Άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από βασικό έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας κατανοήσουμε την έννοια και τον τύπο του ποσού. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του ποσού είναι τόσο απλή όσο ένα μουγκ. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, πρέπει απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλους τους όρους της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτή την περίπτωση, η φόρμουλα έρχεται να σώσει.

Ο τύπος για το ποσό είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολύ τα πράγματα.

S n - το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης Ολοιμέλη, με πρώταΜε τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέτουν ακριβώς Ολαμέλη στη σειρά, χωρίς παράλειψη ή παράλειψη. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρου ή του αθροίσματος των όρων από τον πέμπτο στον εικοστό - άμεση εφαρμογήοι τύποι θα απογοητεύσουν.)

Α'1 - πρώταμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά όταν εφαρμόζεται στο ποσό, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n - αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των προστιθέμενων όρων.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Δύσκολη ερώτηση: ποιο μέλος θα είναι το τελευταίοαν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;)

Για να απαντήσετε με σιγουριά, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη έννοια της αριθμητικής προόδου και... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα τελικό, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία αν δίνεται η πρόοδος: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: μια σειρά αριθμών ή ένας τύπος για τον nο όρο.

Το πιο σημαντικό είναι να καταλάβουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Σε μια εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι... Αλλά δεν πειράζει, στα παρακάτω παραδείγματα αποκαλύπτουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Πρωτα απο ολα, χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία σε εργασίες που περιλαμβάνουν το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι σωστός ορισμόςστοιχεία του τύπου.

Οι συντάκτες εργασιών κρυπτογραφούν αυτά ακριβώς τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας δούμε μερικά παραδείγματα αναλυτικά. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων του.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους n.

Πού μπορώ να βρω τον αριθμό του τελευταίου μέλους; n? Ναι, εκεί, υπό όρους! Λέει: βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, με ποιο νούμερο θα είναι; τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, και αντ' αυτού n- δέκα. Επαναλαμβάνω, ο αριθμός του τελευταίου μέλους συμπίπτει με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1Και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό; Παρακολουθήστε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό δεν υπάρχει τρόπος.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Το μόνο που μένει είναι να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 =2,3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων του.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε όρου με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία στον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο του αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαθιστούμε τον τύπο για τον nο όρο και παίρνουμε:

Ας παρουσιάσουμε παρόμοια και ας λάβουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν απαιτείται εδώ η θητεία a n. Σε ορισμένα προβλήματα αυτή η φόρμουλα βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Είναι δυνατόν σε κατάλληλη στιγμήείναι εύκολο να το εμφανίσετε, όπως εδώ. Εξάλλου, πρέπει πάντα να θυμάστε τον τύπο για το άθροισμα και τον τύπο για τον nο όρο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Ουάου! Ούτε το πρώτο σου μέλος, ούτε το τελευταίο σου, ούτε η εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε όλα τα στοιχεία του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου από τη συνθήκη. Γνωρίζουμε τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα είναι πρώτα? 10, πιθανώς.) Α το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Θα τον ακολουθήσουν οι τριψήφιοι...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Σίγουρα! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά αυστηρά τρία. Εάν προσθέσετε 2 ή 4 σε έναν όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ο νέος αριθμός δεν διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου: d = 3.Θα σου φανεί χρήσιμο!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός; nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος... Οι αριθμοί πηγαίνουν πάντα στη σειρά, αλλά τα μέλη μας ξεπερνούν τα τρία. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να γράψετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των μελών με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο στο πρόβλημά μας, βρίσκουμε ότι το 99 είναι ο τριακοστός όρος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Ας δούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε από τη δήλωση προβλήματος όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Το μόνο που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαθιστούμε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλούς παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από το εικοστό έως το τριάντα τέσσερα.

Κοιτάμε τον τύπο για το ποσό και... στενοχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το ποσό από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να γράψετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να προσθέσετε όρους από 20 έως 34. Αλλά... είναι κάπως ανόητο και παίρνει πολύ χρόνο, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα είναι από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Δεύτερο μέρος - από είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε με το άθροισμα των όρων του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ας αρχίσουμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από τη δήλωση προβλήματος:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τα υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

ένα 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Δεν μένει τίποτα. Από το άθροισμα των 34 όρων αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει ένα πολύ χρήσιμο κόλπο για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό αυτό που χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε κάτι που δεν φαίνεται να χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, πετώντας μακριά από πλήρες αποτέλεσμαπεριττός. Αυτό το είδος "προσποιήσεις με τα αυτιά σας" συχνά σας σώζει από κακά προβλήματα.)

Σε αυτό το μάθημα εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν επιλύετε οποιοδήποτε πρόβλημα που περιλαμβάνει το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος για το nο όρο:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε και προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων του.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τη σύνδεση, τέτοια προβλήματα βρίσκονται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να δώσω στο αγαπημένο μου πρόσωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και κάθε επόμενη μέρα ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Θα βοηθήσει; πρόσθετη φόρμουλααπό την εργασία 2.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ή αριθμητική είναι ένας τύπος διατεταγμένης αριθμητικής ακολουθίας, οι ιδιότητες της οποίας μελετώνται σχολικό μάθημαάλγεβρα. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς το ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είδους εξέλιξη είναι αυτή;

Πριν προχωρήσουμε στην ερώτηση (πώς να βρούμε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου), αξίζει να καταλάβουμε για τι πράγμα μιλάμε.

Οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών που προκύπτει προσθέτοντας (αφαιρώντας) κάποια τιμή από κάθε προηγούμενο αριθμό ονομάζεται αλγεβρική (αριθμητική) πρόοδος. Αυτός ο ορισμός, όταν μεταφράζεται σε μαθηματική γλώσσα, έχει τη μορφή:

Εδώ i είναι ο σειριακός αριθμός του στοιχείου της σειράς a i. Έτσι, γνωρίζοντας μόνο έναν αριθμό έναρξης, μπορείτε εύκολα να επαναφέρετε ολόκληρη τη σειρά. Η παράμετρος d στον τύπο ονομάζεται διαφορά προόδου.

Μπορεί εύκολα να φανεί ότι για την υπό εξέταση σειρά αριθμών ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Δηλαδή, για να βρείτε την τιμή του nου στοιχείου με τη σειρά, θα πρέπει να προσθέσετε τη διαφορά d στο πρώτο στοιχείο a 1 n-1 φορές.

Ποιο είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου: τύπος

Πριν δώσετε τον τύπο για το αναγραφόμενο ποσό, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό ειδική περίπτωση. Η εξέλιξη είναι δεδομένη φυσικούς αριθμούςαπό το 1 έως το 10, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι στην πρόοδο (10), είναι δυνατό να λυθεί το πρόβλημα κατά μέτωπο, δηλαδή να αθροιστούν όλα τα στοιχεία με τη σειρά.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Αξίζει να εξετάσουμε ένα ενδιαφέρον πράγμα: αφού κάθε όρος διαφέρει από τον επόμενο κατά την ίδια τιμή d = 1, τότε η ανά ζεύγος άθροιση του πρώτου με το δέκατο, του δεύτερου με τον ένατο και ούτω καθεξής θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Πραγματικά:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο 5 από αυτά τα αθροίσματα, δηλαδή ακριβώς δύο φορές λιγότερα από τον αριθμό των στοιχείων της σειράς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των αθροισμάτων (5) με το αποτέλεσμα κάθε αθροίσματος (11), θα καταλήξετε στο αποτέλεσμα που προέκυψε στο πρώτο παράδειγμα.

Αν γενικεύσουμε αυτά τα επιχειρήματα, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Αυτή η έκφραση δείχνει ότι δεν είναι καθόλου απαραίτητο να αθροίσουμε όλα τα στοιχεία σε μια σειρά, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου a 1 και του τελευταίου a n , καθώς και συνολικός αριθμός n όροι.

Πιστεύεται ότι ο Gauss σκέφτηκε για πρώτη φορά αυτή την ισότητα όταν έψαχνε για μια λύση σε ένα πρόβλημα που έδωσε ο δάσκαλός του στο σχολείο: άθροισμα των πρώτων 100 ακέραιων αριθμών.

Άθροισμα στοιχείων από m έως n: τύπος

Ο τύπος που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο απαντά στο ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου (τα πρώτα στοιχεία), αλλά συχνά στα προβλήματα είναι απαραίτητο να αθροίσετε μια σειρά αριθμών στο μέσο της προόδου. Πως να το κάνεις;

Ο ευκολότερος τρόπος για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση είναι λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο παράδειγμα: ας είναι απαραίτητο να βρούμε το άθροισμα των όρων από το m-ο στο n-ο. Για να λύσετε το πρόβλημα, θα πρέπει να αναπαραστήσετε το δεδομένο τμήμα από το m έως το n της προόδου ως νέο σειρά αριθμών. Σε τέτοια μ-η παράστασηο όρος a m θα είναι ο πρώτος και το a n θα αριθμηθεί με n-(m-1). Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζοντας τον τυπικό τύπο για το άθροισμα, θα ληφθεί η ακόλουθη έκφραση:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Παράδειγμα χρήσης τύπων

Γνωρίζοντας πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό παράδειγμα χρήσης των παραπάνω τύπων.

Παρακάτω είναι μια αριθμητική ακολουθία, θα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των όρων της, ξεκινώντας από τον 5ο και τελειώνοντας με τον 12ο:

Οι αριθμοί που δίνονται υποδεικνύουν ότι η διαφορά d είναι ίση με 3. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το nο στοιχείο, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του 5ου και του 12ου όρου της προόδου. Αποδεικνύεται:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Γνωρίζοντας τις τιμές των αριθμών στα άκρα της αλγεβρικής προόδου που εξετάζουμε, καθώς και γνωρίζοντας ποιους αριθμούς στη σειρά που καταλαμβάνουν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το άθροισμα που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Θα αποδειχθεί:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η τιμή θα μπορούσε να ληφθεί διαφορετικά: πρώτα βρείτε το άθροισμα των πρώτων 12 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο, στη συνέχεια υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων 4 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο και, στη συνέχεια, αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο άθροισμα.

Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, ας εξετάσουμε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών, κάθε στοιχείο του οποίου έχει τον δικό του σειριακό αριθμό. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο σειριακός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από ένα ευρετήριο:

Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.

Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.

- το «η» στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.

Υπάρχει μια σχέση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του αριθμού ακολουθίας του. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, μπορούμε να το πούμε αυτό η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:

Η σειρά μπορεί να οριστεί με τρεις τρόπους:

1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να αναλάβει προσωπική διαχείριση χρόνου και, για αρχή, να μετρήσει πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Καταγράφοντας την ώρα στον πίνακα, θα λάβει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:

Η πρώτη γραμμή του πίνακα δείχνει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή μόνο 15.

2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth όρου.

Σε αυτή την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας με τη μορφή ενός τύπου.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο του nου όρου.

Κάνουμε το ίδιο πράγμα εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση συνάρτησης:

Αν, για παράδειγμα, , Οτι

Επιτρέψτε μου να σημειώσω για άλλη μια φορά ότι σε μια ακολουθία, σε αντίθεση με μια αυθαίρετη αριθμητική συνάρτηση, το όρισμα μπορεί να είναι μόνο ένας φυσικός αριθμός.

3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του αριθμού μέλους ακολουθίας n από τις τιμές των προηγούμενων μελών. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό του μέλους της ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά ,

Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών της ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:

Δηλαδή, κάθε φορά, για να βρούμε την τιμή του ντος όρου της ακολουθίας, επιστρέφουμε στους δύο προηγούμενους. Αυτή η μέθοδος καθορισμού μιας ακολουθίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από τη λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός καλείται διαφορά αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή ίση με μηδέν.

Αν title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.

Για παράδειγμα, 2; 5; 8; έντεκα;...

Αν , τότε κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι μειώνεται.

Για παράδειγμα, 2; -1; -4; -7;...

Αν , τότε όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.

Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...

Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:

Ας δούμε την εικόνα.

Το βλέπουμε αυτό

, και ταυτόχρονα

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:

.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 2:

Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο γειτονικών:

Επιπλέον, από τότε

, και ταυτόχρονα

, Οτι

, και ως εκ τούτου

Κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας με title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Τύπος του ου όρου.

Βλέπουμε ότι οι όροι της αριθμητικής προόδου ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις:

και τελικά

Πήραμε τύπος του ν ου όρου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί μέσω και. Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε από τους όρους του.

Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που ισαπέχουν από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:

Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n όρους. Έστω το άθροισμα των n όρων αυτής της προόδου ίσο με .

Ας τακτοποιήσουμε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:

Ας προσθέσουμε ανά δύο:

Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.

Παίρνουμε:

Ετσι, Το άθροισμα των n όρων μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ας σκεφτούμε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.

1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου όρου: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών όρων της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.

Βρήκαμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...

α) Να βρείτε 31 όρους της προόδου.

β) Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτή την εξέλιξη.

ΕΝΑ)Βλέπουμε ότι ?

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.

Γενικά

Στην περίπτωσή μας , Να γιατί

Αριθμητική πρόοδοςονομάστε μια ακολουθία αριθμών (όροι μιας προόδου)

Στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο με έναν νέο όρο, ο οποίος ονομάζεται επίσης διαφορά βήματος ή προόδου.

Έτσι, προσδιορίζοντας το βήμα προόδου και τον πρώτο όρο του, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα στοιχεία του χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ιδιότητες μιας αριθμητικής προόδου

1) Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο αριθμό, είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου μέλους της προόδου

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια. Εάν ο αριθμητικός μέσος όρος των παρακείμενων περιττών (άρτιων) όρων μιας προόδου είναι ίσος με τον όρο που βρίσκεται ανάμεσά τους, τότε αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μια αριθμητική πρόοδος. Χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση, είναι πολύ εύκολο να ελέγξετε οποιαδήποτε ακολουθία.

Επίσης, με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί ως εξής

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί εάν γράψετε τους όρους στα δεξιά του πρόσημου ίσου

Συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη για την απλοποίηση των υπολογισμών σε προβλήματα.

2) Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Θυμηθείτε καλά τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απαραίτητος στους υπολογισμούς και βρίσκεται αρκετά συχνά σε απλές καταστάσεις ζωής.

3) Εάν χρειάζεται να βρείτε όχι ολόκληρο το άθροισμα, αλλά μέρος της ακολουθίας που ξεκινά από τον kth όρο της, τότε ο παρακάτω τύπος αθροίσματος θα σας φανεί χρήσιμος

4) Πρακτικό ενδιαφέρον είναι η εύρεση του αθροίσματος n όρων μιας αριθμητικής προόδου που ξεκινά από τον kth αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο

Αυτό ολοκληρώνει το θεωρητικό υλικό και προχωρά στην επίλυση κοινών προβλημάτων στην πράξη.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τον τεσσαρακοστό όρο της αριθμητικής προόδου 4;7;...

Λύση:

Σύμφωνα με την συνθήκη που έχουμε

Ας προσδιορίσουμε το βήμα προόδου

Χρησιμοποιώντας έναν πολύ γνωστό τύπο, βρίσκουμε τον τεσσαρακοστό όρο της προόδου

Παράδειγμα 2. Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον τρίτο και τον έβδομο όρο του. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου και το άθροισμα του δέκα.

Λύση:

Ας γράψουμε τα δεδομένα της προόδου χρησιμοποιώντας τους τύπους

Αφαιρούμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση, με αποτέλεσμα να βρίσκουμε το βήμα προόδου

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να βρούμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου

Υπολογίζουμε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της προόδου

Χωρίς να χρησιμοποιήσουμε σύνθετους υπολογισμούς, βρήκαμε όλες τις απαιτούμενες ποσότητες.

Παράδειγμα 3. Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον παρονομαστή και έναν από τους όρους του. Βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου, το άθροισμα των 50 όρων του ξεκινώντας από το 50 και το άθροισμα των πρώτων 100.

Λύση:

Ας γράψουμε τον τύπο για το εκατοστό στοιχείο της προόδου

και βρείτε το πρώτο

Με βάση το πρώτο, βρίσκουμε τον 50ό όρο της προόδου

Εύρεση του αθροίσματος του μέρους της προόδου

και το άθροισμα των 100 πρώτων

Το ποσό της προόδου είναι 250.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε τον αριθμό των όρων μιας αριθμητικής προόδου αν:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Λύση:

Ας γράψουμε τις εξισώσεις ως προς τον πρώτο όρο και το βήμα προόδου και ας τις προσδιορίσουμε

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο αθροίσματος για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των όρων στο άθροισμα

Κάνουμε απλοποιήσεις

και λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τις δύο τιμές που βρέθηκαν, μόνο ο αριθμός 8 ταιριάζει στις συνθήκες του προβλήματος. Έτσι, το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων της προόδου είναι 111.

Παράδειγμα 5.

Λύστε την εξίσωση

1+3+5+...+x=307.

Λύση: Αυτή η εξίσωση είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Ας γράψουμε τον πρώτο όρο του και ας βρούμε τη διαφορά στην εξέλιξη

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτή την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου.
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γείτονά του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Αλλά δεν γνωρίζουμε τις έννοιες τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της προόδου.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα "κατά μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των πρώτων στοιχείων \(n\).
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων στο άθροισμα.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχεις τα πάντα απαραίτητες πληροφορίεςγια την επίλυση σχεδόν κάθε προβλήματος αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως; Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να γίνει μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.