U pravilu je ova vrijednost izravna. Linearna funkcija. Izravna proporcionalnost. Obrnuta proporcionalnost

Primjer

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.

Faktor proporcionalnosti

Stalni odnos proporcionalnih veličina naziva se faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pripada jedinici druge.

Izravna proporcionalnost

Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj određena veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, te se varijable mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dva puta promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija dva puta mijenja u istom smjeru.

Matematički, izravna proporcionalnost se piše kao formula:

f(x) = ax,a = const

Obrnuta proporcionalnost

Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj porast nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).

Matematički, obrnuta proporcionalnost se piše kao formula:

Svojstva funkcije:

Izvori

Zaklada Wikimedia. 2010.

Newtonov drugi zakon
Coulombova barijera

Pogledajte što je "izravna proporcionalnost" u drugim rječnicima:

izravna proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Energetske teme općenito EN izravni omjer ... Vodič za tehničke prevoditelje

izravna proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. izravna proporcionalnost vok. direkte Proportionalität, f rus. izravna proporcionalnost, f pranc. proporcionalno direktno, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALNOST- (od lat. proporcionalis razmjeran, razmjeran). Proporcionalnost. Rječnik strane riječi, uključen u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST lat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika

PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, razmjernost, mn. ne, žensko (knjiga). 1. sažetak imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost dijelova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između veličina kada su proporcionalne (vidi proporcionalne ... Rječnik Ushakova

Proporcionalnost- Dvije međusobno ovisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako omjer njihovih vrijednosti ostaje nepromijenjen. Sadržaj 1. Primjer 2. Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia

PROPORCIONALNOST- PROPORCIONALNOST, i, ženski. 1. vidi proporcionalan. 2. U matematici: takav odnos između veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos. Ravna linija (s rezom s povećanjem za jednu vrijednost... ... Ozhegovov objašnjavajući rječnik

proporcionalnost- I; i. 1. do Proporcionalno (1 vrijednost); proporcionalnost. P. dijelovi. P. tjelesne građe. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Matematika. Ovisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Izravna linija (u kojoj s... ... enciklopedijski rječnik

Danas ćemo pogledati koje se veličine nazivaju obrnuto proporcionalnim, kako izgleda graf obrnute proporcionalnosti i kako vam sve to može biti od koristi ne samo na nastavi matematike, već i izvan škole.

Tako različite proporcije

Proporcionalnost imenovati dvije veličine koje su međusobno ovisne.

Ovisnost može biti izravna i obrnuta. Posljedično, odnosi među količinama opisani su izravnom i obrnutom proporcionalnošću.

Izravna proporcionalnost– to je takav odnos između dviju veličina u kojem povećanje ili smanjenje jedne od njih dovodi do povećanja ili smanjenja druge. Oni. njihov stav se ne mijenja.

Na primjer, što više truda uložite u učenje za ispite, to su vaše ocjene veće. Ili što više stvari ponesete sa sobom na planinarenje, to će vam ruksak biti teži za nošenje. Oni. Količina truda uloženog u pripremu ispita izravno je proporcionalna dobivenim ocjenama. A broj stvari upakiranih u ruksak izravno je proporcionalan njegovoj težini.

Obrnuta proporcionalnost – ovo je funkcionalna ovisnost u kojoj smanjenje ili povećanje za nekoliko puta u neovisnoj vrijednosti (to se zove argument) uzrokuje proporcionalno (tj. isti broj puta) povećanje ili smanjenje u zavisnoj vrijednosti (to se naziva funkcija).

Ilustrirajmo jednostavnim primjerom. Želite kupiti jabuke na tržnici. Jabuke na pultu i količina novca u vašem novčaniku su u obrnutom odnosu. Oni. što više jabuka kupite, to manje novca ostat će ti nešto viška.

Funkcija i njen graf

Funkcija obrnute proporcionalnosti može se opisati kao y = k/x. U kojem x≠ 0 i k≠ 0.

Ova funkcija ima sljedeća svojstva:

Njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva osim x = 0. D(g): (-∞; 0) U (0; +∞).
Raspon su svi realni brojevi osim g= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nema maksimalne ili minimalne vrijednosti.
Neparan je i njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.
Neperiodično.
Njegov graf ne siječe koordinatne osi.
Nema nula.
Ako k> 0 (tj. argument raste), funkcija proporcionalno opada na svakom svom intervalu. Ako k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Kako se argument povećava ( k> 0) negativne vrijednosti funkcije su u intervalu (-∞; 0), a pozitivne vrijednosti su u intervalu (0; +∞). Kada se argument smanji ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije obrnute proporcionalnosti naziva se hiperbola. Prikazano na sljedeći način:

Problemi obrnute proporcionalnosti

Da bi bilo jasnije, pogledajmo nekoliko zadataka. Nisu previše komplicirani, a njihovo rješavanje pomoći će vam da vizualizirate što je obrnuta proporcionalnost i kako vam to znanje može biti korisno u svakodnevnom životu.

Zadatak br. 1. Automobil se kreće brzinom 60 km/h. Trebalo mu je 6 sati da stigne do odredišta. Koliko će mu vremena trebati da prijeđe istu udaljenost ako se kreće dvostruko većom brzinom?

Možemo započeti zapisivanjem formule koja opisuje odnos između vremena, udaljenosti i brzine: t = S/V. Slažem se, to nas jako podsjeća na funkciju obrnute proporcionalnosti. I ukazuje da su vrijeme koje automobil provede na cesti i brzina kojom se kreće obrnuto proporcionalni.

Da to provjerimo, pronađimo V 2, koji je prema uvjetu 2 puta veći: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Zatim izračunavamo udaljenost pomoću formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sada nije teško saznati vrijeme t 2 koje se od nas traži prema uvjetima problema: t 2 = 360/120 = 3 sata.

Kao što vidite, vrijeme putovanja i brzina doista su obrnuto proporcionalni: pri brzini 2 puta većoj od početne brzine, automobil će provesti 2 puta manje vremena na cesti.

Rješenje ovog problema također se može napisati kao proporcija. Pa krenimo prvo ovaj dijagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Strelice označavaju obrnuto proporcionalni odnos. Oni također predlažu da prilikom crtanja proporcija desna strana zapisi se moraju okrenuti: 60/120 = x/6. Gdje ćemo dobiti x = 60 * 6/120 = 3 sata.

Zadatak br. 2. Radionica zapošljava 6 radnika koji zadani obim posla mogu izvršiti za 4 sata. Ako se broj radnika prepolovi, koliko će vremena trebati preostalim radnicima da obave istu količinu posla?

Zapišimo uvjete problema u obliku vizualnog dijagrama:

↓ 6 radnika – 4 sata

↓ 3 radnika – x h

Zapišimo ovo kao proporciju: 6/3 = x/4. Dobivamo x = 6 * 4/3 = 8 sati. Ako ima 2 puta manje radnika, preostali će provesti 2 puta više vremena radeći sav posao.

Zadatak br. 3. U bazen vode dvije cijevi. Kroz jednu cijev voda teče brzinom od 2 l/s i puni bazen za 45 minuta. Kroz drugu cijev bazen će se napuniti za 75 minuta. Kojom brzinom voda ulazi u bazen kroz tu cijev?

Za početak svedimo sve veličine koje su nam dane prema uvjetima zadatka na iste mjerne jedinice. Da bismo to učinili, izražavamo brzinu punjenja bazena u litrama u minuti: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Budući da uvjet podrazumijeva da se bazen sporije puni kroz drugu cijev, to znači da je protok vode manji. Proporcionalnost je obrnuta. Izrazimo nepoznatu brzinu kroz x i nacrtajmo sljedeći dijagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Zatim sastavljamo omjer: 120/x = 75/45, odakle je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

U zadatku je brzina punjenja bazena izražena u litrama u sekundi; svedimo dobiveni odgovor na isti oblik: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadatak br. 4. Mala privatna tiskara tiska posjetnice. Zaposlenik tiskare radi brzinom od 42 posjetnice na sat i radi cijeli dan - 8 sati. Da je radio brže i ispisao 48 posjetnica u sat vremena, koliko bi ranije mogao otići kući?

Slijedimo provjereni put i sastavljamo dijagram prema uvjetima problema, označavajući željenu vrijednost kao x:

↓ 42 posjetnice/sat – 8 sati

↓ 48 posjetnica/h – x h

Imamo obrnuto proporcionalan odnos: koliko puta više posjetnica zaposlenik tiskare otisne na sat, toliko će mu puta manje vremena trebati za isti posao. Znajući ovo, napravimo proporciju:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 sati.

Dakle, nakon što je posao završio za 7 sati, zaposlenik tiskare mogao je otići kući sat vremena ranije.

Zaključak

Čini nam se da su ti problemi obrnute proporcionalnosti doista jednostavni. Nadamo se da sada i vi o njima razmišljate na taj način. A glavna stvar je da vam znanje o obrnuto proporcionalnoj ovisnosti količina zaista može biti korisno više puta.

Ne samo na satovima matematike i ispitima. Ali čak i tada, kada se spremate na put, u shopping, odlučite malo dodatno zaraditi tijekom praznika itd.

Recite nam u komentarima koje primjere obrnutih i izravnih proporcionalnih odnosa primjećujete oko sebe. Neka bude takva igra. Vidjet ćete koliko je to uzbudljivo. Ne zaboravite podijeliti ovaj članak na u društvenim mrežama tako da i vaši prijatelji i kolege iz razreda mogu igrati.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

>>Matematika: Izravna proporcionalnost i njezin grafikon

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Među linearnim funkcijama y = kx + m posebno se ističe slučaj kada je m = 0; u ovom slučaju ima oblik y = kx i naziva se izravna proporcionalnost. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da se dvije veličine y i x nazivaju izravno proporcionalnim ako je njihov omjer jednak određenom
broj različit od nule. Ovdje se taj broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.

Puno stvarne situacije modeliraju se izravnom proporcionalnošću.

Na primjer, put s i vrijeme t pri konstantnoj brzini od 20 km/h povezani su ovisnošću s = 20t; ovo je izravna proporcionalnost, s k = 20.

Još jedan primjer:

trošak y i broj x kruha po cijeni od 5 rubalja. za štrucu su povezani ovisnošću y = 5x; ovo je izravna proporcionalnost, gdje je k = 5.

Dokaz. Provest ćemo ga u dvije faze.
1. y = kx - poseban slučaj linearna funkcija, a graf linearne funkcije je pravac; Označimo ga sa I.
2. Par x = 0, y = 0 zadovoljava jednadžbu y - kx, pa stoga točka (0; 0) pripada grafu jednadžbe y = kx, tj. pravoj I.

Prema tome, pravac I prolazi kroz ishodište. Teorem je dokazan.

Morate biti u mogućnosti prijeći ne samo s analitičkog modela y = kx na geometrijski (graf izravne proporcionalnosti), već i s geometrijskog. modeli do analitičkog. Razmotrimo, na primjer, ravnu crtu na koordinatnoj ravnini xOy prikazanu na slici 50. To je graf izravne proporcionalnosti; samo trebate pronaći vrijednost koeficijenta k. Budući da je y, tada je dovoljno uzeti bilo koju točku na pravcu i pronaći omjer ordinate te točke prema njezinoj apscisi. Pravac prolazi točkom P(3; 6) i za tu točku vrijedi: To znači k = 2, pa stoga zadani pravac služi kao graf izravne proporcionalnosti y = 2x.

Zbog toga se koeficijent k u zapisu linearne funkcije y = kx + m također naziva koeficijent nagiba. Ako je k>0, tada je ravna linija y = kx + m s pozitivnim smjerom x osi oštar kut(Sl. 49, a), a ako je k< О, - tup kut(Slika 49, b).

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Pojam izravne proporcionalnosti

Zamislite da planirate kupiti svoje omiljene bombone (ili bilo što što vam se jako sviđa). Slatkiši u trgovini imaju svoju cijenu. Recimo 300 rubalja po kilogramu. Što više bombona kupite, više ćete novca platiti. Odnosno, ako želite 2 kilograma, platite 600 rubalja, a ako želite 3 kilograma, platite 900 rubalja. Čini se da je sve jasno, zar ne?

Ako da, onda vam je sada jasno što je izravna proporcionalnost - to je koncept koji opisuje odnos dviju veličina koje ovise jedna o drugoj. A omjer tih količina ostaje nepromijenjen i stalan: za koliko se dijelova jedna od njih povećava ili smanjuje, za isti broj dijelova proporcionalno se povećava ili smanjuje druga.

Izravna proporcionalnost može se opisati sljedećom formulom: f(x) = a*x, a a u ovoj formuli je konstantna vrijednost (a = const). U našem primjeru slatkiša, cijena je stalna vrijednost, konstanta. Ne povećava se niti smanjuje, koliko god bombona odlučili kupiti. Neovisna varijabla (argument)x je koliko ćete kilograma slatkiša kupiti. A zavisna varijabla f(x) (funkcija) je koliko ćete novca na kraju platiti za svoju kupnju. Dakle, možemo zamijeniti brojeve u formulu i dobiti: 600 rubalja. = 300 rub. * 2 kg.

Međuzaključak je sljedeći: ako argument raste, funkcija također raste, ako se argument smanjuje, funkcija također opada

Funkcija i njena svojstva

Izravna proporcionalna funkcija je poseban slučaj linearne funkcije. Ako je linearna funkcija y = k*x + b, onda za izravnu proporcionalnost izgleda ovako: y = k*x, gdje se k naziva koeficijent proporcionalnosti, a uvijek je broj različit od nule. Lako je izračunati k - nalazi se kao kvocijent funkcije i argumenta: k = y/x.

Da bi bilo jasnije, uzmimo još jedan primjer. Zamislite da se automobil kreće od točke A do točke B. Brzina mu je 60 km/h. Ako pretpostavimo da brzina gibanja ostaje konstantna, tada se može uzeti kao konstanta. Zatim uvjete zapišemo u obliku: S = 60*t, a ova formula je slična funkciji izravne proporcionalnosti y = k *x. Povucimo dalje paralelu: ako je k = y/x, tada se brzina automobila može izračunati znajući udaljenost između A i B i vrijeme provedeno na cesti: V = S /t.

A sada, iz primijenjene primjene znanja o izravnoj proporcionalnosti, vratimo se njezinoj funkciji. Svojstva koja uključuju:

njegova domena definicije je skup svih realnih brojeva (kao i njegovih podskupova);

funkcija je neparna;

promjena varijabli je upravno proporcionalna duž cijele duljine brojevnog pravca.

Direktna proporcionalnost i njezin grafikon

Graf funkcije izravne proporcionalnosti je pravac koji siječe ishodište. Za njegovu izgradnju dovoljno je označiti samo još jednu točku. I spoji nju i ishodište koordinata ravnom crtom.

U slučaju grafikona, k je nagib. Ako je nagib manje od nule(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf i x-os čine šiljasti kut, a funkcija je rastuća.

I još jedno svojstvo grafa funkcije izravne proporcionalnosti izravno je povezano s nagibom k. Pretpostavimo da imamo dvije neidentične funkcije i, prema tome, dva grafa. Dakle, ako su koeficijenti k ovih funkcija jednaki, njihovi se grafovi nalaze paralelno s koordinatnom osi. A ako koeficijenti k nisu međusobno jednaki, grafovi se sijeku.

Uzorak problema

Sada riješimo par problemi izravne proporcionalnosti

Počnimo s nečim jednostavnim.

Problem 1: Zamislite da je 5 kokoši snijelo 5 jaja u 5 dana. A ako ima 20 kokoši, koliko će jaja snijeti za 20 dana?

Rješenje: Označimo nepoznanicu s kx. A mi ćemo razmišljati na sljedeći način: koliko je puta više pilića postalo? Podijelite 20 s 5 i saznajte da je to 4 puta. Koliko će puta više jaja snijeti 20 kokoši u istih 5 dana? Također 4 puta više. Dakle, naše nalazimo ovako: 5*4*4 = 80 jaja će snijeti 20 kokoši u 20 dana.

Sada je primjer malo kompliciraniji, parafrazirajmo problem iz Newtonove "Opće aritmetike". Problem 2: Pisac može napisati 14 stranica nove knjige za 8 dana. Kad bi imao pomoćnike, koliko bi ljudi bilo potrebno da napišu 420 stranica u 12 dana?

Rješenje: Smatramo da se broj ljudi (pisac + pomoćnici) povećava s obimom posla ako se on mora obaviti u jednakom vremenu. Ali koliko puta? Podijelimo li 420 s 14, dobivamo da se povećava 30 puta. Ali budući da se prema uvjetima zadatka daje više vremena za rad, broj pomoćnika se ne povećava za 30 puta, već na ovaj način: x = 1 (pisac) * 30 (puta): 12/8 ( dana). Hajdemo transformirati i otkriti da će x = 20 ljudi napisati 420 stranica u 12 dana.

Riješimo još jedan problem sličan onima u našim primjerima.

Problem 3: Dva automobila krenula su na isto putovanje. Jedan se kretao brzinom 70 km/h i istu je udaljenost prešao za 2 sata, a drugom je trebalo 7 sati. Nađi brzinu drugog automobila.

Rješenje: Kao što se sjećate, put je određen brzinom i vremenom - S = V *t. Budući da su oba automobila prešla istu udaljenost, možemo izjednačiti dva izraza: 70*2 = V*7. Kako nalazimo da je brzina drugog automobila V = 70*2/7 = 20 km/h.

I još nekoliko primjera zadataka s funkcijama izravne proporcionalnosti. Ponekad problemi zahtijevaju pronalaženje koeficijenta k.

4. zadatak: Zadane su funkcije y = - x/16 i y = 5x/2, odredite njihove koeficijente proporcionalnosti.

Rješenje: Kao što se sjećate, k = y/x. To znači da je za prvu funkciju koeficijent jednak -1/16, a za drugu k = 5/2.

Također možete naići na zadatak poput Zadatka 5: Zapišite izravnu proporcionalnost formulom. Njegov graf i graf funkcije y = -5x + 3 nalaze se paralelno.

Rješenje: Funkcija koja nam je dana u uvjetu je linearna. Znamo da je izravna proporcionalnost poseban slučaj linearne funkcije. Također znamo da ako su koeficijenti k funkcija jednaki, njihovi su grafovi paralelni. To znači da je sve što je potrebno izračunati koeficijent poznate funkcije i postaviti izravnu proporcionalnost pomoću formule koja nam je poznata: y = k *x. Koeficijent k = -5, izravna proporcionalnost: y = -5*x.