Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:
1 . Nalazimo ODZ funkcije.
2 . Pronalaženje izvoda funkcije
3 . Izjednačavanje derivacije s nulom
4 . Nađemo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih odredimo intervale porasta i opadanja funkcije:
Ako je na intervalu I izvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I izvod funkcije , tada funkcija smanjuje u ovom intervalu.
5 . Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.
U u točki maksimuma funkcije derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.
U minimalna točka funkcijeizvod mijenja predznak iz "-" u "+".
6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu maksimalnim točkama, te odaberite najveću od njih ako želite pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili usporediti vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu minimalnim točkama, te odaberite najmanji od njih ako želite pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj se algoritam može znatno reducirati.
Razmotrite funkciju 
. Graf ove funkcije izgleda ovako:
Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Open Task Bank za
1 . Zadatak B15 (br. 26695)
Na segmentu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i najveću vrijednost poprima na desnom kraju intervala, odnosno pri x=0.
Odgovor: 5.
2 . Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivacija je jednaka nuli na , ali u tim točkama ne mijenja predznak:
Prema tome, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3. Zadatak B15 (br. 26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijsku kružnicu.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: 
. Prolaskom kroz točke i derivacija mijenja predznak.
Oslikajmo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očito, točka je minimalna točka (u kojoj derivat mijenja predznak s "-" na "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, morate usporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj točki i na lijevom kraju segmenta, .
Ponekad u zadacima B15 postoje “loše” funkcije za koje je teško pronaći izvod. Prije se to događalo samo tijekom oglednih testova, ali sada su ti zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti prilikom pripreme za pravi Jedinstveni državni ispit.
U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotonija.
Kaže se da je funkcija f (x) monotono rastuća na segmentu ako za bilo koje točke x 1 i x 2 tog segmenta vrijedi sljedeće:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Kaže se da je funkcija f (x) monotono opadajuća na segmentu ako za bilo koju točku x 1 i x 2 tog segmenta vrijedi sljedeće:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je f(x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manje f(x).
Na primjer, logaritam monotono raste ako je baza a > 1, a monotono opada ako je 0< a < 1. Не забывайте про область prihvatljive vrijednosti logaritam: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste preko cijele domene definicije:
Eksponencijalna funkcija ponaša se slično kao logaritam: raste za a > 1 i opada za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Na kraju, stupnjevi s negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imaju točku prekida gdje se razbija monotonija.
Sve ove funkcije nikada se ne nalaze u svom čistom obliku. Zbrajaju polinome, razlomke i ostale gluposti, što otežava izračunavanje izvoda. Pogledajmo što se događa u ovom slučaju.
Koordinate vrha parabole
Najčešće se argument funkcije zamjenjuje s kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:
- Grane parabole mogu ići gore (za a > 0) ili dolje (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vrh parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije u kojoj ta funkcija poprima minimum (za a > 0) ili maksimum (a< 0) значение.
Od najvećeg interesa je vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:
Dakle, našli smo točku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je izvorna funkcija monotona, za nju će točka x 0 također biti točka ekstrema. Dakle, formulirajmo ključno pravilo:
Točke ekstrema kvadratnog trinoma i kompleksne funkcije u kojoj se on nalazi podudaraju se. Stoga možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i zaboraviti na funkciju.
Iz gornjeg razmišljanja ostaje nejasno koju točku dobivamo: maksimalnu ili minimalnu. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije važno. Prosudite sami:
- Nema segmenta u iskazu problema. Stoga nema potrebe izračunavati f(a) i f(b). Ostaje razmotriti samo ekstremne točke;
- Ali postoji samo jedna takva točka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvedenica.
Time je rješavanje problema uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka:
- Napišite jednadžbu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njezin vrh pomoću formule: x 0 = −b /2a ;
- Pronađite vrijednost izvorne funkcije u ovoj točki: f (x 0). Ako ne dodatni uvjeti ne, to će biti odgovor.
Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo obrazloženje mogu izgledati složeni. Namjerno ne objavljujem "goli" dijagram rješenja, budući da je nepromišljena primjena takvih pravila puna pogrešaka.
Pogledajmo stvarne probleme iz probni jedinstveni državni ispit u matematici - tu se ova tehnika najčešće nalazi. Istodobno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi s B15 postanu gotovo oralni.
Stoji ispod korijena kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Graf ove funkcije je parabola s granama prema gore jer je koeficijent a = 1 > 0.
Vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Kako su grane parabole usmjerene prema gore, u točki x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 poprima minimalnu vrijednost.
Korijen monotono raste, što znači da je x 0 točka minimuma cijele funkcije. Imamo:
Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Pod logaritmom se opet nalazi kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s granama prema gore, jer a = 1 > 0.
Vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Dakle, u točki x 0 = −1 kvadratna funkcija poprima svoju minimalnu vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, pa je:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponent sadrži kvadratnu funkciju y = 1 − 4x − x 2 . Prepišimo to normalan oblik: y = −x 2 − 4x + 1.
Očito, graf ove funkcije je parabola, grana prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Izvorna funkcija je eksponencijalna, monotona je, pa će najveća vrijednost biti u pronađenoj točki x 0 = −2:
Pažljivi čitatelj vjerojatno će primijetiti da nismo napisali raspon dopuštenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra postoje funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.
Korolari iz domene funkcije
Ponekad jednostavno pronalaženje vrha parabole nije dovoljno za rješavanje zadatka B15. Vrijednost koju tražite može lagati na kraju segmenta, a nikako u točki ekstrema. Ako problem uopće ne ukazuje na segment, pogledajte raspon prihvatljivih vrijednosti izvorna funkcija. Naime:
Napominjemo još jednom: nula može biti ispod korijena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:
Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:
Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Korijen negativnog broja ne postoji.
Zapisujemo raspon dopuštenih vrijednosti (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Nađimo sada vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Točka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u točki x 0, kao i na krajevima ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.
Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x − x 2 − 5. Ovo je parabola s granama prema dolje, ali u logaritmu ne može biti negativni brojevi, pa ispisujemo ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Ovo razlikuje logaritam od korijena, gdje nam krajevi segmenta sasvim dobro odgovaraju.
Tražimo vrh parabole:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Vrh parabole se uklapa prema ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali kako nas ne zanimaju krajevi segmenta, izračunavamo vrijednost funkcije samo u točki x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Proces traženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (grafa funkcije) u helikopteru, pucajući na određene točke iz dalekometnog topa i birajući vrlo posebne točke iz ovih točaka za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određena pravila. Po kojim pravilima? O ovome ćemo dalje govoriti.
Ako funkcija g = f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b] , tada doseže ovaj segment najmanje I najviše vrijednosti . To se može dogoditi ili u ekstremne točke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje I najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b], trebate izračunati njegove vrijednosti u svim kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim od njih odaberite najmanji i najveći.
Neka, na primjer, želite odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, morate pronaći sve kritične točke, ležeći na [ a, b] .
Kritična točka naziva točka u kojoj definirana funkcija, i nju izvedenica ili jednaka nuli ili ne postoji. Zatim treba izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I na kraju, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b)). Najveći od ovih brojeva bit će najveću vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .
Problemi pronalaženja najmanje vrijednosti funkcije .
Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije
Primjer 1. Pronađite najmanji i najveća vrijednost funkcije 
na segmentu [-1, 2]
.
Riješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju s nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta iu točki, budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2]. Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi da najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, postiže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crveno na grafikonu), jednako 9, - na kritičnoj točki.
Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu, a taj interval nije segment (ali jest npr. interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, ali granične točke segmenta uključene su u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.
Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan), vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.
Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .
Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:
.
Derivaciju izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu [-1, 3]. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednak 1 u točki .
Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije
Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije učenicima ne daju primjere za rješavanje koji su složeniji od ovih upravo spomenutih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima postoje oni koji vole prisiliti učenike da razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.
Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .
Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :
Derivaciju izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Rezultat svih radnji: funkcija dosegne minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost, jednako e², na točki.
Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije 
na segmentu .
Riješenje. Pronađite izvod ove funkcije:
Derivaciju izjednačavamo s nulom:
Jedina kritična točka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Zaključak: funkcija dosegne minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .
U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (maksimalnih) vrijednosti funkcije, u pravilu, svodi se na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima su oni postignuti. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - sastavljanje funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.
Primjer 8. Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelopipeda s kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti pokositren. Koje veličine treba biti spremnik da se za njegovo pokrivanje koristi što manje materijala?
Riješenje. Neka x- osnovna strana, h- visina spremnika, S– njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:
Ispitajmo ovu funkciju do njenog ekstrema. Definirana je i diferencijabilna posvuda u ]0, +∞[ , i
.
Derivaciju izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, kada derivacija ne postoji, ali ta vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična točka. Provjerimo postojanje ekstrema pomoću drugog dovoljnog znaka. Nađimo drugu derivaciju. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum 
. Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je njezin najniža vrijednost
. Dakle, stranica baze spremnika trebala bi biti 2 m, a njegova visina trebala bi biti .
Primjer 9. Od točke A nalazi se na željezničkoj pruzi, do točke S, koji se nalazi na udaljenosti od njega l, teret se mora prevoziti. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom jednaka je , a autocestom jednaka je . Do koje točke M linije željeznička pruga treba izgraditi autocestu za prijevoz tereta s A V S bio najekonomičniji (dio AB pretpostavlja se da je pruga ravna)?
Dragi prijatelji! Skupina zadataka koji se odnose na izvod uključuje zadatke - uvjet daje graf funkcije, nekoliko točaka na tom grafu i pitanje je:
U kojoj je točki derivacija najveća (najmanja)?
Da ukratko ponovimo:
Derivacija u točki jednaka je nagibu tangente koja kroz nju prolaziovu točku na grafikonu.
UGlobalni koeficijent tangente je pak jednak tangensu kuta nagiba ove tangente.
*To se odnosi na kut između tangente i x-osi.
1. Na intervalima rastuće funkcije derivacija ima pozitivna vrijednost.
2. U intervalima njegovog opadanja izvod ima negativnu vrijednost.
Razmotrite sljedeću skicu:
U točkama 1,2,4 derivacija funkcije ima negativnu vrijednost jer te točke pripadaju opadajućim intervalima.
U točkama 3,5,6 derivacija funkcije ima pozitivnu vrijednost jer te točke pripadaju rastućim intervalima.
Kao što vidite, sve je jasno sa značenjem derivata, odnosno uopće nije teško odrediti koji predznak ima (pozitivan ili negativan) na određenom mjestu na grafikonu.
Štoviše, ako mentalno konstruiramo tangente u tim točkama, vidjet ćemo da ravne linije koje prolaze kroz točke 3, 5 i 6 tvore kutove s osi oX u rasponu od 0 do 90 o, a ravne linije koje prolaze kroz točke 1, 2 i 4 tvore s osi oX kutovi se kreću od 90 o do 180 o.
*Odnos je jasan: tangente koje prolaze kroz točke koje pripadaju intervalima rastućih funkcija formiraju se s osi oX oštri kutovi tangente koje prolaze kroz točke koje pripadaju intervalima opadajućih funkcija tvore tupe kutove s osi oX.
Sada važno pitanje!
Kako se mijenja vrijednost derivata? Uostalom, tangenta je na različitim točkama na grafu kontinuirana funkcija oblikuje različite kutove ovisno o tome kroz koju točku na grafikonu prolazi.
*Ili, govoreći jednostavnim jezikom, tangenta se nalazi kao da je "vodoravno" ili "okomito". Izgled:
Ravne linije tvore kutove s osi oX u rasponu od 0 do 90 o
Ravne linije tvore kutove s osi oX u rasponu od 90° do 180°
Stoga, ako imate pitanja:
- u kojoj od zadanih točaka na grafu derivacija ima najmanju vrijednost?
- u kojoj od zadanih točaka na grafu derivacija ima najveću vrijednost?
tada je za odgovor potrebno razumjeti kako se mijenja vrijednost tangensa tangentnog kuta u rasponu od 0 do 180 o.
*Kao što je već spomenuto, vrijednost derivacije funkcije u točki jednaka je tangensu kuta nagiba tangente na os oX.
Vrijednost tangensa mijenja se na sljedeći način:
Kada se kut nagiba pravca promijeni od 0° do 90°, vrijednost tangente, a time i izvodnice, mijenja se u skladu s tim od 0 do +∞;
Kada se kut nagiba pravca promijeni od 90° do 180°, vrijednost tangente, a time i derivacije, mijenja se sukladno tome –∞ na 0.
To se jasno vidi iz grafa funkcije tangente:
Jednostavno rečeno:
Pod kutom nagiba tangente od 0° do 90°
Što je bliže 0 o, to će veća vrijednost derivacije biti blizu nule (na pozitivnoj strani).
Što je kut bliži 90°, vrijednost derivacije će se više povećavati prema +∞.
Pod kutom nagiba tangente od 90° do 180°
Što je bliži 90 o, vrijednost derivacije će se više smanjivati prema –∞.
Što je kut bliži 180°, to će veća vrijednost derivacije biti blizu nule (na negativnoj strani).
317543. Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) a točke su označene–2, –1, 1, 2. U kojoj je od ovih točaka derivacija najveća? Molimo naznačite ovu točku u svom odgovoru.
Imamo četiri točke: dvije pripadaju intervalima na kojima funkcija pada (to su točke –1 i 1), a dvije intervalima na kojima funkcija raste (to su točke –2 i 2).
Odmah možemo zaključiti da u točkama –1 i 1 izvodnica ima negativnu vrijednost, a u točkama –2 i 2 pozitivnu vrijednost. Stoga u u ovom slučaju potrebno je analizirati točke –2 i 2 i odrediti koja će od njih imati najveću vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene točke:
Vrijednost tangensa kuta između pravca a i apscisne osi bit će veću vrijednost tangens kuta između pravca b i ove osi. To znači da će vrijednost derivacije u točki –2 biti najveća.
odgovorit ćemo sljedeće pitanje: U kojoj je točki –2, –1, 1 ili 2 derivacija najnegativnija? Navedite ovu točku u svom odgovoru.
Derivacija će imati negativnu vrijednost u točkama koje pripadaju opadajućim intervalima, pa razmotrimo točke –2 i 1. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz njih:
Vidimo to tup kut između pravca b i osi oX je "bliže" 180 O , stoga će njegov tangens biti veći od tangensa kuta koji čine pravac a i os oX.
Tako će u točki x = 1 vrijednost derivacije biti najveća negativna.
317544. Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) a točke su označene–2, –1, 1, 4. U kojoj je od ovih točaka derivacija najmanja? Navedite ovu točku u svom odgovoru.
Imamo četiri točke: dvije pripadaju intervalima u kojima funkcija opada (to su točke –1 i 4), a dvije intervalima u kojima funkcija raste (to su točke –2 i 1).
Odmah možemo zaključiti da u točkama –1 i 4 izvodnica ima negativnu vrijednost, a u točkama –2 i 1 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati točke –1 i 4 i odrediti koja će od njih imati najmanju vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene točke:
Vrijednost tangensa kuta između pravca a i apscisne osi bit će veća od vrijednosti tangensa kuta između pravca b i ove osi. To znači da će vrijednost derivacije u točki x = 4 biti najmanja.
Odgovor: 4
Nadam se da vas nisam "preopteretio" količinom napisanog. Zapravo, sve je vrlo jednostavno, samo trebate razumjeti svojstva derivata, njegova geometrijsko značenje a kako se tangens kuta mijenja od 0 do 180 o.
1. Prvo odredite predznake derivacije u tim točkama (+ ili -) i odaberite potrebne točke (ovisno o postavljenom pitanju).
2. Konstruirajte tangente u tim točkama.
3. Pomoću grafa tangesoida shematski označite kutove i prikazAleksandar.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.
Neka funkcija y =f(X) kontinuirana je na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija na ovom segmentu postiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti. Funkcija može uzeti ove vrijednosti bilo u unutarnjoj točki segmenta [ a, b], ili na rubu segmenta.
Za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:
1) pronaći kritične točke funkcije u intervalu ( a, b);
2) izračunati vrijednosti funkcije u pronađenim kritičnim točkama;
3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;
4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.
Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije
na segmentu.
Pronalaženje kritičnih točaka:
Ove točke leže unutar segmenta; g(1) = ‒ 3; g(2) = ‒ 4; g(0) = ‒ 8; g(3) = 1;
u točki x= 3 i u točki x= 0.
Proučavanje funkcije za konveksnost i točku infleksije.
Funkcija g = f (x) nazvao konveksan između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj točki u ovom intervalu, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.
Točka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se točka infleksije.
Algoritam za ispitivanje konveksnosti i točke infleksije:
1. Naći kritične točke druge vrste, odnosno točke u kojima je druga derivacija jednaka nuli ili ne postoji.
2. Nacrtajte kritične točke na brojevnoj crti, podijelivši je na intervale. Pronađite predznak druge derivacije na svakom intervalu; ako je funkcija konveksna prema gore, ako je funkcija konveksna prema dolje.
3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu točku druge vrste predznak promijeni i u toj točki druga derivacija bude jednaka nuli, tada je ta točka apscisa točke infleksije. Nađi njegovu ordinatu.
Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.
Definicija. Asimptota grafa funkcije naziva se ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje točke na grafu do ove linije teži nuli kako se točka na grafu neograničeno pomiče od ishodišta.
Postoje tri vrste asimptota: okomito, vodoravno i nagnuto.
Definicija. Pravac se zove vertikalna asimptota funkcijska grafika y = f(x), ako je barem jedan od jednostranih limesa funkcije u ovoj točki jednak beskonačnosti, tj.
gdje je točka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domeni definiranosti.
Primjer.
D ( g) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – prijelomna točka.
Definicija. Ravno y =A nazvao horizontalna asimptota funkcijska grafika y = f(x) u , ako
Primjer.
|
x | |||
|
g |
Definicija. Ravno y =kx +b (k≠ 0) zove se kosa asimptota funkcijska grafika y = f(x) gdje
Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.
Algoritam istraživanja funkcijay = f(x) :
1. Pronađite domenu funkcije D (g).
2. Pronađite (ako je moguće) točke presjeka grafa s koordinatnim osima (ako x= 0 i pri g = 0).
3. Ispitajte parnost i neparnost funkcije ( g (‒ x) = g (x) ‒ paritet; g(‒ x) = ‒ g (x) ‒ neparan).
4. Odredite asimptote grafa funkcije.
5. Odredite intervale monotonosti funkcije.
6. Pronađite ekstreme funkcije.
7. Odredite intervale konveksnosti (konkavnosti) i točke infleksije grafa funkcije.
8. Na temelju provedenog istraživanja konstruirajte graf funkcije.
Primjer. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.
1) D (g) =
x= 4 – prijelomna točka.
2) Kada x = 0,
(0; ‒ 5) – točka presjeka s Oh.
Na g = 0,
3)
g(‒
x)=
funkcija opći pogled(ni par ni nepar).
4) Ispitujemo asimptote.
a) okomiti
b) horizontalna
c) pronađite kose asimptote gdje
‒jednadžba kose asimptote
5) U ovoj jednadžbi nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.
6)
Te kritične točke dijele cjelokupno područje definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobivene rezultate zgodno je prikazati u obliku sljedeće tablice.