







Sa tulong ng mga talahanayan, hindi mo makalkula, ngunit hanapin ang mga square root ng mga numero na nasa mga talahanayan. Ang pinakamadaling paraan upang makalkula hindi lamang ang mga square root, kundi pati na rin ang iba pang mga degree, ay sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagtatantya. Halimbawa, kinakalkula namin ang square root ng 10739, palitan ang huling tatlong digit ng mga zero at i-extract ang root ng 10000, nakakakuha kami ng 100 na may disadvantage, kaya kinuha namin ang numero 102, square it, nakakuha kami ng 10404, na mas mababa din. kaysa sa ibinigay, kumukuha kami ng 103*103=10609 muli na may disadvantage, kumukuha kami ng 103.5*103.5=10712.25, kunin pa ang 103.6*103.6=10732, kunin ang 103.7*103.7=10753.69 na, na sobra na. Maaari mong kunin ang ugat ng 10739 upang maging tinatayang katumbas ng 103.6. Mas tiyak 10739=103.629... . . Katulad nito, kinakalkula namin ang ugat ng kubo, una mula sa 10000 nakakakuha kami ng humigit-kumulang 25 * 25 * 25 = 15625, na labis, kumukuha kami ng 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, kumukuha kami ng higit pa sa 22.06 * 22.06 * 22.06 = 10735 , na napakalapit sa ibinigay.

Mas mabuti ang isang engineering - isa na may isang pindutan na may root sign: "√". Karaniwan, upang kunin ang ugat, sapat na upang i-type ang numero mismo, at pagkatapos ay pindutin ang pindutan: "√".

Sa pinaka-modernong mga mobile phone Mayroong isang "calculator" na application na may isang root extraction function. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng ugat ng isang numero gamit ang isang calculator ng telepono ay katulad ng nasa itaas.
Halimbawa.
Hanapin mula sa 2.
I-on ang calculator (kung naka-off ito) at sunud-sunod na pindutin ang mga button na may larawan ng dalawa at root (“2” “√”). Bilang isang patakaran, hindi mo kailangang pindutin ang "=" key. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang numero tulad ng 1.4142 (ang bilang ng mga digit at "pag-ikot" ay depende sa lalim ng bit at mga setting ng calculator).
Tandaan: Kapag sinusubukang hanapin ang ugat, kadalasang nagbibigay ng error ang calculator.

Kung mayroon kang access sa isang computer, kung gayon ang paghahanap ng ugat ng isang numero ay napakadali.
1. Maaari mong gamitin ang Calculator application, na magagamit sa halos anumang computer. Para sa Windows XP, maaaring ilunsad ang program na ito tulad ng sumusunod:
"Start" - "All Programs" - "Accessories" - "Calculator".
Mas mainam na itakda ang view sa "normal". Sa pamamagitan ng paraan, hindi tulad ng isang tunay na calculator, ang pindutan para sa pagkuha ng ugat ay minarkahan ng "sqrt" at hindi "√".

Kung hindi ka makapunta sa calculator gamit ang ipinahiwatig na paraan, maaari mong patakbuhin ang karaniwang calculator "manual":
"Start" - "Run" - "calc".
2. Upang mahanap ang ugat ng isang numero, maaari mo ring gamitin ang ilang program na naka-install sa iyong computer. Bilang karagdagan, ang programa ay may sariling built-in na calculator.

Halimbawa, para sa MS Excel application, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:
Ilunsad ang MS Excel.

Isinulat namin sa anumang cell ang numero kung saan kailangan naming kunin ang ugat.

Ilipat ang cell pointer sa ibang lokasyon

Pindutin ang pindutan ng pagpili ng function (fx)

Piliin ang function na "ROOT".

Tinukoy namin ang isang cell na may numero bilang argumento sa function

I-click ang "OK" o "Enter"
Advantage ang pamamaraang ito na ngayon ay sapat na upang ipasok ang anumang halaga sa cell na may numero, tulad ng sa function, .
Tandaan.
Mayroong ilang iba pang, mas kakaibang paraan upang mahanap ang ugat ng isang numero. Halimbawa, sa isang "sulok", gamit ang isang slide rule o mga talahanayan ng Bradis. Gayunpaman, ang mga pamamaraang ito ay hindi tinalakay sa artikulong ito dahil sa kanilang pagiging kumplikado at praktikal na kawalan ng silbi.

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

• paano hanapin ang ugat ng isang numero

Minsan may mga sitwasyon kung kailan kailangan mong magsagawa ng ilang uri ng mga kalkulasyon sa matematika, kabilang ang pagkuha ng mga square root at mas malalaking ugat ng isang numero. Ang "n" na ugat ng "a" ay ang numero nth degree na ang bilang na "a".

Mga tagubilin

Upang mahanap ang ugat na "n" ng , gawin ang sumusunod.

Sa iyong computer, i-click ang "Start" - "All Programs" - "Accessories". Pagkatapos ay pumunta sa subsection na "Serbisyo" at piliin ang "Calculator". Magagawa mo ito nang manu-mano: I-click ang Start, i-type ang "calk" sa Run box, at pindutin ang Enter. Magbubukas. Upang kunin ang square root ng isang numero, ilagay ito sa calculator at pindutin ang button na may label na "sqrt". Kukunin ng calculator ang pangalawang degree na ugat, na tinatawag na square root, mula sa inilagay na numero.

Upang kunin ang isang ugat na ang antas ay mas mataas kaysa sa pangalawa, kailangan mong gumamit ng isa pang uri ng calculator. Upang gawin ito, sa interface ng calculator, i-click ang button na "View" at piliin ang linyang "Engineering" o "Scientific" mula sa menu. Ang ganitong uri ng calculator ay may kailangang kalkulahin ika-isang ugat function ng degree.

Upang kunin ang ugat ng ikatlong antas (), sa isang calculator ng "engineering", ipasok ang nais na numero at pindutin ang pindutan ng "3√". Upang makakuha ng ugat na ang degree ay mas mataas sa 3, ipasok ang nais na numero, pindutin ang pindutan na may icon na "y√x" at pagkatapos ay ilagay ang numero - ang exponent. Pagkatapos nito, pindutin ang equal sign (ang “=” button) at makukuha mo ang ninanais na ugat.

Kung ang iyong calculator ay walang function na "y√x", ang mga sumusunod.

Upang kunin ang cube root, ipasok ang radikal na expression, pagkatapos ay maglagay ng check mark sa check box, na matatagpuan sa tabi ng inskripsyon na "Inv". Sa pagkilos na ito, ibabalik mo ang mga pag-andar ng mga pindutan ng calculator, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pag-click sa pindutan ng kubo, kukunin mo ang ugat ng kubo. Sa pindutan na ikaw

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema mula sa isang kurso sa matematika at pisika, ang mga mag-aaral at mga mag-aaral ay madalas na nahaharap sa pangangailangan na kunin ang mga ugat ng ikalawa, ikatlo o ika-1 na antas. Siyempre, sa siglo teknolohiya ng impormasyon Hindi magiging mahirap na lutasin ang problemang ito gamit ang isang calculator. Gayunpaman, ang mga sitwasyon ay lumitaw kapag imposibleng gamitin ang electronic assistant.

Halimbawa, maraming mga pagsusulit ang hindi nagpapahintulot sa iyo na magdala ng electronics. Bilang karagdagan, maaaring wala kang calculator sa kamay. Sa ganitong mga kaso, kapaki-pakinabang na malaman ang hindi bababa sa ilang mga pamamaraan para sa manu-manong pagkalkula ng mga radikal.

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang makalkula ang mga ugat ay ang gamit ang isang espesyal na talahanayan. Ano ito at paano gamitin ito ng tama?

Gamit ang talahanayan, mahahanap mo ang parisukat ng anumang numero mula 10 hanggang 99. Ang mga hilera ng talahanayan ay naglalaman ng mga halaga ng sampu, at ang mga haligi ay naglalaman ng mga halaga ng mga yunit. Ang cell sa intersection ng isang row at isang column ay naglalaman ng parisukat ng isang dalawang-digit na numero. Upang makalkula ang parisukat ng 63, kailangan mong makahanap ng isang hilera na may halaga na 6 at isang haligi na may halaga na 3. Sa intersection ay makakahanap kami ng isang cell na may numerong 3969.

Dahil ang pag-extract ng ugat ay ang kabaligtaran na operasyon ng squaring, upang maisagawa ang pagkilos na ito kailangan mong gawin ang kabaligtaran: hanapin muna ang cell na may numero na ang radikal na nais mong kalkulahin, pagkatapos ay gamitin ang mga halaga ng haligi at hilera upang matukoy ang sagot . Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng square root ng 169.

Nakahanap kami ng isang cell na may ganitong numero sa talahanayan, pahalang na tinutukoy namin ang sampu - 1, patayo na hinahanap namin ang mga yunit - 3. Sagot: √169 = 13.

Katulad nito, maaari mong kalkulahin ang cube at nth roots gamit ang naaangkop na mga talahanayan.

Ang bentahe ng pamamaraan ay ang pagiging simple nito at ang kawalan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang mga kawalan ay halata: ang pamamaraan ay maaari lamang gamitin para sa isang limitadong hanay ng mga numero (ang numero kung saan ang ugat ay matatagpuan ay dapat na nasa hanay mula 100 hanggang 9801). Bilang karagdagan, hindi ito gagana kung ang ibinigay na numero ay wala sa talahanayan.

Prime factorization

Kung ang talahanayan ng mga parisukat ay wala sa kamay o ito ay naging imposible upang mahanap ang ugat sa tulong nito, maaari mong subukan i-factor ang bilang sa ilalim ng ugat sa prime factor. Ang mga pangunahing salik ay ang mga maaaring ganap (nang walang natitira) na mahahati lamang ng kanilang mga sarili o ng isa. Ang mga halimbawa ay maaaring 2, 3, 5, 7, 11, 13, atbp.

Tingnan natin ang pagkalkula ng ugat gamit ang √576 bilang isang halimbawa. Hatiin natin ito sa pangunahing mga kadahilanan. Nakukuha namin ang sumusunod na resulta: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Gamit ang pangunahing katangian ng mga ugat √a² = a, aalisin natin ang mga ugat at parisukat, at pagkatapos ay kalkulahin ang sagot: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ano ang gagawin kung ang alinman sa mga multiplier ay walang sariling pares? Halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng √54. Pagkatapos ng factorization, makukuha natin ang resulta sa sumusunod na anyo: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Ang hindi naaalis na bahagi ay maaaring iwan sa ilalim ng ugat. Para sa karamihan ng mga problema sa geometry at algebra, ang sagot na ito ay mabibilang bilang panghuling sagot. Ngunit kung may pangangailangan na kalkulahin ang mga tinatayang halaga, maaari mong gamitin ang mga pamamaraan na tatalakayin sa ibaba.

Pamamaraan ni Heron

Ano ang gagawin kapag kailangan mong malaman ng humigit-kumulang kung ano ang katumbas ng nakuhang ugat (kung imposibleng makakuha ng integer na halaga)? Ang isang mabilis at medyo tumpak na resulta ay nakuha sa pamamagitan ng paggamit ng Heron method. Ang kakanyahan nito ay ang paggamit ng tinatayang formula:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kung saan ang R ay ang numero na ang ugat ay kailangang kalkulahin, ang a ay ang pinakamalapit na numero na ang halaga ng ugat ay kilala.

Tingnan natin kung paano gumagana ang pamamaraan sa pagsasanay at suriin kung gaano ito katumpak. Kalkulahin natin kung ano ang katumbas ng √111. Ang numerong pinakamalapit sa 111, na kilala ang ugat, ay 121. Kaya, R = 111, a = 121. Ipalit ang mga halaga sa formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ngayon suriin natin ang katumpakan ng pamamaraan:

10.55² = 111.3025.

Ang error ng pamamaraan ay humigit-kumulang 0.3. Kung ang katumpakan ng pamamaraan ay kailangang pagbutihin, maaari mong ulitin ang naunang inilarawan na mga hakbang:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Suriin natin ang katumpakan ng pagkalkula:

10.536² = 111.0073.

Matapos muling ilapat ang formula, ang error ay naging ganap na hindi gaanong mahalaga.

Pagkalkula ng ugat sa pamamagitan ng mahabang paghahati

Ang paraan ng paghahanap ng square root value ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga nauna. Gayunpaman, ito ang pinakatumpak sa iba pang paraan ng pagkalkula nang walang calculator.

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang square root na tumpak sa 4 na decimal na lugar. Suriin natin ang algorithm ng pagkalkula gamit ang halimbawa ng isang di-makatwirang numero 1308.1912.

1. Hatiin ang sheet ng papel sa 2 bahagi na may patayong linya, at pagkatapos ay gumuhit ng isa pang linya mula dito sa kanan, bahagyang nasa ibaba ng tuktok na gilid. Isulat natin ang numero sa kaliwang bahagi, hatiin ito sa mga grupo ng 2 digit, lumipat sa kanan at kaliwang bahagi mula sa kuwit. Ang pinakaunang digit sa kaliwa ay maaaring walang pares. Kung ang tanda ay nawawala sa kanang bahagi ng numero, dapat kang magdagdag ng 0. Sa aming kaso, ang resulta ay 13 08.19 12.
2. Piliin natin ang pinakamahusay malaking numero, ang parisukat nito ay magiging mas mababa sa o katumbas ng unang pangkat ng mga digit. Sa aming kaso ito ay 3. Isulat natin ito sa kanang tuktok; 3 ang unang digit ng resulta. Sa kanang ibaba ay ipinapahiwatig namin ang 3 × 3 = 9; ito ay kakailanganin para sa mga susunod na kalkulasyon. Mula sa 13 sa hanay ay ibawas natin ang 9, nakakakuha tayo ng natitirang 4.
3. Italaga natin ang susunod na pares ng mga numero sa natitirang 4; nakakakuha tayo ng 408.
4. I-multiply ang numero sa kanang itaas ng 2 at isulat ito sa kanang ibaba, idagdag ang _ x _ = dito. Nakukuha namin ang 6_ x _ =.
5. Sa halip na mga gitling, kailangan mong palitan ang parehong numero, mas mababa sa o katumbas ng 408. Nakukuha namin ang 66 × 6 = 396. Nagsusulat kami ng 6 mula sa kanang tuktok, dahil ito ang pangalawang digit ng resulta. Ibawas ang 396 sa 408, makakakuha tayo ng 12.
6. Ulitin natin ang hakbang 3-6. Dahil ang mga digit na inilipat pababa ay nasa fractional na bahagi ng numero, kinakailangang maglagay ng decimal point sa kanang tuktok pagkatapos ng 6. Isulat natin ang dobleng resulta na may mga gitling: 72_ x _ =. Ang angkop na numero ay 1: 721×1 = 721. Isulat natin ito bilang sagot. Ibawas natin ang 1219 - 721 = 498.
7. Gawin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na ibinigay sa nakaraang talata nang tatlong beses upang makuha ang kinakailangang bilang ng mga decimal na lugar. Kung walang sapat na mga character para sa karagdagang mga kalkulasyon, kailangan mong magdagdag ng dalawang zero sa kasalukuyang numero sa kaliwa.

Bilang resulta, nakuha namin ang sagot: √1308.1912 ≈ 36.1689. Kung susuriin mo ang aksyon gamit ang isang calculator, maaari mong tiyakin na ang lahat ng mga palatandaan ay natukoy nang tama.

Pagkalkula ng bitwise square root

Ang pamamaraan ay lubos na tumpak. Bilang karagdagan, ito ay lubos na nauunawaan at hindi nangangailangan ng pagsasaulo ng mga formula o isang kumplikadong algorithm ng mga aksyon, dahil ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang piliin ang tamang resulta.

Kunin natin ang ugat ng numerong 781. Tingnan natin ang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon nang detalyado.

1. Alamin natin kung aling digit ng square root value ang magiging pinakamahalaga. Upang gawin ito, parisukat natin ang 0, 10, 100, 1000, atbp. at alamin kung alin sa kanila ang radikal na numero. Nakukuha namin iyon 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Piliin natin ang halaga ng sampu. Upang gawin ito, maghahalinhinan tayong magtataas sa kapangyarihan ng 10, 20, ..., 90 hanggang makakuha tayo ng numerong mas malaki sa 781. Para sa ating kaso, makakakuha tayo ng 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Ang ang halaga ng resulta n ay nasa loob ng 20< n <30.
3. Katulad ng nakaraang hakbang, ang halaga ng digit ng mga unit ay pinili. I-square natin ang 21.22, ..., 29 nang paisa-isa: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 284² = 7.< n < 28.
4. Ang bawat kasunod na digit (sampu, daan, atbp.) ay kinakalkula sa parehong paraan tulad ng ipinapakita sa itaas. Isinasagawa ang mga kalkulasyon hanggang sa makamit ang kinakailangang katumpakan.

Katotohanan 1.
\(\bullet\) Kunin natin ang ilang di-negatibong numero \(a\) (iyon ay, \(a\geqslant 0\) ). Pagkatapos (aritmetika) parisukat na ugat mula sa numerong \(a\) ay tinatawag na tulad ng isang hindi-negatibong numero \(b\) , kapag naka-squad makuha namin ang numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(katulad ng )\quad a=b^2\] Mula sa kahulugan ay sinusundan iyon \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ang mga paghihigpit na ito ay isang mahalagang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang square root at dapat tandaan!
Tandaan na ang anumang numero kapag naka-squad ay nagbibigay ng hindi negatibong resulta. Ibig sabihin, \(100^2=10000\geqslant 0\) at \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ano ang katumbas ng \(\sqrt(25)\)? Alam namin na \(5^2=25\) at \((-5)^2=25\) . Dahil sa depinisyon ay kailangan nating maghanap ng hindi negatibong numero, kung gayon ang \(-5\) ay hindi angkop, samakatuwid, \(\sqrt(25)=5\) (dahil \(25=5^2\) ).
Ang paghahanap ng halaga ng \(\sqrt a\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng numero \(a\) , at ang numerong \(a\) ay tinatawag na radical expression.
\(\bullet\) Batay sa kahulugan, expression \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), atbp. walang saysay.

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na pagkalkula, magiging kapaki-pakinabang na matutunan ang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero mula \(1\) hanggang \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 at \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 at \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 at \quad17^2=289\\ 8^2=64 at \quad18^2=324\\ 9^2=81 at \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Katotohanan 3.
Anong mga operasyon ang maaari mong gawin sa mga square root?
\(\bullet\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga square root ay HINDI PANTAY sa square root ng kabuuan o pagkakaiba, ibig sabihin \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sa simula ay dapat mong hanapin ang mga halaga ng \(\sqrt(25)\) at \(\ sqrt(49)\ ) at pagkatapos ay tiklupin ang mga ito. Kaya naman, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kung ang mga halaga \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) ay hindi matagpuan kapag idinaragdag ang \(\sqrt a+\sqrt b\), kung gayon ang gayong expression ay hindi na babaguhin pa at nananatili sa dati. Halimbawa, sa kabuuan na \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) makikita natin ang \(\sqrt(49)\) ay \(7\) , ngunit ang \(\sqrt 2\) ay hindi maaaring mabago sa any way, Kaya naman \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sa kasamaang palad, ang expression na ito ay hindi maaaring pasimplehin pa\(\bullet\) Ang produkto/quotient ng square roots ay katumbas ng square root ng product/quotient, iyon ay \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sa kondisyon na ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay may katuturan)
Halimbawa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Gamit ang mga katangiang ito, madaling mahanap ang mga square root ng malalaking numero sa pamamagitan ng factoring sa kanila.
Tingnan natin ang isang halimbawa. Hanapin natin ang \(\sqrt(44100)\) . Dahil \(44100:100=441\) , pagkatapos \(44100=100\cdot 441\) . Ayon sa criterion ng divisibility, ang numerong \(441\) ay nahahati sa \(9\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at nahahati sa 9), samakatuwid, \(441:9=49\), ibig sabihin, \(441=9\ cdot 49\) .
Kaya nakuha namin: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ipakita natin kung paano maglagay ng mga numero sa ilalim ng square root sign gamit ang halimbawa ng expression na \(5\sqrt2\) (maikling notasyon para sa expression na \(5\cdot \sqrt2\)). Dahil \(5=\sqrt(25)\) , pagkatapos \ Tandaan din na, halimbawa,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bakit ganon? Ipaliwanag natin gamit ang halimbawa 1). Tulad ng naiintindihan mo na, hindi namin maaring baguhin ang numerong \(\sqrt2\). Isipin natin na ang \(\sqrt2\) ay ilang numero \(a\) . Alinsunod dito, ang expression na \(\sqrt2+3\sqrt2\) ay hindi hihigit sa \(a+3a\) (isang numero \(a\) kasama ang tatlo pa sa parehong mga numero \(a\)). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na mga numero \(a\) , iyon ay, \(4\sqrt2\) .

Katotohanan 4.
\(\bullet\) Madalas nilang sabihin na "hindi mo ma-extract ang ugat" kapag hindi mo maalis ang sign na \(\sqrt () \ \) ng ugat (radical) kapag hinahanap ang halaga ng isang numero . Halimbawa, maaari mong kunin ang ugat ng numero \(16\) dahil \(16=4^2\) , samakatuwid \(\sqrt(16)=4\) . Ngunit imposibleng kunin ang ugat ng numerong \(3\), iyon ay, upang mahanap ang \(\sqrt3\), dahil walang numero na ibibigay ng squared \(3\) .
Ang mga naturang numero (o mga expression na may ganitong mga numero) ay hindi makatwiran. Halimbawa, mga numero \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) at iba pa. ay hindi makatwiran.
Hindi rin makatwiran ang mga numerong \(\pi\) (ang bilang na "pi", humigit-kumulang katumbas ng \(3.14\)), \(e\) (ang numerong ito ay tinatawag na numero ng Euler, ito ay tinatayang katumbas ng \(2.7 \)) atbp.
\(\bullet\) Pakitandaan na ang anumang numero ay magiging makatwiran o hindi makatwiran. At sama-sama ang lahat ng rational at lahat ng irrational na numero ay bumubuo ng isang set na tinatawag isang hanay ng mga tunay na numero. Ang set na ito ay tinutukoy ng titik \(\mathbb(R)\) .
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga numero na kasalukuyang alam natin ay tinatawag na tunay na mga numero.

Katotohanan 5.
\(\bullet\) Ang modulus ng isang tunay na numero \(a\) ay isang di-negatibong numero \(|a|\) na katumbas ng distansya mula sa puntong \(a\) hanggang \(0\) sa totoong linya. Halimbawa, ang \(|3|\) at \(|-3|\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntong \(3\) at \(-3\) hanggang \(0\) ay ang pareho at katumbas ng \(3 \) .
\(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon \(|a|=a\) .
Halimbawa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, kung gayon \(|a|=-a\) .
Halimbawa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sinasabi nila na para sa mga negatibong numero ang modulus ay "kumakain" ng minus, habang ang mga positibong numero, pati na rin ang numerong \(0\), ay hindi nababago ng modulus.
PERO Nalalapat lang ang panuntunang ito sa mga numero. Kung sa ilalim ng iyong modulus sign ay may hindi alam na \(x\) (o iba pang hindi alam), halimbawa, \(|x|\) , na hindi namin alam kung ito ay positibo, zero o negatibo, pagkatapos ay alisin ng modulus hindi natin kaya. Sa kasong ito, ang expression na ito ay nananatiling pareho: \(|x|\) . \(\bullet\) Ang mga sumusunod na formula ay mayroong: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\malaki((\sqrt(a))^2=a)), \text( ibinigay ) a\geqslant 0\] Kadalasan ang sumusunod na pagkakamali ay nagagawa: sinasabi nila na ang \(\sqrt(a^2)\) at \((\sqrt a)^2\) ay iisa at pareho. Ito ay totoo lamang kung ang \(a\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, ito ay mali. Ito ay sapat na upang isaalang-alang ang halimbawang ito. Kunin natin sa halip na \(a\) ang numero \(-1\) . Pagkatapos \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ngunit ang expression na \((\sqrt (-1))^2\) ay wala sa lahat (pagkatapos ng lahat, imposibleng gamitin ang root sign ilagay ang mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang \(\sqrt(a^2)\) ay hindi katumbas ng \((\sqrt a)^2\) ! Halimbawa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dahil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dahil \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pagkatapos ay \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ang expression na \(2n\) ay nagsasaad ng kahit na numero)
Iyon ay, kapag kinuha ang ugat ng isang numero na sa ilang antas, ang antas na ito ay hinahati.
Halimbawa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tandaan na kung hindi ibinibigay ang module, lumalabas na ang ugat ng numero ay katumbas ng \(-25\ ); ngunit natatandaan namin, na sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat ay hindi ito maaaring mangyari: kapag kumukuha ng ugat, dapat tayong palaging makakuha ng positibong numero o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (dahil ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano ihambing ang dalawang square roots?
\(\bullet\) Para sa square roots ito ay totoo: kung \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aHalimbawa:
1) ihambing ang \(\sqrt(50)\) at \(6\sqrt2\) . Una, ibahin natin ang pangalawang expression sa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kaya, mula noong \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng anong mga integer ay matatagpuan ang \(\sqrt(50)\)?
Dahil \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , at \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ihambing natin ang \(\sqrt 2-1\) at \(0.5\) . Ipagpalagay natin na \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((magdagdag ng isa sa magkabilang panig))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pag-squaring sa magkabilang panig))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Nakikita natin na nakakuha tayo ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang aming palagay ay mali at \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makakaapekto sa tanda nito. Ang pagpaparami/paghahati sa magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero ay hindi rin makakaapekto sa tanda nito, ngunit ang pag-multiply/paghahati sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Maaari mong parisukat ang magkabilang panig ng isang equation/hindi pagkakapantay-pantay LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa maaari mong parisukat ang magkabilang panig, sa hindi pagkakapantay-pantay \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Dapat tandaan na \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\] Ang pag-alam sa tinatayang kahulugan ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kapag naghahambing ng mga numero! \(\bullet\) Upang ma-extract ang ugat (kung maaari itong makuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy kung aling "daan-daan" ito matatagpuan, pagkatapos - sa pagitan ng " sampu", at pagkatapos ay tukuyin ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin natin \(\sqrt(28224)\) . Alam namin na \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), atbp. Tandaan na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(10\,000\) at \(40\,000\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(100\) at \(200\) .
Ngayon, alamin natin kung aling "sampu" ang matatagpuan sa aming numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \(120\) at \(130\)). Mula rin sa talahanayan ng mga parisukat alam natin na \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atbp., pagkatapos ay \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kaya nakikita natin na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(160^2\) at \(170^2\) . Samakatuwid, ang numerong \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(160\) at \(170\) .
Subukan nating matukoy ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga single-digit na numero, kapag naka-squad, ibigay ang \(4\) sa dulo? Ito ay ang \(2^2\) at \(8^2\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin natin ang \(162^2\) at \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Samakatuwid, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Upang sapat na malutas ang Unified State Exam sa matematika, kailangan mo munang pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala sa iyo sa maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang tingin, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Unified State Exam sa matematika ay ipinakita sa isang madali at naiintindihan na paraan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng pagsasanay ay sa katunayan isang mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa Unified State Exam sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika hindi lamang para sa mga kumukuha ng Unified State Exam?

1. Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman sa mundo sa kanilang paligid. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
2. Dahil ito ay nagpapaunlad ng katalinuhan. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa Unified State Exam sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang problema, natututo ang isang tao na mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang may kakayahan at malinaw. Nagkakaroon siya ng kakayahang mag-analisa, mag-generalize, at gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at presentasyon ng mga materyal na pang-edukasyon.