Για να μελετήσετε πλήρως τη συνάρτηση και να σχεδιάσετε το γράφημά της, συνιστάται το ακόλουθο σχήμα:
Α) βρείτε το πεδίο ορισμού, σημεία διακοπής. εξερευνήστε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε σημεία ασυνέχειας (βρείτε τα όρια της συνάρτησης αριστερά και δεξιά σε αυτά τα σημεία). Προσδιορίστε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Β) Να προσδιορίσετε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και να συμπεράνετε ότι υπάρχει συμμετρία. Αν , τότε η συνάρτηση είναι άρτια, συμμετρική ως προς τον άξονα OY. για , η συνάρτηση είναι περιττή, συμμετρική ως προς την αρχή. και αν είναι συνάρτηση γενική εικόνα.
Γ) βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων OY και OX (αν είναι δυνατόν), προσδιορίστε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης. Τα όρια των διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης καθορίζονται από τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ίση με το μηδέν (συνάρτηση μηδενικά) ή δεν υπάρχει και τα όρια του πεδίου ορισμού αυτής της συνάρτησης. Στα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, και όπου - κάτω από αυτόν τον άξονα.
Δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, να προσδιορίσετε τα μηδενικά της και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου. Στα διαστήματα που αυξάνεται η συνάρτηση και που μειώνεται. Βγάλτε ένα συμπέρασμα για την παρουσία των ακρών (σημεία όπου υπάρχει συνάρτηση και παράγωγος και όταν διέρχεται από τα οποία αλλάζει πρόσημο. Εάν το πρόσημο αλλάξει από συν σε πλην, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο, και αν από μείον σε συν , μετά ένα ελάχιστο). Βρείτε τιμές συναρτήσεων σε ακραία σημεία.
Ε) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, τα μηδενικά και τα διαστήματα σταθερότητάς της. Σε διαστήματα όπου< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ε) να βρείτε πλάγιες (οριζόντιες) ασύμπτωτες των οποίων οι εξισώσεις έχουν τη μορφή 
; Οπου 
.
Στο 
το γράφημα της συνάρτησης θα έχει δύο λοξές ασύμπτωτες και κάθε τιμή του x at και μπορεί επίσης να αντιστοιχεί σε δύο τιμές του b.
Ζ) Βρείτε πρόσθετα σημεία για να διευκρινίσετε τη γραφική παράσταση (αν χρειάζεται) και κατασκευάστε μια γραφική παράσταση.
Παράδειγμα 1
Διερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της. Λύση: Α) τομέας ορισμού ; η συνάρτηση είναι συνεχής στον τομέα του ορισμού. – σημείο διακοπής, γιατί ; 
. Στη συνέχεια – κατακόρυφη ασύμπτωτη.
ΣΙ)
εκείνοι. Το y(x) είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OY: σύνολο x=0; τότε y(0)=–1, δηλ. η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στο σημείο (0;-1). Μηδενικά της συνάρτησης (σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OX): σύνολο y=0; Επειτα 
.
Διακριτικός τετραγωνική εξίσωση λιγότερο από το μηδέν, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μηδενικά. Τότε το όριο των διαστημάτων σταθερού πρόσημου είναι το σημείο x=1, όπου η συνάρτηση δεν υπάρχει.
Το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε ένα από τα διαστήματα καθορίζεται με τη μέθοδο των μερικών τιμών:
Είναι σαφές από το διάγραμμα ότι στο διάστημα το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX και στο διάστημα - πάνω από τον άξονα OX.
Δ) Διαπιστώνουμε την ύπαρξη κρίσιμων σημείων.
.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία (όπου υπάρχουν ή δεν υπάρχουν) από τις ισότητες και .
Παίρνουμε: x1=1, x2=0, x3=2. Ας δημιουργήσουμε έναν βοηθητικό πίνακα
Τραπέζι 1 
(Η πρώτη γραμμή περιέχει κρίσιμα σημεία και τα διαστήματα στα οποία διαιρούνται αυτά τα σημεία με τον άξονα OX· η δεύτερη γραμμή δείχνει τις τιμές της παραγώγου σε κρίσιμα σημεία και τα σημάδια στα διαστήματα. Τα πρόσημα καθορίζονται από τη μερική τιμή Η τρίτη γραμμή δείχνει τις τιμές της συνάρτησης y(x) σε κρίσιμα σημεία και δείχνει τη συμπεριφορά της συνάρτησης - αυξανόμενη ή μειούμενη στα αντίστοιχα διαστήματα του αριθμητικού άξονα. Επιπλέον, η παρουσία ελάχιστου ή μέγιστου είναι υποδεικνύεται.
Δ) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της συνάρτησης.
; δημιουργήστε έναν πίνακα όπως στο σημείο Δ). Μόνο στη δεύτερη γραμμή σημειώνουμε τα σημάδια και στην τρίτη υποδεικνύουμε τον τύπο της κυρτότητας. Επειδή ; Οτι κρίσιμο σημείοένα x=1.
πίνακας 2 
Το σημείο x=1 είναι το σημείο καμπής.
Ε) Να βρείτε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες 
Τότε το y=x είναι λοξή ασύμπτωτη.
Ζ) Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης 
1). Το εύρος της λειτουργίας.
Είναι προφανές ότι αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, εκτός από τα σημεία «» και «», επειδή σε αυτά τα σημεία ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν και, επομένως, η συνάρτηση δεν υπάρχει, και οι ευθείες και είναι κάθετες ασύμπτωτες.
2). Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς το όρισμα τείνει στο άπειρο, η ύπαρξη σημείων ασυνέχειας και ο έλεγχος για την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων.
Ας ελέγξουμε πρώτα πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση καθώς πλησιάζει το άπειρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά. 
Έτσι, όταν η συνάρτηση τείνει στο 1, δηλ. – οριζόντια ασύμπτωτη.
Στην περιοχή των σημείων ασυνέχειας, η συμπεριφορά της συνάρτησης προσδιορίζεται ως εξής: 
Εκείνοι. Όταν πλησιάζετε σημεία ασυνέχειας στα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται άπειρα και στα δεξιά αυξάνεται άπειρα.
Προσδιορίζουμε την παρουσία μιας λοξής ασύμπτωτης λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα: 
Δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.
3). Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων.
Εδώ είναι απαραίτητο να εξετάσουμε δύο καταστάσεις: να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Ox και τον άξονα Oy. Το πρόσημο τομής με τον άξονα Ox είναι η μηδενική τιμή της συνάρτησης, δηλ. είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση:
Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox.
Το πρόσημο τομής με τον άξονα Oy είναι η τιμή x = 0. Στην περίπτωση αυτή
,
εκείνοι. – το σημείο τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τον άξονα Oy.
4).Προσδιορισμός ακραίων σημείων και διαστημάτων αύξησης και μείωσης.
Για να μελετήσουμε αυτό το ζήτημα, ορίζουμε την πρώτη παράγωγο: 
.
Ας εξισώσουμε την τιμή της πρώτης παραγώγου με μηδέν. 
.
Το κλάσμα είναι μηδέν όταν ίσο με μηδένο αριθμητής του, δηλ. .
Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.
Έτσι, η συνάρτηση έχει ένα ακραίο σημείο και δεν υπάρχει σε δύο σημεία.
Έτσι, η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα και και μειώνεται στα διαστήματα και .
5). Σημεία καμπής και περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.
Αυτό το χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο. Ας προσδιορίσουμε πρώτα την παρουσία σημείων καμπής. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με 
Πότε και η συνάρτηση είναι κοίλη.
όταν και η συνάρτηση είναι κυρτή.
6). Γραφική παράσταση συνάρτησης.
Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρέθηκαν σε σημεία, θα κατασκευάσουμε σχηματικά ένα γράφημα της συνάρτησης:
Παράδειγμα 3
Λειτουργία εξερεύνησης 
και να φτιάξεις το γράφημά του. Λύση
Η δεδομένη συνάρτηση είναι μια μη περιοδική συνάρτηση γενικής μορφής. Η γραφική παράσταση του διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, αφού .
Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης είναι όλες οι τιμές της μεταβλητής εκτός και για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν.
Κατά συνέπεια, τα σημεία είναι τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.
Επειδή 
, 
Επειδή 
,
, τότε το σημείο είναι ένα σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους.
Οι ευθείες είναι οι κάθετες ασύμπτωτες του γραφήματος της συνάρτησης.
Εξισώσεις λοξών ασυμπτωμάτων, όπου, 
.
Στο 
,
.
Έτσι, για και η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μία ασύμπτωτη.
Ας βρούμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και των ακραίων σημείων.
.
Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης at και, επομένως, at και η συνάρτηση αυξάνεται.
Πότε , επομένως, όταν , η συνάρτηση μειώνεται.
δεν υπάρχει για , . 
, επομένως, όταν 
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κοίλη.
Στο 
, επομένως, όταν 
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή. 
Όταν διέρχεται από τα σημεία , , αλλάζει πρόσημο. Όταν , η συνάρτηση δεν έχει οριστεί, επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα σημείο καμπής.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. 
Οδηγίες
Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση sin(x) ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα από -∞ έως +∞ και η συνάρτηση 1/x ορίζεται από -∞ έως +∞, εκτός από το σημείο x = 0.
Προσδιορίστε περιοχές συνέχειας και σημεία ασυνέχειας. Συνήθως μια συνάρτηση είναι συνεχής στην ίδια περιοχή όπου ορίζεται. Για να ανιχνευθούν ασυνέχειες, πρέπει να υπολογιστεί καθώς το όρισμα πλησιάζει σε απομονωμένα σημεία εντός του πεδίου ορισμού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 1/x τείνει στο άπειρο όταν x→0+, και στο μείον άπειρο όταν x→0-. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x = 0 έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους.
Εάν τα όρια στο σημείο ασυνέχειας είναι πεπερασμένα, αλλά όχι ίσα, τότε πρόκειται για ασυνέχεια πρώτου είδους. Αν είναι ίσες, τότε η συνάρτηση θεωρείται συνεχής, αν και δεν ορίζεται σε απομονωμένο σημείο.
Βρείτε κάθετες ασύμπτωτες, εάν υπάρχουν. Οι υπολογισμοί θα σας βοηθήσουν εδώ προηγούμενο βήμα, αφού η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται σχεδόν πάντα στο σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους. Ωστόσο, μερικές φορές δεν εξαιρούνται μεμονωμένα σημεία από τον τομέα ορισμού, αλλά ολόκληρα διαστήματα σημείων και, στη συνέχεια, οι κάθετες ασύμπτωτες μπορούν να εντοπιστούν στα άκρα αυτών των διαστημάτων.
Ελέγξτε εάν η συνάρτηση έχει ειδικές ιδιότητες: ζυγές, περιττές και περιοδικές.
Η συνάρτηση θα είναι άρτια αν για οποιοδήποτε x στον τομέα f(x) = f(-x). Για παράδειγμα, cos(x) και x^2 - ακόμη και λειτουργίες.
Η περιοδικότητα είναι μια ιδιότητα που λέει ότι υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός T, που ονομάζεται περίοδος, που για κάθε x f(x) = f(x + T). Για παράδειγμα, όλα τα κύρια τριγωνομετρικές συναρτήσεις(ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη) - περιοδικό.
Βρείτε τα σημεία. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης και βρείτε αυτές τις τιμές του x όπου γίνεται μηδέν. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x^3 + 9x^2 -15 έχει μια παράγωγο g(x) = 3x^2 + 18x, η οποία εξαφανίζεται στο x = 0 και x = -6.
Για να προσδιορίσετε ποια ακραία σημεία είναι μέγιστα και ποια ελάχιστα, παρακολουθήστε τη μεταβολή στα πρόσημα της παραγώγου στα μηδενικά που βρέθηκαν. Η g(x) αλλάζει πρόσημο από συν στο σημείο x = -6, και στο σημείο x = 0 πίσω από μείον σε συν. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστο στο πρώτο σημείο και ελάχιστο στο δεύτερο.
Έτσι, βρήκατε επίσης περιοχές μονοτονίας: η f(x) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα -∞;-6, μονότονα μειώνεται στο -6;0 και αυξάνεται ξανά στο 0;+∞.
Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο. Οι ρίζες της θα δείχνουν πού θα είναι κυρτή η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και πού θα είναι κοίλη. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) θα είναι h(x) = 6x + 18. Πάει στο μηδέν στο x = -3, αλλάζοντας πρόσημο από μείον σε συν. Κατά συνέπεια, η γραφική παράσταση της f(x) πριν από αυτό το σημείο θα είναι κυρτή, μετά από αυτήν - κοίλη, και αυτό το ίδιο το σημείο θα είναι ένα σημείο καμπής.
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει άλλες ασύμπτωτες εκτός από τις κατακόρυφες, αλλά μόνο εάν ο τομέας ορισμού της περιλαμβάνει . Για να τα βρείτε, υπολογίστε το όριο της f(x) όταν x→∞ ή x→-∞. Αν είναι πεπερασμένο, τότε έχετε βρει την οριζόντια ασύμπτωτη.
Η πλάγια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία της μορφής kx + b. Για να βρείτε το k, υπολογίστε το όριο της f(x)/x ως x→∞. Να βρείτε το b - όριο (f(x) – kx) για το ίδιο x→∞.
Σχεδιάστε ένα γράφημα της συνάρτησης με βάση τα υπολογισμένα δεδομένα. Επισημάνετε τα ασύμπτωτα, εάν υπάρχουν. Σημειώστε τα ακραία σημεία και τις τιμές συνάρτησης σε αυτά. Για μεγαλύτερη ακρίβεια του γραφήματος, υπολογίστε τις τιμές των συναρτήσεων σε πολλά ακόμη ενδιάμεσα σημεία. Η μελέτη ολοκληρώθηκε.
Τα σημεία αναφοράς στη μελέτη των συναρτήσεων και την κατασκευή των γραφημάτων τους είναι χαρακτηριστικά σημεία - σημεία ασυνέχειας, ακρότατου, καμπής, τομής με τους άξονες συντεταγμένων. Χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό μπορείτε να καθορίσετε Χαρακτηριστικάαλλαγές συνάρτησης: αύξηση και μείωση, μέγιστα και ελάχιστα, κατεύθυνση κυρτότητας και κοιλότητας του γραφήματος, παρουσία ασυμπτωτών.
Ένα σκίτσο του γραφήματος συνάρτησης μπορεί (και πρέπει) να σκιαγραφηθεί μετά την εύρεση των ασυμπτωμάτων και των ακραίων σημείων και είναι βολικό να συμπληρώσετε τον συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης κατά τη διάρκεια της μελέτης.
Συνήθως χρησιμοποιείται το ακόλουθο σχήμα μελέτης συναρτήσεων.
1.Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα συνέχειας και τα σημεία διακοπής της συνάρτησης.
2.Εξετάστε τη συνάρτηση για άρτιο ή περιττό (αξονικό ή κεντρική συμμετρίαΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ.
3.Βρείτε ασύμπτωτες (κάθετες, οριζόντιες ή πλάγιες).
4.Να βρείτε και να μελετήσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, τα ακραία σημεία της.
5.Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης, τα σημεία καμπής της.
6.Να βρείτε τα σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων, αν υπάρχουν.
7.Να συντάξετε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης.
8.Κατασκευάζεται ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη της συνάρτησης που πραγματοποιείται σύμφωνα με τα σημεία που περιγράφονται παραπάνω.
Παράδειγμα.Λειτουργία εξερεύνησης
και να φτιάξεις το γράφημά του.
7. Ας συντάξουμε έναν συνοπτικό πίνακα για τη μελέτη της συνάρτησης, όπου θα εισάγουμε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία και τα διαστήματα μεταξύ τους. Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, λαμβάνουμε τον ακόλουθο πίνακα:
Χαρακτηριστικά γραφήματος |
||||
[-1, 0[ |
Αυξάνεται |
Κυρτός |
||
(0; 1) – μέγιστος βαθμός |
||||
]0, 1[ |
Μειώνεται |
Κυρτός |
||
Το σημείο καμπής σχηματίζεται με τον άξονα Βόδιαμβλεία γωνία |
Για να μελετήσετε πλήρως τη συνάρτηση και να σχεδιάσετε το γράφημά της, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα:
1) βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
2) βρείτε τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και των κατακόρυφων ασυμπτωμάτων (αν υπάρχουν).
3) Διερευνήστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο, βρείτε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.
4) Εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία (περίπτωση) και περιοδικότητα (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις).
5) βρείτε άκρα και διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6) προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής.
7) βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων και, αν είναι δυνατόν, μερικά πρόσθετα σημεία που διευκρινίζουν το γράφημα.
Η μελέτη της συνάρτησης πραγματοποιείται ταυτόχρονα με την κατασκευή του γραφήματος της.
Παράδειγμα 9Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε ένα γράφημα.
1. Πεδίο εφαρμογής του ορισμού: ;
2. Η συνάρτηση υφίσταται ασυνέχεια σε σημεία 
,
;
Εξετάζουμε τη συνάρτηση για την παρουσία κάθετων ασυμπτωμάτων.
;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.
;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.
3. Διερευνούμε τη συνάρτηση για την παρουσία λοξών και οριζόντιων ασυμπτωμάτων.
Ευθεία 
─ πλάγιο ασύμπτωτο, αν 
,
.
,
.
Ευθεία 
─ οριζόντια ασύμπτωτη.
4. Η συνάρτηση είναι άρτια επειδή 
. Η ισοτιμία της συνάρτησης δείχνει τη συμμετρία του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων.
5. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και ακρότατου της συνάρτησης.
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία στα οποία η παράγωγος είναι 0 ή δεν υπάρχει: 
;
. Έχουμε τρεις βαθμούς 
;
. Αυτά τα σημεία χωρίζουν ολόκληρο τον πραγματικό άξονα σε τέσσερα διαστήματα. Ας ορίσουμε τα σημάδια 
σε καθένα από αυτά.
Στα διαστήματα (-∞; -1) και (-1; 0) η συνάρτηση αυξάνεται, στα διαστήματα (0; 1) και (1; +∞) ─ μειώνεται. Όταν διέρχεται από ένα σημείο 
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, επομένως, σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο 
.
6. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και καμπής.
Ας βρούμε τα σημεία στα οποία 
είναι 0 ή δεν υπάρχει.
δεν έχει πραγματικές ρίζες. 
,
,
Πόντοι 
Και 
διαιρέστε τον πραγματικό άξονα σε τρία διαστήματα. Ας ορίσουμε το σημάδι 
σε κάθε μεσοδιάστημα.
Έτσι, η καμπύλη στα διαστήματα 
Και 
κυρτό προς τα κάτω, στο διάστημα (-1;1) κυρτό προς τα πάνω. δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η συνάρτηση είναι σε σημεία 
Και 
δεν προσδιορίζεται.
7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.
Με άξονα 
η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνεται στο σημείο (0; -1), και με τον άξονα 
το γράφημα δεν τέμνεται, γιατί ο αριθμητής αυτής της συνάρτησης δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 1.
Εικόνα 1 ─ Γράφημα συνάρτησης 
Εφαρμογή της έννοιας του παραγώγου στα οικονομικά. Λειτουργία ελαστικότητας
Για τη μελέτη των οικονομικών διαδικασιών και την επίλυση άλλων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της ελαστικότητας μιας συνάρτησης.
Ορισμός.Λειτουργία ελαστικότητας 
ονομάζεται όριο του λόγου της σχετικής αύξησης της συνάρτησης 
στη σχετική αύξηση της μεταβλητής 
στο 
, . (VII)
Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης δείχνει περίπου πόσο τοις εκατό θα αλλάξει η συνάρτηση 
όταν αλλάζει η ανεξάρτητη μεταβλητή 
κατά 1%.
Η συνάρτηση ελαστικότητας χρησιμοποιείται στην ανάλυση της ζήτησης και της κατανάλωσης. Εάν η ελαστικότητα της ζήτησης (σε απόλυτη τιμή) 
, τότε η ζήτηση θεωρείται ελαστική αν 
─ ουδέτερο αν 
─ ανελαστικό ως προς την τιμή (ή το εισόδημα).
Παράδειγμα 10Να υπολογίσετε την ελαστικότητα μιας συνάρτησης 
και βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας για 
= 3.
Λύση: σύμφωνα με τον τύπο (VII) η ελαστικότητα της συνάρτησης:
Έστω x=3, λοιπόν 
.Αυτό σημαίνει ότι εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή αυξηθεί κατά 1%, τότε η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής θα αυξηθεί κατά 1,42%.
Παράδειγμα 11Αφήστε τη ζήτηση να λειτουργήσει 
σχετικά με την τιμή 
μοιάζει με 
, Οπου 
─ σταθερός συντελεστής. Βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας της συνάρτησης ζήτησης στην τιμή x = 3 den. μονάδες
Λύση: υπολογίστε την ελαστικότητα της συνάρτησης ζήτησης χρησιμοποιώντας τον τύπο (VII)
πιστεύοντας 
νομισματικές μονάδες, παίρνουμε 
. Αυτό σημαίνει ότι σε μια τιμή 
νομισματική μονάδα μια αύξηση της τιμής κατά 1% θα προκαλέσει μείωση της ζήτησης κατά 6%, δηλ. η ζήτηση είναι ελαστική.
Ενας από πιο σημαντικά καθήκονταδιαφορικός λογισμός είναι η ανάπτυξη κοινά παραδείγματαμελέτες για τη συμπεριφορά των συναρτήσεων.
Εάν η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα , και η παράγωγός της είναι θετική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε η y=f(x) αυξάνεται κατά (f"(x)0) Αν η συνάρτηση y=f (x) είναι συνεχής στο τμήμα και η παράγωγός της είναι αρνητική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε η y=f(x) μειώνεται κατά (f"(x)0 )
Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση δεν μειώνεται ή αυξάνεται ονομάζονται διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. Η μονοτονία μιας συνάρτησης μπορεί να αλλάξει μόνο σε εκείνα τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία αλλάζει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Τα σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης εξαφανίζεται ή έχει ασυνέχεια ονομάζονται κρίσιμα.
Θεώρημα 1 (1ο επαρκής κατάστασηη ύπαρξη ακραίου).
Έστω η συνάρτηση y=f(x) που ορίζεται στο σημείο x 0 και ας υπάρχει μια γειτονιά δ>0 τέτοια ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο διάστημα και διαφορίσιμη στο διάστημα (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , και η παράγωγός του διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Τότε αν στα x 0 -δ,x 0) και (x 0 , x 0 +δ) τα πρόσημα της παραγώγου είναι διαφορετικά, τότε το x 0 είναι ακρότατο σημείο και αν συμπίπτουν, τότε το x 0 δεν είναι ακρότατο σημείο . Επιπλέον, εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον (στα αριστερά του x 0 f"(x)>0 ικανοποιείται, τότε το x 0 είναι το μέγιστο σημείο· εάν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον στο συν (στα δεξιά του x 0 εκτελείται f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης ονομάζονται ακραίες τιμές της.
Θεώρημα 2 (απαραίτητο κριτήριο για τοπικό άκρο).
Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει άκρο στο ρεύμα x=x 0, τότε είτε f'(x 0)=0 είτε f'(x 0) δεν υπάρχει.
Στα ακραία σημεία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης, η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox.
Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ένα άκρο:
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2) Βρείτε κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.
3) Εξετάστε τη γειτονιά καθενός από τα σημεία και εξετάστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά αυτού του σημείου.
4) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των ακραίων σημείων, για αυτήν την τιμή των κρίσιμων σημείων, αντικαταστήστε τη συνάρτηση αυτή. Χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για το ακραίο, βγάλτε τα κατάλληλα συμπεράσματα.
Παράδειγμα 18. Εξετάστε τη συνάρτηση y=x 3 -9x 2 +24x για ένα άκρο
Λύση.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Εξισώνοντας την παράγωγο με το μηδέν, βρίσκουμε x 1 =2, x 2 =4. Σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος ορίζεται παντού. Αυτό σημαίνει ότι εκτός από τα δύο σημεία που βρέθηκαν, δεν υπάρχουν άλλα κρίσιμα σημεία.
3) Το πρόσημο της παραγώγου y "=3(x-2)(x-4) αλλάζει ανάλογα με το διάστημα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, και κατά τη διέλευση από το σημείο x=4 - από μείον στο συν.
4) Στο σημείο x=2 η συνάρτηση έχει μέγιστο y max =20, και στο σημείο x=4 - ελάχιστο y min =16.
Θεώρημα 3. (2η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατου).
Έστω f "(x 0) και f "" (x 0) υπάρχουν στο σημείο x 0. Τότε αν f "" (x 0)> 0, τότε x 0 είναι το ελάχιστο σημείο, και αν f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Στο τμήμα, η συνάρτηση y \u003d f (x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη (τουλάχιστον) ή τη μεγαλύτερη (το πολύ) τιμή είτε στα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης που βρίσκονται στο διάστημα (a; b) είτε στα άκρα του τμήματος.
Ο αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνεχούς συνάρτησης y=f(x) στο τμήμα:
1) Βρείτε το f"(x).
2) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει f "(x) = 0 ή f" (x) - και επιλέξτε από αυτά αυτά που βρίσκονται μέσα στο τμήμα.
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης y \u003d f (x) στα σημεία που λαμβάνονται στην παράγραφο 2), καθώς και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε το μεγαλύτερο και το μικρότερο από αυτά: είναι, αντίστοιχα, τα μεγαλύτερα ( για τη μεγαλύτερη) και τις μικρότερες (για τις μικρότερες) τιμές της συνάρτησης στο διάστημα.
Παράδειγμα 19. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης y=x 3 -3x 2 -45+225 στο τμήμα .
1) Έχουμε y"=3x 2 -6x-45 στο τμήμα
2) Η παράγωγος y" υπάρχει για όλα τα x. Ας βρούμε τα σημεία στα οποία y"=0; παίρνουμε:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Το τμήμα περιέχει μόνο το σημείο x=5. Η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης που βρέθηκαν είναι 225 και η μικρότερη είναι ο αριθμός 50. Άρα, y max = 225, y min = 50.
Μελέτη συνάρτησης κυρτότητας
Το σχήμα δείχνει γραφήματα δύο συναρτήσεων. Το πρώτο από αυτά είναι κυρτό προς τα πάνω, το δεύτερο είναι κυρτό προς τα κάτω.
Η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα και διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (a;b), ονομάζεται κυρτή προς τα πάνω (κάτω) σε αυτό το διάστημα εάν, για το axb, η γραφική παράσταση της δεν βρίσκεται ψηλότερα (όχι χαμηλότερα) από το εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο M 0 (x 0 ;f(x 0)), όπου axb.
Θεώρημα 4. Έστω η συνάρτηση y=f(x) να έχει δεύτερη παράγωγο σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο x του τμήματος και να είναι συνεχής στα άκρα αυτού του τμήματος. Τότε αν η ανισότητα f""(x)0 ισχύει στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω στο διάστημα ; αν η ανισότητα f""(x)0 ισχύει στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο .
Θεώρημα 5. Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα (a;b) και αν αλλάξει πρόσημο όταν διέρχεται από το σημείο x 0, τότε το M(x 0 ;f(x 0)) είναι ένα σημείο καμπής.
Κανόνας για την εύρεση σημείων καμπής:
1) Βρείτε σημεία όπου η f""(x) δεν υπάρχει ή εξαφανίζεται.
2) Εξετάστε το σύμβολο f""(x) αριστερά και δεξιά από κάθε σημείο που βρίσκεται στο πρώτο βήμα.
3) Με βάση το Θεώρημα 4, βγάλτε ένα συμπέρασμα.
Παράδειγμα 20. Να βρείτε ακραία σημεία και σημεία καμπής της γραφικής παράστασης συνάρτησης y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Έχουμε f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Προφανώς, f"(x)=0 για x 1 =0, x 2 =1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, αλλά όταν περνά από το σημείο x=1 δεν αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι x=0 είναι το ελάχιστο σημείο (y min =12), και δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x=1. Στη συνέχεια, βρίσκουμε 
. Η δεύτερη παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία x 1 =1, x 2 =1/3. Τα πρόσημα της δεύτερης παραγώγου αλλάζουν ως εξής: Στην ακτίνα (-∞;) έχουμε f""(x)>0, στο διάστημα (;1) έχουμε f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Επομένως, x= είναι το σημείο καμπής του γραφήματος συνάρτησης (μετάβαση από κυρτότητα προς τα κάτω στην κυρτότητα προς τα πάνω) και x=1 είναι επίσης το σημείο καμπής (μετάβαση από κυρτότητα προς τα πάνω στην κυρτότητα προς τα κάτω). Αν x=, τότε y=; αν, τότε x=1, y=13.
Αλγόριθμος για την εύρεση της ασύμπτοτης ενός γραφήματος
I. Αν y=f(x) ως x → a, τότε το x=a είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.
II. Αν y=f(x) ως x → ∞ ή x → -∞, τότε το y=A είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη.
III. Για να βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1) Υπολογίστε. Εάν το όριο υπάρχει και είναι ίσο με b, τότε το y=b είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. αν , τότε μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.
2) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και είναι ίσο με k, τότε πηγαίνετε στο τρίτο βήμα.
3) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και ισούται με b, τότε πηγαίνετε στο τέταρτο βήμα.
4) Να γράψετε την εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης y=kx+b.
Παράδειγμα 21: Βρείτε την ασύμπτωτη για μια συνάρτηση 
1) 
2)
3)
4) Η εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης έχει τη μορφή
Σχέδιο μελέτης μιας συνάρτησης και κατασκευής της γραφικής της παράστασης
I. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
II. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων.
III. Βρείτε ασύμπτωτες.
IV. Βρείτε σημεία πιθανού άκρου.
V. Βρείτε κρίσιμα σημεία.
VI. Χρησιμοποιώντας το βοηθητικό σχήμα, εξερευνήστε το πρόσημο της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου. Προσδιορίστε περιοχές αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, βρείτε την κατεύθυνση της κυρτότητας της γραφικής παράστασης, τα σημεία των ακρών και τα σημεία καμπής.
VII. Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη που έγινε στις παραγράφους 1-6.
Παράδειγμα 22: Σχεδιάστε ένα γράφημα συνάρτησης σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα
Λύση.
I. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από x=1.
II. Εφόσον η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox, αλλά τέμνει τον άξονα Oy στο σημείο (0;-1).
III. Ας διευκρινίσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ασυμπτωτών. Διερευνούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο σημείο ασυνέχειας x=1. Εφόσον y → ∞ ως x → -∞, y → +∞ ως x → 1+, τότε η ευθεία x=1 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Αν x → +∞(x → -∞), τότε y → +∞(y → -∞); Επομένως, το γράφημα δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. Περαιτέρω, από την ύπαρξη ορίων
Λύνοντας την εξίσωση x 2 -2x-1=0 λαμβάνουμε δύο πιθανά ακραία σημεία:
x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2
V. Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο:
Εφόσον η f""(x) δεν εξαφανίζεται, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία.
VI. Ας εξετάσουμε το πρόσημο της πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Πιθανά ακραία σημεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη: x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2, διαιρέστε τον τομέα ύπαρξης της συνάρτησης σε διαστήματα (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) και (1+√2;+∞).
Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της: στο πρώτο - συν, στο δεύτερο - μείον, στο τρίτο - συν. Η ακολουθία των σημείων της πρώτης παραγώγου θα γραφεί ως εξής: +,-,+.
Βρίσκουμε ότι η συνάρτηση αυξάνεται στο (-∞;1-√2), μειώνεται στο (1-√2;1+√2) και αυξάνεται ξανά στο (1+√2;+∞). Ακραία σημεία: μέγιστο στο x=1-√2, και f(1-√2)=2-2√2 ελάχιστο στο x=1+√2 και f(1+√2)=2+2√2. Στο (-∞;1) το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω και στο (1;+∞) είναι κυρτό προς τα κάτω.
VII Ας κάνουμε έναν πίνακα με τις τιμές που λαμβάνονται
VIII Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα σκίτσο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 