Nema potrebe učiti površinu sektora kruga i površinu segmenta! Dragi prijatelji!Vjerovatno ste više puta pregledali priručnik sa matematičkim formulama i vjerovatno se pojavila misao: „Da li je zaista moguće naučiti ih sve?“ Reći ću vam šta je moguće, ali zašto? Zašto puniti glavu puno formula, stalno ih ponavljati, užasnuti se što ste neke zaboravili i ponavljati ih opet? Nema potrebe!
Zapravo, dovoljno je zapamtiti trećinu svih formula, osnovnih formula ili čak manje. Zatim ćete shvatiti o čemu govorimo. Sve ostale formule mogu se brzo zaključiti poznavanjem osnova, primjenom logike i pamćenjem principa koje treba slijediti.
Dozvolite mi da vam dam primjer: postoje 32 formule redukcije; učenje istih je besmislena vježba. Kako brzo zapamtiti bilo koji od njih opisano je u članku "", pogledajte.
U ovom članku ćemo pogledati kako brzo vratiti u memoriju formule za površinu sektora kruga, površinu njegovog segmenta i dužinu luka kružnice. Upravo ove formule će biti potrebne za rješavanje niza u planimetriji, koje ćemo analizirati u sljedećem članku.Dakle, „osnovne“ formule, morate ih naučiti i znati!
Površina kruga (formula):
Formula obima:
Hajde da prikažemo sektor koji odgovara određenom centralnom uglu n:
Logično razmišljamo: ako je površina kruga S= PR 2 , tada će površina koja odgovara sektoru od jednog stepena biti jednaka 1/360 površine kruga (znamo da je cijeli krug ugao od 360 stepeni), tj.
Dalje je jasno da je površina sektora koja odgovara središnjem uglu od n stepeni jednaka proizvodu tristo šezdesetine površine kruga i središnjeg ugla n (koji odgovara sektoru) , to je
Evo formule za područje sektora.
Ili možete strukturirati svoje razmišljanje ovako:
Sektor od 1 stepena je 1/360 kruga, odnosno sektor od n stepeni je n/360 kruga. To jest, površina sektora će biti jednaka proizvodu površine kruga i ovog dijela:
To je jednostavno. Potrebno je oduzeti površinu trokuta od površine sektora (označeno je žuta). Površina trokuta, kao što znamo, jednaka je polovini umnoška susjednih stranica i sinusa ugla između njih (treba znati ovu formulu, nijekompleks). IN u ovom slučaju Ovo:
znači,
Toliko o segmentnoj oblasti!
Područje segmenta gdje je središnji ugao veći od 180 stepeni je jednostavno:
Od površine kruga oduzmite površinu rezultirajućeg segmenta:
Ugao od 360 – n stepeni je ugao koji odgovara prikazanom sektoru (žuto):
To jest, drugim riječima, dodajemo površinu trokuta njegovoj površini i dobivamo površinu navedenog segmenta.
Slično, određujemo dužinu luka kružnice. Kao što je već rečeno, obim je jednak:
To znači da će dužina luka kružnice koja odgovara jednom stepenu biti jednaka tristo šezdesetoj od 2πR, tj.
Dobijamo dužinu luka kružnice. svakako, ove informacije nastavnici daju učenicima, a vi niste naučili ništa tako tajno. Ali siguran sam da će vam članak biti od koristi.
Ponavljam da je najvažnije znati formule za površinu kruga i obim, a onda samo logika radi.
Predlažem da pogledate dodatnu lekciju Dmirija Tarasova na ovu temu. Razmatraju se formule za dužinu kružnog luka i površinu sektora, gdje je središnji ugao dat u radijanskoj mjeri.
To je sve.Želim ti uspjeh!!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Krug, njegovi dijelovi, njihove veličine i odnosi su stvari s kojima se zlatar stalno susreće. Prstenje, narukvice, kaste, cijevi, kuglice, spirale - mnogo okruglih stvari treba napraviti. Kako možete sve ovo izračunati, pogotovo ako ste imali sreće da preskočite časove geometrije u školi?..
Pogledajmo prvo koje dijelove krug ima i kako se zovu.
- Krug je linija koja zatvara krug.
- Luk je dio kružnice.
- Radijus je segment koji povezuje centar kružnice sa bilo kojom tačkom na kružnici.
- Tetiva je segment koji spaja dvije tačke na kružnici.
- Segment je dio kružnice omeđen tetivom i lukom.
- Sektor je dio kružnice omeđen sa dva polumjera i lukom.
Količine koje nas zanimaju i njihove oznake:
Sada da vidimo koje probleme vezane za dijelove kruga treba riješiti.
- Pronađite dužinu razvoja bilo kojeg dijela prstena (narukvice). S obzirom na prečnik i tetivu (opcija: prečnik i centralni ugao), pronađite dužinu luka.
- Postoji crtež na ravnini, morate saznati njegovu veličinu u projekciji nakon savijanja u luk. S obzirom na dužinu i prečnik luka, pronađite dužinu tetive.
- Saznajte visinu dijela dobivenog savijanjem ravnog obratka u luk. Opcije izvornih podataka: dužina i prečnik luka, dužina luka i tetiva; pronađite visinu segmenta.
Život će vam dati i druge primjere, ali ove sam dao samo da pokažem potrebu za postavljanjem neka dva parametra da biste pronašli sve ostale. Ovo ćemo uraditi. Naime, uzet ćemo pet parametara segmenta: D, L, X, φ i H. Zatim ćemo ih, birajući sve moguće parove od njih, smatrati početnim podacima, a sve ostale pronaći mozganjem.
Da ne bi uzalud opterećivali čitaoca, detaljna rješenja Neću ih dati, već ću dati samo rezultate u formi formula (onim slučajevima u kojima nema formalnog rješenja, raspravljaću usput).
I još jedna napomena: o mjernim jedinicama. Sve veličine, osim centralnog ugla, mjere se u istim apstraktnim jedinicama. To znači da ako, na primjer, navedete jednu vrijednost u milimetrima, onda drugu ne treba navesti u centimetrima, a rezultirajuće vrijednosti će se mjeriti u istim milimetrima (i površine u kvadratnim milimetrima). Isto se može reći i za inče, stope i nautičke milje.
I samo se centralni ugao u svim slučajevima meri u stepenima i ništa drugo. Jer, kao pravilo, ljudi koji dizajniraju nešto okruglo nemaju tendenciju da mjere uglove u radijanima. Izraz “ugao pi sa četiri” mnoge zbunjuje, dok je “ugao četrdeset pet stepeni” svima razumljiv, jer je samo pet stepeni veći od normalnog. Međutim, u svim formulama će biti prisutan još jedan ugao - α - kao srednja vrijednost. U značenju, ovo je polovina središnjeg ugla, mjereno u radijanima, ali sigurno ne možete ulaziti u ovo značenje.
1. S obzirom na prečnik D i dužinu luka L
; dužina akorda 
;
visina segmenta 
; centralni ugao 
.
2. Dati prečnik D i dužina tetive X
; dužina luka ;
visina segmenta ; centralni ugao 
.
Budući da tetiva dijeli krug na dva segmenta, ovaj problem nema jedno, već dva rješenja. Da biste dobili drugi, trebate zamijeniti ugao α u gornjim formulama sa uglom .
3. Dati prečnik D i središnji ugao φ
; dužina luka ;
dužina akorda ; visina segmenta .
4. S obzirom na prečnik D i visinu segmenta H
; dužina luka ;
dužina akorda ; centralni ugao .
6. Zadana dužina luka L i središnji ugao φ
; promjer ;
dužina akorda ; visina segmenta .
8. Dati dužinu tetive X i središnji ugao φ
; dužina luka 
;
promjer ; visina segmenta .
9. S obzirom na dužinu tetive X i visinu segmenta H
; dužina luka ;
promjer ; centralni ugao .
10. S obzirom na centralni ugao φ i visinu segmenta H
; prečnika 
;
dužina luka ; dužina akorda .
Pažljivi čitatelj nije mogao a da ne primijeti da sam propustio dvije opcije:
5. Zadata dužina luka L i dužina tetive X
7. S obzirom na dužinu luka L i visinu segmenta H
To su samo ona dva neugodna slučaja kada problem nema rješenje koje bi se moglo napisati u formi formule. A zadatak nije tako rijedak. Na primjer, imate ravan komad dužine L i želite ga saviti tako da njegova dužina postane X (ili njegova visina postane H). Koji prečnik da uzmem trn (prečka)?
Ovaj problem se svodi na rješavanje jednačina: 
; - u opciji 5
; - u opciji 7
i iako se ne mogu riješiti analitički, mogu se lako riješiti programski. I čak znam gdje da nabavim takav program: na ovoj stranici, pod imenom . Ona radi sve što vam ovde opširno govorim u mikrosekundama.
Da bismo upotpunili sliku, dodajmo rezultatima naših proračuna obim i tri vrijednosti površine - krug, sektor i segment. (Površine će nam puno pomoći pri izračunavanju mase svih okruglih i polukružnih dijelova, ali više o tome u posebnom članku.) Sve ove količine se izračunavaju pomoću istih formula:
obim ;
površina kruga 
;
sektorsko područje;
područje segmenta 
;
I u zaključku, dozvolite mi da vas još jednom podsjetim na postojanje apsolutno besplatni program, koji izvodi sve gore navedene proračune, oslobađajući vas od potrebe da se sećate šta je arktangens i gde da ga tražite.
Krug je glavna figura u geometriji, čija se svojstva proučavaju u školi u 8. razredu. Jedan od tipičnih problema koji uključuje krug je pronaći površinu nekog njegovog dijela, koji se naziva kružni sektor. Članak daje formule za površinu sektora i dužinu njegovog luka, kao i primjer njihove upotrebe za rješavanje određenog problema.
Koncept obima i kruga
Prije nego što damo formulu za površinu sektora kruga, razmotrimo koja je navedena figura. Prema matematičkoj definiciji, krug je lik na ravni, čije su sve tačke jednako udaljene od određene tačke (centra).
Kada se razmatra krug, koristi se sljedeća terminologija:
- Radijus je segment povučen od središnje tačke do krive kružnice. Obično se označava slovom R.
- Prečnik je segment koji spaja dve tačke na kružnici, ali takođe prolazi kroz centar figure. Obično se označava slovom D.
- Luk je dio zakrivljenog kruga. Mjeri se ili u jedinicama dužine ili korištenjem uglova.
Krug je još jedna važna figura u geometriji; to je skup tačaka koje je ograničeno krivom kružnice.
Površina kruga i obim
Vrijednosti navedene u naslovu stavke izračunavaju se pomoću dvije jednostavne formule. Oni su dati u nastavku:
- Obim: L = 2*pi*R.
- Površina kruga: S = pi*R 2 .
U ovim formulama, pi je određena konstanta koja se zove broj Pi. Iracionalan je, odnosno ne može se tačno izraziti kao prosti razlomak. Približna vrijednost Pi je 3,1416.
Kao što se vidi iz gornjih izraza, da bi se izračunala površina i dužina dovoljno je znati samo polumjer kružnice.
Površina sektora kruga i dužina njegovog luka
Prije nego što razmotrimo odgovarajuće formule, podsjetimo se da se uglovi u geometriji obično izražavaju na dva glavna načina:
- u seksagezimalnim stepenima, sa potpunom revolucijom oko svoje ose od 360 o;
- u radijanima, koji su izraženi u razlomcima broja pi i povezani su sa stepenima sljedećom jednakošću: 2*pi = 360 o.
Sektor kružnice je lik omeđen trima linijama: lukom kružnice i dva radijusa koji se nalaze na krajevima ovog luka. Primjer kružnog sektora prikazan je na fotografiji ispod.
Nakon što ste stekli ideju o tome šta je sektor kruga, lako je razumjeti kako izračunati njegovu površinu i dužinu odgovarajućeg luka. Sa gornje slike se vidi da luk sektora odgovara uglu θ. Znamo da potpuni krug odgovara radijanima 2*pi, što znači da će formula za površinu kružnog sektora imati oblik: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Ovdje je ugao θ izražen u radijanima. Slična formula za oblast sektora ako se ugao θ meri u stepenima izgledaće ovako: S 1 = pi*θ*R 2 /360.
Dužina luka koji formira sektor izračunava se po formuli: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. A ako je θ poznato u stepenima, onda je: L 1 = pi*θ*R/180.
Primjer rješenja problema
Koristeći jednostavan problem kao primjer, pokazat ćemo kako se koriste formule za površinu sektora kruga i dužinu njegovog luka.
Poznato je da točak ima 12 krakova. Kada točak napravi jedan puni okret, on prelazi udaljenost od 1,5 metara. Kolika je površina zatvorena između dva susjedna kraka točka i kolika je dužina luka između njih?
Kao što se može vidjeti iz odgovarajućih formula, da biste ih koristili, morate znati dvije veličine: polumjer kružnice i kut luka. Poluprečnik se može izračunati na osnovu poznavanja obima točka, budući da mu udaljenost koju pređe u jednom obrtaju tačno odgovara. Imamo: 2*R*pi = 1,5, odakle je: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metara. Ugao između najbližih žbica može se odrediti znajući njihov broj. Pod pretpostavkom da svih 12 krakova ravnomjerno dijele krug na jednake sektore, dobijamo 12 identičnih sektora. Prema tome, ugaona mjera luka između dva kraka jednaka je: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radijana.
Pronašli smo sve potrebne količine, sada ih možemo zamijeniti u formule i izračunati vrijednosti koje zahtijeva uvjet zadatka. Dobijamo: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 /2 = 0,0149 m 2, odnosno 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m ili 12,5 cm.
I krug - geometrijske figure, međusobno povezani. postoji granična izlomljena linija (kriva) krug,
Definicija. Krug je zatvorena kriva, čija je svaka tačka jednako udaljena od tačke koja se naziva središte kružnice.
Za konstruiranje kruga odabire se proizvoljna tačka O, uzima se kao središte kruga, a šestarom se crta zatvorena linija.
Ako je tačka O centra kružnice povezana sa proizvoljnim tačkama na kružnici, tada će svi rezultujući segmenti biti jednaki jedni drugima, a takvi se segmenti nazivaju radijusi, skraćeno latinski mali ili veliko slovo"er" ( r ili R). U krug možete nacrtati onoliko polumjera koliko ima tačaka u dužini kruga.
Segment koji spaja dvije tačke na kružnici i prolazi kroz njeno središte naziva se prečnik. Prečnik sastoji se od dva radijusi, koji leži na istoj pravoj liniji. Prečnik je označen latiničnim malim ili velikim slovom "de" ( d ili D).
Pravilo. Prečnik krug je jednak dvama svojim radijusi.
d = 2r
D=2R
Obim kruga se izračunava po formuli i zavisi od poluprečnika (prečnika) kruga. Formula sadrži broj ¶, koji pokazuje koliko je puta obim veći od njegovog prečnika. Broj ¶ ima beskonačan broj decimalnih mjesta. Za proračune je uzeto ¶ = 3,14.
Obim kruga je označen latiničnim velikim slovom "tse" ( C). Obim kruga je proporcionalan njegovom prečniku. Formule za izračunavanje obima kruga na osnovu njegovog poluprečnika i prečnika:
C = ¶d
C = 2¶r
- Primjeri
- Dato: d = 100 cm.
- Opseg: C=3.14*100cm=314cm
- Dato: d = 25 mm.
- Opseg: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm
Kružni sekans i kružni luk
Svaka sekansa (prava) siječe kružnicu u dvije tačke i dijeli je na dva luka. Veličina luka kružnice ovisi o udaljenosti između centra i sekante i mjeri se duž zatvorene krivulje od prve točke presjeka sekansa sa kružnicom do druge.
Arcs krugovi su podeljeni secant u veliki i mol ako sekans ne poklapa sa prečnikom, i u dva jednaka luka ako sekans prolazi duž prečnika kružnice.
Ako sekansa prolazi kroz središte kruga, tada je njen segment koji se nalazi između točaka presjeka s krugom promjer kruga ili najveća tetiva kruga.
Što se sekansa nalazi dalje od centra kruga, to je manje stepen mera manji luk kružnice i veći luk kružnice i sekantni segment, tzv akord, smanjuje se kako se sekansa udaljava od centra kruga.
Definicija. Krug je dio ravni koji leži unutar kruga.
Centar, poluprečnik i prečnik kružnice istovremeno su centar, poluprečnik i prečnik odgovarajućeg kruga.
Budući da je krug dio ravni, jedan od njegovih parametara je površina.
Pravilo. Površina kruga ( S) jednak je proizvodu kvadrata polumjera ( r 2) na broj ¶.
- Primjeri
- Zadato: r = 100 cm
- Površina kruga:
- S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3 m 2
- Dato: d = 50 mm
- Površina kruga:
- S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm 2 ≈ 20 cm 2
Ako nacrtate dva poluprečnika u krugu do različitih tačaka na kružnici, tada se formiraju dva dijela kruga, koji se nazivaju sektori. Ako nacrtate tetivu u krugu, tada se dio ravnine između luka i tetive naziva kružni segment.
“Znaci jednakosti trouglova” - Vrste trouglova. Visina trougla Znakovi jednakosti trokuta. Trisektori ugla. Svaki trougao ima tri medijane. Prvi spomen trokuta i njegovih svojstava nalazimo u egipatskim papirusima. Svojstva medijana, simetrala i visina trokuta. Jednakostranični i jednakokraki trokut.
“Lak papira” - U geometriji, papir se koristi za: pisanje, crtanje; rez; bend. Svi poznata činjenica Zapaljeni papir se ne koristi u geometriji. Geometrija i list papira. Pascal. Iz papira je izrezan trokut. List iz sveske. Među mnogima moguće radnje Kod papira je važno da se može rezati.
"Istorija geometrije" - Drevni Egipat. Srednje godine. "Principi" se sastoje od 13 knjiga. Nastanak i razvoj geometrije. U geometriji Lyubachevsky postoje trouglovi sa parno paralelnim stranicama. Ancient Greece. Geometrija sadrži mnoge formule, figure, teoreme, probleme i aksiome. Tales je uveo pojam kretanja, posebno okretanja.
“Dokaz Pitagorine teoreme” - Značaj teoreme je u tome što se većina teorema geometrije može izvesti iz nje ili uz njenu pomoć. Algebarski dokaz. Značenje Pitagorine teoreme. I sada je Pitagorina teorema istinita, kao u njegovom dalekom dobu. Pitagorina teorema je jedna od najvažnijih teorema u geometriji. Pitagorina teorema. Euklidov dokaz.
“Tales iz Mileta” - THALES je starogrčki mislilac, osnivač antičke filozofije i nauke. Ponekad je potrebno izmjeriti udaljenost do nepristupačnog objekta. Određivanje udaljenosti pomoću šibice. Tales je otkrio dužinu godine i podijelio je na 365 dana. Tales iz Mileta. Tales je predvideo pomračenje sunca 28. maja 585. pne
"Pravilni poliedri" - Ikosaedar je najstrožiji. Model Solarni sistem I.Kepler. Pravilni poliedri se nalaze u živoj prirodi. Keplerov "Kosmički pehar". Pravilni dodekaedar lijevo od dvanaest pravilni pentagoni. Zbir ravnih uglova ikosaedra u svakom vrhu je 300°. Regularni ikosaedar.
Ukupno je 41 prezentacija