Pravilan peterokut (Grčki πενταγωνον ) - geometrijski lik, pravilan mnogokut s pet stranica.
Svojstva
- Dodekaedar je jedini pravilni poliedar čija su lica pravilni peterokuti.
- Pentagon, zgrada Ministarstva obrane SAD-a, ima oblik pravilnog peterokuta.
- Pravilni peterokut je pravilan mnogokut s najmanje kutova koji se ne mogu popločati na ravninu.
- U prirodi nema kristala s licima u obliku pravilnog peterokuta.
- Peterokut sa svim svojim dijagonalama je projekcija 4-simpleksa.
vidi također
Napišite recenziju o članku "Pravi peterokut"
Bilješke
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Izvadak koji karakterizira pravilan peterokut
Petja nije znao koliko je to trajalo: uživao je, stalno se čudio svom zadovoljstvu i žalio što nema kome to ispričati. Probudio ga je nježan glas Lihačova.- Spremni, časni časti, rasporedit ćete stražu na dvoje.
Petja se probudila.
- Već je svanulo, stvarno, svanulo je! - vrištao je.
Dotad nevidljivi konji postali su vidljivi do repa, a kroz gole grane vidjela se vodenasta svjetlost. Petja se stresao, skočio, izvadio rubalj iz džepa i dao ga Lihačovu, mahnuo rukom, isprobao sablju i stavio je u korice. Kozaci su odvezali konje i zategnuli remen.
"Evo zapovjednika", rekao je Lihačov. Denisov je izašao iz stražarnice i dozvavši Petju naredio im da se spreme.
Brzo su u polumraku razmontirali konje, zategnuli kosmane i razvrstali zaprege. Denisov je stajao na stražarnici i izdavao posljednje zapovijedi. Pješaštvo grupe, šljapkajući stotinu stopa, marširalo je naprijed duž ceste i brzo nestalo između drveća u predzornoj magli. Esaul je nešto naredio Kozacima. Petya je držao konja na uzdi, nestrpljivo čekajući naredbu da uzjaše. Opran hladna voda, lice mu je, osobito oči, gorjelo vatrom, ledima mu je prošla jeza, a nešto mu je u cijelom tijelu brzo i ravnomjerno drhtalo.
- Pa, je li sve spremno za vas? - rekao je Denisov. - Daj nam konje.
Konji su dovedeni. Denisov se naljutio na kozaka jer mu je kozak bio slab i, prekorivši ga, sjeo je. Petya je uhvatio stremen. Konj ga je iz navike htio ugristi za nogu, ali Petya, ne osjećajući njegovu težinu, brzo je skočio u sedlo i, osvrćući se na husare koji su se kretali iza u mraku, odjahao do Denisova.
- Vasilije Fjodoroviču, hoćete li mi nešto povjeriti? Molim te... zaboga... - rekao je. Denisov kao da je zaboravio na Petjino postojanje. Uzvratio mu je pogled.
“Jedno te molim”, rekao je strogo, “da me poslušaš i da se nigdje ne miješaš.”
Tijekom cijelog putovanja Denisov s Petjom nije progovorio ni riječi i vozio se u tišini. Kad smo stigli na rub šume, polje je postalo osjetno svjetlije. Denisov je šaptom razgovarao s esaulom, a kozaci su se počeli voziti pored Petje i Denisova. Kad su svi prošli, Denisov je pokrenuo konja i pojahao nizbrdo. Sjedeći na stražnjim nogama i klizeći, konji su se sa svojim jahačima spustili u klanac. Petja je jahao pored Denisova. Drhtanje u cijelom tijelu se pojačalo. Postajalo je sve lakše, samo je magla skrivala daleke predmete. Spustivši se i osvrnuvši se, Denisov je kimnuo glavom kozaku koji je stajao pokraj njega.
- Signal! - On je rekao.
Kozak je podigao ruku i odjeknuo je pucanj. I u isti čas ispred se začu topot konja u galopu, uzvici iz različite strane i više snimaka.
Istog trenutka kad su se začuli prvi zvukovi gaženja i vrištanja, Petya je, udarivši konja i otpustivši uzde, ne slušajući Denisova koji je vikao na njega, pojurio naprijed. Petji se učinilo da je u trenutku kada se začuo pucanj iznenada svanulo tako vedro kao usred dana. Galopirao je prema mostu. Kozaci su galopirali cestom ispred. Na mostu je naišao na zaostalog kozaka i jahao dalje. Neki ljudi naprijed - mora da su bili Francuzi - trčali su s njima desna strana ceste lijevo. Jedan je pao u blato pod nogama Petjinog konja.
Kozaci su se okupili oko jedne kolibe i nešto radili. Iz sredine gomile čuo sam užasan vrisak. Petja je dogalopirao do ove gomile i prvo što je ugledao bilo je blijedo lice koje se treslo Donja čeljust lice Francuza koji drži dršku štuke upereno u njega.
"Ura!.. Dečki... naši...", povikao je Petya i, dajući uzde pregrijanom konju, odgalopirao naprijed niz ulicu.
Ispred su se čuli pucnji. Kozaci, husari i odrpani ruski zarobljenici, trčeći s obje strane ceste, svi su nešto glasno i nespretno vikali. Lijepi Francuz, bez šešira, crvenog namrgođenog lica, u plavom kaputu, na bajunet se borio protiv husara. Kad je Petja galopirao, Francuz je već pao. Opet sam zakasnio, sijevnulo mu je Petya u glavi i odgalopirao je do mjesta gdje su se često čuli pucnji. Pucnjevi su odjeknuli u dvorištu dvorca u kojem je sinoć bio s Dolokhovim. Francuzi su sjeli tamo iza ograde u gustom vrtu obraslom grmljem i pucali na Kozake koji su se okupili na vratima. Približavajući se vratima, Petya je u dimu baruta ugledao Dolokhova s blijedim, zelenkastim licem kako nešto viče ljudima. “Idite zaobilaznim putem! Čekaj pješadiju!” - vikao je, dok se Petja dovezla do njega.
"Čekaj?.. Ura!..", povikao je Petja i, ne oklijevajući ni minutu, odgalopirao do mjesta odakle su se čuli pucnji i gdje je dim baruta bio gušći. Čuo se rafal, prazni meci su zacvilili i pogodili nešto. Kozaci i Dolohov galopirali su za Petjom kroz vrata kuće. Francuzi, u lelujavom gustom dimu, jedni su bacili oružje i istrčali iz grmlja u susret Kozacima, drugi su potrčali nizbrdo do bare. Petya je galopirao na svom konju dvorištem dvorca i, umjesto da drži uzde, čudno je i brzo mahao objema rukama i padao sve dalje iz sedla na jednu stranu. Konj je uletio u vatru koja je tinjala na jutarnjem svjetlu i odmorio se, a Petja je teško pala na mokro tlo. Kozaci su vidjeli kako su mu se brzo trzale ruke i noge, unatoč tome što mu se glava nije pomicala. Metak mu je probio glavu.
Nakon razgovora s višim francuskim časnikom, koji mu je iza kuće izašao sa šalom na maču i objavio da se predaju, Dolokhov je sišao s konja i prišao Petji, koji je nepomično ležao, raširenih ruku.
"Spreman", rekao je, namrštivši se, i prošao kroz kapiju u susret Denisovu, koji je dolazio prema njemu.
- Ubijen?! - povikao je Denisov, izdaleka ugledavši poznati, nedvojbeno beživotni položaj u kojem je ležalo Petjino tijelo.
"Spreman", ponovi Dolokhov, kao da mu je izgovor te riječi pričinio zadovoljstvo, i brzo ode do zarobljenika, koji su bili okruženi kozacima s konja. - Nećemo uzeti! – viknuo je Denisovu.
Pentagon je geometrijski lik s pet kutova. Štoviše, s gledišta geometrije, kategorija peterokuta uključuje sve poligone koji imaju ovu karakteristiku, bez obzira na položaj njegovih stranica.
Zbroj kutova peterokuta
Pentagon je zapravo mnogokut, pa za izračunavanje zbroja njegovih kutova možete koristiti formulu usvojenu za izračun navedenog zbroja u odnosu na mnogokut s bilo kojim brojem kutova. Gornje razmatra zbroj kutova mnogokuta kao sljedeću jednakost: zbroj kutova = (n - 2) * 180°, gdje je n broj kutova u željenom mnogokutu.Dakle, u slučaju kada govorimo o točno o, vrijednost n u ovoj formuli bit će jednaka 5. Dakle, zamjenom zadane vrijednosti n u formulu, ispada da će zbroj kutova peterokuta biti 540°. Međutim, treba imati na umu da je primjena ove formule u odnosu na određeni peterokut povezana s nizom ograničenja.
Vrste peterokuta
Činjenica je da naznačena formula, kao i za druge vrste ovih geometrijski oblici, može se koristiti samo ako je riječ o tzv. konveksnom poligonu. On je pak geometrijski lik koji zadovoljava sljedeći uvjet: sve njegove točke nalaze se s jedne strane ravne crte koja prolazi između dva susjedna vrha.Dakle, postoji cijela kategorija peterokuta, čiji će se zbroj kutova razlikovati od navedene vrijednosti. Tako je, na primjer, jedna od varijanti nekonveksnog peterokuta geometrijska figura u obliku zvijezde. Zvjezdasti peterokut također se može dobiti pomoću cijelog skupa dijagonala pravilnog peterokuta, odnosno peterokuta: u ovom slučaju dobiveni geometrijski lik nazivat će se pentagramom, koji ima jednaki kutovi. U tom će slučaju zbroj navedenih kutova biti 180°.
Već smo napisali da su pitagorejci svijet promatrali organiziranim prema zakonima numeričke harmonije. Otkrili su da je percepcija harmonije u glazbi povezana s određenim odnosima između brojeva (vidi Pitagorina harmonija); no vizualni sklad, pokazuje se, također je povezan s određenim odnosima između različitih segmenata. U tom smislu, najpoznatiji Zlatni omjer- način dijeljenja segmenta na dva nejednaka dijela, pri čemu se cijeli segment odnosi prema većem dijelu kao veći prema manjem:
Kipar Polikleitos razvio je ideju o kanonu (pravilu) za prikazivanje proporcionalnih ljudsko tijelo i jasno je utjelovio svoj kanon u kipu “Dorifhoros” (“Kopljanik”), inače zvanom jednostavno “Kanon”. Zlatni rez je u izobilju prisutan u proporcijama kipa. Na primjer, omjer visina donjeg i gornjeg dijela na koji pupak dijeli kip jednak je zlatnom rezu; zauzvrat, baza vrata se dijeli gornji dio također u zlatnom rezu; koljena dijeliti donji dio u zlatnom rezu itd.
Tijekom renesanse znanstvenici i umjetnici razvili su novo zanimanje za zlatni rez. Talijanski matematičar Luca Pacioli posvetio mu je svoju knjigu “Božanska proporcija”. A njegov prijatelj, veliki Leonardo da Vinci, posjeduje izraz "zlatni omjer" (stari su ga obično nazivali "podjela segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru"). "Zlatni omjer" često se nalazi u djelima Raphaela, Michelangela i Durera.
Johannes Kepler, kojem pitagorejske ideje o temeljnom numeričkom skladu svemira nisu strane, rekao je da geometrija ima dva blaga - Pitagorin teorem i zlatni rez; prvi se može usporediti s mjerom zlata, drugi s dragim kamenom.
Eksperimentalno je dokazano da npr. iz pravokutnika različitih omjera stranica ljudsko oko preferira one kod kojih je taj omjer jednak zlatnom rezu. Listovi papira, čokoladice, kreditne kartice i sl. vrlo se često izrađuju u obliku upravo takvih pravokutnika.
Da biste podijelili dani segment AB u omjeru zlatnog reza, trebate vratiti okomicu kroz jedan od njegovih krajeva, recimo kroz točku B, položiti na njega segment BD = AB /2, nacrtati segment AD, staviti na njemu odsječak DE = AB /2 i na kraju označimo točku C na odsječku AB tako da je AC = AE. Točka C će dijeliti segment AB u zlatnom rezu.
Dokažimo to. Po Pitagorinoj teoremi (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, odn.
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, a kako je BD = DE = AB /2 i AE = AC, tada je
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
odakle je AC 2 = AB (AB – AC).
Kako je AB – AC = BC, imamo
AC 2 = AB ∙ BC, odakle
Gornja konstrukcija omogućuje nam da pronađemo brojčanu vrijednost zlatnog reza. Jednak je omjeru cijelog segmenta AB i segmenta
Dakle, zlatni rez je izražen brojem 
Ovaj broj je otprilike 1.618. Često se naziva Fidijinim brojem i označava se grčkim slovom Φ:
| Φ = |
Broj se ponekad naziva Fidijinim malim brojem (a Φ je tada veliki broj Phidias) i označava se sa φ. Približno je jednak 0,618. Zlatni rez se izražava kao iracionalan broj. To proizlazi iz iracionalnosti (da je zlatni rez racionalan, onda bi i broj = 2Φ – 1 bio racionalan), a iracionalnost se može dokazati na sličan način kao i iracionalnost geometrijska ilustracija Euklidovog algoritma. Imamo pravokutnik a 1 × a 2 čije su stranice povezane u zlatnom rezu. Odgađanje za veća strana manji, dobit ćemo kvadrat, a preostali pravokutnik će biti sličan originalnom pravokutniku: Primjenom iste operacije na njega, opet ćemo dobiti kvadrat i pravokutnik sličan originalu, itd. (Zanimljivo, prvi, treći , peti itd. pravokutnici imaju zajedničku dijagonalu, poput druge, četvrte, šeste itd. te se dvije dijagonale sijeku pod pravim kutom u točki koja pripada svim pravokutnicima).
Budući da ovaj algoritam nikada ne završava, segmenti a 1 i a 2 nemaju br opća mjera. Kepler je rekao da se zlatni rez neprestano reproducira. Često se nalazi u živoj prirodi u građi takvih organizama, čiji su dijelovi približno slični cjelini - na primjer, u školjkama, u rasporedu lišća na izdancima itd.
 |
|
Riža. 5. Sudoper |
Konačno, zlatni rez nam omogućuje konstruiranje pravilnog peterokuta. (Znate kako sastaviti pravilne trokute i četverokute bez ikakve pomoći, zar ne? Crtanjem kružnica oko njih i dijeljenjem stranica na pola, nije teško konstruirati pravilne mnogokute s 2 n i 3 ∙ 2 n vrhova). Proširite li stranice pravilnog peterokuta do točaka sjecišta s produžecima susjednih stranica, dobit ćete prekrasnu petokraku zvijezdu. Ovo je drevni mistični simbol, popularan, posebno, među Pitagorejcima: naziva se "pentagram" ili "pentalfa", to jest, doslovno, "pet slova" ili "pet alfa" - viđen je kao kombinacija pet slova “alfa” (A) . Pentagram se smatrao simbolom zdravlja - harmonije u čovjeku - i služio je među Pitagorejcima identifikacijska oznaka. (Na primjer, kada je jedan pitagorejac bio na samrtnoj postelji u stranoj zemlji i nije imao novca da plati osobi koja se brinula o njemu do njegove smrti, naredio je da se na vratima njegove kuće nacrta pentagram. Nekoliko godina kasnije, drugi pitagorejac je vidio ovaj znak i vlasnik je dobio velikodušnu nagradu). Ispostavilo se da u pentagramu različite linije dijele jedna drugu u odnosu na zlatni rez. Zapravo, trokuti ACD i ABE su slični, AB : AC = AE : AD. Ali AD = BC i AE = AC, pa prema tome AB: AC = AC: BC. Ispada da se bilo koji od 10 segmenata vanjske konture zvijezde odnosi u zlatnom rezu na bilo koji od 5 segmenata koji tvore mali unutarnji peterokut.
Usput, iz sličnosti istih trokuta ACD i ABE slijedi da je trokut ACD jednakokračan i CD = AD. To znači da se dijagonala pravilnog peterokuta odnosi na njegovu stranicu, također u zlatnom rezu. Svih pet dijagonala pravilnog peterokuta čine još jedan pentagram, u kojem se opet ponavljaju svi odnosi.
Ako trebate izgraditi pravilan peterokut sa stranicom a 1, tada morate segment a 1 u zlatnom rezu podijeliti na segmente a 2 i a 3, a zatim konstruirati jednakokračan trokut sa stranicama a 1, a 1 i (a 1 + a 2). Dva odsječka duljine a 1 činit će dvije stranice traženog peterokuta, a odsječak duljine a 1 + a 2 = a 1 /Φ njegova je dijagonala. Konstruiranjem ostalih trokuta nije teško pronaći preostale vrhove peterokuta.
U srednjem vijeku pentagram je služio kao simbol Venere: ovaj planet se približava Zemlji na pet točaka tvoreći peterokut.
Jednakokračni trokut čije su stranice povezane s bazom u zlatnom rezu - na primjer, trokut koji čine dvije dijagonale i stranica pravilnog peterokuta - ima još jedan zanimljivo imanje: simetrale njegovih kutova na osnovici jednake su samoj osnovici.
Takav se trokut često nalazi u sastavu raznih umjetnička djela– na primjer, u poznatoj “La Gioconda” Leonarda da Vincija.
Senzacija u svijetu matematike. Otkrivena je nova vrsta peterokuta koji pokrivaju ravninu bez prekida i preklapanja.
Ovo je tek 15. tip takvih peterokuta i prvi koji je otkriven u posljednjih 30 godina.
Zrakoplov je prekriven trokutima i četverokutima bilo kojeg oblika, ali s peterokutima sve je mnogo kompliciranije i zanimljivije. Pravilni peterokuti ne mogu prekriti ravninu, ali neki nepravilni peterokuti mogu. Potraga za takvim figurama jedna je od najzanimljivijih već sto godina. matematički problemi. Potraga je započela 1918. godine, kada je matematičar Karl Reinhard otkrio prvih pet prikladnih figura.
Dugo se vremena vjerovalo da je Reinhard izračunao sve moguće formule i da više ne postoje takvi peterokuti, no 1968. matematičar R. B. Kershner pronašao je još tri, a Richard James 1975. njihov broj doveo je na devet. Iste godine, 50-godišnja američka kućanica i matematički entuzijast Marjorie Rice razvila je vlastitu metodu notacije i u roku od nekoliko godina otkrila još četiri peterokuta. Konačno, 1985. Rolf Stein povećao je broj figura na četrnaest.
Peterokuti ostaju jedina figura oko koje ostaju neizvjesnost i misterij. Godine 1963. dokazano je da postoje samo tri vrste šesterokuta koji prekrivaju ravninu. Takvih trokuta nema među konveksnim sedmerokutnim, osmerokutnim i tako dalje. No s Pentagonima još nije sve potpuno jasno.
Do danas je bilo poznato samo 14 vrsta takvih peterokuta. Oni su prikazani na ilustraciji. Formule za svaku od njih dane su na poveznici.
30 godina nitko nije mogao pronaći ništa novo, i konačno dugo očekivano otkriće! Napravila ga je skupina znanstvenika sa Sveučilišta Washington: Casey Mann, Jennifer McLoud i David Von Derau. Ovako izgleda mali ljepotan.
“Otkrili smo brojku pomoću računalne pretrage velikog, ali ograničena količina mogućnosti, kaže Casey Mann. – Naravno, jako smo uzbuđeni i pomalo iznenađeni što smo uspjeli otvoriti nova vrsta peterokut."
Otkriće izgleda čisto apstraktno, ali zapravo može pronaći praktičnu upotrebu. Na primjer, u proizvodnji završnih pločica.
Potraga za novim peterokutima koji pokrivaju avion sigurno će se nastaviti.
Prvi način- s ove strane S pomoću kutomjera.
Nacrtajte ravnu liniju i na nju stavite AB = S; Ovu liniju uzimamo kao radijus i koristimo taj radijus da opišemo lukove iz točaka A i B: zatim pomoću kutomjera u tim točkama konstruiramo kutove od 108° čije će se strane presijecati s lukovima u točkama C i D; Iz tih točaka polumjera AB = 5 opišemo lukove koji se sijeku u E, a ravnim crtama spajaju točke L, C, E, D, B.
Dobiveni peterokut- tražen.
Drugi način. Nacrtajmo kružnicu polumjera r. Iz točke A šestarom povucite luk radijusa AM dok ne siječe kružnicu u točkama B i C. B i C spojimo crtom koja siječe horizontalnu os u točki E.
Zatim iz točke E povučemo luk koji će se presijecati vodoravna crta u točki O. Na kraju iz točke F opišemo luk koji će presijecati kružnicu u točkama H i K. Nacrtavanjem udaljenosti FO = FH = FK po kružnici pet puta i spajanjem točaka diobe crtama dobivamo pravilnu peterokut.
Treći način. U ovu kružnicu upiši pravilan peterokut. Nacrtamo dva međusobno okomita promjera AB i MC. Polumjer AO točkom E podijelimo na pola. Iz točke E, kao iz središta, povučemo luk kružnice polumjera EM i njime označimo promjer AB u točki F. Isječak MF jednak je stranici željenog pravilnog peterokuta. Rješenjem šestara jednakom MF napravimo serife N 1, P 1, Q 1, K 1 i spojimo ih ravnim linijama.
Na slici je šesterokut konstruiran duž ove stranice.
Pravac AB = 5, kao polumjer, iz točaka A i B opišemo lukove koji se sijeku u C; iz ove točke, s istim radijusom, opisujemo kružnicu na kojoj će se stranica A B položiti 6 puta.
Heksagon ADEFGB- tražen.
"Projektiranje soba tijekom renoviranja"
N.P.Krasnov
Osnova za bojanje su potpuno obojene površine zidova, stropova i drugih konstrukcija; bojanje se vrši visokokvalitetnim ljepilom i uljanim bojama za obrezivanje ili žljebljenje. Kada počinje razvijati završnu skicu, majstor mora jasno zamisliti cijelu kompoziciju u domaćem okruženju i jasno razumjeti kreativnu namjeru. Samo ako je zadovoljen ovaj osnovni uvjet, može se ispravno...
Mjerenje obavljenog rada, osim u posebno navedenim slučajevima, provodi se na temelju površine stvarno obrađene površine, uzimajući u obzir njen reljef i minus neobrađene površine. Za određivanje stvarno obrađenih površina tijekom lakiranja, trebate koristiti faktore pretvorbe navedene u tablicama. A. Uređaji za drvene prozore (mjerenje se vrši površinom otvora duž vanjske konture okvira) Naziv uređaja Koeficijent pri ...
Već smo rekli da za izvođenje nekih vrsta slikarskih radova morate znati crtati. A sposobnost crtanja, zauzvrat, pretpostavlja poznavanje pravila za konstrukciju geometrijskih oblika. Skice na papiru crtaju se pomoću trokuta, prečki, transportera i šestara, a na ravnini zidova i stropova konstrukcije se izrađuju pomoću utega, ravnala, drvenog šestara i užeta. Istovremeno je potrebno...