Danas ćemo vam reći kako pronaći generatrix stošca, što je često potrebno u školskim geometrijskim problemima.
Pojam generatrise stošca
Ravni stožac je lik koji se dobiva kao rezultat rotacije pravokutni trokut oko jedne od njegovih nogu. Baza stošca tvori krug. Okomiti presjek stošca je trokut, vodoravni presjek je krug. Visina stošca je segment koji povezuje vrh stošca sa središtem baze. Generatrisa stošca je isječak koji povezuje vrh stošca s bilo kojom točkom na liniji osnovne kružnice.
Budući da se stožac formira rotiranjem pravokutnog trokuta, ispada da je prva noga takvog trokuta visina, druga je polumjer kruga koji leži na bazi, a hipotenuza je generatrix stošca. Nije teško pogoditi da je Pitagorin teorem koristan za izračunavanje duljine generatora. A sada više o tome kako pronaći duljinu generatrixa stošca.
Pronalaženje generatora
Najlakši način da shvatite kako pronaći generator je na konkretan primjer. Pretpostavimo da su zadani sljedeći uvjeti: visina je 9 cm, promjer osnovne kružnice je 18 cm. Potrebno je pronaći generatrisu.
Dakle, visina stošca (9 cm) jedna je od krakova pravokutnog trokuta uz pomoć koje je ovaj stožac nastao. Drugi krak bit će polumjer kruga baze. Radijus je pola promjera. Tako dani promjer podijelimo na pola i dobijemo duljinu polumjera: 18:2 = 9. Polumjer je 9.
Sada je vrlo lako pronaći generatrisu stošca. Budući da je to hipotenuza, kvadrat njezine duljine bit će jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno zbroja kvadrata polumjera i visine. Dakle, kvadrat duljine generatrise = 64 (kvadrat duljine polumjera) + 64 (kvadrat duljine visine) = 64x2 = 128. Sada izdvajamo Korijen od 128. Kao rezultat, dobivamo osam korijena od dva. Ovo će biti generatrisa stošca.
Kao što vidite, u ovome nema ništa komplicirano. Na primjer, uzeli smo jednostavni uvjeti zadaci, međutim školski tečaj mogu biti složeniji. Zapamtite da za izračunavanje duljine generatrixa morate saznati polumjer kruga i visinu stošca. Poznavajući ove podatke, lako je pronaći duljinu generatrise.
Natrag naprijed
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.
Vrsta lekcije: sat učenja novoga gradiva s elementima problemsko-razvojne nastavne metode.
Ciljevi lekcije:
- obrazovni:
- upoznavanje s novim matematičkim pojmom;
- formiranje novih centara za obuku;
- formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
- razvoj:
- razvoj samostalnog mišljenja učenika;
- razvoj vještina ispravan govorŠkolska djeca.
- obrazovni:
- razvijanje vještina timskog rada.
Oprema za nastavu: magnetska ploča, računalo, platno, multimedijski projektor, model stošca, prezentacija lekcije, materijali.
Ciljevi lekcije (za učenike):
- upoznati novi geometrijski pojam – stožac;
- izvesti formulu za izračunavanje površine stošca;
- naučiti primijeniti stečena znanja pri rješavanju praktičnih problema.
Tijekom nastave
Stadij I. Organizacijski.
Vraćanje bilježnica od kuće ispitni rad na obrađenu temu.
Učenici su pozvani da rješavanjem zagonetke saznaju temu nadolazeće lekcije (slajd 1):
Slika 1.
Najava teme i ciljeva sata učenicima (slajd 2).
Stadij II. Objašnjenje novog gradiva.
1) Predavanje nastavnika.
Na ploči je tablica sa slikom stošca. Novi materijal objašnjava se uz programski materijal “Stereometrija”. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika stošca. Nastavnik daje definiciju stošca i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je stožac tijelo koje nastaje rotacijom pravokutnog trokuta u odnosu na krak. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skenirane bočne površine stošca. (slajd 6)
2) Praktičan rad.
Aktualizacija osnovnih znanja: ponoviti formule za izračunavanje površine kruga, površine isječka, duljine kruga, duljine kružnog luka. (slajdovi 7-10)
Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva sken bočne plohe stošca izrezanog na papiru (sektor kruga s dodijeljenim brojem). Učenici poduzimaju potrebna mjerenja i izračunavaju površinu rezultirajućeg sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje rada, pitanja - problemi (slajdovi 11–14). Predstavnik svake skupine zapisuje rezultate izračuna u tablicu pripremljenu na ploči. Sudionici svake grupe lijepe model stošca prema uzorku koji imaju. (slajd 15)
3) Izjava i rješenje problema.
Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i duljina generatrixa stošca? (slajd 16)
Svaka skupina vrši potrebna mjerenja i pokušava izvesti formulu za izračun potrebne površine koristeći dostupne podatke. Pri izvođenju ovog rada učenici trebaju uočiti da je opseg baze stošca jednak duljini luka isječka – razvijenosti bočne plohe ovog stošca. (slajdovi 17–21) Pomoću potrebnih formula izvodi se željena formula. Argumenti učenika trebali bi izgledati otprilike ovako:
Polumjer zahvata sektora jednak je l, stupanjska mjera lukovi – φ. Područje sektora izračunava se formulom: duljina luka koji ograničava ovaj sektor jednaka je polumjeru baze konusa R. Duljina kruga koji leži na bazi konusa je C = 2πR . Imajte na umu da budući da je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada
Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se formulom S BOD = πRl.
Nakon izračuna površine bočne površine modela stošca koristeći neovisno izvedenu formulu, predstavnik svake skupine zapisuje rezultat izračuna u tablicu na ploči u skladu s brojevima modela. Rezultati izračuna u svakom retku moraju biti jednaki. Na temelju toga nastavnik utvrđuje točnost zaključaka svake skupine. Tablica rezultata trebala bi izgledati ovako:
|
Model br. |
I zadatak |
II zadatak |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Parametri modela:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Aproksimacija izračuna povezana je s pogreškama mjerenja.
Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje ispis formula za površine bočne i ukupne površine stošca (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u bilježnicama.
Stadij III. Konsolidacija proučenog materijala.
1) Učenicima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.
Odredite površine potpunih ploha stožaca prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).
2) Pitanje: Jesu li površine ploha stožaca nastalih rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipotezu provjerava rješavanjem zadataka, a učenik je zapisuje na ploču.
dano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
VAA", AVV" – rotacijska tijela.
Pronaći: S PPK 1, S PPK 2.
Slika 5. (slajd 33)
Riješenje:
1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Ako je S PPK 1 = S PPK 2, tada a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnih brojeva (duljina stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.
Zaključak: Površine dvaju stožaca jednake su samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)
3) Rješenje zadatka iz udžbenika: br.565.
Faza IV. Sažimanje lekcije.
Domaća zadaća: paragrafi 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)
Objava dodijeljenih ocjena.
Zaključci tijekom lekcije, ponavljanje glavnih informacija primljenih tijekom lekcije.
Književnost (slajd 36)
- Geometrija 10–11 razreda – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i dr., “Prosveščenie”, 2008.
- "Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udaltsova, biblioteka “Prvi rujan”, serija “MATEMATIKA”, broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Geometrija je grana matematike koja proučava strukture u prostoru i odnose među njima. Zauzvrat, također se sastoji od odjeljaka, a jedan od njih je stereometrija. Uključuje proučavanje svojstava trodimenzionalnih figura koje se nalaze u prostoru: kocka, piramida, lopta, stožac, cilindar itd.
Stožac je tijelo u euklidskom prostoru koje je omeđeno stožastom plohom i ravninom na kojoj leže krajevi njegovih generatora. Njegov nastanak događa se rotacijom pravokutnog trokuta oko bilo koje njegove katete, pa spada u rotacijska tijela.
Sastavni dijelovi stošca
Postoje sljedeće vrste čunjeva: kosi (ili nagnuti) i ravni. Kosi je onaj čija se os ne siječe sa središtem njegove baze pod pravim kutom. Zbog toga se visina u takvom stošcu ne poklapa s osi, jer je to segment koji je spušten od vrha tijela do ravnine njegove baze pod kutom od 90 °.
Stožac čija je os okomita na svoju osnovicu zove se ravnica. Os i visina u takvom geometrijskom tijelu podudaraju se zbog činjenice da se vrh u njemu nalazi iznad središta promjera baze.
Konus se sastoji od sljedećih elemenata:
- Krug koji je njegova baza.
- Bočna površina.
- Točka koja ne leži u ravnini baze naziva se vrhom stošca.
- Segmenti koji spajaju točke kružnice baze geometrijskog tijela i njegovog vrha.
Svi ti segmenti su generatori stošca. One su nagnute prema osnovici geometrijskog tijela, a kod pravog stošca njihove su projekcije jednake, jer je vrh jednako udaljen od točaka kružnice baze. Dakle, možemo zaključiti da su u pravilnom (ravnom) stošcu generatori jednaki, odnosno iste su duljine i tvore iste kutove s osi (ili visinom) i osnovkom.
Budući da je u kosom (ili nagnutom) tijelu rotacije vrh pomaknut u odnosu na središte ravnine baze, generatrise u takvom tijelu imaju različite duljine i projekcije, budući da se svaka od njih nalazi na na različitim udaljenostima iz bilo koje dvije točke osnovne kružnice. Osim toga, kutovi između njih i visine konusa također će biti različiti.
Duljina generatrisa u ravnom stošcu
Kao što je ranije napisano, visina u pravilnom geometrijskom tijelu rotacije je okomita na ravninu baze. Dakle, generatrisa, visina i polumjer baze stvaraju pravokutni trokut u stošcu.
Odnosno, znajući polumjer i visinu baze, koristeći formulu iz Pitagorine teoreme, možete izračunati duljinu generatrixa, koja će biti jednaka zbroju kvadrata polumjera i visine baze:
l 2 = r 2 + h 2 ili l = √r 2 + h 2
gdje je l generator;
r - radijus;
h - visina.
Generator u kosom konusu
Na temelju činjenice da u kosom ili nagnutom konusu generatori nemaju istu duljinu, neće ih biti moguće izračunati bez dodatnih konstrukcija i proračuna.
Prije svega, morate znati visinu, duljinu osi i polumjer baze.
r 1 = √k 2 - h 2
gdje je r 1 dio polumjera između osi i visine;
k - duljina osi;
h - visina.
Kao rezultat zbrajanja polumjera (r) i njegovog dijela koji leži između osi i visine (r 1), možete saznati potpunu generiranu generatrisu stošca, njegovu visinu i dio promjera:
gdje je R krak trokuta kojeg čine visina, generator i dio promjera baze;
r - radijus baze;
r 1 - dio polumjera između osi i visine.
Koristeći istu formulu iz Pitagorine teoreme, možete pronaći duljinu generatrixa stošca:
l = √h 2 + R 2
ili, bez zasebnog izračunavanja R, kombinirajte dvije formule u jednu:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Bez obzira na to je li stožac ravan ili kos te koji su ulazni podaci, sve metode za pronalaženje duljine generatrise uvijek se svode na jedan rezultat - korištenje Pitagorinog poučka.
Konusni presjek
Aksijalna je ravnina koja prolazi duž njegove osi ili visine. U ravnom stošcu takav presjek je jednakokračan trokut, u kojem je visina trokuta visina tijela, stranice su mu generatori, a baza je promjer baze. Kod jednakostraničnog geometrijskog tijela, osni presjek je jednakostranični trokut, jer su u ovom stošcu promjer baze i generatori jednaki.
Ravnina osnog presjeka pravog stošca je ravnina njegove simetrije. Razlog tome je što se njegov vrh nalazi iznad središta baze, odnosno ravnina aksijalnog presjeka dijeli stožac na dva identična dijela.
Budući da se visina i os ne podudaraju u nagnutom volumetrijskom tijelu, ravnina aksijalne presjeke možda neće uključivati visinu. Ako se u takvom stošcu može konstruirati mnogo osnih presjeka, budući da za to mora biti ispunjen samo jedan uvjet - mora prolaziti samo kroz os, tada se osni presjek ravnine kojoj će pripadati visina tog stošca može nacrtati samo jedan, jer se broj uvjeta povećava, a, kao što je poznato, dvije ravne (zajedno) mogu pripadati samo jednoj ravnini.
Poprečni presjek područja
Prethodno spomenuti osni presjek stošca je trokut. Na temelju toga, njegova se površina može izračunati pomoću formule za površinu trokuta:
S = 1/2 * d * h ili S = 1/2 * 2r * h
gdje je S površina poprečnog presjeka;
d - promjer baze;
r - radijus;
h - visina.
U kosom ili kosom stošcu presjek po osi također je trokut, pa se površina presjeka u njemu izračunava na sličan način.
Volumen
Budući da je stožac trodimenzionalni lik u trodimenzionalnom prostoru, može se izračunati njegov volumen. Volumen stošca je broj koji karakterizira ovo tijelo u jedinici volumena, odnosno u m3. Izračun ne ovisi o tome je li ravno ili koso (koso), budući da se formule za ove dvije vrste tijela ne razlikuju.
Kao što je ranije rečeno, formiranje pravog stošca nastaje zbog rotacije pravokutnog trokuta duž jedne od njegovih nogu. Nagnuti ili kosi stožac formira se drugačije, jer je njegova visina pomaknuta od središta ravnine baze tijela. Ipak, takve razlike u strukturi ne utječu na metodu izračuna njegovog volumena.
Izračun volumena
Svaki stožac izgleda ovako:
V = 1/3 * π * h * r 2
gdje je V volumen stošca;
h - visina;
r - radijus;
π je konstanta jednaka 3,14.
Da biste izračunali visinu tijela, morate znati polumjer baze i duljinu njezine generatrise. Budući da su polumjer, visina i generator spojeni u pravokutni trokut, visina se može izračunati pomoću formule iz Pitagorinog poučka (a 2 + b 2 = c 2 ili u našem slučaju h 2 + r 2 = l 2, gdje je l je generator). Visina će se izračunati uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka:
a = √c 2 - b 2
To jest, visina konusa bit će jednaka vrijednosti dobivenoj nakon uzimanja kvadratnog korijena razlike između kvadrata duljine generatrixa i kvadrata polumjera baze:
h = √l 2 - r 2
Izračunavanjem visine ovom metodom i znajući radijus njegove baze, možete izračunati volumen stošca. Učitelj svira važna uloga, budući da služi kao pomoćni element u izračunima.
Slično, ako su poznata visina tijela i duljina njegove generatrise, može se saznati polumjer njegove baze uzimanjem kvadratnog korijena razlike između kvadrata generatrise i kvadrata visine:
r = √l 2 - h 2
Zatim, koristeći istu formulu kao gore, izračunajte volumen stošca.
Volumen kosog stošca
Budući da je formula za volumen stošca ista za sve vrste rotacijskih tijela, razlika u njezinom izračunu je traženje visine.
Da bi se saznala visina kosog stošca, ulazni podaci moraju sadržavati duljinu generatrise, polumjer baze i udaljenost između središta baze i sjecišta visine tijela s ravninom. svoje baze. Znajući to, lako možete izračunati onaj dio promjera baze koji će biti osnovica pravokutnog trokuta (formiran od visine, generatrise i ravnine baze). Zatim, opet koristeći Pitagorin poučak, izračunajte visinu stošca, a potom i njegov volumen.
Evo problema s čunjevima, stanje je povezano s njegovom površinom. Konkretno, u nekim problemima postoji pitanje promjene površine kada se povećava (smanjuje) visina stošca ili radijus njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrimo sljedeće zadatke:
27135. Opseg baze stošca je 3, generator je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.
Bočna površina konusa jednaka je:
Zamjena podataka:
75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća za 36 puta, a radijus baze ostane isti?
Bočna površina konusa:
Generatrisa se poveća 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se opseg baze nije promijenio.
To znači da će bočna površina modificiranog konusa imati oblik:
Tako će se povećati za 36 puta.
*Odnos je jednostavan, pa se ovaj problem lako usmeno rješava.
27137. Koliko puta će se smanjiti površina bočne površine stošca ako se radijus njegove baze smanji za 1,5 puta?
Bočna površina konusa jednaka je:
Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:
Utvrđeno je da se bočna površina smanjila 1,5 puta.
27159. Visina stošca je 6, generatora 10. Nađite njegovu površinu puna površina, podijeljeno s Pi.
Potpuna površina konusa:
Morate pronaći radijus:
Visina i generatrisa su poznati, koristeći Pitagorin poučak izračunavamo polumjer:
Tako:
Rezultat podijelite s Pi i zapišite odgovor.
76299. Ukupna površina stošca je 108. Odsjek je nacrtan paralelno s bazom stošca, dijeleći visinu na pola. Pronađite ukupnu površinu odsječenog stošca.
Odsječak prolazi sredinom visine paralelno s osnovicom. To znači da će polumjer baze i generatrise odsječenog stošca biti 2 puta manji od polumjera i generatrise izvornog stošca. Zapišimo površinu odsječenog konusa:
Dobio sam 4 puta manje površine površine originala, odnosno 108:4 = 27.
*Budući da su izvorni i odrezani stožac slična tijela, također je bilo moguće koristiti svojstvo sličnosti:
27167. Polumjer baze stošca je 3, a visina 4. Pronađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s Pi.
Formula za ukupnu površinu stošca:
Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatrisu. 
Prema Pitagorinoj teoremi:
Tako:
Rezultat podijelite s Pi i zapišite odgovor.
Zadatak. Bočna površina stošca je četiri puta veća više površine osnove. Nađi nešto jednak kosinusu kut između generatrise stošca i ravnine baze.
Površina baze stošca je: 