Kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, madalas na kinakailangang i-factor ang isang polynomial na ang degree ay tatlo o mas mataas. Sa artikulong ito ay titingnan natin ang pinakamadaling paraan upang gawin ito.
Gaya ng dati, buksan natin ang teorya para sa tulong.
Ang teorama ni Bezout nagsasaad na ang natitira kapag hinahati ang isang polynomial sa isang binomial ay .
Ngunit kung ano ang mahalaga para sa amin ay hindi ang teorama mismo, ngunit bunga nito:
Kung ang numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang polynomial ay mahahati ng binomial na walang natitira.
Kami ay nahaharap sa gawain ng paghahanap ng hindi bababa sa isang ugat ng polynomial, pagkatapos ay hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , kung saan ang ugat ng polynomial. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial na ang antas ay mas mababa ng isa kaysa sa antas ng orihinal. At pagkatapos, kung kinakailangan, maaari mong ulitin ang proseso.
Ang gawaing ito ay nahahati sa dalawa: kung paano hanapin ang ugat ng isang polynomial, at kung paano hatiin ang isang polynomial sa isang binomial.
Tingnan natin ang mga puntong ito.
1. Paano hanapin ang ugat ng isang polynomial.
Una, suriin natin kung ang mga numero 1 at -1 ay mga ugat ng polynomial.
Ang mga sumusunod na katotohanan ay makakatulong sa atin dito:
Kung ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng isang polynomial ay zero, kung gayon ang numero ay ang ugat ng polynomial.
Halimbawa, sa isang polynomial ang kabuuan ng mga coefficient ay zero: . Madaling suriin kung ano ang ugat ng isang polynomial.
Kung ang kabuuan ng mga coefficient ng isang polynomial sa even na kapangyarihan ay katumbas ng kabuuan ng mga coefficient sa kakaibang kapangyarihan, kung gayon ang numero ay ang ugat ng polynomial. Ang libreng termino ay itinuturing na isang koepisyent para sa pantay na antas, dahil ang , a ay isang even na numero.
Halimbawa, sa isang polynomial ang kabuuan ng mga coefficient para sa kahit na kapangyarihan ay: , at ang kabuuan ng mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan ay: . Madaling suriin kung ano ang ugat ng isang polynomial.
Kung hindi 1 o -1 ang mga ugat ng polynomial, pagkatapos ay magpatuloy tayo.
Para sa isang pinababang polynomial ng degree (iyon ay, isang polynomial kung saan ang nangungunang coefficient - ang coefficient sa - ay katumbas ng pagkakaisa), ang Vieta formula ay wasto:
Nasaan ang mga ugat ng polynomial.
Mayroon ding mga pormula ng Vieta hinggil sa natitirang mga coefficient ng polynomial, ngunit interesado kami sa isang ito.
Mula sa Vieta formula na ito ay sinusundan iyon kung ang mga ugat ng isang polynomial ay mga integer, kung gayon sila ay mga divisors ng libreng termino nito, na isa ring integer.
Batay sa mga ito, kailangan nating i-factor ang libreng termino ng polynomial sa mga salik, at sunud-sunod, mula sa pinakamaliit hanggang sa pinakamalaki, suriin kung alin sa mga salik ang ugat ng polynomial.
Isaalang-alang, halimbawa, ang polynomial
Mga divisors ng libreng termino: ; ; ;
Ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng isang polynomial ay katumbas ng , samakatuwid, ang numero 1 ay hindi ang ugat ng polynomial.
Kabuuan ng mga koepisyent para sa pantay na kapangyarihan:
Kabuuan ng mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan:
Samakatuwid, ang bilang -1 ay hindi rin ugat ng polynomial.
Suriin natin kung ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial: samakatuwid, ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial. Nangangahulugan ito, ayon sa teorem ni Bezout, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na walang natitira.
2. Paano hatiin ang isang polynomial sa isang binomial.
Ang isang polynomial ay maaaring hatiin sa isang binomial sa pamamagitan ng isang hanay.
Hatiin ang polynomial sa isang binomial gamit ang isang column:
May isa pang paraan upang hatiin ang isang polynomial sa isang binomial - ang pamamaraan ni Horner.
Panoorin ang video na ito upang maunawaan kung paano hatiin ang polynomial sa isang binomial na may column, at gamit ang diagram ni Horner.
Pansinin ko na kung, kapag naghahati sa isang hanay, ang ilang antas ng hindi alam ay nawawala sa orihinal na polynomial, isinusulat namin ang 0 sa lugar nito - sa parehong paraan tulad ng pag-compile ng isang talahanayan para sa scheme ni Horner.
Kaya, kung kailangan nating hatiin ang isang polynomial sa isang binomial at bilang isang resulta ng dibisyon ay nakakakuha tayo ng isang polynomial, pagkatapos ay mahahanap natin ang mga coefficient ng polynomial gamit ang scheme ng Horner:
Magagamit din natin Horner scheme upang masuri kung ang isang ibinigay na numero ay ang ugat ng isang polynomial: kung ang numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang natitira kapag hinahati ang polynomial sa ay katumbas ng zero, iyon ay, sa huling hanay ng ikalawang hanay ng Ang diagram ni Horner ay nakakuha tayo ng 0.
Gamit ang scheme ni Horner, "pumapatay tayo ng dalawang ibon gamit ang isang bato": sabay-sabay nating sinusuri kung ang numero ay ugat ng isang polynomial at hinahati ang polynomial na ito sa isang binomial.
Halimbawa. Lutasin ang equation:
1. Isulat natin ang mga divisors ng free term at hanapin ang mga ugat ng polynomial sa mga divisors ng free term.
Mga divisors ng 24:
2. Suriin natin kung ang numero 1 ang ugat ng polynomial.
Ang kabuuan ng mga coefficient ng isang polynomial, samakatuwid, ang numero 1 ay ang ugat ng polynomial.
3. Hatiin ang orihinal na polynomial sa isang binomial gamit ang scheme ni Horner.
A) Isulat natin ang mga coefficient ng orihinal na polynomial sa unang hilera ng talahanayan.
Dahil nawawala ang naglalaman ng termino, sa column ng talahanayan kung saan dapat isulat ang coefficient ay isusulat namin ang 0. Sa kaliwa isusulat namin ang natagpuang ugat: ang numero 1.
B) Punan ang unang hilera ng talahanayan.
Sa huling column, tulad ng inaasahan, nakakuha kami ng zero; hinati namin ang orihinal na polynomial sa isang binomial na walang natitira. Ang mga coefficient ng polynomial na nagreresulta mula sa paghahati ay ipinapakita sa asul sa pangalawang hilera ng talahanayan:
Madaling suriin na ang mga numero 1 at -1 ay hindi mga ugat ng polynomial
B) Ipagpatuloy natin ang talahanayan. Suriin natin kung ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial:
Kaya ang antas ng polynomial, na nakuha bilang resulta ng paghahati ng isa, ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na polynomial, samakatuwid, ang bilang ng mga coefficient at ang bilang ng mga haligi ay mas mababa ng isa.
Sa huling hanay nakuha namin -40 - isang numero na hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na may natitira, at ang numero 2 ay hindi ang ugat ng polynomial.
C) Suriin natin kung ang numero -2 ay ang ugat ng polynomial. Dahil nabigo ang nakaraang pagtatangka, upang maiwasan ang pagkalito sa mga coefficient, tatanggalin ko ang linyang naaayon sa pagtatangkang ito:
Malaki! Nakuha namin ang zero bilang isang natitira, samakatuwid, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na walang nalalabi, samakatuwid, ang numero -2 ay ang ugat ng polynomial. Ang mga coefficient ng polynomial na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa isang binomial ay ipinapakita sa berde sa talahanayan.
Bilang resulta ng paghahati nakakakuha tayo ng quadratic trinomial 
, na ang mga ugat ay madaling mahanap gamit ang teorama ni Vieta:
Kaya, ang mga ugat ng orihinal na equation ay:
{
}
Sagot: ( 
}
8 mga halimbawa ng factoring polynomials ang ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa ng reciprocal polynomial, at mga halimbawa ng paghahanap ng integer roots ng third- at fourth-degree polynomial.
1. Mga halimbawa sa paglutas ng isang quadratic equation
Halimbawa 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Solusyon
Inilabas namin ang x 2
sa labas ng mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .
.
Sagot
Halimbawa 1.2
I-factor ang third degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Solusyon
Alisin natin ang x sa mga bracket:
.
Magdesisyon tayo quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.
Mula dito nakukuha natin ang factorization ng polynomial:
.
Sagot
Halimbawa 1.3
I-factor ang fifth degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Solusyon
Inilabas namin ang x 3
sa labas ng mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant mas mababa sa zero, kung gayon ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .
Ang factorization ng polynomial ay may anyo:
.
Kung kami ay interesado sa factorization na may totoong coefficients, kung gayon:
.
Sagot
Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula
Mga halimbawa na may biquadratic polynomial
Halimbawa 2.1
I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.
Solusyon
Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Sagot
Halimbawa 2.2
I-factor ang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.
Solusyon
Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Sagot
Halimbawa 2.3 na may paulit-ulit na polynomial
I-factor ang reciprocal polynomial:
.
Solusyon
Ang isang reciprocal polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1
. Hatiin ang polynomial sa x - (-1) = x + 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumawa tayo ng pagpapalit:
, ;
;
;
.
Sagot
Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat
Halimbawa 3.1
Salik ang polynomial:
.
Solusyon
Ipagpalagay natin na ang equation
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil nakakita kami ng tatlong ugat, simple lang sila. Pagkatapos
.
Sagot
Halimbawa 3.2
Salik ang polynomial:
.
Solusyon
Ipagpalagay natin na ang equation
ay may hindi bababa sa isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero 2
(miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2
.
Isa-isa naming pinapalitan ang mga halagang ito:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2
(miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan natin ang x = -1
:
.
Kaya, nakahanap kami ng isa pang ugat x 2
= -1
. Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit ipapangkat namin ang mga termino:
.
Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.
Anong nangyari factorization? Ito ay isang paraan upang gawing simple at maganda ang isang hindi maginhawa at kumplikadong halimbawa.) Isang napakalakas na pamamaraan! Ito ay matatagpuan sa bawat hakbang sa parehong elementarya at mas mataas na matematika.
Ang ganitong mga pagbabago sa matematikal na wika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Para sa mga hindi nakakaalam, tingnan ang link. Napakakaunti doon, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang pagbabago sa pagkakakilanlan ay ang pagtatala ng ekspresyon sa ibang anyo habang pinapanatili ang kakanyahan nito.
Ibig sabihin factorization sobrang simple at malinaw. Mula mismo sa pangalan. Maaaring nakalimutan mo (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit maaari mong malaman na ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply"?) Ang ibig sabihin ng Factoring ay: kumakatawan sa isang ekspresyon sa anyo ng pagpaparami ng isang bagay sa isang bagay. Nawa'y patawarin ako ng matematika at wikang Ruso...) Iyon lang.
Halimbawa, kailangan mong palawakin ang numerong 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:
Kaya ipinakita namin ang numero 12 bilang isang multiplikasyon ng 3 sa 4. Pakitandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit lubos naming naiintindihan na ang 12 at 3 4 pareho. Ang kakanyahan ng numero 12 mula sa pagbabagong-anyo hindi nagbago.
Posible bang mabulok ang 12 sa ibang paraan? Madali lang!
12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........
Ang mga pagpipilian sa agnas ay walang katapusan.
Ang pag-factor ng mga numero ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, kapag nagtatrabaho sa mga ugat. Ngunit ang factoring algebraic expression ay hindi lamang kapaki-pakinabang, ito ay kailangan! Halimbawa lang:
Pasimplehin:
Ang mga hindi alam kung paano i-factor ang isang expression ay nasa gilid. Ang mga nakakaalam kung paano - pasimplehin at makuha ang:
Ang epekto ay kamangha-manghang, tama?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Makikita mo para sa iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, ang gawaing ito:
Lutasin ang equation:
x 5 - x 4 = 0
Ito ay napagpasyahan sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Gamit ang factorization. Lutasin natin ang halimbawang ito sa ibaba. Sagot: x 1 = 0; x 2 = 1.
O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga nakatatanda):
Lutasin ang equation:
Sa mga halimbawang ito ay ipinakita ko pangunahing layunin factorization: pagpapasimple ng fractional expression at paglutas ng ilang uri ng equation. Narito ang isang tuntunin ng hinlalaki na dapat tandaan:
Kung mayroon tayong nakakatakot na fractional expression sa harap natin, maaari nating subukang i-factor ang numerator at denominator. Kadalasan ang fraction ay nababawasan at pinasimple.
Kung mayroon tayong isang equation sa harap natin, kung saan sa kanan ay may zero, at sa kaliwa - Hindi ko maintindihan kung ano, maaari nating subukang i-factor ang kaliwang bahagi. Minsan nakakatulong ito).
Mga pangunahing pamamaraan ng factorization.
Narito ang mga ito, ang pinakasikat na mga pamamaraan:
4. Pagpapalawak ng isang quadratic trinomial.
Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Eksakto sa ayos na iyon. Ang mga kumplikadong halimbawa ay sinusuri para sa lahat mga posibleng paraan pagkabulok. At mas mabuting mag-check in order para hindi malito... So let's start in order.)
1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.
Isang simple at maaasahang paraan. Walang masamang nanggaling sa kanya! It happens either well or not at all.) Kaya naman nauuna siya. Alamin natin ito.
Alam ng lahat (naniniwala ako!) ang panuntunan:
a(b+c) = ab+ac
O higit pang mga pangkalahatang pananaw:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Gumagana ang lahat ng pagkakapantay-pantay mula kaliwa hanggang kanan at vice versa, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Iyon ang buong punto ng pagkuha karaniwang multiplier wala sa mga bracket.
Sa kaliwang bahagi A - karaniwang multiplier para sa lahat ng termino. Pinarami ng lahat ng bagay na umiiral). Sa kanan ang pinaka A ay matatagpuan na sa labas ng mga bracket.
Praktikal na paggamit Tingnan natin ang pamamaraan gamit ang mga halimbawa. Sa una ang pagpipilian ay simple, kahit na primitive.) Ngunit sa pagpipiliang ito ay mapapansin ko ( berde) Napaka mahahalagang puntos para sa anumang factorization.
I-factorize:
ah+9x
Alin pangkalahatan lalabas ba ang multiplier sa parehong termino? X, syempre! Ilalabas namin ito sa mga bracket. Gawin natin ito. Agad naming isinusulat ang X sa labas ng mga bracket:
ax+9x=x(
At sa panaklong isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat termino sa mismong X na ito. sa pagkakasunud-sunod:
Iyon lang. Siyempre, hindi na kailangang ilarawan ito nang detalyado, ito ay ginagawa sa isip. Ngunit ipinapayong maunawaan kung ano). Nagre-record kami sa memorya:
Isinulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Sa panaklong isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng lahat ng mga termino sa pamamagitan ng karaniwang salik na ito. Sa pagkakasunud-sunod.
Kaya pinalawak namin ang expression ah+9x sa pamamagitan ng multipliers. Ginawa itong pagpaparami ng x sa (a+9). Pansinin ko na sa orihinal na expression mayroon ding multiplikasyon, kahit dalawa: a·x at 9·x. Ngunit ito hindi factorized! Dahil bilang karagdagan sa multiplikasyon, ang expression na ito ay naglalaman din ng karagdagan, ang "+" sign! At sa pagpapahayag x(a+9) Walang iba kundi pagpaparami!
Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na boses ng mga tao - At sa mga bracket!?)
Oo, mayroong karagdagan sa loob ng mga panaklong. Ngunit ang trick ay na habang ang mga bracket ay hindi binuksan, isinasaalang-alang namin ang mga ito parang isang letra. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na may mga bracket nang buo, tulad ng sa isang letra. Sa ganitong kahulugan, sa pagpapahayag x(a+9) Walang iba maliban sa pagpaparami. Ito ang buong punto ng factorization.
Sa pamamagitan ng paraan, posible bang suriin kung ginawa namin ang lahat nang tama? Madali lang! Sapat na upang i-multiply pabalik ang inilagay mo (x) sa pamamagitan ng mga bracket at tingnan kung ito ay gumana orihinal pagpapahayag? Kung ito ay gumagana, ang lahat ay mahusay!)
x(a+9)=ax+9x
Nangyari.)
Walang mga problema sa primitive na halimbawang ito. Ngunit kung mayroong ilang mga termino, at kahit na may iba't ibang palatandaan... Sa madaling salita, bawat ikatlong estudyante ay nagkakagulo). Samakatuwid:
Kung kinakailangan, suriin ang factorization sa pamamagitan ng inverse multiplication.
I-factorize:
3ax+9x
Naghahanap kami ng isang karaniwang kadahilanan. Well, lahat ay malinaw sa X, maaari itong ilabas. meron pa ba pangkalahatan salik? Oo! Ito ay isang tatlo. Maaari mong isulat ang expression tulad nito:
3ax+3 3x
Dito ay agad na malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay magiging 3x. Dito natin ilalabas:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Maghiwa-hiwalay.
Ano ang mangyayari kung ilabas mo ito x lang? Normal lang, walang espesyal:
3ax+9x=x(3a+9)
Magiging factorization din ito. Ngunit sa kaakit-akit na prosesong ito, nakaugalian na ang lahat ng bagay sa limitasyon habang may pagkakataon. Dito sa mga bracket ay may pagkakataon na maglabas ng tatlo. Ito ay lalabas:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Ang parehong bagay, lamang sa isang karagdagang aksyon.) Tandaan:
Kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, sinusubukan naming alisin maximum karaniwang salik.
Itutuloy ba natin ang saya?)
Salik ang expression:
3akh+9х-8а-24
Ano ang aming dadalhin? Tatlo, X? Hindi... Hindi mo kaya. I remind you na pwede ka lang mag take out pangkalahatan multiplier yan sa lahat mga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganyang multiplier dito... Ano, hindi mo na kailangang palawakin pa!? Well, oo, napakasaya namin... Meet:
2. Pagpapangkat.
Sa totoo lang, mahirap pangalanan ang grupo sa isang malayang paraan factorization. Ito ay higit pa sa isang paraan upang makalabas kumplikadong halimbawa.) Kailangan nating i-grupo ang mga termino para maayos ang lahat. Ito ay maipapakita lamang sa pamamagitan ng halimbawa. Kaya, mayroon kaming expression:
3akh+9х-8а-24
Makikita na mayroong ilang karaniwang mga titik at numero. Pero... Heneral walang multiplier sa lahat ng termino. Huwag tayong mawalan ng loob at hatiin ang ekspresyon sa mga piraso. Pagpapangkat. Upang ang bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na aalisin. Paano natin ito masisira? Oo, naglalagay lang kami ng panaklong.
Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang mga panaklong ay maaaring ilagay kahit saan at kahit anong gusto mo. Ang kakanyahan lamang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Mangyaring bigyang-pansin ang pangalawang bracket! Ang mga ito ay pinangungunahan ng isang minus sign, at 8a At 24 naging positive! Kung, upang suriin, bubuksan namin ang mga bracket pabalik, ang mga palatandaan ay magbabago, at makukuha namin orihinal pagpapahayag. Yung. ang kakanyahan ng expression mula sa mga bracket ay hindi nagbago.
Ngunit kung nagpasok ka lang ng mga panaklong nang hindi isinasaalang-alang ang pagbabago ng tanda, halimbawa, tulad nito:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
ito ay magiging isang pagkakamali. Sa kanan - na iba pa pagpapahayag. Buksan ang mga bracket at lahat ay makikita. Hindi mo na kailangang magdesisyon pa, oo...)
Ngunit bumalik tayo sa factorization. Tingnan natin ang mga unang bracket (3ax+9x) at sa tingin namin, mayroon bang anumang bagay na maaari naming ilabas? Well, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari naming kunin ito 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Pag-aralan natin ang pangalawang bracket, maaari tayong magdagdag ng walo doon:
(8a+24)=8(a+3)
Ang aming buong ekspresyon ay magiging:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Naka-factor? Hindi. Ang resulta ng agnas ay dapat na pagpaparami lamang ngunit sa amin ang minus sign ay sumisira sa lahat. Ngunit... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! Ito (a+3). Ito ay hindi para sa wala na sinabi ko na ang buong bracket ay, kumbaga, isang titik. Nangangahulugan ito na ang mga bracket na ito ay maaaring alisin sa mga bracket. Oo, ganyan talaga ang tunog.)
Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Sinusulat namin ang karaniwang kadahilanan (a+3), sa pangalawang bracket ay isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng mga termino sa pamamagitan ng (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Lahat! Walang anuman sa kanan maliban sa pagpaparami! Nangangahulugan ito na matagumpay na nakumpleto ang factorization!) Narito ito:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Ulitin natin sa madaling sabi ang kakanyahan ng grupo.
Kung ang expression ay hindi pangkalahatan multiplier para sa lahat mga tuntunin, sinisira namin ang expression sa mga bracket upang sa loob ng mga bracket ang karaniwang kadahilanan ay. Inilabas namin ito at tingnan kung ano ang mangyayari. Kung ikaw ay mapalad at may ganap na magkatulad na mga expression na natitira sa mga bracket, inililipat namin ang mga bracket na ito mula sa mga bracket.
Idaragdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito palaging gumagana sa unang pagkakataon. ayos lang. Minsan kailangan mong magpalit ng mga termino at isaalang-alang iba't ibang variant grupo hanggang sa matagpuan ang isang matagumpay. Ang pangunahing bagay dito ay hindi mawalan ng puso!)
Mga halimbawa.
Ngayon, sa pagpapayaman sa iyong sarili ng kaalaman, maaari mong lutasin ang mga nakakalito na halimbawa.) Sa simula ng aralin mayroong tatlo sa mga ito...
Pasimplehin:
Sa esensya, nalutas na natin ang halimbawang ito. Lingid sa ating kaalaman.) Ipinaaalala ko sa iyo: kung tayo ay bibigyan ng isang kahila-hilakbot na bahagi, sinusubukan nating i-factor ang numerator at denominator. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapasimple hindi lang.
Well, ang denominator dito ay hindi pinalawak, ngunit ang numerator... Pinalawak na natin ang numerator sa panahon ng aralin! Ganito:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Isinulat namin ang resulta ng pagpapalawak sa numerator ng fraction:
Ayon sa panuntunan ng pagbabawas ng mga fraction (ang pangunahing katangian ng isang fraction), maaari nating hatiin (sa parehong oras!) ang numerator at denominator sa parehong numero, o expression. Fraction mula dito hindi nagbabago. Kaya hinati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng expression (3x-8). At dito at doon ay makakakuha tayo ng mga. Ang huling resulta ng pagpapasimple:
Gusto kong bigyang-diin lalo na: ang pagbawas ng isang fraction ay posible kung at kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Kaya naman ang pagbabago ng kabuuan (pagkakaiba) sa pagpaparami napakahalaga para sa pagpapasimple. Siyempre, kung ang mga expression iba, tapos walang mababawasan. Mangyayari ito. Pero factorization nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito na walang agnas ay wala doon.
Halimbawa na may equation:
Lutasin ang equation:
x 5 - x 4 = 0
Inalis namin ang karaniwang kadahilanan x 4 wala sa mga bracket. Nakukuha namin:
x 4 (x-1)=0
Napagtanto namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero pagkatapos at pagkatapos lamang, kapag ang alinman sa mga ito ay zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng ilang di-zero na mga numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya sumulat kami, una ang unang kadahilanan:
Sa gayong pagkakapantay-pantay, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nag-aalala sa atin. Kahit sino ay maaaring maging, ngunit sa huli ay magiging zero pa rin ito. Anong numero sa ikaapat na kapangyarihan ang ibinibigay ng zero? Zero lang! At walang iba... Samakatuwid:
Nalaman namin ang unang kadahilanan at natagpuan ang isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon wala na kaming pakialam sa unang salik.):
Dito nakahanap kami ng solusyon: x 1 = 0; x 2 = 1. Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.
Napakahalagang tala. Pakitandaan na nalutas namin ang equation pira-piraso! Ang bawat kadahilanan ay katumbas ng zero, hindi alintana ang iba pang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa gayong equation ay walang dalawang kadahilanan, tulad ng sa amin, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, malulutas namin katulad. Piraso-piraso. Halimbawa:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Ang sinumang magbukas ng mga bracket at magparami ng lahat ay mananatili sa equation na ito magpakailanman.) Ang isang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang anuman sa kaliwa maliban sa multiplikasyon, at zero sa kanan. At sisimulan niya (sa isip niya!) na i-equate ang lahat ng bracket para maging zero. At makukuha niya (sa 10 segundo!) ang tamang solusyon: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Mahusay, tama?) Ang ganitong eleganteng solusyon ay posible kung kaliwang bahagi mga equation factorized. Nakuha mo ba ang pahiwatig?)
Well, isang huling halimbawa, para sa mga nakatatanda):
Lutasin ang equation:
Ito ay medyo katulad sa nauna, hindi ba?) Siyempre. Oras na para tandaan na sa ikapitong baitang algebra, sines, logarithms, at anumang bagay ay maaaring itago sa ilalim ng mga titik! Ang pag-factor ay gumagana sa buong matematika.
Inalis namin ang karaniwang kadahilanan lg 4x wala sa mga bracket. Nakukuha namin:
log 4 x=0
Ito ay isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan.
Narito ang huling sagot: x 1 = 1; x 2 = 10.
Sana ay napagtanto mo ang kapangyarihan ng factoring sa pagpapasimple ng mga fraction at paglutas ng mga equation.)
Sa araling ito natutunan natin ang tungkol sa common factoring at grouping. Nananatili itong maunawaan ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon at ang quadratic trinomial.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)
Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Sa pangkalahatan, kasama sa gawaing ito pagkamalikhain, dahil walang unibersal na pamamaraan para sa paglutas nito. Ngunit subukan nating magbigay ng ilang mga tip.
Sa napakaraming kaso, ang factorization ng isang polynomial ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem, iyon ay, ang ugat ay matatagpuan o napili at ang antas ng polynomial ay nababawasan ng isa sa pamamagitan ng paghahati ng . Ang ugat ng nagresultang polynomial ay hinahanap at ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa kumpletong pagpapalawak.
Kung hindi matagpuan ang ugat, gagamitin ang mga partikular na paraan ng pagpapalawak: mula sa pagpapangkat hanggang sa pagpapakilala ng mga karagdagang terminong magkapareho.
Ang karagdagang pagtatanghal ay batay sa mga kasanayan sa paglutas ng mga equation mas mataas na antas na may mga integer coefficient.
Bracketing out ang karaniwang kadahilanan.
Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso, kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, iyon ay, ang polynomial ay may anyo .
Malinaw, ang ugat ng naturang polynomial ay , iyon ay, maaari nating katawanin ang polynomial sa anyo .
Ang pamamaraang ito ay walang iba kundi paglalagay ng karaniwang salik sa labas ng mga bracket.
Halimbawa.
I-factor ang isang third degree polynomial.
Solusyon.
Malinaw, kung ano ang ugat ng polynomial, iyon ay X maaaring alisin sa mga bracket:
Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial 
kaya, 
Ibabaw ng Pahina
Pag-factor ng isang polynomial na may makatwirang mga ugat.
Una, isaalang-alang natin ang isang paraan para sa pagpapalawak ng polynomial na may integer coefficients ng form , ang coefficient ng pinakamataas na degree ay katumbas ng isa.
Sa kasong ito, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay mga divisors ng libreng termino.
Halimbawa.
Solusyon.
Suriin natin kung may mga buo na ugat. Upang gawin ito, isulat ang mga divisors ng numero -18
: . Iyon ay, kung ang isang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga nakasulat na numero. Suriin natin ang mga numerong ito nang sunud-sunod gamit ang scheme ni Horner. Ang kaginhawahan nito ay nakasalalay din sa katotohanan na sa huli ay nakukuha natin ang mga expansion coefficient ng polynomial: 
Yan ay, x=2 At x=-3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial at maaari nating katawanin ito bilang isang produkto:
Ito ay nananatiling palawakin ang quadratic trinomial.
Ang discriminant ng trinomial na ito ay negatibo, kaya wala itong tunay na ugat.
Sagot:
Komento:
Sa halip na pamamaraan ni Horner, maaaring gamitin ng isa ang pagpili ng ugat at kasunod na dibisyon ng polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial.
Ngayon isaalang-alang ang pagpapalawak ng isang polynomial na may integer coefficients ng form , at ang coefficient ng pinakamataas na degree ay hindi katumbas ng isa.
Sa kasong ito, ang polynomial ay maaaring magkaroon ng fractionally rational na mga ugat.
Halimbawa.
I-factor ang expression.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng variable na pagbabago y=2x, lumipat tayo sa isang polynomial na may coefficient na katumbas ng isa sa pinakamataas na degree. Upang gawin ito, i-multiply muna ang expression sa pamamagitan ng 4
.
Kung ang resultang function ay may mga integer na ugat, kung gayon sila ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Isulat natin ang mga ito:
Sunud-sunod nating kalkulahin ang mga halaga ng function g(y) sa mga puntong ito hanggang sa maabot ang zero. 
Ano ang gagawin kung, sa proseso ng paglutas ng problema mula sa Unified State Examination o isang entrance exam sa matematika, nakatanggap ka ng polynomial na hindi maaaring i-factorize karaniwang pamamaraan na natutunan mo sa paaralan? Sa artikulong ito, sasabihin sa iyo ng isang math tutor ang tungkol sa isang mabisang paraan, ang pag-aaral na lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan, ngunit sa tulong kung saan hindi magiging mahirap na i-factor ang polynomial. Basahin ang artikulong ito hanggang sa dulo at panoorin ang nakalakip na video tutorial. Ang kaalaman na makukuha mo ay makakatulong sa iyo sa pagsusulit.
Pag-factor ng polynomial gamit ang paraan ng paghahati
Kung nakatanggap ka ng polynomial na mas malaki kaysa sa pangalawang degree at nahulaan mo ang halaga ng variable kung saan ang polynomial na ito ay nagiging katumbas ng zero(halimbawa, ang halagang ito ay katumbas ng ), alam! Ang polynomial na ito ay maaaring hatiin ng .
Halimbawa, madaling makita na ang isang fourth-degree polynomial ay naglalaho sa . Nangangahulugan ito na maaari itong hatiin nang walang natitira sa pamamagitan ng , sa gayon ay makakakuha ng isang polynomial ng ikatlong antas (mas mababa ng isa). Iyon ay, ipakita ito sa anyo:
saan A, B, C At D- ilang mga numero. Palawakin natin ang mga bracket:
Dahil ang mga coefficient sa pantay na grado dapat pareho, nakukuha natin:
Kaya, nakuha namin:
Sige lang. Ito ay sapat na upang dumaan sa ilang maliliit na integer upang makita na ang third-degree polynomial ay muling mahahati ng . Nagreresulta ito sa isang polynomial ng pangalawang antas (mas mababa ng isa). Pagkatapos ay lumipat sa isang bagong entry:
saan E, F At G- ilang mga numero. Binuksan namin muli ang mga bracket at dumating sa sumusunod na expression:
Muli, mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga koepisyent para sa parehong antas, nakukuha natin ang:
Pagkatapos makuha namin:
Iyon ay, ang orihinal na polynomial ay maaaring mai-factor gaya ng sumusunod:
Sa prinsipyo, kung ninanais, gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula, ang resulta ay maaari ding kinakatawan sa sumusunod na anyo:
Napakasimple at mabisang paraan factoring polynomials. Tandaan ito, maaari itong maging kapaki-pakinabang sa iyo sa pagsusulit o kumpetisyon sa matematika. Suriin kung natutunan mo kung paano gamitin ang paraang ito. Subukang lutasin ang sumusunod na gawain sa iyong sarili.
I-factor ang polynomial:
Isulat ang iyong mga sagot sa mga komento.
Ang materyal na inihanda ni Sergey Valerievich