Διάνυσμα- μια καθαρά μαθηματική έννοια που χρησιμοποιείται μόνο στη φυσική ή άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες και η οποία επιτρέπει την απλοποίηση της επίλυσης ορισμένων πολύπλοκων προβλημάτων.
Διάνυσμα− κατευθυνόμενο ευθύ τμήμα.
Ξέρω στοιχειώδης φυσικήπρέπει να λειτουργούμε με δύο κατηγορίες ποσοτήτων − βαθμωτό και διανυσματικό.
Βαθμωτό μέγεθοςΟι ποσότητες (βαθμοί) είναι μεγέθη που χαρακτηρίζονται από αριθμητική τιμή και πρόσημο. Οι βαθμίδες είναι μήκος − μεγάλο, μάζα − Μ, μονοπάτι − μικρό, χρόνος − t, θερμοκρασία − Τ, ηλεκτρικό φορτίο − q, ενέργεια − W, συντεταγμένες κ.λπ.
Όλες οι αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.) ισχύουν για βαθμωτές ποσότητες.
Παράδειγμα 1.
Προσδιορίστε το συνολικό φορτίο του συστήματος, που αποτελείται από τα φορτία που περιλαμβάνονται σε αυτό, εάν q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Πλήρης χρέωση συστήματος
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.
Παράδειγμα 2.
Για τετραγωνική εξίσωσηείδος
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
ΔιάνυσμαΟι ποσότητες (διανύσματα) είναι μεγέθη, για να καθοριστεί ποιες είναι απαραίτητο να δηλωθεί, εκτός από την αριθμητική τιμή, και η κατεύθυνση. Διανύσματα − ταχύτητα v, δύναμη φά, παρόρμηση Π, ένταση ηλεκτρικό πεδίο μι, μαγνητική επαγωγή σικαι τα λοιπά.
Η αριθμητική τιμή ενός διανύσματος (μέτρο) συμβολίζεται με ένα γράμμα χωρίς σύμβολο διανύσματος ή το διάνυσμα περικλείεται ανάμεσα σε κάθετες ράβδους r = |r|.
Γραφικά, το διάνυσμα αντιπροσωπεύεται από ένα βέλος (Εικ. 1),
Το μήκος του οποίου σε μια δεδομένη κλίμακα είναι ίσο με το μέγεθός του και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος.
Δύο διανύσματα είναι ίσα αν τα μεγέθη και οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν.
Τα διανυσματικά μεγέθη προστίθενται γεωμετρικά (σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής άλγεβρας).
Η εύρεση ενός διανυσματικού αθροίσματος από δεδομένα διανύσματα συνιστωσών ονομάζεται πρόσθεση διανυσμάτων.
Η προσθήκη δύο διανυσμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ή του τριγώνου. Διάνυσμα αθροίσματος
c = a + b
ίση με τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σι. Διαμορφώστε το
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (Εικ. 2). 
Σε α = 90°, c = √(a 2 + b 2 ) είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το ίδιο διάνυσμα c μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου εάν από το τέλος του διανύσματος έναπαραμερίζουν διάνυσμα σι. Διάνυσμα κύλισης c (που συνδέει την αρχή του διανύσματος ένακαι το τέλος του διανύσματος σι) είναι το διανυσματικό άθροισμα των όρων (διανύσματα συστατικών έναΚαι σι).
Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται ως το πίσω άκρο της διακεκομμένης γραμμής της οποίας οι σύνδεσμοι είναι τα διανύσματα συνιστωσών (Εικ. 3). 
Παράδειγμα 3.
Προσθέστε δύο δυνάμεις F 1 = 3 N και F 2 = 4 N, διανύσματα ΣΤ 1Και F 2κάντε γωνίες α 1 = 10° και α 2 = 40° με τον ορίζοντα, αντίστοιχα
F = F 1 + F 2(Εικ. 4). 
Το αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των δύο δυνάμεων είναι μια δύναμη που ονομάζεται προκύπτουσα. Διάνυσμα φάπου κατευθύνεται κατά μήκος της διαγώνιου ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα ΣΤ 1Και F 2, και στις δύο πλευρές, και είναι ίσο σε συντελεστή με το μήκος του.
Διάνυσμα ενότητα φάβρείτε με το θεώρημα συνημιτόνου
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Αν
(α 2 − α 1) = 90°, τότε F = √(F 1 2 + F 2 2 ).
Γωνία που είναι διάνυσμα φάισούται με τον άξονα Ox, τον βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο
α = αρκτάνη((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = αρκτάνη((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = αρκτάνη0.51, α ≈ 0.47 rad.
Η προβολή του διανύσματος a στον άξονα Ox (Oy) είναι μια κλιμακωτή ποσότητα ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της κατεύθυνσης του διανύσματος ένακαι άξονας Ox (Oy). (Εικ. 5) 
Διανυσματικές προβολές έναστους άξονες Ox και Oy του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. (Εικ. 6) 
Για να αποφύγετε λάθη κατά τον προσδιορισμό του πρόσημου της διανυσματικής προβολής στον άξονα, είναι χρήσιμο να θυμάστε επόμενος κανόνας: εάν η κατεύθυνση της συνιστώσας συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος σε αυτόν τον άξονα είναι θετική, αλλά εάν η κατεύθυνση της συνιστώσας είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος είναι αρνητικός. (Εικ. 7) 
Η αφαίρεση διανυσμάτων είναι μια προσθήκη κατά την οποία προστίθεται ένα διάνυσμα στο πρώτο διάνυσμα, αριθμητικά ίσο με το δεύτερο, προς την αντίθετη κατεύθυνση
a − b = a + (−b) = d(Εικ. 8). 
Ας είναι απαραίτητο από το διάνυσμα ένααφαιρώ διάνυσμα σι, τη διαφορά τους − ρε. Για να βρείτε τη διαφορά δύο διανυσμάτων, πρέπει να πάτε στο διάνυσμα έναπροσθήκη διανύσματος ( −β), δηλαδή ένα διάνυσμα d = a − bθα είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από την αρχή του διανύσματος έναμέχρι το τέλος του διανύσματος ( −β) (Εικ. 9). 
Σε ένα παραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα έναΚαι σικαι οι δύο πλευρές, μία διαγώνιος ντοέχει την έννοια του αθροίσματος, και το άλλο ρε− διανυσματικές διαφορές έναΚαι σι(Εικ. 9).
Προϊόν ενός φορέα έναμε βαθμωτό k ισούται με διάνυσμα σι= κ ένα, το μέτρο του οποίου είναι k φορές μεγαλύτερο από το μέτρο του διανύσματος ένα, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση έναγια θετικό k και το αντίθετο για αρνητικό k.
Παράδειγμα 4.
Προσδιορίστε την ορμή ενός σώματος βάρους 2 kg που κινείται με ταχύτητα 5 m/s. (Εικ. 10) 
Σωματική παρόρμηση Π= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s και κατευθύνεται προς την ταχύτητα v.
Παράδειγμα 5.
Ένα φορτίο q = −7,5 nC τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο με ισχύ E = 400 V/m. Να βρείτε το μέγεθος και την κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το φορτίο.
Η δύναμη είναι φά= q μι. Εφόσον το φορτίο είναι αρνητικό, το διάνυσμα δύναμης κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα μι. (Εικ. 11) 
Διαίρεσηδιάνυσμα έναμε βαθμωτό k ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό ένακατά 1/k.
Προϊόν με τελείεςφορείς έναΚαι σιονομάζεται βαθμωτός «c», ίσος με το γινόμενο των συντελεστών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας
(α.β) = (β.α) = γ,
σ = ab.cosα (Εικ. 12) 
Παράδειγμα 6.
Βρισκω δουλεια σταθερή δύναμη F = 20 N αν η μετατόπιση είναι S = 7,5 m και η γωνία α μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης είναι α = 120°.
Το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ισούται, εξ ορισμού, με το κλιμακωτό γινόμενο της δύναμης και της μετατόπισης
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.
Διάνυσμα έργα τέχνηςφορείς έναΚαι σιονομάζεται διάνυσμα ντο, αριθμητικά ίσο με το γινόμενο των απόλυτων τιμών των διανυσμάτων a και b πολλαπλασιαζόμενο με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:
c = a × b = ,
σ = ab × sina.
Διάνυσμα ντοκάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα έναΚαι σι, και η κατεύθυνση του σχετίζεται με την κατεύθυνση των διανυσμάτων έναΚαι σικανόνας δεξιάς βίδας (Εικ. 13). 
Παράδειγμα 7.
Προσδιορίστε τη δύναμη που ασκεί ένας αγωγός μήκους 0,2 m, τοποθετημένος σε μαγνητικό πεδίο, του οποίου η επαγωγή είναι 5 Τ, εάν η ένταση ρεύματος στον αγωγό είναι 10 Α και σχηματίζει γωνία α = 30° με την κατεύθυνση του πεδίου .
Ισχύς αμπέρ
dF = I = Idl × B ή F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsina = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Σκεφτείτε την επίλυση προβλημάτων.
1. Πώς κατευθύνονται δύο διανύσματα, των οποίων οι συντελεστές είναι πανομοιότυπα και ίσα με a, αν το μέτρο του αθροίσματος τους είναι ίσο με: α) 0; β) 2α; γ) α? δ) a√(2); ε) a√(3);
Λύση.
α) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς τα μέσα αντίθετες πλευρές. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι μηδέν. 
β) Δύο διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας προς την ίδια κατεύθυνση. Το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι 2α. 
γ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 120° μεταξύ τους. Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι α. Το διάνυσμα που προκύπτει βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου: 
a 2 + a 2 + 2aacosa = a 2,
cosα = −1/2 και α = 120°.
δ) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 90° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2,
cosα = 0 και α = 90°. 
ε) Δύο διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Ο συντελεστής του αθροίσματος είναι ίσος με
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 και α = 60°.
Απάντηση: Η γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με: α) 180°; β) 0; γ) 120°; δ) 90°; ε) 60°.
2. Αν a = a 1 + a 2προσανατολισμός των διανυσμάτων, τι μπορεί να ειπωθεί για τον αμοιβαίο προσανατολισμό των διανυσμάτων Α'1Και Α2, αν: α) a = a 1 + a 2 ; β) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; γ) a 1 + a 2 = a 1 − a 2;
Λύση.
α) Εάν το άθροισμα των διανυσμάτων βρεθεί ως το άθροισμα των μονάδων αυτών των διανυσμάτων, τότε τα διανύσματα κατευθύνονται κατά μήκος μίας ευθείας γραμμής, παράλληλα μεταξύ τους a 1 ||a 2.
β) Αν τα διανύσματα κατευθύνονται υπό γωνία μεταξύ τους, τότε το άθροισμά τους βρίσκεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 και α = 90°.
τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους a 1 ⊥ a 2.
γ) Κατάσταση a 1 + a 2 = a 1 − a 2μπορεί να εκτελεστεί εάν Α2− μηδενικό διάνυσμα, μετά a 1 + a 2 = a 1 .
Απαντήσεις. ΕΝΑ) a 1 ||a 2; σι) a 1 ⊥ a 2; V) Α2− μηδενικό διάνυσμα.
3. Δύο δυνάμεις 1,42 Ν η καθεμία ασκούνται σε ένα σημείο του σώματος υπό γωνία 60° μεταξύ τους. Σε ποια γωνία πρέπει να ασκηθούν δύο δυνάμεις 1,75 N η καθεμία στο ίδιο σημείο του σώματος, ώστε η δράση τους να εξισορροπήσει τη δράση των δύο πρώτων δυνάμεων;
Λύση.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, δύο δυνάμεις 1,75 Ν η καθεμία εξισορροπούν δύο δυνάμεις 1,42 Ν η καθεμία. Αυτό είναι δυνατό εάν οι μονάδες των ζευγών δυνάμεων που προκύπτουν είναι ίσες. Προσδιορίζουμε το διάνυσμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο. Για το πρώτο ζεύγος δυνάμεων:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
για το δεύτερο ζεύγος δυνάμεων, αντίστοιχα
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Εξίσωση των αριστερών πλευρών των εξισώσεων
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Ας βρούμε την απαιτούμενη γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Μετά από υπολογισμούς,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° − 2.1.752)/(2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7°.
Δεύτερη λύση.
Ας εξετάσουμε την προβολή των διανυσμάτων στον άξονα συντεταγμένων OX (Εικ.). 
Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των μερών σε ορθογώνιο τρίγωνο, παίρνουμε
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
που
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) και β ≈ 90,7°.
4. Διάνυσμα a = 3i − 4j. Ποια πρέπει να είναι η κλιμακωτή ποσότητα c για το |c ένα| = 7,5?
Λύση.
ντο ένα= γ( 3i − 4j) = 7,5
Διάνυσμα ενότητα έναθα είναι ίσοι
a 2 = 3 2 + 4 2, και a = ±5,
τότε από
c.(±5) = 7,5,
ας το βρούμε
c = ±1,5.
5. Διανύσματα Α'1Και Α2βγαίνουν από την αρχή και έχουν καρτεσιανές τελικές συντεταγμένες (6, 0) και (1, 4), αντίστοιχα. Βρείτε το διάνυσμα α 3έτσι ώστε: α) Α'1 + Α2 + α 3= 0; σι) Α'1 − Α2 + α 3 = 0.
Λύση.
Ας απεικονίσουμε τα διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Εικ.) 
α) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι
a x = 6 + 1 = 7.
Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy είναι
a y = 4 + 0 = 4.
Για να είναι το άθροισμα των διανυσμάτων ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο να ικανοποιείται η συνθήκη
Α'1 + Α2 = −α 3.
Διάνυσμα α 3 modulo θα είναι ίσο με το συνολικό διάνυσμα α 1 + α 2, αλλά κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Διάνυσμα τελική συντεταγμένη α 3ισούται με (−7, −4), και το μέτρο
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.
Β) Το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Ox είναι ίσο με
a x = 6 − 1 = 5,
και το διάνυσμα που προκύπτει κατά μήκος του άξονα Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Όταν πληρούται η προϋπόθεση
Α'1 − Α2 = −α 3,
διάνυσμα α 3θα έχει τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος a x = –5 και a y = −4, και το μέτρο του είναι ίσο με
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.
6. Ένας αγγελιοφόρος περπατά 30 μ. προς τα βόρεια, 25 μ. προς τα ανατολικά, 12 μ. προς τα νότια και μετά παίρνει ασανσέρ σε ύψος 36 μ. σε ένα κτίριο. Ποια είναι η απόσταση που διανύει το L και η μετατόπιση S ?
Λύση.
Ας απεικονίσουμε την κατάσταση που περιγράφεται στο πρόβλημα σε ένα επίπεδο σε αυθαίρετη κλίμακα (Εικ.). 
Τέλος του διανύσματος Ο.Α.έχει συντεταγμένες 25 m στα ανατολικά, 18 m στα βόρεια και 36 επάνω (25; 18; 36). Η απόσταση που διανύει ένα άτομο είναι ίση με
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
όπου x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Απάντηση: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Γωνία α μεταξύ δύο διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με 60°. Προσδιορίστε το μήκος του διανύσματος c = a + bκαι γωνία β μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι ντο. Τα μεγέθη των διανυσμάτων είναι a = 3,0 και b = 2,0.
Λύση.
Διάνυσμα μήκος, ίσο με το ποσόφορείς έναΚαι σιΑς προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο (Εικ.). 
σ = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Μετά την αντικατάσταση
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4.
Για να προσδιορίσουμε τη γωνία β, χρησιμοποιούμε το ημιτονικό θεώρημα για το τρίγωνο ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Ταυτόχρονα, πρέπει να το γνωρίζετε
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Επίλυση ενός απλού τριγωνομετρική εξίσωση, φτάνουμε στην έκφραση
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
ως εκ τούτου,
β = αρκτάνη(bsinα/(a + bcosα)),
β = αρκτάνη (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Ας ελέγξουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
που
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Και
β = τόξο((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = τόξο ((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Απάντηση: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Λύνω προβλήματα.
8. Για διανύσματα έναΚαι σιόπως ορίζεται στο Παράδειγμα 7, βρείτε το μήκος του διανύσματος d = a − bγωνία γ
μεταξύ έναΚαι ρε.
9. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος a = 4,0i + 7,0jσε ευθεία, η διεύθυνση της οποίας κάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox. Διάνυσμα ένακαι η ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο xOy.
10. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με ευθεία ΑΒ, a = 3,0. Σε ποια γωνία β προς την ευθεία ΑΒ πρέπει να κατευθύνεται το διάνυσμα; σι(b = √(3)) έτσι ώστε το διάνυσμα c = a + bήταν παράλληλη με την ΑΒ; Βρείτε το μήκος του διανύσματος ντο.
11. Δίνονται τρία διανύσματα: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; σ = i + 3j. Βρες ένα) α+β; σι) α+γ; V) (α, β); ΣΟΛ) (α, γ)β − (α, β)γ.
12. Γωνία μεταξύ διανυσμάτων έναΚαι σιισούται με α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων c = (a, b)a + bΚαι d = 2b − a/2.
13. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα έναΚαι σιείναι κάθετες αν a = (2, 1, −5) και b = (5, −5, 1).
14. Να βρείτε τη γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων έναΚαι σι, εάν a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Διάνυσμα ένακάνει γωνία α = 30° με τον άξονα Ox, η προβολή αυτού του διανύσματος στον άξονα Oy είναι ίση με a y = 2,0. Διάνυσμα σικάθετο στο διάνυσμα ένακαι b = 3,0 (βλ. σχήμα). 
Διάνυσμα c = a + b. Να βρείτε: α) προβολές του διανύσματος σιστον άξονα Ox και Oy. β) την τιμή του c και τη γωνία β μεταξύ του διανύσματος ντοκαι ο άξονας Ox? ταξί); δ) (α, γ).
Απαντήσεις:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. α) 5i + j; β) i + 3j − 2k; γ) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. α) b x = −1,5; b y = 2,6; β) c = 5; β ≈ 67°; γ) 0; δ) 16,0.
Με τη μελέτη της φυσικής, έχετε μεγάλες ευκαιρίες να συνεχίσετε την εκπαίδευσή σας σε ένα τεχνικό πανεπιστήμιο. Αυτό θα απαιτήσει μια παράλληλη εμβάθυνση των γνώσεων στα μαθηματικά, τη χημεία, τη γλώσσα και σπανιότερα άλλα μαθήματα. Ο νικητής της Ρεπουμπλικανικής Ολυμπιάδας, Savich Egor, αποφοίτησε από μια από τις σχολές του MIPT, όπου τίθενται μεγάλες απαιτήσεις στη γνώση στη χημεία. Εάν χρειάζεστε βοήθεια στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών στη χημεία, επικοινωνήστε με τους επαγγελματίες· σίγουρα θα λάβετε ειδική και έγκαιρη βοήθεια.
Οι ποσότητες ονομάζονται κλιμακωτές (βαθμωτές) εάν, μετά την επιλογή μιας μονάδας μέτρησης, χαρακτηρίζονται πλήρως από έναν αριθμό. Παραδείγματα βαθμωτών μεγεθών είναι η γωνία, η επιφάνεια, ο όγκος, η μάζα, η πυκνότητα, το ηλεκτρικό φορτίο, η αντίσταση, η θερμοκρασία.
Είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ δύο τύπων βαθμωτών μεγεθών: καθαρών βαθμωτών και ψευδοβαθμωτών.
3.1.1. Καθαρά σκαλοπάτια.
Οι καθαροί βαθμοί ορίζονται πλήρως από έναν μόνο αριθμό, ανεξάρτητα από την επιλογή των αξόνων αναφοράς. Παραδείγματα καθαρών βαθμωτών είναι η θερμοκρασία και η μάζα.
3.1.2. Ψευδοσκαλάρια.
Όπως οι καθαροί βαθμωτοί, οι ψευδοκλιμακωτοί ορίζονται χρησιμοποιώντας έναν μόνο αριθμό, η απόλυτη τιμή του οποίου δεν εξαρτάται από την επιλογή των αξόνων αναφοράς. Ωστόσο, το πρόσημο αυτού του αριθμού εξαρτάται από την επιλογή των θετικών κατευθύνσεων στους άξονες συντεταγμένων.
Σκεφτείτε, για παράδειγμα, κυβοειδές, οι προεξοχές των άκρων των οποίων στους ορθογώνιους άξονες συντεταγμένων είναι αντίστοιχα ίσες.Ο όγκος αυτού του παραλληλεπίπεδου προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας την ορίζουσα
η απόλυτη τιμή του οποίου δεν εξαρτάται από την επιλογή των ορθογώνιων αξόνων συντεταγμένων. Ωστόσο, εάν αλλάξετε τη θετική κατεύθυνση σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, η ορίζουσα θα αλλάξει πρόσημο. Ο όγκος είναι ψευδοσκάλαιο. Η γωνία, η περιοχή και η επιφάνεια είναι επίσης ψευδοσκάλαια. Παρακάτω (Ενότητα 5.1.8) θα δούμε ότι ένας ψευδοσκάλας είναι στην πραγματικότητα ένας τανυστής ενός ειδικού είδους.
Διανυσματικές ποσότητες
3.1.3. Αξονας.
Άξονας είναι μια άπειρη ευθεία πάνω στην οποία επιλέγεται η θετική κατεύθυνση. Αφήστε μια τέτοια ευθεία γραμμή, και την κατεύθυνση από
θεωρείται θετική. Ας θεωρήσουμε ένα τμήμα σε αυτή τη γραμμή και ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός που μετρά το μήκος είναι ίσος με a (Εικ. 3.1). Τότε το αλγεβρικό μήκος του τμήματος είναι ίσο με a, το αλγεβρικό μήκος του τμήματος είναι ίσο με - a.
Εάν πάρουμε πολλές παράλληλες ευθείες, τότε, έχοντας καθορίσει τη θετική κατεύθυνση σε μία από αυτές, την καθορίζουμε έτσι στις υπόλοιπες. Η κατάσταση είναι διαφορετική εάν οι γραμμές δεν είναι παράλληλες. τότε πρέπει να συμφωνήσετε συγκεκριμένα για την επιλογή της θετικής κατεύθυνσης για κάθε ευθεία.
3.1.4. Κατεύθυνση περιστροφής.
Αφήστε τον άξονα. Θα ονομάσουμε την περιστροφή γύρω από έναν άξονα θετική ή άμεση εάν πραγματοποιείται για έναν παρατηρητή που στέκεται κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα, προς τα δεξιά και προς τα αριστερά (Εικ. 3.2). Διαφορετικά ονομάζεται αρνητικό ή αντίστροφο.
3.1.5. Άμεσα και αντίστροφα τρίεδρα.
Ας είναι κάποιο τρίεδρο (ορθογώνιο ή μη). Οι θετικές κατευθύνσεις επιλέγονται στους άξονες αντίστοιχα από O έως x, από O έως y και από O έως z.
Ως διάνυσμα νοείται συνήθως μια ποσότητα που έχει 2 κύρια χαρακτηριστικά:
- μονάδα μέτρησης;
- κατεύθυνση.
Έτσι, δύο διανύσματα θεωρούνται ίσα εάν οι μονάδες, καθώς και οι κατευθύνσεις και των δύο συμπίπτουν. Η εν λόγω τιμή γράφεται τις περισσότερες φορές ως γράμμα με ένα βέλος που τραβιέται πάνω της.
Μεταξύ των πιο κοινών ποσοτήτων του αντίστοιχου τύπου είναι η ταχύτητα, η δύναμη και επίσης, για παράδειγμα, η επιτάχυνση.
Από γεωμετρική άποψη, ένα διάνυσμα μπορεί να είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα, το μήκος του οποίου συσχετίζεται με το δομοστοιχείο του.
Αν θεωρήσουμε ένα διανυσματικό μέγεθος χωριστά από την κατεύθυνσή του, τότε μπορεί καταρχήν να μετρηθεί. Είναι αλήθεια ότι αυτό θα είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ένα μερικό χαρακτηριστικό της αντίστοιχης ποσότητας. Πλήρης - επιτυγχάνεται μόνο εάν συμπληρώνεται με τις παραμέτρους του κατευθυντικού τμήματος.
Τι είναι μια κλιμακωτή ποσότητα;
Με τον όρο βαθμωτό εννοούμε μια ποσότητα που έχει μόνο 1 χαρακτηριστικό, δηλαδή - αριθμητική αξία. Σε αυτήν την περίπτωση, η υπό εξέταση τιμή μπορεί να λάβει θετική ή αρνητική τιμή.
Τα κοινά κλιμακωτά μεγέθη περιλαμβάνουν τη μάζα, τη συχνότητα, την τάση και τη θερμοκρασία. Με αυτά είναι δυνατή η παραγωγή διαφόρων μαθηματικές πράξεις- πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.
Η κατεύθυνση (ως χαρακτηριστικό) δεν είναι τυπική για βαθμωτές ποσότητες.
Σύγκριση
Η κύρια διαφορά μεταξύ μιας διανυσματικής ποσότητας και μιας κλιμακωτής ποσότητας είναι ότι η πρώτη έχει βασικά χαρακτηριστικά - μέγεθος και κατεύθυνση, ενώ η δεύτερη έχει αριθμητική τιμή. Αξίζει να σημειωθεί ότι ένα διανυσματικό μέγεθος, όπως ένα βαθμωτό μέγεθος, μπορεί κατ 'αρχήν να μετρηθεί, ωστόσο, στην περίπτωση αυτή τα χαρακτηριστικά του θα καθοριστούν μόνο εν μέρει, καθώς θα υπάρχει έλλειψη κατεύθυνσης.
Έχοντας προσδιορίσει ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός διανύσματος και μιας βαθμωτής ποσότητας, θα εμφανίσουμε τα συμπεράσματα σε έναν μικρό πίνακα.
Στη φυσική, υπάρχουν διάφορες κατηγορίες μεγεθών: διανυσματικές και βαθμωτές.
Τι είναι μια διανυσματική ποσότητα;
Ένα διανυσματικό μέγεθος έχει δύο βασικά χαρακτηριστικά: κατεύθυνση και ενότητα. Δύο διανύσματα θα είναι ίδια αν η απόλυτη τιμή και η κατεύθυνσή τους είναι ίδια. Για να δηλώσετε μια διανυσματική ποσότητα, χρησιμοποιούνται συχνότερα γράμματα με ένα βέλος πάνω τους. Ένα παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους είναι η δύναμη, η ταχύτητα ή η επιτάχυνση.
Για να κατανοήσει κανείς την ουσία μιας διανυσματικής ποσότητας, θα πρέπει να την εξετάσει από γεωμετρική άποψη. Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση. Το μήκος ενός τέτοιου τμήματος συσχετίζεται με την τιμή του συντελεστή του. Φυσικό παράδειγμαΗ διανυσματική ποσότητα είναι μετατόπιση υλικό σημείο, κινείται στο διάστημα. Παράμετροι όπως η επιτάχυνση αυτού του σημείου, η ταχύτητα και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα εμφανίζονται επίσης ως διανυσματικά μεγέθη.
Αν θεωρήσουμε ένα διανυσματικό μέγεθος ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, τότε ένα τέτοιο τμήμα μπορεί να μετρηθεί. Αλλά το αποτέλεσμα που προκύπτει θα αντικατοπτρίζει μόνο μερικά χαρακτηριστικά της ποσότητας. Για να το μετρήσετε πλήρως, η τιμή θα πρέπει να συμπληρωθεί με άλλες παραμέτρους του κατευθυντικού τμήματος.
Στη διανυσματική άλγεβρα υπάρχει μια έννοια μηδενικό διάνυσμα. Αυτή η έννοια σημαίνει ένα σημείο. Όσο για την κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος, θεωρείται αβέβαιη. Για να δηλώσετε το μηδενικό διάνυσμα, χρησιμοποιείται το αριθμητικό μηδέν, πληκτρολογημένο με έντονους χαρακτήρες.
Αν αναλύσουμε όλα τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα ορίζουν διανύσματα. Δύο τμήματα θα ορίσουν ένα διάνυσμα μόνο αν είναι ίσα. Κατά τη σύγκριση διανυσμάτων, ισχύει ο ίδιος κανόνας όπως και όταν συγκρίνονται βαθμωτές ποσότητες. Ισότητα σημαίνει πλήρης συμφωνία από όλες τις απόψεις.
Τι είναι μια κλιμακωτή ποσότητα;
Σε αντίθεση με ένα διάνυσμα, ένα βαθμωτό μέγεθος έχει μόνο μία παράμετρο - αυτή την αριθμητική του τιμή. Αξίζει να σημειωθεί ότι η αναλυόμενη τιμή μπορεί να έχει και θετική αριθμητική τιμή και αρνητική.
Παραδείγματα περιλαμβάνουν μάζα, τάση, συχνότητα ή θερμοκρασία. Με τέτοιες τιμές μπορείτε να εκτελέσετε διάφορα αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση, διαίρεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός. Ένα βαθμωτό μέγεθος δεν έχει τέτοιο χαρακτηριστικό όπως η κατεύθυνση.
Μια κλιμακωτή ποσότητα μετριέται με μια αριθμητική τιμή, ώστε να μπορεί να εμφανιστεί σε έναν άξονα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, πολύ συχνά κατασκευάζεται ο άξονας της διανυθείσας απόστασης, της θερμοκρασίας ή του χρόνου.
Κύριες διαφορές μεταξύ βαθμωτών και διανυσματικών μεγεθών
Από τις περιγραφές που δίνονται παραπάνω, είναι σαφές ότι η κύρια διαφορά μεταξύ των διανυσματικών μεγεθών και των βαθμωτών μεγεθών είναι Χαρακτηριστικά. Ένα διανυσματικό μέγεθος έχει κατεύθυνση και μέγεθος, ενώ ένα βαθμωτό μέγεθος έχει μόνο αριθμητική τιμή. Φυσικά, ένα διανυσματικό μέγεθος, όπως ένα βαθμωτό μέγεθος, μπορεί να μετρηθεί, αλλά ένα τέτοιο χαρακτηριστικό δεν θα είναι πλήρες, αφού δεν υπάρχει κατεύθυνση.
Για να φανταστεί κανείς πιο ξεκάθαρα τη διαφορά μεταξύ μιας κλιμακωτής ποσότητας και μιας διανυσματικής ποσότητας, θα πρέπει να δοθεί ένα παράδειγμα. Για να γίνει αυτό, ας πάρουμε έναν τέτοιο τομέα γνώσης όπως κλιματολογία. Αν πούμε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 8 μέτρων το δευτερόλεπτο, τότε θα εισαχθεί μια κλιμακωτή ποσότητα. Αν όμως πούμε ότι ο βόρειος άνεμος φυσά με ταχύτητα 8 μέτρων το δευτερόλεπτο, τότε μιλάμε για διανυσματική τιμή.
Τα διανύσματα παίζουν τεράστιο ρόλο στα σύγχρονα μαθηματικά, καθώς και σε πολλούς τομείς της μηχανικής και της φυσικής. Η πλειοψηφία φυσικές ποσότητεςμπορούν να αναπαρασταθούν ως διανύσματα. Αυτό μας επιτρέπει να γενικεύουμε και να απλοποιούμε σημαντικά τους τύπους και τα αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται. Συχνά οι διανυσματικές τιμές και τα διανύσματα ταυτίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στη φυσική μπορεί να ακούσετε ότι η ταχύτητα ή η δύναμη είναι ένα διάνυσμα.