ΚΟΣΤΡΩΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ RCB

Τμήμα Αυτοματισμού Ελέγχου Στρατευμάτων

Μόνο για εκπαιδευτικούς

"Εγκρίνω"

Προϊστάμενος Τμήματος Νο. 9

Ο συνταγματάρχης YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

Αναπληρωτής Καθηγητής A.I. SMIRNOVA

«ΠΡΟΚΡΙΤΙΚΑ.

ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ»

ΔΙΑΛΕΞΗ Νο. 2 / 1

Συζητήθηκε στη συνεδρίαση του τμήματος Νο. 9

"____"___________ 2004

Αριθμός πρωτοκόλλου ___________

Kostroma, 2004.

Εισαγωγή

1. Ορίζουσες δεύτερης και τρίτης τάξης.

2. Ιδιότητες οριζόντιων παραγόντων. Θεώρημα αποσύνθεσης.

3. Θεώρημα Cramer.

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

1. V.E. Οι Schneider et al. Σύντομο μάθημαΑνώτερα Μαθηματικά, Τόμος Ι, Κεφ. 2, παράγραφος 1.

2. V.S. Shchipachev, Ανώτερα Μαθηματικά, κεφάλαιο 10, παράγραφος 2.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διάλεξη συζητά καθοριστικούς παράγοντες της δεύτερης και τρίτης τάξης και τις ιδιότητές τους. Και επίσης το θεώρημα του Cramer, το οποίο επιτρέπει την επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσειςχρησιμοποιώντας προκριματικά. Οι ορίζουσες χρησιμοποιούνται επίσης αργότερα στο θέμα «Διανυσματική Άλγεβρα» κατά τον υπολογισμό του διανυσματικού γινόμενου των διανυσμάτων.

1η ερώτηση μελέτης ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΟΙ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΡΙΤΟΥ

ΣΕΙΡΑ

Εξετάστε έναν πίνακα με τέσσερις αριθμούς της φόρμας

Οι αριθμοί στον πίνακα υποδεικνύονται με ένα γράμμα με δύο δείκτες. Το πρώτο ευρετήριο δείχνει τον αριθμό της σειράς, το δεύτερο τον αριθμό της στήλης.

ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Ορίζουσα δεύτερης τάξης που ονομάζεται έκφραση είδος :

(1)

Αριθμοί ΕΝΑ 11, …, ΕΝΑ 22 ονομάζονται στοιχεία της ορίζουσας.

Διαγώνιος που σχηματίζεται από στοιχεία ΕΝΑ 11 ; ΕΝΑΤο 22 ονομάζεται το κύριο και η διαγώνιος που σχηματίζεται από τα στοιχεία ΕΝΑ 12 ; ΕΝΑ 21 - δίπλα-δίπλα.

Έτσι, η ορίζουσα δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των γινομένων των στοιχείων της κύριας και της δευτερεύουσας διαγωνίου.

Σημειώστε ότι η απάντηση είναι ένας αριθμός.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.Υπολογίζω:

Τώρα σκεφτείτε έναν πίνακα με εννέα αριθμούς, γραμμένους σε τρεις σειρές και τρεις στήλες:

ΟΡΙΣΜΟΣ 2. Ορίζουσα τρίτης τάξης ονομάζεται έκφραση της μορφής :

Στοιχεία ΕΝΑ 11; ΕΝΑ 22 ; ΕΝΑ 33 – σχηματίστε την κύρια διαγώνιο.

Αριθμοί ΕΝΑ 13; ΕΝΑ 22 ; ΕΝΑ 31 – σχηματίστε μια πλευρική διαγώνιο.

Ας απεικονίσουμε σχηματικά πώς σχηματίζονται οι όροι συν και πλην:

" + " " – "

Το συν περιλαμβάνει: το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, οι υπόλοιποι δύο όροι είναι το γινόμενο των στοιχείων που βρίσκονται στις κορυφές τριγώνων με βάσεις παράλληλες προς την κύρια διαγώνιο.

Οι όροι μείον σχηματίζονται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα σε σχέση με τη δευτερεύουσα διαγώνιο.

Αυτός ο κανόνας για τον υπολογισμό της ορίζουσας τρίτης τάξης ονομάζεται

Κανόνας T reugolnikov.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου:

ΣΧΟΛΙΟ. Οι ορίζουσες ονομάζονται και ορίζουσες.

2η ερώτηση μελέτης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΩΝ.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΣ

Ιδιοκτησία 1. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν οι σειρές της αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες στήλες.

.

Αποκαλύπτοντας και τους δύο καθοριστικούς παράγοντες, είμαστε πεπεισμένοι για την εγκυρότητα της ισότητας.

Η ιδιότητα 1 καθορίζει την ισότητα των γραμμών και στηλών της ορίζουσας. Επομένως, θα διατυπώσουμε όλες τις περαιτέρω ιδιότητες της ορίζουσας τόσο για γραμμές όσο και για στήλες.

Ιδιοκτησία 2. Κατά την αναδιάταξη δύο σειρών (ή στηλών), η ορίζουσα αλλάζει το πρόσημο στην αντίθετη, διατηρώντας την απόλυτη τιμή της .

.

Ιδιοκτησία 3. Συνολικός πολλαπλασιαστήςστοιχεία σειράς (ή στήλη)μπορεί να αφαιρεθεί ως καθοριστικό σημάδι.

.

Ιδιοκτησία 4. Αν η ορίζουσα έχει δύο πανομοιότυπες γραμμές(ή στήλη), τότε είναι ίσο με μηδέν.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί με άμεση επαλήθευση ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα 2.

Ας υποδηλώσουμε την ορίζουσα με D. Όταν αναδιαταχθούν δύο όμοιες πρώτη και δεύτερη σειρά, δεν θα αλλάξει, αλλά σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα πρέπει να αλλάξει πρόσημο, δηλ.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Ιδιοκτησία 5. Αν όλα τα στοιχεία μιας συμβολοσειράς (ή στήλη)είναι ίσα με μηδέν, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Αυτή η ιδιοκτησία μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωσηακίνητα 3 στο

Ιδιοκτησία 6. Αν τα στοιχεία δύο γραμμών (ή στήλες)οι ορίζουσες είναι ανάλογες, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

.

Μπορεί να αποδειχθεί με άμεση επαλήθευση ή χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες 3 και 4.

Ιδιοκτησία 7. Η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) προστεθούν στα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

.

Αποδεικνύεται με άμεση επαλήθευση.

Η χρήση αυτών των ιδιοτήτων μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να διευκολύνει τη διαδικασία υπολογισμού οριζόντων, ειδικά τρίτης τάξης.

Για όσα ακολουθούν θα χρειαστούμε τις έννοιες ελάσσονα και αλγεβρικό συμπλήρωμα. Ας εξετάσουμε αυτές τις έννοιες για να ορίσουμε την τρίτη σειρά.

ΟΡΙΣΜΟΣ 3. Ανήλικος ενός δεδομένου στοιχείου μιας ορίζουσας τρίτης τάξης ονομάζεται ορίζουσα δεύτερης τάξης που λαμβάνεται από ένα δεδομένο στοιχείο διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη στη τομή των οποίων βρίσκεται το δεδομένο στοιχείο.

Στοιχείο δευτερεύον ΕΝΑ Εγώ ισυμβολίζεται με Μ Εγώ ι. Έτσι για το στοιχείο ΕΝΑ 11 ανήλικο

Λαμβάνεται διαγράφοντας την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη στην ορίζουσα τρίτης τάξης.

ΟΡΙΣΜΟΣ 4. Αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου της ορίζουσας το λένε δευτερεύον πολλαπλασιασμένο επί (-1)κ , Οπου κ - το άθροισμα των αριθμών της γραμμής και της στήλης στην τομή των οποίων βρίσκεται αυτό το στοιχείο.

Αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου ΕΝΑ Εγώ ισυμβολίζεται με ΕΝΑ Εγώ ι .

Ετσι, ΕΝΑ Εγώ ι =

.

Ας γράψουμε τις αλγεβρικές προσθήκες για τα στοιχεία ΕΝΑ 11 και ΕΝΑ 12.

. .

Είναι χρήσιμο να θυμάστε τον κανόνα: το αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου μιας ορίζουσας είναι ίσο με το υπογεγραμμένο δευτερεύον του συν, αν το άθροισμα των αριθμών γραμμής και στήλης στις οποίες εμφανίζεται το στοιχείο είναι ακόμη και,και με ένα σημάδι μείον, εάν αυτό το ποσό Περιττός .

Αρχική > Έγγραφο

ΠΙΝΑΚΕΣ, ΟΡΙΣΤΕΣ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ MATRIX. ΕΙΔΗ ΜΕΤΡΩΝΜήτρα μεγέθους m× nονομάζεται σετ m·nαριθμοί διατεταγμένοι σε ορθογώνιο πίνακα του Μγραμμές και nστήλες. Αυτός ο πίνακας συνήθως περικλείεται σε παρένθεση. Για παράδειγμα, ο πίνακας μπορεί να μοιάζει με:

Για συντομία, ένας πίνακας μπορεί να υποδηλωθεί με ένα μόνο κεφαλαίο γράμμα, για παράδειγμα, ΕΝΑή ΣΕ.ΣΕ γενική εικόναμέγεθος μήτρας Μ× nγράψε το έτσι

.

Οι αριθμοί που απαρτίζουν τον πίνακα καλούνται στοιχεία μήτρας. Είναι βολικό να παρέχονται στοιχεία μήτρας με δύο δείκτες ένα ij: Το πρώτο δείχνει τον αριθμό της σειράς και το δεύτερο τον αριθμό της στήλης. Για παράδειγμα, ένα 23 - το στοιχείο βρίσκεται στη 2η σειρά, 3η στήλη. Εάν ο αριθμός των γραμμών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών, τότε ο πίνακας καλείται τετράγωνο, και καλείται ο αριθμός των γραμμών ή στηλών του για ναμήτρες. Στα παραπάνω παραδείγματα, ο δεύτερος πίνακας είναι τετράγωνος - η σειρά του είναι 3 και ο τέταρτος πίνακας είναι η σειρά του 1. Ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των σειρών δεν είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών ονομάζεται ορθογώνιος. Στα παραδείγματα, αυτός είναι ο πρώτος πίνακας και ο τρίτος. Υπάρχουν επίσης πίνακες που έχουν μόνο μία γραμμή ή μία στήλη. Ένας πίνακας με μία μόνο γραμμή ονομάζεται μήτρα - σειρά(ή συμβολοσειρά) και έναν πίνακα με μία μόνο στήλη μήτρα - στήλη.Ένας πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν ονομάζεται μηδενικόκαι συμβολίζεται με (0), ή απλά 0. Για παράδειγμα,

.

Κύρια διαγώνιοςενός τετραγωνικού πίνακα ονομάζουμε τη διαγώνιο που πηγαίνει από πάνω αριστερά προς τα δεξιά κάτω γωνία.

Ονομάζεται τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν τριγωνικόςμήτρα.

.

Ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία, εκτός ίσως από αυτά στην κύρια διαγώνιο, είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται διαγώνιοςμήτρα. Για παράδειγμα, ή .. Καλείται ένας διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα μονόκλινομήτρα και συμβολίζεται με το γράμμα Ε. Για παράδειγμα, ο πίνακας ταυτότητας 3ης τάξης έχει τη μορφή .ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΣΕ ΜΗΤΡΕΣΙσότητα μήτρας. Δύο πίνακες ΕΝΑΚαι σιλέγονται ίσα αν έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα ένα ij = σι ij. Οπότε αν Και , Οτι Α=Β, Αν ένα 11 = β 11 , ένα 12 = β 12 , ένα 21 = β 21 Και ένα 22 = β 22 .Μεταθέτω. Σκεφτείτε έναν αυθαίρετο πίνακα ΕΝΑαπό Μγραμμές και nστήλες. Μπορεί να συσχετιστεί με τον ακόλουθο πίνακα σιαπό nγραμμές και Μστήλες, στις οποίες κάθε σειρά είναι μια στήλη μήτρας ΕΝΑμε τον ίδιο αριθμό (άρα κάθε στήλη είναι μια γραμμή του πίνακα ΕΝΑμε τον ίδιο αριθμό). Οπότε αν , Οτι .Αυτή η μήτρα σιπου ονομάζεται μεταφερθείμήτρα ΕΝΑ, και η μετάβαση από ΕΝΑΠρος την Β μεταφοράΈτσι, η μεταφορά είναι μια αντιστροφή των ρόλων των γραμμών και στηλών του πίνακα. Ο πίνακας μεταφέρεται σε μήτρα ΕΝΑ, συνήθως υποδηλώνεται ΕΝΑ Τ.Σχέση μεταξύ μήτρας ΕΝΑκαι η μετάθεσή του μπορεί να γραφτεί με τη μορφή . Για παράδειγμα.Βρείτε τον πίνακα που έχει μεταφερθεί στο δεδομένο. Προσθήκη μήτρας.Αφήστε τις μήτρες ΕΝΑΚαι σιαποτελείται από τον ίδιο αριθμόσειρές και τον ίδιο αριθμό στηλών, δηλ. έχω ίδια μεγέθη. Στη συνέχεια, για να προσθέσετε πίνακες ΕΝΑΚαι σιαπαιτούνται για στοιχεία μήτρας ΕΝΑπροσθήκη στοιχείων μήτρας σιστέκεται στα ίδια σημεία. Έτσι, το άθροισμα δύο πινάκων ΕΝΑΚαι σιονομάζεται μήτρα ντο, που καθορίζεται από τον κανόνα, για παράδειγμα,

Παραδείγματα.Βρείτε το άθροισμα των πινάκων: Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η πρόσθεση πίνακα υπακούει στους ακόλουθους νόμους: commutative Α+Β=Β+Ακαι συνειρμικό ( Α+Β)+ντο=ΕΝΑ+(Β+Γ).Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.Για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα ΕΝΑανά αριθμό κκάθε στοιχείο της μήτρας είναι απαραίτητο ΕΝΑπολλαπλασιάστε με αυτόν τον αριθμό. Έτσι, το γινόμενο μήτρας ΕΝΑανά αριθμό κυπάρχει ένας νέος πίνακας, ο οποίος καθορίζεται από τον κανόνα ή .Για τυχόν αριθμούς έναΚαι σικαι πίνακες ΕΝΑΚαι σιισχύουν οι ακόλουθες ισότητες: Παραδείγματα. . Μήτρα ντοδεν μπορεί να βρεθεί, γιατί μήτρες ΕΝΑΚαι σιέχουν διαφορετικά μεγέθη. Πολλαπλασιασμός μήτρας.Αυτή η λειτουργία πραγματοποιείται σύμφωνα με έναν περίεργο νόμο. Πρώτα απ 'όλα, σημειώνουμε ότι τα μεγέθη των πινάκων παραγόντων πρέπει να είναι συνεπή. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε μόνο εκείνους τους πίνακες στους οποίους ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα συμπίπτει με τον αριθμό των σειρών του δεύτερου πίνακα (δηλαδή, το μήκος της πρώτης σειράς είναι ίσο με το ύψος της δεύτερης στήλης). Η δουλειάμήτρες ΕΝΑόχι μήτρα σιονομάζεται η νέα μήτρα C=AB, τα στοιχεία του οποίου αποτελούνται ως εξής:

Έτσι, για παράδειγμα, για να ληφθεί το προϊόν (δηλ. στη μήτρα ντο) στοιχείο που βρίσκεται στην 1η σειρά και στην 3η στήλη ντο 13 , πρέπει να πάρετε την 1η σειρά στον 1ο πίνακα, την 3η στήλη στον 2ο και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε τα στοιχεία της γραμμής με τα αντίστοιχα στοιχεία στήλης και να προσθέσετε τα προκύπτοντα γινόμενα. Και άλλα στοιχεία του πίνακα γινομένων λαμβάνονται χρησιμοποιώντας ένα παρόμοιο γινόμενο των σειρών του πρώτου πίνακα και των στηλών του δεύτερου πίνακα.Γενικά, αν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα Α = (α ij ) Μέγεθος Μ× nστη μήτρα Β = (β ij ) Μέγεθος n× Π, τότε παίρνουμε τον πίνακα ντοΜέγεθος Μ× Π, τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται ως εξής: στοιχείο ντο ijλαμβάνεται ως αποτέλεσμα του γινομένου στοιχείων Εγώη σειρά του πίνακα ΕΝΑστα αντίστοιχα στοιχεία ιη στήλη μήτρας σιΑπό αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι μπορείτε πάντα να πολλαπλασιάσετε δύο τετράγωνους πίνακες ίδιας σειράς, με αποτέλεσμα να λαμβάνουμε τετράγωνο πίνακα της ίδιας σειράς. Συγκεκριμένα, ένας τετραγωνικός πίνακας μπορεί πάντα να πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του, δηλ. Μια άλλη σημαντική περίπτωση είναι ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα σειρών με έναν πίνακα στήλης και το πλάτος του πρώτου πρέπει να είναι ίσο με το ύψος του δεύτερου, με αποτέλεσμα έναν πίνακα πρώτης τάξης (δηλαδή, ένα στοιχείο). Πραγματικά,

.

Παραδείγματα. Βρείτε στοιχεία ντο 12 , ντο 23 Και ντο 21 μήτρες ντο.

Βρείτε το γινόμενο των πινάκων.

.
Εύρημα ΑΒΚαι VA. Εύρημα ΑΒΚαι VA. , Β·ΑΈτσι, αυτά τα απλά παραδείγματα δείχνουν ότι οι πίνακες, σε γενικές γραμμές, δεν μετακινούνται μεταξύ τους, δηλ. A∙B ≠ B∙A . Επομένως, όταν πολλαπλασιάζετε πίνακες, πρέπει να παρακολουθείτε προσεκτικά τη σειρά των παραγόντων.Μπορείτε να ελέγξετε ότι οι πολλαπλασιαστικοί πίνακες υπακούουν σε συνειρμικούς και διανεμητικούς νόμους, π.χ. (AB)C=A(BC)Και (A+B)C=AC+BC.Είναι επίσης εύκολο να το ελέγξετε όταν πολλαπλασιάζετε έναν τετραγωνικό πίνακα ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας μιτης ίδιας σειράς παίρνουμε πάλι έναν πίνακα ΕΝΑ, και ΑΕ=ΕΑ=ΑΜπορεί να σημειωθεί το ακόλουθο ενδιαφέρον γεγονός. Όπως γνωρίζετε, το γινόμενο 2 μη μηδενικών αριθμών δεν είναι ίσο με 0. Για πίνακες αυτό μπορεί να μην ισχύει, δηλ. το γινόμενο 2 μη μηδενικών πινάκων μπορεί να αποδειχθεί ίσο με τον μηδενικό πίνακα. Για παράδειγμα, Αν , Οτι

.

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝΑς δοθεί ένας πίνακας δεύτερης τάξης - ένας τετράγωνος πίνακας που αποτελείται από δύο σειρές και δύο στήλες. Ορίζουσα δεύτερης τάξηςπου αντιστοιχεί σε μια δεδομένη μήτρα είναι ο αριθμός που προκύπτει ως εξής: ένα 11 ένα 22 -ένα 12 ένα 21 .Η ορίζουσα υποδεικνύεται με το σύμβολο Έτσι, για να βρείτε την ορίζουσα δεύτερης τάξης, πρέπει να αφαιρέσετε το γινόμενο των στοιχείων κατά μήκος της δεύτερης διαγωνίου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου. Παραδείγματα.Υπολογίστε ορίζουσες δεύτερης τάξης.

Ομοίως, μπορούμε να εξετάσουμε έναν πίνακα τρίτης τάξης και τον αντίστοιχο προσδιοριστή του. Ορίζουσα τρίτης τάξης, που αντιστοιχεί σε δεδομένο τετραγωνικό πίνακα τρίτης τάξης, είναι ο αριθμός που συμβολίζεται και λαμβάνεται ως εξής:

.

Έτσι, αυτός ο τύπος δίνει την επέκταση της ορίζουσας τρίτης τάξης ως προς τα στοιχεία της πρώτης σειράς ένα 11 , ένα 12 , ένα 13 και μειώνει τον υπολογισμό της ορίζουσας τρίτης τάξης στον υπολογισμό της ορίζουσας δεύτερης τάξης. Παραδείγματα.Υπολογίστε την ορίζουσα τρίτης τάξης.
. (Χ+3)(4Χ-4-3Χ)+4(3Χ-4Χ+4)=0. (Χ+3)(Χ-4)+4(-Χ+4)=0. (Χ-4)(Χ-1)=0. Χ 1 = 4, Χ 2 = 1. Ομοίως, μπορείτε να εισαγάγετε τις έννοιες των ορίζουσες του τέταρτου, του πέμπτου κ.λπ. τάξεις, μειώνοντας τη σειρά τους επεκτείνοντας τα στοιχεία της 1ης σειράς, ενώ τα πρόσημα «+» και «–» των όρων εναλλάσσονται. Άρα, σε αντίθεση με έναν πίνακα, που είναι ένας πίνακας αριθμών, ορίζουσα είναι ένας αριθμός που είναι βάλτε σε αντιστοιχία με έναν συγκεκριμένο τρόπο μήτρα.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΩΝ

Απόδειξηδιενεργείται με επαλήθευση, δηλ. συγκρίνοντας και τις δύο πλευρές της γραπτής ισότητας. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες αριστερά και δεξιά:

Κατά την αναδιάταξη 2 σειρών ή στηλών, η ορίζουσα θα αλλάξει το πρόσημά της στο αντίθετο, διατηρώντας την απόλυτη τιμή, π.χ.

Απόδειξηεκτελείται παρόμοια με την απόδειξη της ιδιότητας 1 συγκρίνοντας και τα δύο μέρη. Ας το πραγματοποιήσουμε για την ορίζουσα δεύτερης τάξης.

Για την ορίζουσα τρίτης τάξης, ελέγξτε την μόνοι σας. Πράγματι, αν αναδιατάξουμε τη 2η και την 3η γραμμή εδώ, τότε από την ιδιότητα 2 αυτή η ορίζουσα θα πρέπει να αλλάξει πρόσημο, αλλά η ίδια η ορίζουσα βρίσκεται σε σε αυτήν την περίπτωσηδεν αλλάζει, δηλ. παίρνουμε | ΕΝΑ| = –|ΕΝΑ| ή | ΕΝΑ| = 0. Απόδειξηδιενεργείται με επαλήθευση, όπως ιδιοκτησία 1. (Ανεξάρτητα)

Αν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης μιας ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν, τότε η ίδια η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν. (Απόδειξη με επαλήθευση). Εάν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης μιας ορίζουσας παρουσιάζονται ως άθροισμα 2 όρων, τότε η ορίζουσα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα 2 οριζόντων χρησιμοποιώντας τον τύπο, για παράδειγμα,

.

Απόδειξη- επαλήθευση, παρόμοια με την ιδιοκτησία 1.

Αν σε οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη) της ορίζουσας προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό, τότε η ορίζουσα δεν θα αλλάξει την τιμή της. Για παράδειγμα,

. Ας αποδείξουμε αυτή την ισότητα χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες ιδιότητες της ορίζουσας.
Αυτές οι ιδιότητες των οριζόντων χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά κατά τον υπολογισμό οριζόντων και σε διάφορα προβλήματα. ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΙΟΡΑς έχουμε έναν ορίζοντα τρίτης τάξης: .Ανήλικος, που αντιστοιχεί σε αυτό το στοιχείο ένα ijορίζουσα τρίτης τάξης ονομάζεται ορίζουσα δεύτερης τάξης που λαμβάνεται από μια δεδομένη διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη στη τομή των οποίων βρίσκεται το δεδομένο στοιχείο, δηλ. Εγώ-η γραμμή και ιη στήλη. Ανήλικοι που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο στοιχείο ένα ijθα υποδηλώσουμε Μ ij .Για παράδειγμα, ανήλικο Μ 12 , που αντιστοιχεί στο στοιχείο ένα 12 , θα υπάρχει καθοριστικός παράγοντας , που προκύπτει διαγράφοντας την 1η σειρά και τη 2η στήλη από μια δεδομένη ορίζουσα.Έτσι, ο τύπος που ορίζει την ορίζουσα τρίτης τάξης δείχνει ότι αυτή η ορίζουσα ίσο με το άθροισμαπροϊόντα των στοιχείων της 1ης σειράς από τα αντίστοιχα ανήλικα. σε αυτή την περίπτωση το δευτερεύον που αντιστοιχεί στο στοιχείο ένα 12 , λαμβάνεται με σύμβολο «–», δηλ. μπορούμε να το γράψουμε Παρομοίως, μπορούμε να εισαγάγουμε ορισμούς ανηλίκων για ορίζοντες δεύτερης τάξης και υψηλότερης τάξης. Ας εισαγάγουμε μια ακόμη έννοια. Αλγεβρικό συμπλήρωμαστοιχείο ένα ijη ορίζουσα λέγεται ελάσσων της Μ ij, πολλαπλασιαζόμενο με (–1) i+j .Αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείου ένα ijσυμβολίζεται με ΕΝΑ ij.Από τον ορισμό διαπιστώνουμε ότι η σύνδεση μεταξύ του αλγεβρικού συμπληρώματος ενός στοιχείου και του ελάσσονος του εκφράζεται με την ισότητα ΕΝΑ ij= (–1) i+j Μ ij . Για παράδειγμα, Παράδειγμα.Δίνεται μια καθοριστική. Εύρημα ΕΝΑ 13 , ΕΝΑ 21 , ΕΝΑ 32 .

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων, ο τύπος (1) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: Ομοίως με αυτόν τον τύπο, μπορείτε να λάβετε την επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης. Για παράδειγμα, το Η επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία της 2ης σειράς μπορεί να ληφθεί ως εξής. Σύμφωνα με την ιδιότητα 2 της ορίζουσας, έχουμε: Ας επεκτείνουμε την προκύπτουσα ορίζουσα στα στοιχεία της 1ης σειράς.

.

Από εδώ επειδή Οι ορίζουσες δεύτερης τάξης στον τύπο (2) είναι δευτερεύουσες των στοιχείων ένα 21 , ένα 22 , ένα 23 . Έτσι, δηλ. λάβαμε την επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία της 2ης σειράς Ομοίως, μπορούμε να λάβουμε την επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία της τρίτης σειράς. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 των οριζόντων (σχετικά με τη μεταφορά), μπορούμε να δείξουμε ότι παρόμοιες επεκτάσεις ισχύουν και όταν επεκτείνονται κατά στοιχεία στηλών.Έτσι, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα (σχετικά με την επέκταση μιας ορίζουσας σε μια δεδομένη γραμμή ή στήλη).Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε γραμμής (ή στηλών) και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους.Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για ορίζουσες οποιασδήποτε υψηλότερης τάξης. Παραδείγματα.

Υπολογίστε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές της. Πριν επεκτείνουμε την ορίζουσα στα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής, την ανάγουμε σε ορίζουσες τρίτης τάξης, τη μετατρέπουμε χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 7, δημιουργώντας όλα τα στοιχεία σε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη εκτός από μία, ίσο με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι βολικό να εξετάσετε την 4η στήλη ή την 4η σειρά:

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΜΗΤΡΑ

Η έννοια της αντίστροφης μήτρας εισάγεται μόνο για τετράγωνες μήτρες.Αν ΕΝΑείναι λοιπόν ένας τετραγωνικός πίνακας ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗγια αυτό μια μήτρα είναι μια μήτρα, που συμβολίζεται ΕΝΑ -1 και ικανοποιεί την προϋπόθεση. (Ο ορισμός αυτός εισάγεται κατ' αναλογία με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών) Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα.Για τετράγωνο πίνακα ΕΝΑείχε αντίστροφο, είναι απαραίτητο και επαρκές η ορίζουσα της να είναι διαφορετική από το μηδέν. Απόδειξη:

Ανάγκη. Αφήστε για το matrix ΕΝΑυπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας ΕΝΑ -1 . Ας δείξουμε ότι | ΕΝΑ| ≠ 0.

Πρώτα από όλα, σημειώνουμε ότι μπορούμε να αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα των οριζόντων. Ας υποθέσουμε ότι | ΕΝΑ| = 0. Τότε . Αλλά με άλλο τρόπο . Η αντίφαση που προκύπτει αποδεικνύει ότι | ΕΝΑ| ≠ 0. Ας δείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση ο αντίστροφος πίνακας θα είναι ο πίνακας , Οπου ΕΝΑ ijαλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου ένα ij. Ας βρούμε AB=C. Σημειώστε ότι όλα τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα ντοθα είναι ίσο με 1. Πράγματι, για παράδειγμα,

Ομοίως, χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία μιας συμβολοσειράς, μπορεί να αποδειχθεί ότι ντο 22 =γ 33 = 1. Επιπλέον, όλα τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα ντοείναι ίσα με μηδέν. Για παράδειγμα,
Ως εκ τούτου, ΑΒ=Ε. Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι ΒΑ=Ε. Να γιατί Β=Α -1 Έτσι, το θεώρημα περιέχει μια μέθοδο για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα. Εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος, τότε ο πίνακας αντίστροφος προς τον πίνακα βρίσκεται ως εξής

,

Οπου ΕΝΑ ij- αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων ένα ijδεδομένης μήτρας ΕΝΑ.Έτσι, για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα που χρειάζεστε: Ομοίως για πίνακες δεύτερης τάξης, το αντίστροφο θα είναι ο ακόλουθος πίνακας .Παραδείγματα. |ΕΝΑ| = 2. Να βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα ΕΝΑ. Εξέταση: . Επίσης A∙A -1 = Ε. . Ας υπολογίσουμε | ΕΝΑ| = 4. Τότε . .

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστουςονομάζεται σύστημα της μορφής

Οπου ένα ijΚαι σι Εγώ (Εγώ=1,…,Μ; σι=1,…,n) - μερικοί γνωστούς αριθμούς, ΕΝΑ Χ 1 ,…,Χ n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijπρώτος δείκτης Εγώδηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης, και το δεύτερο ι– ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής Θα γράψουμε τους συντελεστές για τους αγνώστους με τη μορφή πίνακα, τον οποίο θα ονομάσουμε μήτρα του συστήματος.Οι αριθμοί στις δεξιές πλευρές των εξισώσεων είναι σι 1 ,…,σι Μλέγονται ελεύθερα μέλη.Ολότητα nαριθμοί ντο 1 ,…,ντο nπου ονομάζεται απόφασηενός δεδομένου συστήματος, αν κάθε εξίσωση του συστήματος γίνεται ισότητα μετά την αντικατάσταση αριθμών σε αυτήν ντο 1 ,…,ντο nαντί των αντίστοιχων αγνώστων Χ 1 ,…,Χ n.Το καθήκον μας θα είναι να βρούμε λύσεις στο σύστημα. Στην περίπτωση αυτή, μπορεί να προκύψουν τρεις καταστάσεις: Καλείται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση άρθρωση. Διαφορετικά, δηλ. αν το σύστημα δεν έχει λύσεις, τότε καλείται μη άρθρωσηΑς εξετάσουμε τρόπους για να βρούμε λύσεις στο σύστημα. ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΗΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝΟι πίνακες καθιστούν δυνατή τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Έστω ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Εξετάστε τη μήτρα του συστήματος και πίνακες στήλες αγνώστων και ελεύθερων όρων Ας βρούμε τη δουλειά

εκείνοι. Ως αποτέλεσμα του γινόμενου, λαμβάνουμε τις αριστερές πλευρές των εξισώσεων αυτού του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ισότητας πίνακα αυτό το σύστημαμπορεί να γραφτεί στη φόρμα ή μικρότερη ΕΝΑ∙X=B.Εδώ είναι οι πίνακες ΕΝΑΚαι σιείναι γνωστά, και η μήτρα Χάγνωστος. Είναι απαραίτητο να το βρείτε, γιατί... τα στοιχεία του είναι η λύση σε αυτό το σύστημα. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μήτρας.Έστω η ορίζουσα του πίνακα διαφορετική από το μηδέν | ΕΝΑ| ≠ 0. Τότε η εξίσωση του πίνακα λύνεται ως εξής. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στα αριστερά με τον πίνακα ΕΝΑ -1 , αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ: . Επειδή η ΕΝΑ -1 Α=ΕΚαι μι∙Χ = Χ, τότε λαμβάνουμε μια λύση στην εξίσωση του πίνακα με τη μορφή Χ = Α -1 σι Σημειώστε ότι εφόσον ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί μόνο για τετραγωνικούς πίνακες, η μέθοδος του πίνακα μπορεί να λύσει μόνο εκείνα τα συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων. Ωστόσο, η καταγραφή μήτρας του συστήματος είναι επίσης δυνατή στην περίπτωση που ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τότε ο πίνακας ΕΝΑδεν θα είναι τετράγωνο και επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί λύση στο σύστημα στη μορφή Χ = Α -1 σι.Παραδείγματα.Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Ας βρούμε τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα ΕΝΑ. , Ετσι, Χ = 3, y = – 1.
Ετσι, Χ 1 =4,Χ 2 =3,Χ 3 =5. Ας εκφράσουμε τον απαιτούμενο πίνακα Χαπό τη δεδομένη εξίσωση. Ας βρούμε τη μήτρα ΕΝΑ -1 . Εξέταση: Από την εξίσωση παίρνουμε . Ως εκ τούτου, ΚΑΝΟΝΑΣ ΚΡΑΜΕΡΘεωρήστε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

Ορίζουσα τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος, δηλ. που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους,

που ονομάζεται καθοριστικό στοιχείο του συστήματοςΑς συνθέσουμε τρεις ακόμη ορίζουσες ως εξής: αντικαταστήστε διαδοχικά 1, 2 και 3 στήλες στην ορίζουσα D με μια στήλη ελεύθερων όρων

Τότε μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα. Θεώρημα (κανόνας Cramer).Αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το εξεταζόμενο σύστημα έχει μία και μόνο μία λύση, και

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η εξίσωση του συστήματος με το αλγεβρικό συμπλήρωμα ΕΝΑ 11 στοιχείο ένα 11 , 2η εξίσωση – on ΕΝΑ 21 και 3η – στις ΕΝΑ 31 :

Ας προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις:

Ας δούμε καθεμία από τις αγκύλες και σωστη πλευρααυτή η εξίσωση. Με το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία της 1ης στήλης

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι και .Τέλος, είναι εύκολο να το παρατηρήσετε Έτσι, προκύπτει η ισότητα: .Επομένως, .Οι ισότητες και προκύπτουν ομοίως, από την οποία προκύπτει η πρόταση του θεωρήματος.Έτσι, σημειώνουμε ότι αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και αντίστροφα. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα είτε έχει άπειρο αριθμό λύσεων είτε δεν έχει λύσεις, δηλ. ασύμβατες. Παραδείγματα.Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Ετσι, Χ=1, στο=2, z=3. Το σύστημα έχει μια μοναδική λύση εάν Δ ≠ 0. . Να γιατί . ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSSΟι μέθοδοι που συζητήθηκαν προηγουμένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση μόνο εκείνων των συστημάτων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του συστήματος πρέπει να είναι διαφορετική από το μηδέν. Η μέθοδος Gauss είναι πιο καθολική και κατάλληλη για συστήματα με οποιοδήποτε αριθμό εξισώσεων. Συνίσταται στη διαδοχική εξάλειψη των αγνώστων από τις εξισώσεις του συστήματος. Ας εξετάσουμε ξανά ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

.

Ο πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας που αποτελείται από αριθμούς.

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης 2:

Η ορίζουσα (ή ορίζουσα) της τάξης 2 που αντιστοιχεί σε έναν δεδομένο πίνακα είναι ο αριθμός

Μια ορίζουσα 3ης τάξης (ή ορίζουσα) που αντιστοιχεί σε έναν πίνακα είναι ένας αριθμός

Παράδειγμα 1: Βρείτε ορίζουσες πινάκων και

Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Έστω ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με 3 αγνώστους

Το σύστημα (1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας-διανύσματος

όπου Α είναι ο πίνακας συντελεστών

Β - εκτεταμένη μήτρα

Το X είναι το απαιτούμενο διάνυσμα συνιστωσών.

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Ας εξετάσουμε την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με δύο και τρεις αγνώστους χρησιμοποιώντας τύπους Cramer. Θεώρημα 1. Εάν η κύρια ορίζουσα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση, και μια μοναδική. Η λύση του συστήματος καθορίζεται από τους τύπους:

όπου x1, x2 είναι οι ρίζες του συστήματος των εξισώσεων,

Η κύρια ορίζουσα του συστήματος, x1, x2 είναι βοηθητικοί ορίζοντες.

Βοηθητικά προκριματικά:

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους με τη μέθοδο του Cramer.

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Θεώρημα 2. Εάν η κύρια ορίζουσα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση, και μια μοναδική. Η λύση του συστήματος καθορίζεται από τους τύπους:

όπου x1, x2, x3 είναι οι ρίζες του συστήματος των εξισώσεων,

Ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος,

Τα x1, x2, x3 είναι βοηθητικοί ορίζοντες.

Ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος καθορίζεται από:

Βοηθητικά προκριματικά:

• 1. Φτιάξτε έναν πίνακα (μήτρα) συντελεστών για αγνώστους και υπολογίστε την κύρια ορίζουσα.
• 2. Βρείτε - μια πρόσθετη ορίζουσα του x που προκύπτει αντικαθιστώντας την πρώτη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων.
• 3. Βρείτε - μια πρόσθετη ορίζουσα του y που προκύπτει αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων.
• 4. Βρείτε - μια πρόσθετη ορίζουσα του z, που προκύπτει αντικαθιστώντας την τρίτη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων. Εάν η κύρια ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε εκτελείται το βήμα 5.
• 5. Βρείτε την τιμή της μεταβλητής x χρησιμοποιώντας τον τύπο x / .
• 6. Βρείτε την τιμή της μεταβλητής y χρησιμοποιώντας τον τύπο y /.
• 7. Βρείτε την τιμή της μεταβλητής z χρησιμοποιώντας τον τύπο z / .
• 8. Γράψτε την απάντηση: x=...; y=…, z=….

Σελίδα 1

Η κύρια ορίζουσα συντάσσεται έτσι ώστε η πρώτη στήλη να περιέχει συντελεστές για την παράμετρο που απεικονίζεται στον οριζόντιο άξονα. Σε αυτή την περίπτωση, θεωρείται ότι το klK σχεδιάζεται κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα, το a & 2it - κατά μήκος του οριζόντιου άξονα.

Η κύρια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν και τουλάχιστον μία βοηθητική ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν.

Ο κύριος προσδιοριστικός παράγοντας - Hurwitz συντάσσεται ως εξής.

Γράφημα /C4 - x και οι σκελετοί του.

Η κύρια ορίζουσα του πίνακα P (ή Q) είναι της τάξης m και η έκφραση αντίστοιχες κύριες ορίζουσες σημαίνει ότι οι στήλες του πίνακα P που περιλαμβάνονται στην εν λόγω ορίζουσα έχουν τους ίδιους αριθμούς και την ίδια σειρά με τις σειρές του πίνακα Το Q περιλαμβάνεται στην άλλη ορίζουσα.

Ο κύριος προσδιοριστής D (p), που ονομάζεται χαρακτηριστικό, δεν εξαρτάται ούτε από την επιθυμητή μεταβλητή ούτε από τη θέση εφαρμογής της διαταρακτικής δύναμης.

Συνθέτουμε την κύρια ορίζουσα Α.

Συνθέτουμε την κύρια ορίζουσα του συστήματος και την εξισώνουμε με το μηδέν. Κρίνουμε τη σταθερότητα από τη φύση των ριζών. Ο βαθμός της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζεται από τον αριθμό των ενεργοβόρων στοιχείων που συσσωρεύουν ανεξάρτητα ενέργεια, λαμβάνοντας υπόψη τους πόλους καθεμιάς από τις εξαρτώμενες από τη συχνότητα ελεγχόμενες πηγές που είναι διαθέσιμες στο κύκλωμα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, κατά τη μελέτη της ευστάθειας, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη όχι μόνο ο πρώτος κυρίαρχος πόλος ενός op-amp ή τρανζίστορ, αλλά και οι υπόλοιποι πόλοι.

Εφόσον η κύρια ορίζουσα του συστήματος (3.50) είναι ίση με μηδέν, τα ιδιοδιανύσματα δεν προσδιορίζονται μοναδικά, αλλά εντός ενός σταθερού παράγοντα.

Ας εκφράσουμε την κύρια ορίζουσα D [τύπος (8.35)] μέσω των παραμέτρων του κυκλώματος.

Εάν η κύρια ορίζουσα ενός συστήματος n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους δεν είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, αλλά αν αυτή η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα είναι είτε αβέβαιο είτε ασυνεπές.

Εάν η κύρια ορίζουσα ενός ομοιογενούς συστήματος (9) δεν είναι ίση με μηδέν, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Αυτή η λύση είναι ασήμαντη. Εάν η κύρια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα, σύμφωνα με το Θεώρημα 2, μπορεί να είναι είτε ασυνεπές είτε απροσδιόριστο. Ωστόσο, το σύστημα των εξισώσεων (9) δεν μπορεί να είναι ασυνεπές, αφού υπάρχει μια ασήμαντη λύση.

Εάν η κύρια ορίζουσα ενός ομοιογενούς συστήματος (9) δεν είναι ίση με μηδέν, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Αυτή η λύση είναι ασήμαντη. Αν η κύρια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα. Ωστόσο, το σύστημα των εξισώσεων (9) δεν μπορεί να είναι ασυνεπές, αφού υπάρχει μια ασήμαντη λύση.

Εάν η κύρια ορίζουσα ενός ομοιογενούς συστήματος (9) δεν είναι ίση με μηδέν, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Αυτή η λύση είναι ασήμαντη. Εάν η κύρια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα, σύμφωνα με το Θεώρημα 2, μπορεί να είναι είτε ασυνεπές είτε απροσδιόριστο. Ωστόσο, το σύστημα των εξισώσεων (9) δεν μπορεί να είναι ασυνεπές, αφού υπάρχει μια ασήμαντη λύση.

Απάντηση: Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Ορισμός. Μια ορίζουσα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές των αντίστοιχων αγνώστων με ελεύθερους όρους:

;

.

Τύποι Cramer για την εύρεση αγνώστων:

.

Η εύρεση των τιμών των και είναι δυνατή μόνο εάν

Αυτό το συμπέρασμα προκύπτει από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα Cramer. Εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτού του αγνώστου με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1. Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer έχουμε:

Λοιπόν, η λύση στο σύστημα (2):
9.επεμβάσεις σε σετ. Διαγράμματα Vien.

Τα διαγράμματα Euler-Venn είναι γεωμετρικές αναπαραστάσεις συνόλων. Η κατασκευή του διαγράμματος αποτελείται από τη σχεδίαση ενός μεγάλου ορθογωνίου που αντιπροσωπεύει το καθολικό σύνολο U, και μέσα σε αυτό - κύκλους (ή κάποια άλλα κλειστά σχήματα) που αντιπροσωπεύουν τα σύνολα. Τα σχήματα πρέπει να τέμνονται με τον πιο γενικό τρόπο που απαιτείται από το πρόβλημα και πρέπει να επισημαίνονται ανάλογα. Τα σημεία που βρίσκονται μέσα σε διαφορετικές περιοχές του διαγράμματος μπορούν να θεωρηθούν ως στοιχεία των αντίστοιχων συνόλων. Με το διάγραμμα που έχει κατασκευαστεί, μπορείτε να σκιάζετε ορισμένες περιοχές για να υποδείξετε νεοσχηματισμένα σύνολα.

Οι λειτουργίες συνόλου θεωρείται ότι αποκτούν νέα σύνολα από υπάρχοντα.

Ορισμός. Η ένωση των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α, Β (Εικ. 1):

Ορισμός. Η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλα εκείνα και μόνο εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β (Εικ. 2):

Ορισμός. Η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο όλων εκείνων και μόνο εκείνων των στοιχείων του Α που δεν περιέχονται στο Β (Εικ. 3):

Ορισμός. Η συμμετρική διαφορά των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων αυτών των συνόλων που ανήκουν είτε μόνο στο σύνολο Α είτε μόνο στο σύνολο Β (Εικ. 4):

11. αντιστοίχιση (συνάρτηση), τομέας ορισμού, εικόνες συνόλων κατά την αντιστοίχιση, σύνολο τιμών συνάρτησης και το γράφημά της.

Απάντηση: Μια αντιστοίχιση από ένα σύνολο E σε ένα σύνολο F, ή μια συνάρτηση που ορίζεται στο E με τιμές σε F, είναι ένας κανόνας ή νόμος f, ο οποίος εκχωρεί σε κάθε στοιχείο ένα συγκεκριμένο στοιχείο.

Ένα στοιχείο ονομάζεται ανεξάρτητο στοιχείο ή όρισμα μιας συνάρτησης f, ένα στοιχείο ονομάζεται τιμή μιας συνάρτησης f ή εικόνα. Σε αυτή την περίπτωση, το στοιχείο ονομάζεται προεικόνα του στοιχείου.

Μια αντιστοίχιση (συνάρτηση) συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα f ή το σύμβολο, υποδεικνύοντας ότι η f αντιστοιχίζει το σύνολο E σε F. Χρησιμοποιείται επίσης ο συμβολισμός, υποδεικνύοντας ότι ένα στοιχείο x αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο f(x). Μερικές φορές είναι βολικό να ορίσουμε μια συνάρτηση μέσω μιας ισότητας που περιέχει έναν νόμο αντιστοιχίας. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει ότι «η συνάρτηση f ορίζεται από την ισότητα». Αν «y» είναι το γενικό όνομα των στοιχείων του συνόλου F, δηλαδή F = (y), τότε η αντιστοίχιση γράφεται με τη μορφή ισότητας y = f(x) και λέμε ότι αυτή η αντιστοίχιση καθορίζεται ρητά.

2. Εικόνα και αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου κάτω από μια δεδομένη χαρτογράφηση

Ας δοθεί μια χαρτογράφηση και ένα σύνολο.

Το σύνολο των στοιχείων από το F, καθένα από τα οποία είναι η εικόνα τουλάχιστον ενός στοιχείου από το D κάτω από την αντιστοίχιση f, ονομάζεται εικόνα του συνόλου D και συμβολίζεται με f(D).

Προφανώς, .

Ας δοθεί τώρα το σετ.

Το σύνολο των στοιχείων έτσι ώστε , ονομάζεται αντίστροφη εικόνα του συνόλου Y κάτω από την απεικόνιση f και συμβολίζεται με f -1 (Y).

Αν τότε. Εάν για καθένα το σύνολο f -1 (y) αποτελείται το πολύ από ένα στοιχείο , τότε η f ονομάζεται αντιστοίχιση ένα προς ένα από το E στο F. Ωστόσο, είναι δυνατό να οριστεί μια αντιστοίχιση ενός προς ένα f του το σετ E στο F.

Η οθόνη ονομάζεται:

Έγχυση (ή έγχυση, ή αντιστοίχιση ενός προς ένα του συνόλου Ε σε F) εάν , ή εάν η εξίσωση f(x) = y έχει το πολύ μία λύση.

Surjective (ή surjection, ή χαρτογράφηση ενός συνόλου E στο F) εάν f(E) = F και εάν η εξίσωση f(x) = y έχει τουλάχιστον μία λύση.

Bijective (ή bijection, ή one-to-one αντιστοίχιση ενός συνόλου E στο F) αν είναι ενεστιακό και surjective, ή εάν η εξίσωση f(x) = y έχει μία και μόνο λύση.

3. Υπέρθεση αντιστοιχίσεων. Αντίστροφες, παραμετρικές και σιωπηρές αντιστοιχίσεις

1) Αφήστε και . Αφού , η αντιστοίχιση g εκχωρεί ένα συγκεκριμένο στοιχείο σε κάθε στοιχείο.

Έτσι, κάθε στοιχείο εκχωρείται μέσω ενός κανόνα

Αυτό ορίζει μια νέα αντιστοίχιση (ή νέο χαρακτηριστικό), που ονομάζουμε σύνθεση αντιστοιχίσεων, ή υπέρθεση αντιστοιχίσεων, ή σύνθετη αντιστοίχιση.

2) Έστω διπλή αντιστοίχιση και F = (y). Λόγω της διχοτόμησης της f, καθεμία αντιστοιχεί σε μια μοναδιαία εικόνα x, την οποία συμβολίζουμε με f -1 (y), και τέτοια ώστε f(x) = y. Έτσι, ορίζεται μια αντιστοίχιση, η οποία ονομάζεται αντίστροφη της αντιστοίχισης f, ή αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f.

Προφανώς, η αντιστοίχιση f είναι το αντίστροφο της αντιστοίχισης f -1 . Επομένως, οι αντιστοιχίσεις f και f -1 ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφες. Οι σχέσεις ισχύουν για αυτούς

και τουλάχιστον μία από αυτές τις αντιστοιχίσεις, για παράδειγμα, είναι διχαστική. Στη συνέχεια, υπάρχει μια αντίστροφη αντιστοίχιση, που σημαίνει .

Μια χαρτογράφηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο λέγεται ότι ορίζεται παραμετρικά χρησιμοποιώντας αντιστοιχίσεις. και η μεταβλητή από ονομάζεται παράμετρος.

4) Ας οριστεί μια αντιστοίχιση σε ένα σύνολο, όπου το σύνολο περιέχει το μηδενικό στοιχείο. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν σύνολα τέτοια που για κάθε σταθερή εξίσωση έχει μια μοναδική λύση. Στη συνέχεια, στο σύνολο Ε είναι δυνατό να οριστεί μια αντιστοίχιση που αποδίδει σε καθένα την τιμή που, για ένα δεδομένο x, είναι λύση της εξίσωσης.

Σχετικά με την έτσι καθορισμένη χαρτογράφηση

λέγεται ότι δίνεται σιωπηρά από την εξίσωση .

5) Μια αντιστοίχιση ονομάζεται συνέχεια της αντιστοίχισης , και το g είναι ένας περιορισμός της αντιστοίχισης f εάν και .

Ο περιορισμός μιας αντιστοίχισης σε ένα σύνολο υποδηλώνεται μερικές φορές με το σύμβολο .

6) Ένα γράφημα εμφάνισης είναι ένα σύνολο

Είναι ξεκάθαρο ότι.

12. μονοτονικές συναρτήσεις. Αντίστροφη συνάρτηση, θεώρημα ύπαρξης. Συναρτήσεις y=arcsinx y=arcos x x ιδιότητες και γραφήματα.

Απάντηση: Μονοτονική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας η προσαύξηση δεν αλλάζει πρόσημο, δηλαδή είτε είναι πάντα μη αρνητική είτε πάντα μη θετική. Εάν, επιπλέον, η προσαύξηση δεν είναι μηδέν, τότε η συνάρτηση ονομάζεται αυστηρά μονότονη.

Έστω μια συνάρτηση f(x) που ορίζεται στο διάστημα , των οποίων οι τιμές ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο τμήμα . Αν

τότε λένε ότι στο τμήμα ορίζεται συνάρτηση που είναι αντίστροφη της συνάρτησης f(x) και συμβολίζεται ως εξής: x=f (-1) (y).

Σημειώστε τη διαφορά μεταξύ αυτού του ορισμού και του ορισμού του εάν ένα τμήμα είναι πλήρες εξ ολοκλήρου. Ο ορισμός του f (-1) (...) περιέχει έναν ποσοτικό δείκτη, δηλ. η τιμή του x που εξασφαλίζει την ισότητα y=f(x) πρέπει να είναι μοναδική, ενώ στον προσδιορισμό της κατάληψης του τμήματος υπάρχει ένας ποσοτικοποιητής παντού, που σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές τιμές του x που να ικανοποιούν την ισότητα y=f(x).

Συνήθως, όταν μιλάμε για την αντίστροφη συνάρτηση, αντικαθιστούν το x με το y και το y με το x(x "y) και γράφουν y=f (-1) (x). Είναι προφανές ότι η αρχική συνάρτηση f(x) και αντίστροφη συνάρτηση f (-1) (x) ικανοποιούν τη σχέση

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Τα γραφήματα της αρχικής και της αντίστροφης συνάρτησης λαμβάνονται μεταξύ τους με κατοπτρική εικόνα σε σχέση με τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου.

Θεώρημα. Έστω η συνάρτηση f(x) ορισμένη, συνεχής και αυστηρά μονότονα αυξανόμενη (φθίνουσα) στο διάστημα. Τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f (-1) (x) στο τμήμα, που είναι επίσης συνεχές και αυστηρά μονοτονικά αυξάνεται (μειώνεται).

Απόδειξη.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα για την περίπτωση που η f(x) αυξάνεται αυστηρά μονοτονικά.

1. Ύπαρξη αντίστροφης συνάρτησης.

Εφόσον, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, η f(x) είναι συνεχής, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το τμήμα είναι γεμάτο. Αυτό σημαίνει ότι.

Ας αποδείξουμε ότι το x είναι μοναδικό. Πράγματι, αν πάρουμε x’>x, τότε f(x’)>f(x)=y και επομένως f(x’)>y. Αν πάρουμε το x''

2. Μονοτονία της αντίστροφης συνάρτησης.

Ας κάνουμε τη συνήθη αντικατάσταση x «y και γράψουμε y= f (-1) (x). Αυτό σημαίνει ότι x=f(y).

Έστω x 1 >x 2 . Επειτα:

y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2)

Ποια είναι η σχέση μεταξύ y 1 και y 2; Ας ελέγξουμε τις πιθανές επιλογές.

α) y 1 x 2 .

β) y 1 =y 2; Αλλά τότε f(y 1)=f(y 2) και x 1 =x 2, και είχαμε x 1 >x 2.

γ) Η μόνη επιλογή που απομένει είναι y 1 >y 2, δηλ. Αλλά τότε f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), και αυτό σημαίνει ότι η f (-1) (...) αυξάνεται αυστηρά μονοτονικά.

3. Συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης.

Επειδή οι τιμές της αντίστροφης συνάρτησης γεμίζουν ολόκληρο το τμήμα, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα η f (-1) (...) είναι συνεχής.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = τόξο x	y = τόξο x
αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης y = sin x, - / 2 x / 2	αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = αρκτάν x	y = arcctg x
αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης y = tan x, - / 2< x < / 2	αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης y = cot x, 0< x <

13.σύνθεση συναρτήσεων. Στοιχειώδεις συναρτήσεις. Συναρτήσεις y=arctg x, y = arcctg x, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους.

Απάντηση: Στα μαθηματικά, η σύνθεση συναρτήσεων (υπέρθεση συναρτήσεων) είναι η εφαρμογή μιας συνάρτησης στο αποτέλεσμα μιας άλλης.

Η σύνθεση των συναρτήσεων G και F συνήθως συμβολίζεται G∘F, που υποδηλώνει την εφαρμογή μιας συνάρτησης G στο αποτέλεσμα μιας συνάρτησης F.

Έστω δύο συναρτήσεις F:X→Y και G:F(X)⊂Y→Z. Τότε η σύνθεσή τους είναι η συνάρτηση G∘F:X→Z, που ορίζεται από την ισότητα:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι συναρτήσεις που μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων και συνθέσεων από τις ακόλουθες βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις:

• αλγεβρικός:
• ήσυχος;
• λογικός.
• υπερφυσικός:
• εκθετική και λογαριθμική?
• τριγωνομετρικό και αντίστροφο τριγωνομετρικό.

Κάθε στοιχειώδης συνάρτηση μπορεί να καθοριστεί με έναν τύπο, δηλαδή ένα σύνολο πεπερασμένου αριθμού συμβόλων που αντιστοιχούν στις πράξεις που χρησιμοποιούνται. Όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.

Μερικές φορές οι βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις περιλαμβάνουν επίσης υπερβολικές και αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις, αν και μπορούν να εκφραστούν μέσω των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων που αναφέρονται παραπάνω.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 στο x R EXTREMA: Οχι Οχι ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ: αυξάνεται με το x R μειώνεται ως x R