Υπολογίστε το εμβαδόν ενός οριοθετημένου αριθμού online χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα βρίσκεται στο κατάλληλη στιγμήαυτόματη φόρτωση από έναν απομακρυσμένο διακομιστή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν ορισμένο κανόνα, το οποίο εφαρμόζεται διαδοχικά απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας, περιορίζεται από γραμμές, χρησιμοποιώντας υπολογισμούς χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα. Για πρώτη φορά συναντάμε τη διατύπωση ενός τέτοιου προβλήματος στο λύκειο, όταν μόλις ολοκληρώσαμε τη μελέτη ορισμένων ολοκληρωμάτων και ήρθε η ώρα να ξεκινήσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη.

Έτσι, τι απαιτείται για την επιτυχή επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα:

Δυνατότητα δημιουργίας ικανών σχεδίων.
Ικανότητα επίλυσης ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο Newton-Leibniz.
Η ικανότητα να "δείτε" μια πιο κερδοφόρα επιλογή λύσης - δηλ. καταλαβαίνετε πώς θα είναι πιο βολικό να πραγματοποιήσετε την ενοποίηση σε μια ή την άλλη περίπτωση; Κατά μήκος του άξονα x (OX) ή του άξονα y (OY);
Λοιπόν, πού θα ήμασταν χωρίς σωστούς υπολογισμούς;) Αυτό περιλαμβάνει την κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτού του άλλου τύπου ολοκληρωμάτων και τους σωστούς αριθμητικούς υπολογισμούς.

Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:

1. Χτίζουμε ένα σχέδιο. Συνιστάται να το κάνετε αυτό σε ένα καρό χαρτί, σε μεγάλη κλίμακα. Υπογράφουμε το όνομα αυτής της συνάρτησης με ένα μολύβι πάνω από κάθε γράφημα. Η υπογραφή των γραφημάτων γίνεται αποκλειστικά για τη διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών. Έχοντας λάβει ένα γράφημα του επιθυμητού σχήματος, στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι αμέσως σαφές ποια όρια ολοκλήρωσης θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι λύνουμε το πρόβλημα γραφική μέθοδος. Ωστόσο, συμβαίνει ότι οι τιμές των ορίων είναι κλασματικές ή παράλογες. Επομένως, μπορείτε να κάνετε πρόσθετους υπολογισμούς, μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.

2. Αν δεν προσδιορίζονται ρητά τα όρια ολοκλήρωσης, τότε βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων μεταξύ τους και βλέπουμε αν η γραφική μας λύση συμπίπτει με την αναλυτική.

3. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσετε το σχέδιο. Ανάλογα με το πώς είναι τακτοποιημένα τα γραφήματα συναρτήσεων, υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσειςγια να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας. Ας σκεφτούμε διαφορετικά παραδείγματαγια την εύρεση του εμβαδού ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.

3.1. Η πιο κλασική και απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι όταν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. Τι συνέβη καμπύλο τραπεζοειδές? Αυτό είναι ένα επίπεδο σχήμα που περιορίζεται από τον άξονα x (y = 0), τις ευθείες x = a, x = b και οποιαδήποτε καμπύλη συνεχή στο διάστημα από το a έως το b. Εν, αυτό το σχήμαμη αρνητικό και βρίσκεται όχι κάτω από τον άξονα x. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

Παράδειγμα 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Από ποιες γραμμές οριοθετείται το σχήμα; Έχουμε μια παραβολή y = x2 - 3x + 3, η οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, είναι μη αρνητική, επειδή όλα τα σημεία αυτής της παραβολής έχουν θετικές αξίες. Στη συνέχεια δίνονται οι ευθείες x = 1 και x = 3, οι οποίες είναι παράλληλες με τον άξονα του op-amp και είναι οι οριακές γραμμές του σχήματος αριστερά και δεξιά. Λοιπόν, y = 0, που είναι επίσης ο άξονας x, ο οποίος περιορίζει το σχήμα από κάτω. Το σχήμα που προκύπτει είναι σκιασμένο, όπως φαίνεται από το σχήμα στα αριστερά. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να ξεκινήσετε αμέσως την επίλυση του προβλήματος. Μπροστά μας είναι ένα απλό παράδειγμα καμπύλου τραπεζοειδούς, το οποίο στη συνέχεια λύνουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

3.2. Στην προηγούμενη παράγραφο 3.1, εξετάσαμε την περίπτωση που ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι ίδιες, εκτός από το ότι η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα x. Ένα μείον προστίθεται στον τυπικό τύπο Newton-Leibniz. Θα εξετάσουμε πώς να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα παρακάτω.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Σε αυτό το παράδειγμα έχουμε μια παραβολή y = x2 + 6x + 2, η οποία προέρχεται από κάτω από τον άξονα OX, ευθείες x = -4, x = -1, y = 0. Εδώ το y = 0 περιορίζει το επιθυμητό σχήμα από πάνω. Οι ευθείες x = -4 και x = -1 είναι τα όρια εντός των οποίων θα υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα. Η αρχή της επίλυσης του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος συμπίπτει σχεδόν πλήρως με το παράδειγμα 1. Η μόνη διαφορά είναι ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι θετική και είναι επίσης συνεχής στο διάστημα [-4; -1]. Τι εννοείς όχι θετικό; Όπως φαίνεται από το σχήμα, το σχήμα που βρίσκεται μέσα στα δεδομένα x έχει αποκλειστικά «αρνητικές» συντεταγμένες, κάτι που πρέπει να δούμε και να θυμόμαστε όταν λύνουμε το πρόβλημα. Αναζητούμε την περιοχή του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, μόνο με το σύμβολο μείον στην αρχή.

Το άρθρο δεν έχει ολοκληρωθεί.

Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές

Εφαρμογή του ολοκληρώματος στη λύση εφαρμοζόμενων προβλημάτων

Υπολογισμός επιφάνειας

Το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης f(x) είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y = f(x), τον άξονα O x και τις ευθείες x = a και x = β. Σύμφωνα με αυτό, ο τύπος εμβαδού γράφεται ως εξής:

Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων.

Εργασία Νο. 1. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Λύση.Ας κατασκευάσουμε ένα σχήμα του οποίου το εμβαδόν θα πρέπει να υπολογίσουμε.

y = x 2 + 1 είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 1).

Σχήμα 1. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 + 1

Εργασία Νο. 2. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 – 1, y = 0 στην περιοχή από 0 έως 1.

Λύση.Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή διακλαδώσεων που κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται σε σχέση με τον άξονα O y προς τα κάτω κατά μία μονάδα (Εικόνα 2).

Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 – 1

Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές

y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4.

Λύση.Η πρώτη από αυτές τις δύο ευθείες είναι μια παραβολή με τους κλάδους της στραμμένους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός και η δεύτερη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει και τους δύο άξονες συντεταγμένων.

Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – τετμημένη κορυφή; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 είναι η τεταγμένη του, N(1;9) είναι η κορυφή του.

Τώρα ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Εξίσωση των δεξιών πλευρών μιας εξίσωσης της οποίας οι αριστερές πλευρές είναι ίσες.

Παίρνουμε 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ή x 2 – 12 = 0, εξ ου και .

Άρα, τα σημεία είναι τα σημεία τομής μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής (Εικόνα 1).

Σχήμα 3 Γραφήματα συναρτήσεων y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4

Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία y = 2x – 4. Διέρχεται από τα σημεία (0;-4), (2;0) στους άξονες συντεταγμένων.

Για να κατασκευάσετε μια παραβολή, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα σημεία τομής της με τον άξονα 0x, δηλαδή τις ρίζες της εξίσωσης 8 + 2x – x 2 = 0 ή x 2 – 2x – 8 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, είναι εύκολο για να βρείτε τις ρίζες του: x 1 = 2, x 2 = 4.

Το σχήμα 3 δείχνει ένα σχήμα (παραβολικό τμήμα M 1 N M 2) που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.

Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο .

Εφαρμόζεται σε αυτή η συνθήκη, παίρνουμε το ολοκλήρωμα:

2 Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής

Ο όγκος του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης y = f(x) γύρω από τον άξονα O x υπολογίζεται με τον τύπο:

Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, ο τύπος μοιάζει με:

Εργασία Νο. 4. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυρτού τραπεζίου που οριοθετείται από ευθείες x = 0 x = 3 και καμπύλη y = γύρω από τον άξονα O x.

Λύση.Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα (Εικόνα 4).

Εικόνα 4. Γράφημα της συνάρτησης y =

Ο απαιτούμενος όγκος είναι

Εργασία Νο. 5. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλωμένου τραπεζίου που οριοθετείται από την καμπύλη y = x 2 και ευθείες y = 0 και y = 4 γύρω από τον άξονα O y.

Λύση.Εχουμε:

Επιθεώρηση των ερωτήσεων

Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρίσκετε την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές χρησιμοποιώντας ολοκληρωμένους υπολογισμούς. Για πρώτη φορά συναντάμε τη διατύπωση ενός τέτοιου προβλήματος στο λύκειο, όταν μόλις ολοκληρώσαμε τη μελέτη ορισμένων ολοκληρωμάτων και ήρθε η ώρα να ξεκινήσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη.

Δυνατότητα δημιουργίας ικανών σχεδίων.
Ικανότητα επίλυσης ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο Newton-Leibniz.
Η ικανότητα να "δείτε" μια πιο κερδοφόρα επιλογή λύσης - δηλ. καταλαβαίνετε πώς θα είναι πιο βολικό να πραγματοποιήσετε την ενοποίηση σε μια ή την άλλη περίπτωση; Κατά μήκος του άξονα x (OX) ή του άξονα y (OY);
Λοιπόν, πού θα ήμασταν χωρίς σωστούς υπολογισμούς;) Αυτό περιλαμβάνει την κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτού του άλλου τύπου ολοκληρωμάτων και τους σωστούς αριθμητικούς υπολογισμούς.

1. Χτίζουμε ένα σχέδιο. Συνιστάται να το κάνετε αυτό σε ένα καρό χαρτί, σε μεγάλη κλίμακα. Υπογράφουμε το όνομα αυτής της συνάρτησης με ένα μολύβι πάνω από κάθε γράφημα. Η υπογραφή των γραφημάτων γίνεται αποκλειστικά για τη διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών. Έχοντας λάβει ένα γράφημα του επιθυμητού σχήματος, στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι αμέσως σαφές ποια όρια ολοκλήρωσης θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι, λύνουμε το πρόβλημα γραφικά. Ωστόσο, συμβαίνει ότι οι τιμές των ορίων είναι κλασματικές ή παράλογες. Επομένως, μπορείτε να κάνετε πρόσθετους υπολογισμούς, μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.

3. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσετε το σχέδιο. Ανάλογα με το πώς είναι διατεταγμένα τα γραφήματα συναρτήσεων, υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις για την εύρεση του εμβαδού ενός σχήματος. Ας δούμε διαφορετικά παραδείγματα εύρεσης του εμβαδού ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.

3.1. Η πιο κλασική και απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι όταν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. Τι είναι ένα καμπύλο τραπεζοειδές; Αυτό είναι ένα επίπεδο σχήμα που περιορίζεται από τον άξονα x (y = 0), τις ευθείες x = a, x = b και οποιαδήποτε καμπύλη συνεχή στο διάστημα από το a έως το b. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός είναι μη αρνητικός και βρίσκεται όχι κάτω από τον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, το οποίο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

Παράδειγμα 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Από ποιες γραμμές οριοθετείται το σχήμα; Έχουμε μια παραβολή y = x2 - 3x + 3, η οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, είναι μη αρνητική, επειδή όλα τα σημεία αυτής της παραβολής έχουν θετικές τιμές. Στη συνέχεια δίνονται οι ευθείες x = 1 και x = 3, οι οποίες είναι παράλληλες με τον άξονα του op-amp και είναι οι οριακές γραμμές του σχήματος αριστερά και δεξιά. Λοιπόν, y = 0, που είναι επίσης ο άξονας x, που περιορίζει το σχήμα από κάτω. Το σχήμα που προκύπτει είναι σκιασμένο, όπως φαίνεται από το σχήμα στα αριστερά. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να ξεκινήσετε αμέσως την επίλυση του προβλήματος. Μπροστά μας είναι ένα απλό παράδειγμα καμπύλου τραπεζοειδούς, το οποίο στη συνέχεια λύνουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Το άρθρο δεν έχει ολοκληρωθεί.

ΕΝΑ)

Λύση.

Πρώτα και η πιο σημαντική στιγμήλύσεις - κατασκευή σχεδίου.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η εξίσωση y=0ορίζει τον άξονα "x".

- x=-2Και x=1- ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;

- y=x 2 +2 -μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με την κορυφή στο σημείο (0;2).

Σχόλιο. Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0βρείτε την τομή με τον άξονα OUκαι αποφασίζει ανάλογα τετραγωνική εξίσωση, βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο.

Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι, Να γιατί:

Απάντηση: μικρό=9 τετρ. μονάδες

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ω;

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές y=-e x , x=1και άξονες συντεταγμένων.

Λύση.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται εντελώς κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση: S=(e-1)τ. μονάδες» 1,72 τ. μονάδες

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χωρίς κανένα γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Εάν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.

γ) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές y=2x-x 2, y=-x.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και ευθεία Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική.

Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .

Κατασκευάζουμε τις δοσμένες γραμμές: 1. Παραβολή - κορυφή στο σημείο (1;1); διασταύρωση άξονα Ω -σημεία (0;0) και (0;2). 2. Ευθεία - διχοτόμος γωνιών 2ης και 4ης συντεταγμένης. Και τώρα Προσοχή! Εάν στο τμήμα [ α;β] κάποια συνεχής λειτουργία f(x)μεγαλύτερο ή ίσο με κάποιο συνεχής λειτουργία g(x), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: .

Και δεν έχει σημασία πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά αυτό που έχει σημασία είναι ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με ένα άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Μπορείτε να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Εντούτοις, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων εξακολουθεί μερικές φορές να χρησιμοποιείται εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: μικρό=4,5 τ. μονάδες