Είναι γνωστό ότι το πρόσημο της ρίζας είναι η τετραγωνική ρίζα ενός συγκεκριμένου αριθμού. Ωστόσο, το σύμβολο της ρίζας δεν σημαίνει μόνο μια αλγεβρική δράση, αλλά χρησιμοποιείται επίσης στη βιομηχανία επεξεργασίας ξύλου - στον υπολογισμό των σχετικών μεγεθών.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Εάν θέλετε να μάθετε πώς να πολλαπλασιάζετε ρίζες με ή χωρίς παράγοντες, τότε αυτό το άρθρο είναι για εσάς. Σε αυτό θα εξετάσουμε μεθόδους πολλαπλασιασμού των ριζών:
- χωρίς πολλαπλασιαστές?
- με πολλαπλασιαστές?
- με διαφορετικούς δείκτες.
Μέθοδος πολλαπλασιασμού ριζών χωρίς παράγοντες
Αλγόριθμος ενεργειών:
Βεβαιωθείτε ότι η ρίζα έχει τους ίδιους δείκτες (μοίρες). Θυμηθείτε ότι ο βαθμός είναι γραμμένος στα αριστερά πάνω από το σύμβολο της ρίζας. Εάν δεν υπάρχει προσδιορισμός βαθμού, αυτό σημαίνει ότι η ρίζα είναι τετράγωνη, δηλ. με δύναμη 2 και μπορεί να πολλαπλασιαστεί με άλλες ρίζες με δύναμη 2.
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 18 × 2 = ?
Παράδειγμα 2: 10 × 5 = ?
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 18 × 2 = 36
Παράδειγμα 2: 10 × 5 = 50
Παράδειγμα 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Απλοποίηση ριζοσπαστικών εκφράσεων.Όταν πολλαπλασιάζουμε τις ρίζες η μία με την άλλη, μπορούμε να απλοποιήσουμε τη ριζική έκφραση που προκύπτει στο γινόμενο του αριθμού (ή της έκφρασης) κατά ένα πλήρες τετράγωνο ή κύβο:
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 36 = 6. Το 36 είναι η τετραγωνική ρίζα του έξι (6 × 6 = 36).
Παράδειγμα 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Αποσυνθέτουμε τον αριθμό 50 στο γινόμενο του 25 και του 2. Η ρίζα του 25 είναι 5, οπότε βγάζουμε το 5 κάτω από το σύμβολο της ρίζας και απλοποιούμε την έκφραση.
Παράδειγμα 3: 27 3 = 3. Η κυβική ρίζα του 27 είναι 3: 3 × 3 × 3 = 27.
Μέθοδος πολλαπλασιασμού δεικτών με συντελεστές
Αλγόριθμος ενεργειών:
Πολλαπλασιάστε τους παράγοντες.Ο πολλαπλασιαστής είναι ο αριθμός που βρίσκεται πριν από το σύμβολο της ρίζας. Εάν δεν υπάρχει πολλαπλασιαστής, θεωρείται ένας από προεπιλογή. Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους παράγοντες:
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3
Παράδειγμα 2: 4 3 × 3 6 = 12; 4 × 3 = 12
Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς κάτω από το σύμβολο της ρίζας.Αφού πολλαπλασιάσετε τους παράγοντες, μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς κάτω από το σύμβολο της ρίζας:
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20
Παράδειγμα 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18
Απλοποιήστε τη ριζική έκφραση.Στη συνέχεια, θα πρέπει να απλοποιήσετε τις τιμές που βρίσκονται κάτω από το σύμβολο της ρίζας - πρέπει να μετακινήσετε τους αντίστοιχους αριθμούς πέρα από το σύμβολο της ρίζας. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς και τους παράγοντες που εμφανίζονται πριν από το σύμβολο της ρίζας:
Παράδειγμα
Παράδειγμα 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5
Παράδειγμα 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2
Μέθοδος πολλαπλασιασμού ριζών με διαφορετικούς εκθέτες
Αλγόριθμος ενεργειών:
Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των δεικτών.Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με τους δύο εκθέτες.
Παράδειγμα
Είναι απαραίτητο να βρείτε το LCM των δεικτών για την ακόλουθη έκφραση:
Οι δείκτες είναι 3 και 2. Για αυτούς τους δύο αριθμούς, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι ο αριθμός 6 (διαιρείται και με το 3 και με το 2 χωρίς υπόλοιπο). Για τον πολλαπλασιασμό των ριζών απαιτείται εκθέτης 6.
Γράψε κάθε έκφραση με νέο εκθέτη:
Βρείτε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους δείκτες για να λάβετε το LOC.
Στην έκφραση 5 3 πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 3 με το 2 για να πάρετε το 6. Και στην έκφραση 2 2 - αντίθετα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε με 3 για να πάρουμε το 6.
Αυξήστε τον αριθμό κάτω από το σύμβολο της ρίζας σε δύναμη ίση με τον αριθμό που βρέθηκε στο προηγούμενο βήμα. Για την πρώτη έκφραση, το 5 πρέπει να αυξηθεί στη δύναμη του 2 και για τη δεύτερη, το 2 πρέπει να αυξηθεί στη δύναμη του 3:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Ανεβάστε την έκφραση στη δύναμη και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από το σύμβολο της ρίζας:
5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6
Πολλαπλασιάστε αριθμούς κάτω από τη ρίζα:
(8 × 25) 6
Καταγράψτε το αποτέλεσμα:
(8 × 25) 6 = 200 6
Εάν είναι δυνατόν, είναι απαραίτητο να απλοποιηθεί η έκφραση, αλλά σε σε αυτήν την περίπτωσηδεν απλοποιείται.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως έλεγχος, ανάλυση δεδομένων και διάφορες μελέτεςπροκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Διαθεσιμότητα τετραγωνικές ρίζεςστην έκφραση περιπλέκει τη διαδικασία διαίρεσης, αλλά υπάρχουν κανόνες που κάνουν την εργασία με κλάσματα πολύ πιο εύκολη.
Το μόνο πράγμα που πρέπει να έχετε στο μυαλό σας όλη την ώρα- οι ριζικές εκφράσεις χωρίζονται σε ριζικές εκφράσεις και οι παράγοντες σε παράγοντες. Στη διαδικασία διαίρεσης τετραγωνικών ριζών, απλοποιούμε το κλάσμα. Επίσης, θυμηθείτε ότι η ρίζα μπορεί να είναι στον παρονομαστή.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Μέθοδος 1. Διαίρεση ριζικών εκφράσεων
Αλγόριθμος ενεργειών:
Γράψε ένα κλάσμα
Εάν η έκφραση δεν αναπαρίσταται ως κλάσμα, είναι απαραίτητο να τη γράψετε ως τέτοια, γιατί είναι ευκολότερο να ακολουθήσετε την αρχή της διαίρεσης των τετραγωνικών ριζών.
Παράδειγμα 1
144 ÷ 36, αυτή η έκφραση θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: 144 36
Χρησιμοποιήστε ένα σημάδι ρίζας
Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τετραγωνικές ρίζες, είναι απαραίτητο να γράψετε τις ριζικές εκφράσεις τους κάτω από το ίδιο σύμβολο ρίζας για να διευκολύνετε τη διαδικασία επίλυσης.
Σας υπενθυμίζουμε ότι μια ριζική έκφραση (ή αριθμός) είναι μια έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Παράδειγμα 2
144 36. Αυτή η έκφραση πρέπει να γραφτεί ως εξής: 144 36
Ξεχωριστές ριζοσπαστικές εκφράσεις
Απλώς διαιρέστε μια έκφραση με την άλλη και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Παράδειγμα 3
144 36 = 4, ας γράψουμε αυτήν την έκφραση ως εξής: 144 36 = 4
Απλοποιήστε τη ριζική έκφραση (αν χρειάζεται)
Εάν η ριζική έκφραση ή ένας από τους παράγοντες είναι τέλειο τετράγωνο, απλοποιήστε την έκφραση.
Θυμηθείτε ότι τέλειο τετράγωνο είναι ένας αριθμός που είναι το τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού.
Παράδειγμα 4
Το 4 είναι τέλειο τετράγωνο γιατί 2 × 2 = 4. Επομένως:
4 = 2 × 2 = 2. Επομένως 144 36 = 4 = 2.
Μέθοδος 2. Παραγοντοποίηση της ριζικής έκφρασης
Αλγόριθμος ενεργειών:
Γράψε ένα κλάσμα
Ξαναγράψτε την έκφραση ως κλάσμα (αν αναπαρίσταται έτσι). Αυτό κάνει τη διαίρεση των εκφράσεων με τετραγωνικές ρίζες πολύ πιο εύκολη, ειδικά κατά την παραγοντοποίηση.
Παράδειγμα 5
8 ÷ 36, ξαναγράψτε το έτσι 8 36
Παράγοντας καθεμία από τις ριζοσπαστικές εκφράσεις
Υπολογίστε τον αριθμό κάτω από τη ρίζα όπως κάθε άλλος ακέραιος αριθμός, γράψτε μόνο τους παράγοντες κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Παράδειγμα 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Απλοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος
Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε τους παράγοντες που αντιπροσωπεύουν τέλεια τετράγωνα κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Έτσι, ο παράγοντας της ριζικής έκφρασης θα γίνει ο παράγοντας πριν από το σύμβολο της ρίζας.
Παράδειγμα 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ακολουθεί: 8 36 = 2 2 6
Εκλογικεύστε τον παρονομαστή (απαλλαγείτε από τη ρίζα)
Στα μαθηματικά, υπάρχουν κανόνες σύμφωνα με τους οποίους το να αφήνεις τη ρίζα στον παρονομαστή είναι σημάδι κακής μορφής, δηλ. ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Εάν υπάρχει τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή, τότε απαλλαγείτε από αυτήν.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την τετραγωνική ρίζα που θέλετε να αφαιρέσετε.
Παράδειγμα 8
Στην έκφραση 6 2 3, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 3 για να απαλλαγείτε από τον παρονομαστή:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Απλοποιήστε την έκφραση που προκύπτει (αν χρειάζεται)
Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν αριθμούς που μπορούν και πρέπει να μειωθούν. Απλοποιήστε τέτοιες εκφράσεις όπως θα κάνατε με οποιοδήποτε κλάσμα.
Παράδειγμα 9
2 6 απλοποιεί σε 1 3 ; Έτσι το 2 2 6 απλοποιείται σε 1 2 3 = 2 3
Μέθοδος 3: Διαίρεση τετραγωνικών ριζών με συντελεστές
Αλγόριθμος ενεργειών:
Απλοποιήστε τους παράγοντες
Θυμηθείτε ότι παράγοντες είναι οι αριθμοί που προηγούνται του σημείου της ρίζας. Για να απλοποιήσετε τους παράγοντες, θα χρειαστεί να τους διαιρέσετε ή να τους μειώσετε. Μην αγγίζετε ριζοσπαστικές εκφράσεις!
Παράδειγμα 10
4 32 6 16 . Αρχικά, μειώνουμε το 4 6: διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2: 4 6 = 2 3.
Απλοποιήστε τις τετραγωνικές ρίζες
Αν ο αριθμητής διαιρείται ομοιόμορφα με τον παρονομαστή, τότε διαιρείται. Αν όχι, τότε απλοποιήστε τις ριζοσπαστικές εκφράσεις όπως όλες οι άλλες.
Παράδειγμα 11
Το 32 διαιρείται με το 16, άρα: 32 16 = 2
Πολλαπλασιάστε απλοποιημένους παράγοντες με απλοποιημένες ρίζες
Θυμηθείτε τον κανόνα: μην αφήνετε ρίζες στον παρονομαστή. Επομένως, απλώς πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτή τη ρίζα.
Παράδειγμα 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Εκλογικεύστε τον παρονομαστή (απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή)
Παράδειγμα 13
4 3 2 7 . Θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 7 για να απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Μέθοδος 4: Διαίρεση με διώνυμο με τετραγωνική ρίζα
Αλγόριθμος ενεργειών:
Προσδιορίστε εάν ένα διώνυμο είναι στον παρονομαστή
Θυμηθείτε ότι ένα διώνυμο είναι μια έκφραση που περιλαμβάνει 2 μονώνυμα. Αυτή η μέθοδος λειτουργεί μόνο σε περιπτώσεις όπου ο παρονομαστής έχει διώνυμο με τετραγωνική ρίζα.
Παράδειγμα 14
1 5 + 2 - υπάρχει ένα διώνυμο στον παρονομαστή, αφού υπάρχουν δύο μονώνυμα.
Να βρείτε τη συζυγή έκφραση του διωνύμου
Θυμηθείτε ότι το συζυγές διώνυμο είναι ένα δυώνυμο με τα ίδια μονώνυμα, αλλά με αντίθετα πρόσημα. Για να απλοποιήσετε την έκφραση και να απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα συζυγή διώνυμα.
Παράδειγμα 15
5 + 2 και 5 - 2 είναι συζυγή διώνυμα.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το δυώνυμο που είναι το συζυγές του διωνύμου στον παρονομαστή
Αυτή η επιλογή θα σας βοηθήσει να απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή, καθώς το γινόμενο των συζυγών διωνύμων είναι ίσο με τη διαφορά των τετραγώνων κάθε όρου των διωνύμων: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Παράδειγμα 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Από αυτό προκύπτει: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Συμβουλή:
- Εάν εργάζεστε με τετραγωνικές ρίζες μικτών αριθμών, μετατρέψτε τους σε ακατάλληλα κλάσματα.
- Η διαφορά μεταξύ πρόσθεσης και αφαίρεσης από τη διαίρεση είναι ότι οι ριζικές εκφράσεις στην περίπτωση της διαίρεσης δεν συνιστάται να απλοποιούνται (σε βάρος των πλήρων τετραγώνων).
- Ποτέ (!) μην αφήνεις ρίζα στον παρονομαστή.
- Χωρίς δεκαδικά ή μικτά κλάσματα πριν από τη ρίζα - πρέπει να τα μετατρέψετε σε ένα κοινό κλάσμα και στη συνέχεια να απλοποιήσετε.
- Ο παρονομαστής είναι το άθροισμα ή η διαφορά δύο μονώνυμων; Πολλαπλασιάστε ένα τέτοιο δυώνυμο με το συζυγές του διώνυμο και απαλλαγείτε από τη ρίζα στον παρονομαστή.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Χαιρετίσματα, γάτες! Την τελευταία φορά συζητήσαμε λεπτομερώς τι είναι οι ρίζες (αν δεν θυμάστε, προτείνω να το διαβάσετε). Το κύριο στοιχείο από αυτό το μάθημα: υπάρχει μόνο ένας καθολικός ορισμός των ριζών, που είναι αυτό που πρέπει να γνωρίζετε. Τα υπόλοιπα είναι ανοησίες και χάσιμο χρόνου.
Σήμερα πάμε παρακάτω. Θα μάθουμε να πολλαπλασιάζουμε ρίζες, θα μελετήσουμε κάποια προβλήματα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό (αν δεν λυθούν αυτά τα προβλήματα μπορεί να γίνουν μοιραία στις εξετάσεις) και θα εξασκηθούμε σωστά. Προμηθευτείτε λοιπόν ποπ κορν, νιώστε άνετα και ας ξεκινήσουμε. :)
Ούτε εσύ δεν το έχεις καπνίσει ακόμα, έτσι δεν είναι;
Το μάθημα αποδείχθηκε αρκετά μεγάλο, οπότε το χώρισα σε δύο μέρη:
- Αρχικά θα δούμε τους κανόνες του πολλαπλασιασμού. Το Cap φαίνεται να υπαινίσσεται: αυτό συμβαίνει όταν υπάρχουν δύο ρίζες, μεταξύ τους υπάρχει ένα σημάδι "πολλαπλασιασμού" - και θέλουμε να κάνουμε κάτι με αυτό.
- Στη συνέχεια, ας δούμε την αντίθετη κατάσταση: υπάρχει μια μεγάλη ρίζα, αλλά ήμασταν πρόθυμοι να την αναπαραστήσουμε ως προϊόν δύο απλούστερων ριζών. Γιατί είναι απαραίτητο αυτό, είναι ένα ξεχωριστό ερώτημα. Θα αναλύσουμε μόνο τον αλγόριθμο.
Για όσους ανυπομονούν να περάσουν αμέσως στο δεύτερο μέρος, είστε ευπρόσδεκτοι. Ας ξεκινήσουμε με τα υπόλοιπα με τη σειρά.
Βασικός κανόνας πολλαπλασιασμού
Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα - τις κλασικές τετραγωνικές ρίζες. Τα ίδια που συμβολίζονται με $\sqrt(a)$ και $\sqrt(b)$. Όλα είναι προφανή για αυτούς:
Κανόνας πολλαπλασιασμού. Για να πολλαπλασιάσετε μια τετραγωνική ρίζα με μια άλλη, απλώς πολλαπλασιάζετε τις ριζικές εκφράσεις τους και γράφετε το αποτέλεσμα κάτω από την κοινή ρίζα:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Δεν επιβάλλονται πρόσθετοι περιορισμοί στους αριθμούς στα δεξιά ή στα αριστερά: εάν υπάρχουν οι ριζικοί παράγοντες, τότε υπάρχει και το προϊόν.
Παραδείγματα. Ας δούμε τέσσερα παραδείγματα με αριθμούς ταυτόχρονα:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο νόημα αυτού του κανόνα είναι η απλοποίηση των παράλογων εκφράσεων. Και αν στο πρώτο παράδειγμα εμείς οι ίδιοι θα είχαμε εξαγάγει τις ρίζες του 25 και του 4 χωρίς νέους κανόνες, τότε τα πράγματα γίνονται δύσκολα: τα $\sqrt(32)$ και τα $\sqrt(2)$ δεν θεωρούνται από μόνα τους, αλλά Το γινόμενο τους αποδεικνύεται τέλειο τετράγωνο, επομένως η ρίζα του είναι ίση με έναν ρητό αριθμό.
Θα ήθελα ιδιαίτερα να επισημάνω την τελευταία γραμμή. Εκεί, και οι δύο ριζικές εκφράσεις είναι κλάσματα. Χάρη στο προϊόν, πολλοί παράγοντες ακυρώνονται και ολόκληρη η έκφραση μετατρέπεται σε επαρκή αριθμό.
Φυσικά, τα πράγματα δεν θα είναι πάντα τόσο όμορφα. Μερικές φορές θα υπάρχει πλήρης χάλια κάτω από τις ρίζες - δεν είναι σαφές τι να κάνετε με αυτό και πώς να το μεταμορφώσετε μετά τον πολλαπλασιασμό. Λίγο αργότερα, όταν αρχίσετε να μελετάτε παράλογες εξισώσειςκαι ανισότητες, θα υπάρχουν γενικά κάθε είδους μεταβλητές και συναρτήσεις. Και πολύ συχνά, οι συγγραφείς προβλημάτων βασίζονται στο γεγονός ότι θα ανακαλύψετε ορισμένους όρους ή παράγοντες ακύρωσης, μετά τους οποίους το πρόβλημα θα απλοποιηθεί πολλές φορές.
Επιπλέον, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν ακριβώς δύο ρίζες. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τρία, τέσσερα ή και δέκα ταυτόχρονα! Αυτό δεν θα αλλάξει τον κανόνα. Ρίξε μια ματιά:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(στοίχιση)\]
Και πάλι μια μικρή σημείωση για το δεύτερο παράδειγμα. Όπως μπορείτε να δείτε, στον τρίτο παράγοντα κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα δεκαδικό κλάσμα - στη διαδικασία των υπολογισμών το αντικαθιστούμε με ένα κανονικό, μετά το οποίο όλα μειώνονται εύκολα. Λοιπόν: Συνιστώ ανεπιφύλακτα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά κλάσματα σε οποιαδήποτε παράλογες εκφράσεις(δηλαδή που περιέχει τουλάχιστον ένα ριζικό σύμβολο). Αυτό θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και νεύρα στο μέλλον.
Αλλά ήταν λυρική παρέκβαση. Ας εξετάσουμε τώρα μια πιο γενική περίπτωση - όταν ο ριζικός εκθέτης περιέχει έναν αυθαίρετο αριθμό $n$, και όχι μόνο τον "κλασικό" δύο.
Η περίπτωση ενός αυθαίρετου δείκτη
Λοιπόν, τακτοποιήσαμε τις τετραγωνικές ρίζες. Τι να κάνουμε με τα κυβικά; Ή ακόμα και με ρίζες αυθαίρετου βαθμού $n$; Ναι, όλα είναι ίδια. Ο κανόνας παραμένει ο ίδιος:
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρίζες βαθμού $n$, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις ριζικές εκφράσεις τους και μετά να γράψουμε το αποτέλεσμα κάτω από μία ρίζα.
Γενικά, τίποτα περίπλοκο. Εκτός από το ότι το ποσό των υπολογισμών μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Παραδείγματα. Υπολογισμός προϊόντων:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(στοίχιση)\]
Και πάλι προσοχή στη δεύτερη έκφραση. Πολλαπλασιάζουμε κυβικές ρίζες, απαλλαγούμε δεκαδικόςκαι ως αποτέλεσμα παίρνουμε το γινόμενο των αριθμών 625 και 25 στον παρονομαστή. μεγάλος αριθμός- Προσωπικά, δεν μπορώ να υπολογίσω αμέσως με τι ισούται.
Επομένως, απλώς απομονώσαμε τον ακριβή κύβο στον αριθμητή και στον παρονομαστή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήσαμε μία από τις βασικές ιδιότητες (ή, αν προτιμάτε, ορισμό) της ρίζας $n$th:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\αριστερά| a\σωστά|. \\ \end(στοίχιση)\]
Τέτοιες «μηχανουργίες» μπορούν να σας εξοικονομήσουν πολύ χρόνο στις εξετάσεις ή δοκιμαστική εργασία, θυμηθείτε λοιπόν:
Μην βιαστείτε να πολλαπλασιάσετε αριθμούς χρησιμοποιώντας ριζικές εκφράσεις. Πρώτα, ελέγξτε: τι γίνεται αν ο ακριβής βαθμός οποιασδήποτε έκφρασης είναι "κρυπτογραφημένος" εκεί;
Παρά το προφανές αυτής της παρατήρησης, οφείλω να ομολογήσω ότι οι περισσότεροι απροετοίμαστοι μαθητές δεν βλέπουν τους ακριβείς βαθμούς στο εύρος κενού σημείου. Αντίθετα, πολλαπλασιάζουν τα πάντα και μετά αναρωτιούνται: γιατί πήραν τόσο βάναυσους αριθμούς; :)
Ωστόσο, όλα αυτά είναι κουβέντα μωρού σε σύγκριση με αυτά που θα μελετήσουμε τώρα.
Πολλαπλασιασμός ριζών με διαφορετικούς εκθέτες
Εντάξει, τώρα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες με τους ίδιους δείκτες. Τι γίνεται αν οι δείκτες είναι διαφορετικοί; Ας πούμε, πώς να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο $\sqrt(2)$ με κάποια χάλια όπως $\sqrt(23)$; Είναι καν δυνατό να γίνει αυτό;
Ναι φυσικά μπορείς. Όλα γίνονται σύμφωνα με αυτόν τον τύπο:
Κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Για να πολλαπλασιάσετε το $\sqrt[n](a)$ με το $\sqrt[p](b)$, αρκεί να εκτελέσετε τον ακόλουθο μετασχηματισμό:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Ωστόσο, αυτός ο τύπος λειτουργεί μόνο εάν Οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική σημείωση στην οποία θα επανέλθουμε λίγο αργότερα.
Προς το παρόν, ας δούμε μερικά παραδείγματα:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(στοίχιση)\]
Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Τώρα ας καταλάβουμε από πού προήλθε η απαίτηση μη αρνητικότητας και τι θα συμβεί αν την παραβιάσουμε. :)
Ο πολλαπλασιασμός των ριζών είναι εύκολος Γιατί οι ριζοσπαστικές εκφράσεις πρέπει να είναι μη αρνητικές;
Φυσικά, μπορείτε να είστε σαν δάσκαλοι του σχολείου και να αναφέρετε το σχολικό βιβλίο με μια έξυπνη ματιά:
Η απαίτηση μη αρνητικότητας σχετίζεται με διαφορετικούς ορισμούςρίζες ζυγών και περιττών βαθμών (ανάλογα, οι τομείς ορισμού τους είναι επίσης διαφορετικοί).
Λοιπόν, έγινε πιο ξεκάθαρο; Προσωπικά, όταν διάβασα αυτή τη βλακεία στην 8η δημοτικού, κατάλαβα κάτι σαν το εξής: «Η απαίτηση της μη αρνητικότητας συνδέεται με το *#&^@(*#@^#)~%» - εν ολίγοις, το έκανα Δεν καταλαβαίνω τίποτα εκείνη τη στιγμή. :)
Τώρα λοιπόν θα εξηγήσω τα πάντα με κανονικό τρόπο.
Αρχικά, ας μάθουμε από πού προέρχεται ο παραπάνω τύπος πολλαπλασιασμού. Για να το κάνετε αυτό, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω μια σημαντική ιδιότητα της ρίζας:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Με άλλα λόγια, μπορούμε εύκολα να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη $k$ - σε αυτήν την περίπτωση, ο εκθέτης της ρίζας θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την ίδια ισχύ. Επομένως, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε τυχόν ρίζες σε γενικός δείκτης, μετά πολλαπλασιάστε. Από εδώ προέρχεται ο τύπος πολλαπλασιασμού:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα που περιορίζει δραστικά τη χρήση όλων αυτών των τύπων. Σκεφτείτε αυτόν τον αριθμό:
Σύμφωνα με τον τύπο που μόλις δόθηκε, μπορούμε να προσθέσουμε οποιοδήποτε βαθμό. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Αφαιρέσαμε το μείον ακριβώς γιατί το τετράγωνο καίει το μείον (όπως κάθε άλλο ζυγό βαθμό). Τώρα ας εκτελέσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό: «μειώστε» τα δύο στον εκθέτη και την ισχύ. Μετά από όλα, οποιαδήποτε ισότητα μπορεί να διαβαστεί τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ένα); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(στοίχιση)\]
Αλλά μετά αποδεικνύεται ότι είναι ένα είδος χάλια:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Αυτό δεν μπορεί να συμβεί, γιατί $\sqrt(-5) \lt 0$ και $\sqrt(5) \gt 0$. Αυτό σημαίνει ότι για ακόμη και εξουσίες και αρνητικούς αριθμούςη φόρμουλα μας δεν λειτουργεί πλέον. Μετά από αυτό έχουμε δύο επιλογές:
- Να χτυπήσει τον τοίχο και να δηλώσει ότι τα μαθηματικά είναι μια ηλίθια επιστήμη, όπου «υπάρχουν κάποιοι κανόνες, αλλά αυτοί είναι ανακριβείς».
- Εισαγω πρόσθετους περιορισμούς, στην οποία ο τύπος θα λειτουργήσει 100%.
Στην πρώτη επιλογή, θα πρέπει να πιάνουμε συνεχώς περιπτώσεις "μη λειτουργικές" - είναι δύσκολο, χρονοβόρο και γενικά ουφ. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί προτίμησαν τη δεύτερη επιλογή. :)
Αλλά μην ανησυχείτε! Στην πράξη, αυτός ο περιορισμός δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο τους υπολογισμούς, επειδή όλα τα προβλήματα που περιγράφονται αφορούν μόνο ρίζες περιττού βαθμού και μπορούν να ληφθούν τα μείον από αυτά.
Επομένως, ας διατυπώσουμε έναν ακόμη κανόνα, ο οποίος ισχύει γενικά για όλες τις ενέργειες με ρίζες:
Πριν πολλαπλασιάσετε τις ρίζες, βεβαιωθείτε ότι οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές.
Παράδειγμα. Στον αριθμό $\sqrt(-5)$ μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας - τότε όλα θα είναι κανονικά:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Right arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(στοίχιση)\]
Νιώθεις τη διαφορά; Εάν αφήσετε ένα μείον κάτω από τη ρίζα, τότε όταν η ριζική έκφραση τετραγωνιστεί, θα εξαφανιστεί και θα αρχίσουν τα χάλια. Και αν πρώτα αφαιρέσετε το μείον, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε/ αφαιρέσετε μέχρι να γίνετε μπλε στο πρόσωπο - ο αριθμός θα παραμείνει αρνητικός. :)
Έτσι, ο πιο σωστός και πιο αξιόπιστος τρόπος πολλαπλασιασμού των ριζών είναι ο εξής:
- Αφαιρέστε όλα τα αρνητικά από τις ρίζες. Τα μειονεκτήματα υπάρχουν μόνο σε ρίζες περιττής πολλαπλότητας - μπορούν να τοποθετηθούν μπροστά από τη ρίζα και, εάν είναι απαραίτητο, να μειωθούν (για παράδειγμα, εάν υπάρχουν δύο από αυτά τα μείον).
- Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω στο σημερινό μάθημα. Αν οι δείκτες των ριζών είναι ίδιοι, απλώς πολλαπλασιάζουμε τις ριζικές εκφράσεις. Και αν είναι διαφορετικά, χρησιμοποιούμε τον κακό τύπο \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Απολαύστε το αποτέλεσμα και τους καλούς βαθμούς.:)
Καλά? Να ασκηθούμε;
Παράδειγμα 1: Απλοποιήστε την έκφραση:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(στοίχιση)\]
Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή: οι ρίζες είναι ίδιες και περίεργες, το μόνο πρόβλημα είναι ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι αρνητικός. Αφαιρούμε αυτό το μείον από την εικόνα, μετά το οποίο υπολογίζονται εύκολα όλα.
Παράδειγμα 2: Απλοποιήστε την έκφραση:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \δεξιά))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ευθυγραμμίζω)\]
Εδώ, πολλοί θα μπερδεύονταν από το γεγονός ότι η έξοδος αποδείχθηκε ότι ήταν ένας παράλογος αριθμός. Ναι, συμβαίνει: δεν μπορέσαμε να απαλλαγούμε εντελώς από τη ρίζα, αλλά τουλάχιστον απλοποιήσαμε σημαντικά την έκφραση.
Παράδειγμα 3: Απλοποιήστε την έκφραση:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \δεξιά))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(στοίχιση)\]
Θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας σε αυτό το έργο. Υπάρχουν δύο σημεία εδώ:
- Η ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός ή δύναμη, αλλά η μεταβλητή $a$. Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο, αλλά στην πραγματικότητα, κατά την επίλυση μαθηματικά προβλήματαΤις περισσότερες φορές θα πρέπει να αντιμετωπίσετε μεταβλητές.
- Τελικά καταφέραμε να «μειώσουμε» τον ριζικό δείκτη και το βαθμό στη ριζοσπαστική έκφραση. Αυτό συμβαίνει αρκετά συχνά. Και αυτό σημαίνει ότι ήταν δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί εάν δεν χρησιμοποιούσατε τον βασικό τύπο.
Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να κάνετε αυτό:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(στοίχιση)\]
Στην πραγματικότητα, όλοι οι μετασχηματισμοί έγιναν μόνο με τη δεύτερη ρίζα. Και αν δεν περιγράψετε λεπτομερώς όλα τα ενδιάμεσα βήματα, τότε στο τέλος το ποσό των υπολογισμών θα μειωθεί σημαντικά.
Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη αντιμετωπίσει μια παρόμοια εργασία παραπάνω όταν λύσαμε το παράδειγμα $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Τώρα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο απλά:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(στοίχιση)\]
Λοιπόν, έχουμε τακτοποιήσει τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Τώρα ας εξετάσουμε την αντίστροφη λειτουργία: τι να κάνετε όταν υπάρχει ένα προϊόν κάτω από τη ρίζα;