Ang seksyon ay naglalaman ng mga problema sa geometry (seksyon ng planimetry) tungkol sa mga trapezoid. Kung hindi ka nakahanap ng solusyon sa isang problema, isulat ang tungkol dito sa forum. Ang kurso ay tiyak na pupunan.
Trapezoid. Kahulugan, mga formula at katangian
Ang trapezoid (mula sa sinaunang Griyego na τραπέζιον - "talahanayan"; τράπεζα - "talahanayan, pagkain") ay isang quadrangle na may eksaktong isang pares ng magkasalungat na panig na magkatulad.Ang trapezoid ay isang quadrilateral na ang pares ng magkasalungat na gilid ay magkatulad.
Tandaan. Sa kasong ito, ang paralelogram ay isang espesyal na kaso ng isang trapezoid.
Ang magkatulad na magkabilang panig ay tinatawag na mga base ng trapezoid, at ang iba pang dalawa ay tinatawag na mga gilid ng gilid.
Ang mga trapeze ay:
- maraming nalalaman ;
- equilateral;
- hugis-parihaba
.Pula at kayumanggi bulaklak Ang mga gilid ay ipinahiwatig, at ang mga base ng trapezoid ay ipinahiwatig sa berde at asul.
A - isosceles (isosceles, isosceles) trapezoid
B - hugis-parihaba na trapezoid
C - scalene trapezoid
Ang isang scalene trapezoid ay may iba't ibang mga gilid ng iba't ibang haba at ang mga base ay parallel.
Ang mga gilid ay pantay at ang mga base ay parallel.
Ang mga base ay parallel, ang isang gilid ay patayo sa mga base, at ang pangalawang panig ay hilig sa mga base.
Mga katangian ng isang trapezoid
- Midline ng trapezoid parallel sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan
- Isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal, ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base at namamalagi sa midline. Ang haba nito
- Ang mga parallel na linya na nagsasalubong sa mga gilid ng anumang anggulo ng isang trapezoid ay pinuputol ang mga proporsyonal na segment mula sa mga gilid ng anggulo (tingnan ang Thales' Theorem)
- Point ng intersection ng trapezoid diagonals, ang intersection point ng mga extension ng mga gilid nito at ang gitna ng mga base ay nasa parehong tuwid na linya (tingnan din ang mga katangian ng isang quadrilateral)
- Mga tatsulok na nakahiga sa mga base mga trapezoid na ang mga vertice ay ang intersection point ng mga diagonal nito ay magkatulad. Ang ratio ng mga lugar ng naturang mga tatsulok ay katumbas ng parisukat ng ratio ng mga base ng trapezoid
- Mga tatsulok na nakahiga sa mga gilid mga trapezoid na ang mga vertice ay ang intersection point ng mga diagonal nito ay pantay sa lugar (pantay sa lugar)
- Sa trapeze maaari kang maglagay ng bilog, kung ang kabuuan ng mga haba ng mga base ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid nito. Ang gitnang linya sa kasong ito ay katumbas ng kabuuan ng mga panig na hinati ng 2 (dahil ang gitnang linya ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base)
- Isang segment na parallel sa mga base at ang pagdaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng huli at katumbas ng dalawang beses ang produkto mga base na hinati sa kanilang kabuuan 2ab / (a + b) (pormula ni Burakov)
Mga anggulo ng trapezoid
Mga anggulo ng trapezoid may matalas, tuwid at mapurol.Dalawang anggulo lang ang tama.
U hugis-parihaba na trapezoid dalawang tamang anggulo, at ang dalawa pang talamak at mapurol. Ang iba pang mga uri ng trapezoid ay mayroong: dalawa talamak na mga anggulo at dalawang bobo.
Mga anggulo na mapurol Ang mga trapezoid ay nabibilang sa mas maliit kasama ang haba ng base, at maanghang - higit pa batayan.
Ang anumang trapezoid ay maaaring isaalang-alang parang pinutol na tatsulok, na ang linya ng seksyon ay parallel sa base ng tatsulok.
Mahalaga. Mangyaring tandaan na sa ganitong paraan (sa pamamagitan ng karagdagang paggawa ng isang trapezoid hanggang sa isang tatsulok) ang ilang mga problema tungkol sa mga trapezoid ay maaaring malutas at ang ilang mga theorems ay maaaring mapatunayan.
Paano mahahanap ang mga gilid at diagonal ng isang trapezoid
Ang paghahanap ng mga gilid at diagonal ng isang trapezoid ay ginagawa gamit ang mga formula na ibinigay sa ibaba:
Sa mga formula na ito, ang mga notasyong ginamit ay tulad ng nasa figure.
a - ang mas maliit sa mga base ng trapezoid
b - ang mas malaki sa mga base ng trapezoid
c,d - mga gilid
h 1 h 2 - mga dayagonal
Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng mga base ng trapezoid kasama ang kabuuan ng mga parisukat ng mga lateral na gilid (Formula 2)
Trapeze ay tinatawag na quadrilateral na dalawa lang ang mga gilid ay parallel sa bawat isa.
Tinatawag silang mga base ng figure, ang mga natitira ay tinatawag na mga gilid. Parallelograms ay itinuturing na mga espesyal na kaso ng figure. Mayroon ding curved trapezoid, na kinabibilangan ng graph ng isang function. Ang mga formula para sa lugar ng isang trapezoid ay kinabibilangan ng halos lahat ng mga elemento nito, at Ang pinakamagandang desisyon ay pinili depende sa tinukoy na mga halaga.
Ang mga pangunahing tungkulin sa trapezoid ay itinalaga sa taas at midline. gitnang linya- Ito ay isang linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid. taas trapezoid ay gaganapin sa tamang mga anggulo mula sa itaas na sulok sa base.
Ang lugar ng isang trapezoid sa pamamagitan ng taas nito ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng mga base na pinarami ng taas:
Kung ang average na linya ay kilala ayon sa mga kondisyon, kung gayon ang formula na ito ay makabuluhang pinasimple, dahil ito ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng mga base:
Kung, ayon sa mga kondisyon, ang mga haba ng lahat ng panig ay ibinigay, pagkatapos ay maaari nating isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang trapezoid gamit ang mga datos na ito: 
Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang trapezoid na may mga base a = 3 cm, b = 7 cm at mga gilid c = 5 cm, d = 4 cm. Hanapin natin ang lugar ng figure: 
Lugar ng isosceles trapezoid
Ang isang isosceles trapezoid, o, bilang ito ay tinatawag ding, isang isosceles trapezoid, ay itinuturing na isang hiwalay na kaso.
Ang isang espesyal na kaso ay ang paghahanap ng lugar ng isang isosceles (equilateral) na trapezoid. Ang formula ay hinango sa iba't ibang paraan - sa pamamagitan ng mga diagonal, sa pamamagitan ng mga anggulo na katabi ng base at ang radius ng inscribed na bilog.
Kung ang haba ng mga diagonal ay tinukoy ayon sa mga kondisyon at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, maaari mong gamitin ang sumusunod na formula:
Tandaan na ang mga diagonal isosceles trapezoid pantay sa isa't isa!
Iyon ay, alam ang isa sa kanilang mga base, gilid at anggulo, madali mong makalkula ang lugar.
Lugar ng isang hubog na trapezoid
Ang isang espesyal na kaso ay hubog na trapezoid. Ito ay matatagpuan sa coordinate axis at nililimitahan ng graph ng isang tuluy-tuloy na positibong function.
Ang base nito ay matatagpuan sa X axis at limitado sa dalawang puntos: 
Tinutulungan ng mga integral na kalkulahin ang lugar hubog na trapezoid.
Ang formula ay nakasulat tulad nito:
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang hubog na trapezoid. Ang formula ay nangangailangan ng ilang kaalaman upang magamit ilang mga integral. Una, tingnan natin ang halaga ng tiyak na integral: 
Dito ang F(a) ay ang value ng antiderivative function na f(x) sa point a, F(b) ay ang value ng parehong function na f(x) sa point b. 
Ngayon lutasin natin ang problema. Ang figure ay nagpapakita ng isang hubog na trapezoid, limitado sa pamamagitan ng pag-andar. Function 
Kailangan nating hanapin ang lugar ng napiling figure, na isang curvilinear trapezoid na nakatali sa itaas ng graph, sa kanan ng tuwid na linya x =(-8), sa kaliwa ng tuwid na linya x =(-10 ) at ang OX axis sa ibaba.
Kakalkulahin namin ang lugar ng figure na ito gamit ang formula: 
Ang mga kondisyon ng problema ay nagbibigay sa amin ng isang function. Gamit ito ay makikita natin ang mga halaga ng antiderivative sa bawat isa sa ating mga punto:
Ngayon
Sagot: Ang lugar ng isang hubog na trapezoid ay 4.
Walang kumplikado sa pagkalkula ng halagang ito. Ang tanging bagay na mahalaga ay ang matinding pag-iingat sa mga kalkulasyon.
Upang maging kumpiyansa at matagumpay na malutas ang mga problema sa mga aralin sa geometry, hindi sapat na matutunan ang mga formula. Kailangan muna nilang intindihin. Ang matakot, at higit na mapoot sa mga formula, ay hindi produktibo. Sa artikulong ito naa-access na wika susuriin iba't-ibang paraan Paghahanap ng lugar ng isang trapezoid. Upang mas maunawaan ang mga kaukulang tuntunin at teorema, bibigyan natin ng pansin ang mga katangian nito. Makakatulong ito sa iyo na maunawaan kung paano gumagana ang mga panuntunan at sa anong mga kaso dapat ilapat ang ilang partikular na formula.
Pagtukoy sa isang trapezoid
Anong uri ng figure ito sa pangkalahatan? Ang trapezoid ay isang polygon na may apat na sulok at dalawang magkatulad na gilid. Ang iba pang dalawang panig ng trapezoid ay maaaring hilig sa iba't ibang mga anggulo. Ang mga parallel na panig nito ay tinatawag na mga base, at para sa mga di-parallel na panig ang pangalan na "mga gilid" o "hips" ay ginagamit. Ang ganitong mga figure ay karaniwan sa pang-araw-araw na buhay. Ang mga contour ng trapezoid ay makikita sa mga silhouette ng damit, panloob na mga item, kasangkapan, pinggan at marami pang iba. Nangyayari ang trapeze iba't ibang uri: scalene, equilateral at rectangular. Susuriin namin ang kanilang mga uri at katangian nang mas detalyado mamaya sa artikulo.
Mga katangian ng isang trapezoid
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga katangian ng figure na ito. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng anumang panig ay palaging 180°. Dapat tandaan na ang lahat ng mga anggulo ng isang trapezoid ay nagdaragdag ng hanggang 360°. Ang trapezoid ay may konsepto ng isang midline. Kung ikinonekta mo ang mga midpoint ng mga gilid na may isang segment, ito ang magiging gitnang linya. Ito ay itinalagang m. Ang gitnang linya ay may mahalagang mga katangian: ito ay palaging kahanay sa mga base (natatandaan namin na ang mga base ay parallel din sa isa't isa) at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan:
Ang kahulugan na ito ay dapat matutunan at maunawaan, dahil ito ang susi sa paglutas ng maraming problema!
Sa isang trapezoid, maaari mong palaging babaan ang taas sa base. Ang isang altitude ay isang patayo, madalas na tinutukoy ng simbolong h, na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa isa pang base o ang extension nito. Ang midline at taas ay tutulong sa iyo na mahanap ang lugar ng trapezoid. Ang ganitong mga gawain ay ang pinakakaraniwan sa kurso sa paaralan geometry at regular na lumilitaw sa mga papel ng pagsusulit at pagsusulit.
Ang pinakasimpleng mga formula para sa lugar ng isang trapezoid
Tingnan natin ang dalawang pinakasikat at simpleng mga formula na ginamit upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid. Ito ay sapat na upang i-multiply ang taas sa kalahati ng kabuuan ng mga base upang madaling mahanap ang iyong hinahanap:
S = h*(a + b)/2.
Sa formula na ito, ang a, b ay tumutukoy sa mga base ng trapezoid, h - ang taas. Para sa kadalian ng pagdama sa artikulong ito, ang mga palatandaan ng pagpaparami ay minarkahan ng isang simbolo (*) sa mga formula, bagama't sa opisyal na sangguniang aklat Karaniwang inaalis ang tanda ng multiplikasyon.
Tingnan natin ang isang halimbawa.
Ibinigay: isang trapezoid na may dalawang base na katumbas ng 10 at 14 cm, ang taas ay 7 cm. Ano ang lugar ng trapezoid?
Tingnan natin ang solusyon sa problemang ito. Gamit ang formula na ito, kailangan mo munang hanapin ang kalahating kabuuan ng mga base: (10+14)/2 = 12. Kaya, ang kalahating kabuuan ay katumbas ng 12 cm. Ngayon ay pinarami natin ang kalahating kabuuan sa taas: 12*7 = 84. Ang hinahanap natin ay matatagpuan. Sagot: Ang lugar ng trapezoid ay 84 square meters. cm.
Ang pangalawang kilalang formula ay nagsasabi: ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng midline at ang taas ng trapezoid. Iyon ay, ito ay talagang sumusunod mula sa nakaraang konsepto ng gitnang linya: S=m*h.
Paggamit ng mga diagonal para sa mga kalkulasyon
Ang isa pang paraan upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid ay talagang hindi gaanong kumplikado. Ito ay konektado sa mga diagonal nito. Gamit ang formula na ito, upang mahanap ang lugar, kailangan mong i-multiply ang kalahating produkto ng mga diagonal nito (d 1 d 2) sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila:
S = ½ d 1 d 2 kasalanan a.
Isaalang-alang natin ang isang problema na nagpapakita ng aplikasyon ng paraang ito. Ibinigay: isang trapezoid na may haba ng mga dayagonal na katumbas ng 8 at 13 cm, ayon sa pagkakabanggit. Ang anggulo a sa pagitan ng mga dayagonal ay 30°. Hanapin ang lugar ng trapezoid.
Solusyon. Gamit ang formula sa itaas, madaling kalkulahin kung ano ang kinakailangan. Tulad ng alam mo, ang sin 30° ay 0.5. Samakatuwid, S = 8*13*0.5=52. Sagot: ang lugar ay 52 metro kuwadrado. cm.
Paghahanap ng lugar ng isang isosceles trapezoid
Ang isang trapezoid ay maaaring isosceles (isosceles). Ang mga gilid nito ay pareho at ang mga anggulo sa mga base ay pantay, na kung saan ay mahusay na inilarawan ng figure. Ang isang isosceles trapezoid ay may parehong mga katangian tulad ng isang regular, kasama ang isang bilang ng mga espesyal. Ang isang bilog ay maaaring paligiran sa isang isosceles trapezoid, at isang bilog ay maaaring nakasulat sa loob nito.
Anong mga pamamaraan ang mayroon para sa pagkalkula ng lugar ng naturang figure? Ang pamamaraan sa ibaba ay mangangailangan ng maraming kalkulasyon. Upang magamit ito, kailangan mong malaman ang mga halaga ng sine (sin) at cosine (cos) ng anggulo sa base ng trapezoid. Ang kanilang mga kalkulasyon ay nangangailangan ng alinman sa mga talahanayan ng Bradis o calculator ng engineering. Narito ang formula:
S= c*kasalanan a*(a - c*cos a),
saan Sa- lateral na hita, a- anggulo sa ibabang base.
Ang isang equilateral trapezoid ay may mga diagonal na pantay na haba. Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang isang trapezoid ay may pantay na diagonal, kung gayon ito ay isosceles. Samakatuwid ang sumusunod na formula upang makatulong na mahanap ang lugar ng isang trapezoid - ang kalahating produkto ng parisukat ng mga diagonal at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito: S = ½ d 2 sin a.
Paghahanap ng lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid
Sikat espesyal na kaso hugis-parihaba na trapezoid. Ito ay isang trapezoid, kung saan ang isang gilid (ang hita nito) ay magkadugtong sa mga base sa isang tamang anggulo. Ito ay may mga katangian ng isang regular na trapezoid. Bilang karagdagan, mayroon siyang napaka kawili-wiling tampok. Ang pagkakaiba sa mga parisukat ng mga diagonal ng naturang trapezoid ay katumbas ng pagkakaiba sa mga parisukat ng mga base nito. Ang lahat ng naunang inilarawan na mga pamamaraan para sa pagkalkula ng lugar ay ginagamit para dito.
Gumagamit kami ng katalinuhan
May isang trick na makakatulong kung makalimutan mo ang mga partikular na formula. Tingnan natin kung ano ang trapezoid. Kung hahatiin natin ito sa isip sa mga bahagi, makakakuha tayo ng pamilyar at naiintindihan na mga geometric na hugis: isang parisukat o parihaba at isang tatsulok (isa o dalawa). Kung ang taas at gilid ng trapezoid ay kilala, maaari mong gamitin ang mga formula para sa lugar ng isang tatsulok at isang rektanggulo, at pagkatapos ay idagdag ang lahat ng mga resultang halaga.
Ilarawan natin ito sa sumusunod na halimbawa. Binigyan ng isang hugis-parihaba na trapezoid. Anggulo C = 45°, ang mga anggulo A, D ay 90°. Ang itaas na base ng trapezoid ay 20 cm, ang taas ay 16 cm. Kailangan mong kalkulahin ang lugar ng figure.
Ang figure na ito ay malinaw na binubuo ng isang parihaba (kung ang dalawang anggulo ay katumbas ng 90°) at isang tatsulok. Dahil ang trapezoid ay hugis-parihaba, samakatuwid, ang taas nito ay katumbas ng gilid nito, iyon ay, 16 cm. Mayroon kaming isang rektanggulo na may mga gilid na 20 at 16 cm, ayon sa pagkakabanggit. Ngayon isaalang-alang ang isang tatsulok na ang anggulo ay 45°. Alam namin na ang isang gilid nito ay 16 cm Dahil ang panig na ito ay ang taas din ng trapezoid (at alam namin na ang taas ay bumababa sa base sa isang tamang anggulo), samakatuwid, ang pangalawang anggulo ng tatsulok ay 90°. Kaya ang natitirang anggulo ng tatsulok ay 45°. Bilang kinahinatnan nito nakakakuha tayo ng isang hugis-parihaba isosceles triangle, na ang dalawang panig ay pareho. Nangangahulugan ito na ang kabilang panig ng tatsulok ay katumbas ng taas, iyon ay, 16 cm. Ito ay nananatiling kalkulahin ang lugar ng tatsulok at ang rektanggulo at idagdag ang mga resultang halaga.
Ang lugar ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga binti nito: S = (16*16)/2 = 128. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng lapad at haba nito: S = 20*16 = 320. Natagpuan namin ang kinakailangan: lugar ng trapezoid S = 128 + 320 = 448 sq. Madali mong i-double-check ang iyong sarili gamit ang mga formula sa itaas, ang sagot ay magiging magkapareho.
Ginagamit namin ang Pick formula
Sa wakas, nagpapakita kami ng isa pang orihinal na formula na tumutulong upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid. Ito ay tinatawag na Pick formula. Ito ay maginhawang gamitin kapag ang trapezoid ay iginuhit checkered na papel. Ang mga katulad na problema ay madalas na matatagpuan sa mga materyales ng GIA. Mukhang ganito:
S = M/2 + N - 1,
sa formula na ito M ay ang bilang ng mga node, i.e. mga intersection ng mga linya ng figure na may mga linya ng cell sa mga hangganan ng trapezoid (mga orange na tuldok sa figure), N ay ang bilang ng mga node sa loob ng figure (asul na tuldok). Ito ay pinaka-maginhawang gamitin ito kapag naghahanap ng lugar ng isang hindi regular na polygon. Gayunpaman, mas malaki ang arsenal ng mga diskarteng ginamit, mas kaunting mga error at mas mahusay ang mga resulta.
Siyempre, ang impormasyong ibinigay ay hindi nauubos ang mga uri at katangian ng isang trapezoid, pati na rin ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng lugar nito. Ang artikulong ito ay nagbibigay ng pangkalahatang-ideya ng pinakamahalagang katangian nito. Kapag nilulutas ang mga geometric na problema, mahalagang kumilos nang paunti-unti, magsimula sa mga madaling formula at problema, patuloy na pagsamahin ang iyong pang-unawa, at lumipat sa ibang antas ng pagiging kumplikado.
Ang pinagsama-samang mga pinakakaraniwang formula ay makakatulong sa mga mag-aaral na mag-navigate sa iba't ibang paraan upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid at mas mahusay na maghanda para sa mga pagsubok at mga pagsubok sa paksang ito.
Sa matematika, maraming uri ng quadrilaterals ang kilala: square, rectangle, rhombus, parallelogram. Kabilang sa mga ito ay isang trapezoid - isang uri ng matambok na may apat na gilid kung saan ang dalawang panig ay parallel at ang iba pang dalawa ay hindi. Ang magkatulad na magkabilang panig ay tinatawag na mga base, at ang iba pang dalawa ay tinatawag na mga lateral na gilid ng trapezoid. Ang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid ay tinatawag na midline. Mayroong ilang mga uri ng trapezoids: isosceles, rectangular, curved. Para sa bawat uri ng trapezoid mayroong mga formula para sa paghahanap ng lugar.
Lugar ng trapezoid
Upang mahanap ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang haba ng mga base at taas nito. Ang taas ng isang trapezoid ay isang segment na patayo sa mga base. Hayaang ang itaas na base ay a, ang ibabang base ay b, at ang taas ay h. Pagkatapos ay maaari mong kalkulahin ang lugar S gamit ang formula:
S = ½ * (a+b) * h
mga. kunin ang kalahati ng kabuuan ng mga base na pinarami ng taas.
Posible ring kalkulahin ang lugar ng trapezoid kung kilala ang taas at gitnang linya. Tukuyin natin ang gitnang linya - m. Pagkatapos
Malutas natin ang isang mas kumplikadong problema: ang mga haba ng apat na panig ng trapezoid ay kilala - a, b, c, d. Pagkatapos ay matatagpuan ang lugar gamit ang formula:
Kung ang mga haba ng mga diagonal at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, kung gayon ang lugar ay hahanapin tulad ng sumusunod:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
kung saan ang d na may mga indeks 1 at 2 ay mga dayagonal. Sa formula na ito, ang sine ng anggulo ay ibinibigay sa pagkalkula.
Dahil sa alam na haba ng mga base a at b at dalawang anggulo sa ibabang base, ang lugar ay kinakalkula bilang mga sumusunod:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Lugar ng isosceles trapezoid
Ang isosceles trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang trapezoid. Ang pagkakaiba nito ay ang naturang trapezoid ay isang matambok na may apat na gilid na may axis ng simetriya na dumadaan sa mga midpoint ng dalawa. magkabilang panig. Ang mga gilid nito ay pantay.
Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang lugar ng isang isosceles trapezoid.
- Sa pamamagitan ng haba ng tatlong panig. Sa kasong ito, ang mga haba ng mga gilid ay magkakasabay, samakatuwid sila ay itinalaga ng isang halaga - c, at a at b - ang mga haba ng mga base:
- Kung ang haba ng itaas na base, ang gilid at ang anggulo sa ibabang base ay kilala, kung gayon ang lugar ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
kung saan ang a ay ang tuktok na base, ang c ay ang gilid.
- Kung sa halip na itaas na base ang haba ng mas mababang isa ay kilala - b, ang lugar ay kinakalkula gamit ang formula:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Kung, kapag ang dalawang base at ang anggulo sa ibabang base ay kilala, ang lugar ay kinakalkula sa pamamagitan ng tangent ng anggulo:
S = ½ * (b2 – a2) * tan α
- Ang lugar ay kinakalkula din sa pamamagitan ng mga diagonal at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa kasong ito, ang mga diagonal ay pantay sa haba, kaya tinutukoy namin ang bawat isa sa pamamagitan ng letrang d na walang mga subscript:
S = ½ * d2 * sin α
- Kalkulahin natin ang lugar ng trapezoid, alam ang haba ng gilid, ang gitnang linya at ang anggulo sa ilalim na base.
Hayaang ang lateral side ay c, ang gitnang linya ay m, at ang anggulo ay a, pagkatapos:
S = m * c * kasalanan α
Minsan maaari mong isulat ang isang bilog sa isang equilateral trapezoid, ang radius kung saan ay magiging r.
Ito ay kilala na ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa anumang trapezoid kung ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid nito. Pagkatapos ay matatagpuan ang lugar sa pamamagitan ng radius ng inscribed na bilog at ang anggulo sa ibabang base:
S = 4r2 / sinα
Ang parehong pagkalkula ay ginawa gamit ang diameter D ng nakasulat na bilog (sa pamamagitan ng paraan, ito ay tumutugma sa taas ng trapezoid):
Ang pag-alam sa base at anggulo, ang lugar ng isang isosceles trapezoid ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
S = a * b / sin α
(ito at ang mga kasunod na formula ay may bisa lamang para sa mga trapezoid na may nakasulat na bilog).
Gamit ang mga base at radius ng bilog, ang lugar ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Kung ang mga base lamang ang kilala, kung gayon ang lugar ay kinakalkula gamit ang formula:
Sa pamamagitan ng mga base at linya sa gilid, ang lugar ng trapezoid na may nakasulat na bilog at sa pamamagitan ng mga base at gitnang linya - m ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
Lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid
Ang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba kung ang isa sa mga gilid nito ay patayo sa base. Sa kasong ito, ang haba ng gilid ay tumutugma sa taas ng trapezoid.
Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay binubuo ng isang parisukat at isang tatsulok. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang lugar ng bawat isa sa mga figure, magdagdag ng mga resulta at makuha ang kabuuang lugar ng figure.
Angkop din para sa pagkalkula ng lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid pangkalahatang mga formula upang kalkulahin ang lugar ng isang trapezoid.
- Kung ang mga haba ng mga base at ang taas (o ang patayo na gilid) ay kilala, kung gayon ang lugar ay kinakalkula gamit ang formula:
S = (a + b) * h / 2
Ang gilid na bahagi c ay maaaring kumilos bilang h (taas). Pagkatapos ang formula ay ganito ang hitsura:
S = (a + b) * c / 2
- Ang isa pang paraan upang kalkulahin ang lugar ay upang i-multiply ang haba ng gitnang linya sa taas:
o sa haba ng lateral perpendicular side:
- Ang susunod na paraan upang makalkula ay sa pamamagitan ng kalahati ng produkto ng mga diagonal at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Kung ang mga diagonal ay patayo, ang formula ay pinapasimple sa:
S = ½ * d1 * d2
- Ang isa pang paraan upang makalkula ay sa pamamagitan ng semi-perimeter (ang kabuuan ng mga haba ng dalawang magkasalungat na gilid) at ang radius ng inscribed na bilog.
Ang formula na ito ay may bisa para sa mga base. Kung kukunin natin ang mga haba ng mga gilid, kung gayon ang isa sa mga ito ay magiging katumbas ng dalawang beses ang radius. Ang formula ay magiging ganito:
S = (2r + c) * r
- Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon ang lugar ay kinakalkula sa parehong paraan:
kung saan ang m ay ang haba ng gitnang linya.
Lugar ng isang hubog na trapezoid
Ang curved trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng graph ng isang non-negative tuluy-tuloy na pag-andar y = f(x), tinukoy sa segment , ang abscissa axis at ang mga tuwid na linya x = a, x = b. Sa esensya, dalawa sa mga gilid nito ay parallel sa isa't isa (ang mga base), ang ikatlong panig ay patayo sa mga base, at ang ikaapat ay isang curve na tumutugma sa graph ng function.
Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay hinahanap sa pamamagitan ng integral gamit ang Newton-Leibniz formula:
Ito ay kung paano kinakalkula ang mga lugar iba't ibang uri trapezoid. Ngunit, bilang karagdagan sa mga katangian ng mga panig, ang mga trapezoid ay may parehong mga katangian ng mga anggulo. Tulad ng lahat ng umiiral na quadrilaterals, ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang trapezoid ay 360 degrees. At ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng gilid ay 180 degrees.
Lugar ng isang trapezoid. Pagbati! Sa publikasyong ito ay titingnan natin ang formula na ito. Bakit siya ganito at kung paano siya intindihin. Kung may pang-unawa, hindi mo na kailangang ituro ito. Kung gusto mo lang tingnan ang formula na ito at mapilit, pagkatapos ay maaari mong agad na mag-scroll pababa sa pahina))
Ngayon sa detalye at sa pagkakasunud-sunod.
Ang isang trapezoid ay isang quadrilateral, ang dalawang panig ng quadrilateral na ito ay magkatulad, ang iba pang dalawa ay hindi. Ang mga hindi parallel ay ang mga base ng trapezoid. Ang iba pang dalawa ay tinatawag na panig.
Kung ang mga panig ay pantay, kung gayon ang trapezoid ay tinatawag na isosceles. Kung ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base, kung gayon ang naturang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba.
SA klasikong hitsura Ang trapezoid ay inilalarawan bilang mga sumusunod: ang mas malaking base ay nasa ibaba, at ang mas maliit na base ay nasa itaas. Ngunit walang nagbabawal na ilarawan siya at vice versa. Narito ang mga sketch:
Susunod na mahalagang konsepto.
Ang midline ng isang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid. Ang gitnang linya ay kahanay sa mga base ng trapezoid at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.
Ngayon ay talakayin natin nang mas malalim. Bakit ganito?
Isaalang-alang ang isang trapezoid na may mga base a at b at may gitnang linya l, at magsagawa ng ilang karagdagang mga construction: gumuhit ng mga tuwid na linya sa mga base, at patayo sa mga dulo ng midline hanggang sa mag-intersect ang mga ito sa mga base:
*Ang mga pagtatalaga ng titik para sa mga vertex at iba pang mga punto ay hindi sinasadyang isinama upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang pagtatalaga.
Tingnan, ang mga tatsulok 1 at 2 ay pantay ayon sa pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, ang mga tatsulok 3 at 4 ay pareho. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga elemento, lalo na ang mga binti (sila ay ipinahiwatig sa asul at pula, ayon sa pagkakabanggit).
Ngayon pansin! Kung sa isip natin ay "puputol" ang asul at pula na mga segment mula sa ibabang base, pagkatapos ay maiiwan tayo ng isang segment (ito ang gilid ng rektanggulo) na katumbas ng gitnang linya. Susunod, kung "idikit" natin ang gupit na asul at pulang mga segment sa itaas na base ng trapezoid, makakakuha din tayo ng isang segment (ito rin ang gilid ng rektanggulo) na katumbas ng midline ng trapezoid.
Nakuha ko? Lumalabas na ang kabuuan ng mga base ay magiging katumbas ng dalawang gitnang linya ng trapezoid:
Tingnan ang isa pang paliwanag
Gawin natin ang sumusunod - bumuo ng isang tuwid na linya na dumadaan sa ibabang base ng trapezoid at isang tuwid na linya na dadaan sa mga punto A at B:
Nakukuha namin ang mga tatsulok 1 at 2, pantay sila sa gilid at katabing mga anggulo (ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Nangangahulugan ito na ang nagresultang segment (sa sketch na ito ay ipinahiwatig sa asul) ay katumbas ng itaas na base ng trapezoid.
Ngayon isaalang-alang ang tatsulok:
*Ang midline ng trapezoid na ito at ang midline ng triangle ay magkasabay.
Ito ay kilala na ang isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng base na kahanay nito, iyon ay:
Okay, naisip namin ito. Ngayon tungkol sa lugar ng trapezoid.
Formula ng lugar ng trapezoid:
Sabi nila: ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas nito.
Iyon ay, lumalabas na ito ay katumbas ng produkto ng gitnang linya at ang taas:
Marahil ay napansin mo na na ito ay halata. Sa geometriko, maaari itong maipahayag sa ganitong paraan: kung pinutol natin ang mga tatsulok 2 at 4 mula sa trapezoid at ilagay ang mga ito sa mga tatsulok 1 at 3, ayon sa pagkakabanggit:
Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang parihaba sa lugar katumbas ng lugar ang aming trapezoid. Ang lugar ng rektanggulo na ito ay magiging katumbas ng produkto ng gitnang linya at taas, iyon ay, maaari nating isulat:
Ngunit ang punto dito ay hindi sa pagsulat, siyempre, ngunit sa pag-unawa.
I-download (tingnan) ang materyal ng artikulo sa *pdf na format
Iyon lang. Good luck sa iyo!
Taos-puso, Alexander.