Linear function ay isang function ng form
x-argument (independent variable),
y-function (dependent variable),
Ang k at b ay ilang pare-parehong numero
Ang graph ng isang linear function ay tuwid.
Upang lumikha ng isang graph ito ay sapat na dalawa puntos, dahil sa pamamagitan ng dalawang puntos maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya at, bukod dito, isa lamang.
Kung k˃0, ang graph ay matatagpuan sa 1st at 3rd coordinate quarter. Kung k˂0, kung gayon ang graph ay matatagpuan sa 2nd at 4th coordinate quarter.
Ang bilang na k ay tinatawag na slope ng tuwid na graph ng function na y(x)=kx+b. Kung k˃0, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y(x)= kx+b sa positibong direksyon Ox ay talamak; kung k˂0, kung gayon ang anggulong ito ay malabo.
Ipinapakita ng coefficient b ang punto ng intersection ng graph na may op-amp axis (0; b).
y(x)=k∙x-- espesyal na kaso tipikal na pag-andar ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Ang graph ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan, kaya ang isang punto ay sapat na upang mabuo ang graph na ito.
Graph ng Linear Function
Kung saan ang coefficient k = 3, samakatuwid
Ang graph ng function ay tataas at magkakaroon matalim na sulok may axis Oh kasi coefficient k ay may plus sign.
OOF linear function
OPF ng isang linear function
Maliban sa kaso kung saan
Gayundin isang linear function ng form
Ay isang function pangkalahatang pananaw.
B) Kung k=0; b≠0,
Sa kasong ito, ang graph ay isang tuwid na linya na kahanay sa axis ng Ox at dumadaan sa punto (0; b).
B) Kung k≠0; b≠0, pagkatapos ang linear function ay may anyo na y(x)=k∙x+b.
Halimbawa 1 . I-graph ang function na y(x)= -2x+5
Halimbawa 2 . Hanapin natin ang mga zero ng function na y=3x+1, y=0;
– mga zero ng function.
Sagot: o (;0)
Halimbawa 3 . Tukuyin ang halaga ng function na y=-x+3 para sa x=1 at x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Sagot: y_1=2; y_2=4.
Halimbawa 4 . Tukuyin ang mga coordinate ng kanilang intersection point o patunayan na ang mga graph ay hindi nagsalubong. Hayaang ibigay ang mga function na y 1 =10∙x-8 at y 2 =-3∙x+5.
Kung ang mga graph ng mga function ay nagsalubong, kung gayon ang mga halaga ng mga function sa puntong ito ay pantay
Palitan ang x=1, pagkatapos ay y 1 (1)=10∙1-8=2.
Magkomento. Maaari mo ring palitan ang resultang value ng argument sa function na y 2 =-3∙x+5, pagkatapos ay makukuha natin ang parehong sagot y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ordinate ng intersection point.
(1;2) - ang punto ng intersection ng mga graph ng mga function na y=10x-8 at y=-3x+5.
Sagot: (1;2)
Halimbawa 5 .
Bumuo ng mga graph ng mga function na y 1 (x)= x+3 at y 2 (x)= x-1.
Makikita mo na ang coefficient k=1 para sa parehong mga function.
Mula sa itaas ay sumusunod na kung ang mga coefficient ng isang linear function ay pantay, kung gayon ang kanilang mga graph sa coordinate system ay matatagpuan parallel.
Halimbawa 6 .
Bumuo tayo ng dalawang graph ng function.
Ang unang graph ay may formula
Ang pangalawang graph ay may formula
SA sa kasong ito Sa harap natin ay isang graph ng dalawang linya na nagsasalubong sa punto (0;4). Nangangahulugan ito na ang coefficient b, na responsable para sa taas ng pagtaas ng graph sa itaas ng axis ng Ox, kung x = 0. Nangangahulugan ito na maaari nating ipagpalagay na ang b coefficient ng parehong mga graph ay katumbas ng 4.
Mga editor: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Ang video lesson na ito para sa isang kurso sa matematika ay magpapakilala sa iyo sa mga katangian ng function na y = k/x, sa kondisyon na ang halaga ng k ay negatibo.
Sa aming nakaraang mga aralin sa video, nakilala mo ang function na y katumbas ng k na hinati sa x, ang graph nito, na tinatawag na "hyperbola," pati na rin ang mga katangian ng graph sa positibong halaga k. Ipakikilala sa iyo ng video na ito ang mga katangian ng coefficient k kapag negatibo ang halaga nito, ibig sabihin mas mababa sa zero.
Ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay, kung saan ang y ay katumbas ng koepisyent k na hinati sa independiyenteng variable na x, sa kondisyon na ang koepisyent ay negatibo, ay ipinakita sa video.
Kapag inilalarawan ang mga katangian ng function na ito, una sa lahat, umaasa sila sa geometric na modelo nito - isang hyperbola.
Ari-arian 1. Lugar mga kahulugan ng function binubuo ng lahat ng mga numero, ngunit sumusunod na ang x ay hindi maaaring katumbas ng 0, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.
Property 2. Ang y ay mas malaki sa zero sa kondisyon na ang x ay mas mababa sa zero; at, ayon dito, sa kabaligtaran, ang y ay mas mababa sa zero sa isang halaga kapag ang x ay nasa hanay na mas malaki kaysa sa zero at hanggang sa infinity.
Property 3. Tumataas ang function sa mga pagitan mula minus infinity hanggang zero at mula zero hanggang plus infinity: (-∞, 0) at (0, +∞).
Property 4. Ang function ay walang hanggan, dahil wala itong mga paghihigpit alinman mula sa ibaba o mula sa itaas.
Property 5. Ang function ay walang pinakamaliit o pinakamalaking halaga, dahil ito ay walang katapusan.
Property 6. Ang function ay tuloy-tuloy sa mga pagitan mula minus infinity hanggang zero (-∞, 0) at mula zero hanggang infinity (0, +∞), at dapat tandaan na ito ay sumasailalim sa discontinuity sa kaso kapag ang x ay may halaga ng zero.
Property 7. Ang hanay ng mga function ay ang pagsasama-sama ng dalawang bukas na sinag mula minus infinity hanggang zero (-∞, 0) at mula zero hanggang plus infinity (0, +∞).
Ang sumusunod na video ay nagbibigay ng mga halimbawa. Titingnan namin ang ilan lamang sa mga ito; inirerekomenda namin na panoorin mo ang iba pa sa mga ibinigay na video.
Kaya, tingnan natin ang unang halimbawa. Kinakailangang lutasin ang sumusunod na equation: 4/x = 5-x.
Para sa higit na kaginhawahan, hinahati namin ang solusyon ng pagkakapantay-pantay na ito sa ilang yugto:
1) Una, isinusulat natin ang ating pagkakapantay-pantay sa anyo ng dalawang magkahiwalay na equation: y = 4/x at y = 5-x/
2) Pagkatapos, tulad ng ipinapakita sa video, inilalagay namin ang function na y = 4/x, na isang hyperbola.
3) Susunod, bumuo kami ng isang graph ng isang linear function. Sa kasong ito, ito ay isang tuwid na linya na maaaring itayo mula sa dalawang punto. Ang mga graph ay ipinakita sa aming materyal na video.
4) Batay sa mismong pagguhit, tinutukoy namin ang mga punto kung saan nagsa-intersect ang pareho naming mga graph, parehong hyperbola at ang tuwid na linya. Dapat pansinin na sila ay bumalandra sa mga puntong A (1; 4) at B (4; 1). Ang pagsuri sa mga resulta na nakuha ay nagpapakita na ang mga ito ay tama. Ang equation na ito ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat 1 at 4.
Ang sumusunod na halimbawa, na tinalakay sa aralin sa video, ay may sumusunod na gawain: bumuo at magbasa ng graph ng function na y = f(x), kung saan f(x) = -x2, kung ang variable x ay nasa hanay mula sa mas malaki kaysa o katumbas ng -2 at sa mas malaki kaysa sa o katumbas ng 1, at y = -1/x, kung ang x ay mas malaki sa isa.
Ang solusyon ay isinasagawa sa maraming yugto. Una, bumuo kami ng graph ng function na y = -x2, na tinatawag na "parabola," at piliin ang bahagi nito sa lugar mula - 2 hanggang 1. Upang tingnan ang graph, sumangguni sa video.
Ang susunod na hakbang ay ang pagbuo ng hyperbola para sa equality y = -1/x, at piliin ang bahagi nito sa open ray mula isa hanggang infinity. Susunod, inilipat namin ang parehong mga graph sa parehong coordinate system. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng graph ng function na y = f(x).
Susunod na dapat mong basahin ang graph ng function na y = f(x):
1. Ang domain ng kahulugan ng function ay isang ray sa lugar mula -2 hanggang +∞.
2. y ay katumbas ng zero sa kaso kapag ang x ay katumbas ng zero; y ay mas mababa sa zero kapag x ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng -2 at mas mababa sa zero, at gayundin kapag x ay mas malaki kaysa sa zero.
3. Ang function ay tumataas sa lugar mula -2 hanggang 0 at sa lugar mula 1 hanggang infinity, ang graph ay nagpapakita ng pagbaba sa lugar mula sa zero hanggang isa.
4. Ang isang function na may ibinigay na mga parameter ay bounded parehong mula sa ibaba at mula sa itaas.
5. Ang pinakamaliit na halaga ng variable na y ay - 4 at nakakamit kapag ang halaga ng x ay nasa antas - 2; at ang pinakamalaking halaga ng y ay 0, na nakakamit kapag ang halaga ng x ay katumbas ng zero.
6. Sa isang ibinigay na domain ng kahulugan, ang aming function ay tuloy-tuloy.
7. Ang lugar ng halaga ng function ay matatagpuan sa pagitan mula -4 hanggang 0.
8. Ang function ay convex paitaas sa segment mula -2 hanggang 1 at sa ray mula 1 hanggang infinity.
Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa mga natitirang halimbawa sa pamamagitan ng panonood sa ipinakitang video.
>>Mathematics: Linear function at ang graph nito
Linear function at ang graph nito
Ang algorithm para sa pagbuo ng isang graph ng equation ax + by + c = 0, na aming binuo sa § 28, para sa lahat ng kalinawan at katiyakan nito, hindi talaga gusto ng mga mathematician. Karaniwan silang naghahabol tungkol sa unang dalawang hakbang ng algorithm. Bakit, sabi nila, lutasin ang equation ng dalawang beses para sa variable na y: una ax1 + by + c = O, pagkatapos ax1 + by + c = O? Hindi ba mas mahusay na agad na ipahayag ang y mula sa equation na ax + by + c = 0, kung gayon magiging mas madaling magsagawa ng mga kalkulasyon (at, pinaka-mahalaga, mas mabilis)? Suriin natin. Pag-isipan muna natin ang equation 3x - 2y + 6 = 0 (tingnan ang halimbawa 2 mula sa § 28).
Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga partikular na halaga ng x, madaling kalkulahin ang mga katumbas na halaga ng y. Halimbawa, kapag x = 0 nakukuha namin ang y = 3; sa x = -2 mayroon kaming y = 0; para sa x = 2 mayroon kaming y = 6; para sa x = 4 makuha natin: y = 9.
Nakikita mo kung gaano kadali at kabilis nahanap ang mga puntos (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) at (4; 9), na na-highlight sa halimbawa 2 mula sa § 28.
Sa parehong paraan, ang equation na bx - 2y = 0 (tingnan ang halimbawa 4 mula sa § 28) ay maaaring ibahin sa anyo na 2y = 16 -3x. karagdagang y = 2.5x; hindi mahirap hanapin ang mga puntos (0; 0) at (2; 5) na nagbibigay-kasiyahan sa equation na ito.
Sa wakas, ang equation na 3x + 2y - 16 = 0 mula sa parehong halimbawa ay maaaring mabago sa anyo na 2y = 16 -3x at pagkatapos ay hindi mahirap hanapin ang mga puntos (0; 0) at (2; 5) na nagbibigay-kasiyahan dito.
Isaalang-alang natin ngayon ang mga pagbabagong ito sa pangkalahatang anyo.
Kaya, ang linear equation (1) na may dalawang variable na x at y ay maaaring palaging mabago sa anyo
y = kx + m,(2) kung saan ang k,m ay mga numero (coefficients), at .
Ito pribadong view ang linear equation ay tatawaging linear function.
Gamit ang pagkakapantay-pantay (2), madaling tukuyin ang isang tiyak na halaga ng x at kalkulahin ang katumbas na halaga ng y. Hayaan, halimbawa,
y = 2x + 3. Pagkatapos:
kung x = 0, pagkatapos ay y = 3;
kung x = 1, pagkatapos ay y = 5;
kung x = -1, kung gayon y = 1;
kung x = 3, pagkatapos ay y = 9, atbp.
Karaniwan ang mga resultang ito ay ipinakita sa form mga mesa:
Ang mga halaga ng y mula sa pangalawang hilera ng talahanayan ay tinatawag na mga halaga ng linear function na y = 2x + 3, ayon sa pagkakabanggit, sa mga puntos na x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.
Sa equation (1) ang mga variable na hnu ay pantay, ngunit sa equation (2) sila ay hindi: nagtatalaga kami ng mga tiyak na halaga sa isa sa mga ito - variable x, habang ang halaga ng variable y ay nakasalalay sa napiling halaga ng variable x. Samakatuwid, karaniwan nating sinasabi na ang x ay ang independiyenteng variable (o argumento), y ang dependent variable.
Pakitandaan: ang isang linear na function ay espesyal na uri linear equation na may dalawang variable. Equation graph y - kx + m, tulad ng anumang linear equation na may dalawang variable, ay isang tuwid na linya - tinatawag din itong graph ng linear function na y = kx + m. Kaya, ang sumusunod na teorama ay wasto.
Halimbawa 1. Bumuo ng graph ng linear function na y = 2x + 3.
Solusyon. Gumawa tayo ng talahanayan:
Sa pangalawang sitwasyon, ang independiyenteng variable na x, na, tulad ng sa unang sitwasyon, ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga araw, ay maaari lamang kunin ang mga halaga 1, 2, 3, ..., 16. Sa katunayan, kung x = 16, pagkatapos ay gamit ang formula na y = 500 - 30x makikita natin ang : y = 500 - 30 16 = 20. Nangangahulugan ito na sa ika-17 araw na ay hindi na posible na alisin ang 30 tonelada ng karbon mula sa bodega, dahil sa araw na ito ay 20 na lamang. tonelada ay mananatili sa bodega at ang proseso ng pagtanggal ng karbon ay kailangang ihinto. Samakatuwid, ang pinong modelo ng matematika ng pangalawang sitwasyon ay ganito ang hitsura:
y = 500 - ZOD:, kung saan ang x = 1, 2, 3, .... 16.
Sa ikatlong sitwasyon, independent variable Ang x ay maaaring theoretically kumuha ng anumang hindi-negatibong halaga (halimbawa, x value = 0, x value = 2, x value = 3.5, atbp.), ngunit halos hindi makakalakad ang isang turista sa patuloy na bilis nang walang tulog at pahinga para sa anumang halaga ng oras. Kaya kailangan naming gumawa ng mga makatwirang paghihigpit sa x, sabihin nating 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).
Alalahanin na ang geometric na modelo ng hindi mahigpit na double inequality 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .
Sumang-ayon tayo na isulat sa halip na ang pariralang "x ay nabibilang sa set X" (basahin ang: "elemento x ay kabilang sa set X", e ang tanda ng pagiging miyembro). Tulad ng nakikita mo, ang aming kakilala sa wikang matematika ay patuloy na nagpapatuloy.
Kung ang linear function na y = kx + m ay dapat isaalang-alang hindi para sa lahat ng mga halaga ng x, ngunit para lamang sa mga halaga ng x mula sa isang tiyak na numerical interval X, pagkatapos ay isulat nila:
Halimbawa 2. I-graph ang isang linear na function:
Solusyon, a) Gumawa tayo ng talahanayan para sa linear function na y = 2x + 1
Bumuo tayo ng mga puntos (-3; 7) at (2; -3) sa xOy coordinate plane at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga ito. Ito ay isang graph ng equation na y = -2x: + 1. Susunod, pumili ng isang segment na nagkokonekta sa mga itinayong punto (Larawan 38). Ang segment na ito ay ang graph ng linear function na y = -2x+1, wherexe [-3, 2].
Karaniwan nilang sinasabi ito: nag-plot kami ng linear function na y = - 2x + 1 sa segment [- 3, 2].
b) Paano naiiba ang halimbawang ito sa nauna? Ang linear function ay pareho (y = -2x + 1), na nangangahulugan na ang parehong tuwid na linya ay nagsisilbing graph nito. Ngunit - mag-ingat! - sa oras na ito x e (-3, 2), i.e. ang mga halaga x = -3 at x = 2 ay hindi isinasaalang-alang, hindi sila kabilang sa pagitan (- 3, 2). Paano namin minarkahan ang mga dulo ng isang pagitan sa isang linya ng coordinate? Banayad na bilog (Larawan 39), napag-usapan namin ito sa § 26. Katulad nito, ang mga puntos (- 3; 7) at B; - 3) ay kailangang mamarkahan sa drawing na may mga light circle. Ito ay magpapaalala sa atin na ang mga punto lamang ng linyang y = - 2x + 1 ang kinukuha na nasa pagitan ng mga puntong minarkahan ng mga bilog (Larawan 40). Gayunpaman, kung minsan sa mga ganitong kaso ay gumagamit sila ng mga arrow sa halip na mga light circle (Larawan 41). Ito ay hindi pangunahing, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan kung ano ang sinasabi.
Halimbawa 3. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang linear na function sa segment.
Solusyon. Gumawa tayo ng table para sa isang linear function
Bumuo tayo ng mga puntos (0; 4) at (6; 7) sa xOy coordinate plane at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga ito - isang graph ng linear x function (Fig. 42).
Kailangan nating isaalang-alang ang linear function na ito hindi sa kabuuan, ngunit sa isang segment, ibig sabihin, para sa x e.
Ang kaukulang segment ng graph ay naka-highlight sa drawing. Napansin namin na ang pinakamalaking ordinate ng mga puntos na kabilang sa napiling bahagi ay katumbas ng 7 - ito ay pinakamataas na halaga linear function sa segment. Karaniwan ang sumusunod na notasyon ay ginagamit: y max =7.
Napansin namin na ang pinakamaliit na ordinate ng mga puntos na kabilang sa bahagi ng linya na naka-highlight sa Figure 42 ay katumbas ng 4 - ito ang pinakamaliit na halaga ng linear function sa segment.
Karaniwan ang sumusunod na notasyon ay ginagamit: y pangalan. = 4.
Halimbawa 4. Hanapin si y naib at y naim. para sa isang linear na function y = -1.5x + 3.5
a) sa segment; b) sa pagitan (1.5);
c) sa isang kalahating pagitan.
Solusyon. Gumawa tayo ng talahanayan para sa linear function na y = -l.5x + 3.5:
Bumuo tayo ng mga puntos (1; 2) at (5; - 4) sa xOy coordinate plane at gumuhit ng tuwid na linya sa pamamagitan ng mga ito (Larawan 43-47). Piliin natin sa itinayong tuwid na linya ang bahagi na tumutugma sa mga halaga ng x mula sa segment (Larawan 43), mula sa pagitan A, 5) (Larawan 44), mula sa kalahating pagitan (Larawan 47).
a) Gamit ang Figure 43, madaling tapusin na y max = 2 (ang linear function ay umabot sa halagang ito sa x = 1), at y min. = - 4 (ang linear function ay umabot sa halagang ito sa x = 5).
b) Gamit ang Figure 44, napagpasyahan namin: ang linear function na ito ay walang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga sa isang naibigay na agwat. Bakit? Ang katotohanan ay, hindi tulad ng nakaraang kaso, ang parehong mga dulo ng segment, kung saan ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ay naabot, ay hindi kasama sa pagsasaalang-alang.
c) Gamit ang Figure 45, napagpasyahan namin na ang y max. = 2 (tulad ng sa unang kaso), at pinakamababang halaga ang linear function ay hindi (tulad ng sa pangalawang kaso).
d) Gamit ang Figure 46, napagpasyahan namin: y max = 3.5 (ang linear function ay umabot sa halagang ito sa x = 0), at y max. ay wala.
e) Gamit ang Figure 47, hinuhusgahan natin: y max. = -1 (ang linear function ay umabot sa halagang ito sa x = 3), at y max. ay hindi umiiral.
Halimbawa 5. I-graph ang isang linear na function
y = 2x - 6. Gamitin ang graph upang sagutin ang mga sumusunod na tanong:
a) sa anong halaga ng x magiging y = 0?
b) para sa anong mga halaga ng x ay y > 0?
c) sa anong mga halaga ng x ay y< 0?
Solusyon. Gumawa tayo ng table para sa linear function na y = 2x-6:
Sa pamamagitan ng mga puntos (0; - 6) at (3; 0) gumuhit kami ng isang tuwid na linya - ang graph ng function na y = 2x - 6 (Larawan 48).
a) y = 0 sa x = 3. Nag-intersect ang graph sa x axis sa puntong x = 3, ito ang puntong may ordinate y = 0.
b) y > 0 para sa x > 3. Sa katunayan, kung x > 3, ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng x axis, na nangangahulugan na ang mga ordinate ng kaukulang mga punto ng tuwid na linya ay positibo.
c) sa< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A
Pakitandaan na sa halimbawang ito ginamit namin ang graph upang malutas ang:
a) equation 2x - 6 = 0 (nakuha namin ang x = 3);
b) hindi pagkakapantay-pantay 2x - 6 > 0 (nakuha namin ang x > 3);
c) hindi pagkakapantay-pantay 2x - 6< 0 (получили х < 3).
Magkomento. Sa Russian, ang parehong bagay ay madalas na tinatawag na naiiba, halimbawa: "bahay", "gusali", "istraktura", "kubo", "mansyon", "kuwartel", "kubo", "kubo". Sa matematikal na wika ang sitwasyon ay halos pareho. Sabihin, ang pagkakapantay-pantay na may dalawang variable na y = kx + m, kung saan ang k, m ay mga tiyak na numero, ay maaaring tawaging isang linear function, maaaring tawaging linear equation na may dalawang variable na x at y (o may dalawang di-kilalang x at y), matatawag na formula, matatawag na ugnayang nagkokonekta sa x at y, sa wakas ay matatawag na dependence sa pagitan ng x at y. Hindi mahalaga, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan iyon sa lahat ng mga kaso pinag-uusapan natin tungkol sa mathematical model y = kx + m
.
Isaalang-alang ang graph ng linear function na ipinapakita sa Figure 49, a. Kung lilipat tayo sa graph na ito mula kaliwa pakanan, ang mga ordinate ng mga punto sa graph ay patuloy na tumataas, na parang "umakyat tayo sa isang burol." Sa ganitong mga kaso, ginagamit ng mga mathematician ang terminong pagtaas at sinasabi ito: kung k>0, ang linear function na y = kx + m ay tumataas.
Isaalang-alang ang graph ng linear function na ipinapakita sa Figure 49, b. Kung lilipat tayo sa graph na ito mula kaliwa pakanan, ang mga ordinate ng mga punto sa graph ay bumababa sa lahat ng oras, na parang tayo ay "bumababa sa isang burol." Sa ganitong mga kaso, ginagamit ng mga mathematician ang terminong pagbaba at sinasabi ito: kung k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.
Linear function sa buhay
Ngayon ay ibuod natin ang paksang ito. Nakilala na natin ang gayong konsepto bilang isang linear function, alam natin ang mga katangian nito at natutunan kung paano bumuo ng mga graph. Gayundin, isinasaalang-alang mo ang mga espesyal na kaso ng mga linear na function at natutunan kung ano ang nakasalalay sa relatibong posisyon ng mga graph ng mga linear na function. Ngunit lumalabas na sa ating Araw-araw na buhay palagi din kaming nagsa-intersect sa mathematical model na ito.
Isipin natin kung anong mga sitwasyon sa totoong buhay ang nauugnay sa isang konsepto bilang mga linear function? At gayundin, sa pagitan ng kung anong dami o mga sitwasyon sa buhay marahil magtatag ng isang linear na relasyon?
Marami sa inyo ay malamang na hindi lubos na nauunawaan kung bakit kailangan nilang pag-aralan ang mga linear na function, dahil malamang na hindi ito maging kapaki-pakinabang sa susunod na buhay. Ngunit narito ka ay lubos na nagkakamali, dahil nakatagpo kami ng mga function sa lahat ng oras at saanman. Dahil kahit na ang isang regular na buwanang upa ay isang function din na nakasalalay sa maraming mga variable. At kasama sa mga variable na ito ang square footage, bilang ng mga residente, mga taripa, paggamit ng kuryente, atbp.
Siyempre, ang pinakakaraniwang mga halimbawa ng linear dependence function na naranasan namin ay sa mga aralin sa matematika.
Ikaw at ako ay nalutas ang mga problema kung saan nakita namin ang mga distansyang nilakbay ng mga kotse, tren, o pedestrian sa isang tiyak na bilis. Ito ay mga linear na function ng oras ng paggalaw. Ngunit ang mga halimbawang ito ay naaangkop hindi lamang sa matematika, naroroon sila sa ating pang-araw-araw na buhay.
Ang calorie na nilalaman ng mga produkto ng pagawaan ng gatas ay nakasalalay sa taba ng nilalaman, at ang gayong pag-asa ay karaniwang isang linear na function. Halimbawa, kapag tumaas ang porsyento ng taba sa sour cream, tumataas din ang calorie content ng produkto.
Ngayon gawin natin ang mga kalkulasyon at hanapin ang mga halaga ng k at b sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:
Ngayon kunin natin ang dependency formula:
Bilang resulta, nakakuha kami ng isang linear na relasyon.
Upang malaman ang bilis ng pagpapalaganap ng tunog depende sa temperatura, posibleng malaman sa pamamagitan ng paggamit ng formula: v = 331 +0.6t, kung saan ang v ay ang bilis (sa m/s), t ay ang temperatura. Kung gumuhit tayo ng isang graph ng relasyon na ito, makikita natin na ito ay magiging linear, iyon ay, ito ay kumakatawan sa isang tuwid na linya.
At ganoon praktikal na gamit kaalaman sa aplikasyon ng linear functional dependence ay maaaring nakalista para sa isang mahabang panahon. Simula sa mga singil sa telepono, haba ng buhok at paglaki, at maging sa mga salawikain sa panitikan. At ang listahang ito ay nagpapatuloy.
Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Mathematics at school download
A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa institusyong pang-edukasyon
Matutong kumuha ng mga derivatives ng mga function. Tinutukoy ng derivative ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang tiyak na punto na nasa graph ng function na ito. Sa kasong ito, ang graph ay maaaring maging tuwid o kurbadong linya. Iyon ay, ang derivative ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng isang function sa isang tiyak na punto ng oras. Tandaan pangkalahatang tuntunin, kung saan kinukuha ang mga derivative, at pagkatapos lamang magpatuloy sa susunod na hakbang.
- Basahin ang artikulo.
- Paano kunin ang pinakasimpleng derivatives, halimbawa, derivative exponential equation, inilarawan. Ang mga kalkulasyon na ipinakita sa mga sumusunod na hakbang ay ibabatay sa mga pamamaraang inilarawan doon.
Alamin na makilala ang mga problema kung saan kailangang kalkulahin ang slope coefficient sa pamamagitan ng derivative ng isang function. Hindi palaging hinihiling sa iyo ng mga problema na hanapin ang slope o derivative ng isang function. Halimbawa, maaaring hilingin sa iyong hanapin ang rate ng pagbabago ng isang function sa puntong A(x,y). Maaari ka ring hilingin na hanapin ang slope ng tangent sa puntong A(x,y). Sa parehong mga kaso, kinakailangan na kunin ang derivative ng function.
Kunin ang derivative ng function na ibinigay sa iyo. Hindi na kailangang bumuo ng graph dito - kailangan mo lang ng equation ng function. Sa aming halimbawa, kunin ang derivative ng function. Kunin ang derivative ayon sa mga pamamaraan na nakabalangkas sa artikulong binanggit sa itaas:
- Derivative:
Palitan ang mga coordinate ng puntong ibinigay sa iyo sa nahanap na derivative upang kalkulahin ang slope. Ang derivative ng isang function ay katumbas ng slope sa isang tiyak na punto. Sa madaling salita, ang f"(x) ay ang slope ng function sa anumang punto (x,f(x)). Sa aming halimbawa:
- Hanapin ang slope ng function f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) sa punto A(4,2).
- Derivative ng isang function:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Palitan ang halaga ng “x” coordinate ng puntong ito:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Hanapin ang slope:
- Pag-andar ng slope f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) sa puntong A(4,2) ay katumbas ng 22.
Kung maaari, suriin ang iyong sagot sa isang graph. Tandaan na ang slope ay hindi maaaring kalkulahin sa bawat punto. Ang differential calculus ay tumatalakay sa mga kumplikadong function at kumplikadong mga graph kung saan ang slope ay hindi maaaring kalkulahin sa bawat punto, at sa ilang mga kaso ang mga punto ay hindi namamalagi sa mga graph. Kung maaari, gumamit ng graphing calculator upang suriin kung tama ang slope ng function na ibinigay sa iyo. Kung hindi, gumuhit ng tangent sa graph sa puntong ibinigay sa iyo at isipin kung ang slope value na iyong nakita ay tumutugma sa nakikita mo sa graph.
- Ang tangent ay magkakaroon ng parehong slope gaya ng graph ng function sa isang tiyak na punto. Upang gumuhit ng tangent sa isang partikular na punto, lumipat pakaliwa/pakanan sa X axis (sa aming halimbawa, 22 values pakanan), at pagkatapos ay pataas ng isa sa Y axis. Markahan ang punto, at pagkatapos ay ikonekta ito sa puntong ibinigay sa iyo. Sa aming halimbawa, ikonekta ang mga puntos na may mga coordinate (4,2) at (26,3).
Ang konsepto ng isang numerical function. Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang function. Mga katangian ng mga pag-andar.
Ang numeric function ay isang function na kumikilos mula sa isang numeric space (set) patungo sa isa pang numeric space (set).
Tatlong pangunahing paraan upang tukuyin ang isang function: analytical, tabular at graphical.
1. Analitikal.
Ang paraan ng pagtukoy ng isang function gamit ang isang formula ay tinatawag na analytical. Ang pamamaraang ito ay ang pangunahing isa sa banig. pagsusuri, ngunit sa pagsasagawa ito ay hindi maginhawa.
2. Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function.
Maaaring tukuyin ang isang function gamit ang isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng function.
3. Graphical na paraan ng pagtukoy ng isang function.
Ang isang function na y=f(x) ay sinasabing ibinibigay nang grapiko kung ang graph nito ay binuo. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng isang function ay ginagawang posible upang matukoy ang mga halaga ng function na humigit-kumulang lamang, dahil ang pagbuo ng isang graph at paghahanap ng mga halaga ng function dito ay nauugnay sa mga error.
Mga katangian ng isang function na dapat isaalang-alang kapag bumubuo ng graph nito:
1) Ang domain ng kahulugan ng function.
Domain ng function, ibig sabihin, ang mga halagang iyon na maaaring kunin ng argumento x ng function na F =y (x).
2) Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga function.
Ang function ay tinatawag na pagtaas sa pagitan na isinasaalang-alang, kung mas mataas na halaga ang argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function na y(x). Nangangahulugan ito na kung ang dalawang arbitrary na argumento x 1 at x 2 ay kinuha mula sa pagitan na isinasaalang-alang, at x 1 > x 2, pagkatapos ay y(x 1) > y(x 2).
Ang function ay tinatawag na nagpapababa sa pagitan na isinasaalang-alang, kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function na y(x). Nangangahulugan ito na kung ang dalawang arbitrary na argumento x 1 at x 2 ay kinuha mula sa pagitan na isinasaalang-alang, at x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Mga function na zero.
Ang mga punto kung saan ang function na F = y (x) ay nag-intersect sa abscissa axis (nakuha ang mga ito sa pamamagitan ng paglutas ng equation na y(x) = 0) ay tinatawag na mga zero ng function.
4) Kahit at kakaibang mga function.
Ang function ay tinatawag na even, kung para sa lahat ng mga halaga ng argumento mula sa saklaw
y(-x) = y(x).
Iskedyul kahit function simetriko tungkol sa ordinate axis.
Ang function ay tinatawag na kakaiba, kung para sa lahat ng mga halaga ng argumento mula sa domain ng kahulugan
y(-x) = -y(x).
Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Maraming mga pag-andar ay hindi kahit na o kakaiba.
5) Periodicity ng function.
Ang function ay tinatawag na periodic, kung mayroong isang numero P tulad na para sa lahat ng mga halaga ng argumento mula sa domain ng kahulugan
y(x + P) = y(x).
Linear function, mga katangian nito at graph.
Ang linear function ay isang function ng form y = kx + b, tinukoy sa hanay ng lahat ng tunay na numero.
k– slope (tunay na numero)
b- dummy term (tunay na numero)
x– malayang baryabol.
· Sa espesyal na kaso, kung k = 0, nakakakuha tayo ng pare-parehong function na y = b, ang graph na kung saan ay isang tuwid na linya na parallel sa Ox axis na dumadaan sa puntong may mga coordinate (0; b).
· Kung b = 0, makukuha natin ang function na y = kx, na direktang proporsyonalidad.
o Geometric na kahulugan ang coefficient b ay ang haba ng segment na pinutol ng tuwid na linya sa kahabaan ng Oy axis, na binibilang mula sa pinanggalingan.
o Ang geometric na kahulugan ng coefficient k ay ang anggulo ng inclination ng tuwid na linya sa positibong direksyon ng Ox axis, na kinakalkula ng counterclockwise.
Mga katangian ng isang linear na function:
1) Ang domain ng kahulugan ng isang linear function ay ang buong real axis;
2) Kung k ≠ 0, kung gayon ang saklaw ng mga halaga ng linear function ay ang buong totoong axis.
Kung k = 0, kung gayon ang hanay ng mga halaga ng linear function ay binubuo ng bilang b;
3) Ang kapantay at kakatwa ng isang linear na function ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient k at b.
a) b ≠ 0, k = 0, samakatuwid, y = b – kahit;
b) b = 0, k ≠ 0, samakatuwid y = kx – kakaiba;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, samakatuwid y = kx + b ay isang function ng pangkalahatang anyo;
d) b = 0, k = 0, samakatuwid ang y = 0 ay pareho at isang kakaibang function.
4) Ang linear function ay walang katangian ng periodicity;
5) Mga punto ng intersection na may mga coordinate axes:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, samakatuwid (-b/k; 0) ang punto ng intersection sa x-axis.
Oy: y = 0k + b = b, samakatuwid (0; b) ang punto ng intersection sa ordinate.
Magkomento. Kung b = 0 at k = 0, ang function na y = 0 ay mawawala para sa anumang halaga ng variable na x. Kung b ≠ 0 at k = 0, kung gayon ang function na y = b ay hindi maglalaho para sa anumang halaga ng variable na x.
6) Ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ay nakasalalay sa koepisyent k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – positibo sa x mula sa (-b/k; +∞),
y = kx + b – negatibo para sa x mula sa (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – positibo sa x mula sa (-∞; -b/k),
y = kx + b – negatibo para sa x ng (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b ay positibo sa buong domain ng kahulugan,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Ang mga monotonicity interval ng isang linear function ay nakadepende sa coefficient k.
k > 0, samakatuwid ang y = kx + b ay tumataas sa buong domain ng kahulugan,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Function y = ax 2 + bx + c, mga katangian at graph nito.
| Ang function na y = ax 2 + bx + c (a, b, c ay constants, a ≠ 0) ay tinatawag parisukat Sa pinakasimpleng kaso, y = ax 2 (b = c = 0) ang graph ay isang hubog na linya na dumadaan sa pinanggalingan. Ang curve na nagsisilbing graph ng function na y = ax 2 ay isang parabola. Ang bawat parabola ay may axis ng symmetry na tinatawag ang axis ng parabola. Ang punto O ng intersection ng isang parabola na may axis nito ay tinatawag ang vertex ng parabola. |
 |
| Maaaring buuin ang graph ayon sa sumusunod na scheme: 1) Hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Bumubuo kami ng ilang higit pang mga punto na kabilang sa parabola; kapag gumagawa, maaari naming gamitin ang mga simetriko ng parabola na nauugnay sa tuwid na linya x = -b/2a. 3) Ikonekta ang ipinahiwatig na mga punto sa isang makinis na linya. Halimbawa. I-graph ang function b = x 2 + 2x - 3. Mga solusyon. Ang graph ng function ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas. Ang abscissa ng vertex ng parabola x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ang mga ordinates nito y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Kaya, ang vertex ng parabola ay punto (-1; -4). Magtipon tayo ng isang talahanayan ng mga halaga para sa ilang mga punto na matatagpuan sa kanan ng axis ng simetrya ng parabola - tuwid na linya x = -1. Mga katangian ng pag-andar.
|
