Οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των εκφράσεων είναι μία από τις γραμμές με νόημα σχολικό μάθημαμαθηματικά. Οι ίδιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων εξισώσεων και ανισώσεων. Επιπλέον, οι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί των εκφράσεων συμβάλλουν στην ανάπτυξη της ευφυΐας, της ευελιξίας και του ορθολογισμού της σκέψης.
Τα προτεινόμενα υλικά προορίζονται για μαθητές της 8ης τάξης και περιλαμβάνουν τις θεωρητικές βάσεις πανομοιότυπων μετασχηματισμών ορθολογικών και παράλογες εκφράσεις, είδη εργασιών για τη μετατροπή τέτοιων εκφράσεων και το κείμενο του τεστ.
1. Θεωρητική βάσημετασχηματισμοί ταυτότητας
Οι εκφράσεις στην άλγεβρα είναι εγγραφές που αποτελούνται από αριθμούς και γράμματα που συνδέονται με σημάδια δράσης.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – αλγεβρικές εκφράσεις.
Ανάλογα με τις πράξεις, διακρίνονται οι ορθολογικές και οι παράλογες εκφράσεις.
Οι αλγεβρικές εκφράσεις ονομάζονται ορθολογικές εάν σχετίζονται με τα γράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτήν ΕΝΑ, σι, Με, ... δεν εκτελούνται άλλες πράξεις εκτός της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, της αφαίρεσης, της διαίρεσης και της εκθέσεως.
Οι αλγεβρικές εκφράσεις που περιέχουν πράξεις εξαγωγής της ρίζας μιας μεταβλητής ή αύξησης μιας μεταβλητής σε λογική δύναμη που δεν είναι ακέραιος ονομάζονται παράλογες σε σχέση με αυτήν τη μεταβλητή.
Ένας μετασχηματισμός ταυτότητας μιας δεδομένης έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας έκφρασης με μια άλλη που είναι πανομοιότυπα ίση με αυτήν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο.
Τα ακόλουθα θεωρητικά γεγονότα αποτελούν τη βάση πανομοιότυπων μετασχηματισμών ορθολογικών και παράλογων εκφράσεων.
1. Ιδιότητες μοιρών με ακέραιο εκθέτη:
, nΕΠΙ; ΕΝΑ 1=ΕΝΑ;
, nΕΠΙ, ΕΝΑ¹0; ΕΝΑ 0=1, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0;
, ΕΝΑ¹0, σι¹0;
, ΕΝΑ¹0, σι¹0.
2. Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού:
Οπου ΕΝΑ, σι, Με– τυχόν πραγματικούς αριθμούς.
Οπου ΕΝΑ¹0, Χ 1 και Χ 2 – ρίζες της εξίσωσης 
.
3. Η κύρια ιδιότητα των κλασμάτων και των ενεργειών στα κλάσματα:
, Οπου σι¹0, Με¹0;
; 
;
4. Ορισμός αριθμητικής ρίζας και ιδιότητές της:
; , σι#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; 
,
Οπου ΕΝΑ, σι– μη αρνητικοί αριθμοί, nΕΠΙ, n³2, ΜΕΠΙ, Μ³2.
1. Είδη ασκήσεων μετατροπής έκφρασης
Υπάρχει Διάφοροι τύποιασκήσεις για πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εκφράσεων. Πρώτος τύπος: Η μετατροπή που πρέπει να πραγματοποιηθεί προσδιορίζεται ρητά.
Για παράδειγμα.
1. Να το παραστήσετε ως πολυώνυμο.
Κατά την εκτέλεση αυτού του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε τους κανόνες πολλαπλασιασμού και αφαίρεσης πολυωνύμων, τον τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και τη μείωση παρόμοιων όρων.
2. Παράγοντες σε: 
.
Κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα αφαίρεσης κοινός πολλαπλασιαστήςπίσω από την αγκύλη και 2 συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού.
3. Μείωσε το κλάσμα:
.
Κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού, χρησιμοποιήσαμε την αφαίρεση του κοινού παράγοντα από αγκύλες, νόμους μετατροπής και συστολής, 2 συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και πράξεις σε δυνάμεις.
4. Αφαιρέστε τον παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας εάν ΕΝΑ³0, σι³0, Με³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27">
Χρησιμοποιήσαμε τους κανόνες για τις ενέργειες στις ρίζες και τον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού.
5. Εξαλείψτε τον παραλογισμό στον παρονομαστή ενός κλάσματος. 
.
Δεύτερος τύποςΟι ασκήσεις είναι ασκήσεις στις οποίες υποδεικνύεται σαφώς ο κύριος μετασχηματισμός που πρέπει να πραγματοποιηθεί. Σε τέτοιες ασκήσεις, η απαίτηση συνήθως διατυπώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές: απλοποίηση της έκφρασης, υπολογισμός. Κατά την εκτέλεση τέτοιων ασκήσεων, είναι απαραίτητο πρώτα απ 'όλα να προσδιοριστεί ποιοι και με ποια σειρά πρέπει να εκτελεστούν μετασχηματισμοί, έτσι ώστε η έκφραση να πάρει μια πιο συμπαγή μορφή από τη δεδομένη ή να ληφθεί ένα αριθμητικό αποτέλεσμα.
Για παράδειγμα
6. Απλοποιήστε την έκφραση:
Λύση:
.
Χρησιμοποιούνται κανόνες για τη λειτουργία αλγεβρικών κλασμάτων και συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
7. Απλοποιήστε την έκφραση:
.
Αν ΕΝΑ³0, σι³0, ΕΝΑ¹ σι.
Χρησιμοποιήσαμε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού, κανόνες για την προσθήκη κλασμάτων και τον πολλαπλασιασμό των παράλογων εκφράσεων, την ταυτότητα https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.
Χρησιμοποιήσαμε τη λειτουργία επιλογής πλήρους τετραγώνου, την ταυτότητα https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, εάν .
Απόδειξη:
Αφού , τότε και ή ή ή , δηλ.
Χρησιμοποιήσαμε την συνθήκη και τον τύπο για το άθροισμα των κύβων.
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι συνθήκες που συνδέουν τις μεταβλητές μπορούν επίσης να καθοριστούν σε ασκήσεις των δύο πρώτων τύπων.
Για παράδειγμα.
10. Βρείτε αν .
Οι εκφράσεις που περιέχουν ένα ριζικό πρόσημο (ρίζα) ονομάζονται παράλογες.
Μια αριθμητική ρίζα μιας φυσικής δύναμης $n$ ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι κάποιος μη αρνητικός αριθμός έτσι ώστε όταν ανυψωθεί στην ισχύ $n$ προκύπτει ο αριθμός $a$.
$(√^n(a))^n=a$
Στον συμβολισμό $√^n(a)$, το "a" ονομάζεται ριζικός αριθμός, το $n$ είναι ο εκθέτης της ρίζας ή της ρίζας.
Ιδιότητες $n$th ριζών για $a≥0$ και $b≥0$:
1. Η ρίζα του προϊόντος είναι ίση με το γινόμενο των ριζών
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Υπολογίστε $√^5(5)∙√^5(625)$
Η ρίζα ενός προϊόντος ισούται με το γινόμενο των ριζών και αντίστροφα: το γινόμενο των ριζών με τον ίδιο δείκτηρίζα είναι ίση με τη ρίζα του γινομένου των ριζικών εκφράσεων
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. Η ρίζα ενός κλάσματος είναι ξεχωριστή ρίζα από τον αριθμητή και ξεχωριστή ρίζα από τον παρονομαστή
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, για $b≠0$
3. Όταν μια ρίζα ανυψώνεται σε μια δύναμη, η ριζική έκφραση ανυψώνεται σε αυτή τη δύναμη
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Εάν οι $a≥0$ και οι $n,k$ είναι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι από $1$, τότε η ισότητα είναι αληθής.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Αν οι δείκτες της έκφρασης ρίζας και ρίζας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. Η ρίζα ενός περιττού βαθμού μπορεί να εξαχθεί από το θετικό και αρνητικούς αριθμούς, και η ρίζα ενός άρτιου βαθμού είναι μόνο θετική.
7. Οποιαδήποτε ρίζα μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη με κλασματικό (ορθολογικό) εκθέτη.
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Βρείτε την τιμή της έκφρασης $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ για $s>0$
Η ρίζα του προϊόντος είναι ίση με το γινόμενο των ριζών
$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Μπορούμε να εξαγάγουμε ρίζες από αριθμούς αμέσως
$(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(s)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$
Μειώνουμε τις ρίζες $22$ του $σ$ και παίρνουμε $(3)/(2)=1,5$
Απάντηση: $1,5 $
Αν για μια ρίζα με ζυγό εκθέτη δεν γνωρίζουμε το πρόσημο της ριζικής έκφρασης, τότε κατά την εξαγωγή της ρίζας, βγαίνει η ενότητα της ριζικής έκφρασης.
Βρείτε την τιμή της έκφρασης $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ στα $7< c < 9$
Εάν δεν υπάρχει ένδειξη πάνω από τη ρίζα, αυτό σημαίνει ότι εργαζόμαστε τετραγωνική ρίζα. Ο δείκτης του είναι δύο, δηλ. τίμιος. Αν για μια ρίζα με ζυγό εκθέτη δεν γνωρίζουμε το πρόσημο της ριζικής έκφρασης, τότε κατά την εξαγωγή της ρίζας, βγαίνει η ενότητα της ριζικής έκφρασης.
$√((σ-7)^2)+√((σ-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της έκφρασης κάτω από το σύμβολο του συντελεστή με βάση τη συνθήκη $7< c < 9$
Για έλεγχο, πάρτε οποιονδήποτε αριθμό από μια δεδομένη περιοχή, για παράδειγμα, $8$
Ας ελέγξουμε το σημάδι κάθε ενότητας
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(σ-7)-(σ-9)=с-7-с+9=2$
Ιδιότητες δυνάμεων με λογικό εκθέτη:
1. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, η βάση παραμένει ίδια και οι εκθέτες προστίθενται.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Όταν ανεβάζετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, κάθε παράγοντας αυξάνεται σε αυτήν την ισχύ
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Κατά την αύξηση ενός κλάσματος σε δύναμη, ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυξάνονται σε αυτή τη δύναμη
Το άρθρο αποκαλύπτει την έννοια των παράλογων εκφράσεων και μεταμορφώσεων με αυτές. Ας εξετάσουμε την ίδια την έννοια των παράλογων εκφράσεων, της μεταμόρφωσης και των χαρακτηριστικών εκφράσεων.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τι είναι οι παράλογες εκφράσεις;
Όταν εισάγουμε τις ρίζες στο σχολείο, μελετάμε την έννοια των παράλογων εκφράσεων. Τέτοιες εκφράσεις σχετίζονται στενά με τις ρίζες.
Ορισμός 1
Παράλογες εκφράσειςείναι εκφράσεις που έχουν ρίζα. Δηλαδή, αυτές είναι εκφράσεις που έχουν ριζοσπάστες.
Με βάση αυτόν τον ορισμό, έχουμε ότι x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 - όλες αυτές είναι εκφράσεις ενός παράλογος τύπος.
Όταν εξετάζουμε την παράσταση x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 βρίσκουμε ότι η παράσταση είναι ορθολογική. Οι ορθολογικές εκφράσεις περιλαμβάνουν πολυώνυμα και αλγεβρικά κλάσματα. Οι παράλογες περιλαμβάνουν την εργασία με λογαριθμικές εκφράσεις ή ριζικές εκφράσεις.
Κύριοι τύποι μετασχηματισμών παράλογων εκφράσεων
Κατά τον υπολογισμό τέτοιων εκφράσεων, είναι απαραίτητο να δώσετε προσοχή στο DZ. Συχνά απαιτούν πρόσθετους μετασχηματισμούς με τη μορφή ανοίγματος παρενθέσεων, φέρνοντας παρόμοια μέλη, ομαδοποιήσεις κ.λπ. Η βάση τέτοιων μετασχηματισμών είναι οι πράξεις με αριθμούς. Οι μετασχηματισμοί των παράλογων εκφράσεων τηρούν μια αυστηρή σειρά.
Παράδειγμα 1
Μετασχηματίστε την παράσταση 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Λύση
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τον αριθμό 9 με μια έκφραση που περιέχει τη ρίζα. Τότε το καταλαβαίνουμε
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Η έκφραση που προκύπτει έχει παρόμοιους όρους, οπότε ας εκτελέσουμε τη μείωση και την ομαδοποίηση. Παίρνουμε
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Απάντηση: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Παράδειγμα 2
Παρουσιάστε την παράσταση x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 ως γινόμενο δύο παράλογων χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού.
Λύσεις
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Αντιπροσωπεύουμε το 9 με τη μορφή του 3 2 και εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Το αποτέλεσμα πανομοιότυπων μετασχηματισμών οδήγησε στο προϊόν δύο ορθολογικών εκφράσεων που έπρεπε να βρεθούν.
Απάντηση:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Μπορείτε να εκτελέσετε έναν αριθμό άλλων μετασχηματισμών που ισχύουν για παράλογες εκφράσεις.
Μετατροπή ριζικής έκφρασης
Το σημαντικό είναι ότι η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπορεί να αντικατασταθεί από μια που είναι πανομοιότυπη με αυτήν. Αυτή η δήλωση καθιστά δυνατή την εργασία με μια ριζοσπαστική έκφραση. Για παράδειγμα, το 1 + 6 μπορεί να αντικατασταθεί από 7 ή 2 · a 5 4 - 6 με 2 · a 4 · a 4 - 6 . Είναι πανομοιότυπα ίσα, οπότε η αντικατάσταση είναι λογική.
Όταν δεν υπάρχει 1 διαφορετικό από το a, όπου ισχύει μια ανισότητα της μορφής a n = a 1 n, τότε μια τέτοια ισότητα είναι δυνατή μόνο για a = a 1. Οι τιμές τέτοιων παραστάσεων είναι ίσες με οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών.
Χρήση ιδιοτήτων ρίζας
Οι ιδιότητες των ριζών χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση των εκφράσεων. Για να εφαρμόσουμε την ιδιότητα a · b = a · b, όπου a ≥ 0, b ≥ 0, τότε από τον παράλογο τύπο 1 + 3 · 12 μπορεί να γίνει πανομοιότυπα ίσο με 1 + 3 · 12. Ιδιοκτησία. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , όπου a ≥ 0 σημαίνει ότι το x 2 + 4 4 3 μπορεί να γραφτεί με τη μορφή x 2 + 4 24 .
Υπάρχουν ορισμένες αποχρώσεις κατά τη μετατροπή ριζικών εκφράσεων. Εάν υπάρχει μια έκφραση, τότε - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 δεν μπορούμε να τη γράψουμε, αφού ο τύπος a b n = a n b n χρησιμεύει μόνο για μη αρνητικά α και θετικά b. Εάν η ιδιότητα εφαρμοστεί σωστά, τότε το αποτέλεσμα θα είναι μια έκφραση της μορφής 7 4 81 4 .
Για σωστό μετασχηματισμό, χρησιμοποιούνται μετασχηματισμοί παράλογων εκφράσεων που χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των ριζών.
Εισαγωγή πολλαπλασιαστή κάτω από το πρόσημο της ρίζας
Ορισμός 3Τοποθετήστε κάτω από το σημάδι της ρίζας- σημαίνει για την αντικατάσταση της έκφρασης B · C n, και B και C είναι ορισμένοι αριθμοί ή εκφράσεις, όπου n είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος από 1, με μια ίση έκφραση που μοιάζει με B n · C n ή - B n · C n.
Αν απλοποιήσουμε την έκφραση της φόρμας 2 x 3, τότε αφού την προσθέσουμε στη ρίζα, παίρνουμε ότι 2 3 x 3. Τέτοιοι μετασχηματισμοί είναι δυνατοί μόνο μετά από λεπτομερή μελέτη των κανόνων για την εισαγωγή ενός πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
Αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας
Αν υπάρχει έκφραση της μορφής B n · C n , τότε ανάγεται στη μορφή B · C n , όπου υπάρχουν περιττοί n , που παίρνουν τη μορφή B · C n με άρτιους n , B και C να είναι κάποιοι αριθμοί και εκφράσεις.
Δηλαδή, αν πάρουμε μια παράλογη έκφραση της μορφής 2 3 x 3, αφαιρέσουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα, τότε παίρνουμε την έκφραση 2 x 3. Ή το x + 1 2 · 7 θα έχει ως αποτέλεσμα μια έκφραση της μορφής x + 1 · 7, η οποία έχει άλλη σημείωση της μορφής x + 1 · 7.
Η αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα είναι απαραίτητη για την απλοποίηση της έκφρασης και τη γρήγορη μετατροπή της.
Μετατροπή κλασμάτων που περιέχουν ρίζες
Μια παράλογη έκφραση μπορεί να είναι είτε φυσικός αριθμός είτε κλάσμα. Για να μετατρέψετε κλασματικές εκφράσεις, δώστε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή τους. Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, τότε ο αριθμητής θα πάρει τη μορφή 5 x 4 και, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ριζών, βρίσκουμε ότι ο παρονομαστής θα γίνει x 2 + 5 6. Το αρχικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως 5 x 4 x 2 + 5 6.
Είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να αλλάξετε το πρόσημο μόνο του αριθμητή ή μόνο του παρονομαστή. Το καταλαβαίνουμε
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Η μείωση ενός κλάσματος χρησιμοποιείται συχνότερα κατά την απλοποίηση. Το καταλαβαίνουμε
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 μείωση κατά x + 4 3 - 1 . Παίρνουμε την έκφραση 3 x x + 4 3 - 1 2.
Πριν από τη μείωση, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν μετασχηματισμοί που απλοποιούν την έκφραση και καθιστούν δυνατό τον παράγοντα παράγοντα μιας σύνθετης έκφρασης. Οι συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται συχνότερα.
Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής 2 · x - y x + y, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε νέες μεταβλητές u = x και v = x, τότε η δοθείσα παράσταση θα αλλάξει μορφή και θα γίνει 2 · u 2 - v 2 u + v. Ο αριθμητής πρέπει να αποσυντεθεί σε πολυώνυμα σύμφωνα με τον τύπο, τότε το παίρνουμε
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Αφού κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση, φτάνουμε στη μορφή 2 x - y, που είναι ίση με την αρχική.
Επιτρέπεται η αναγωγή σε νέο παρονομαστή, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί ο αριθμητής με έναν επιπλέον παράγοντα. Αν πάρουμε ένα κλάσμα της μορφής x 3 - 1 0, 5 · x, τότε το ανάγουμε στον παρονομαστή x. για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση 2 x, τότε παίρνουμε την παράσταση x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Η μείωση των κλασμάτων ή η εισαγωγή παρόμοιων είναι απαραίτητη μόνο στο ODZ του καθορισμένου κλάσματος. Όταν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μια παράλογη έκφραση, διαπιστώνουμε ότι απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.
Απαλλαγή από τον παραλογισμό στον παρονομαστή
Όταν μια έκφραση απαλλαγεί από τη ρίζα στον παρονομαστή με μετασχηματισμό, ονομάζεται απαλλαγή από τον παραλογισμό. Ας δούμε το παράδειγμα ενός κλάσματος της μορφής x 3 3. Αφού απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, λαμβάνουμε ένα νέο κλάσμα της μορφής 9 3 x 3.
Μετάβαση από τις ρίζες στις εξουσίες
Οι μεταβάσεις από τις ρίζες στις δυνάμεις είναι απαραίτητες για τον γρήγορο μετασχηματισμό των παράλογων εκφράσεων. Αν θεωρήσουμε την ισότητα a m n = a m n , μπορούμε να δούμε ότι η χρήση της είναι δυνατή όταν το a είναι θετικός αριθμός, το m είναι ακέραιος και ο n είναι φυσικός αριθμός. Αν θεωρήσουμε την έκφραση 5 - 2 3, τότε διαφορετικά έχουμε το δικαίωμα να τη γράψουμε ως 5 - 2 3. Αυτές οι εκφράσεις είναι ισοδύναμες.
Όταν η ρίζα έχει αρνητικό αριθμό ή αριθμό με μεταβλητές, τότε ο τύπος a m n = a m n δεν είναι πάντα εφαρμόσιμος. Εάν πρέπει να αντικαταστήσετε τέτοιες ρίζες (- 8) 3 5 και (- 16) 2 4 με δυνάμεις, τότε παίρνουμε ότι - 8 3 5 και - 16 2 4 με τον τύπο a m n = a m n δεν δουλεύουμε με αρνητικό a. Προκειμένου να αναλυθεί λεπτομερώς το θέμα των ριζοσπαστικών εκφράσεων και οι απλουστεύσεις τους, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε το άρθρο σχετικά με τη μετάβαση από τις ρίζες στις εξουσίες και πίσω. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο τύπος a m n = a m n δεν ισχύει για όλες τις εκφράσεις αυτού του τύπου. Η απαλλαγή από τον παραλογισμό συμβάλλει στην περαιτέρω απλοποίηση της έκφρασης, τη μετατροπή και τη λύση της.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Κατά τη μετατροπή αριθμητικών ριζών, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητές τους (βλέπε παράγραφο 35).
Ας δούμε πολλά παραδείγματα χρήσης των ιδιοτήτων των αριθμητικών ριζών για τους απλούστερους μετασχηματισμούς των ριζών. Σε αυτήν την περίπτωση, θα θεωρήσουμε ότι όλες οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο μη αρνητικές τιμές.
Παράδειγμα 1. Εξάγετε τη ρίζα του προϊόντος Διάλυμα. Εφαρμόζοντας την ιδιότητα 1°, παίρνουμε:
Παράδειγμα 2. Αφαιρέστε τον πολλαπλασιαστή κάτω από το σύμβολο της ρίζας
Λύση.
Αυτός ο μετασχηματισμός ονομάζεται αφαίρεση του παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Ο σκοπός του μετασχηματισμού είναι να απλοποιήσει τη ριζική έκφραση.
Παράδειγμα 3: Απλοποίηση
Λύση. Με την ιδιότητα 3° έχουμε.Συνήθως προσπαθούν να απλοποιήσουν τη ριζική έκφραση, για την οποία βγάζουν τους παράγοντες από το πρόσημο της ρίζας. Εχουμε
Παράδειγμα 4: Απλοποίηση
Λύση. Ας μετασχηματίσουμε την έκφραση εισάγοντας έναν παράγοντα κάτω από το πρόσημο της ρίζας: Με την ιδιότητα 4° έχουμε
Παράδειγμα 5: Απλοποίηση
Λύση. Με την ιδιότητα των 5°, έχουμε το δικαίωμα να διαιρέσουμε τον εκθέτη της ρίζας και τον εκθέτη της ριζικής έκφρασης με τον ίδιο φυσικό αριθμό. Εάν στο υπό εξέταση παράδειγμα διαιρέσουμε τους υποδεικνυόμενους δείκτες με 3, παίρνουμε
Παράδειγμα 6. Απλοποιήστε τις εκφράσεις: α)
Λύση, α) Με την ιδιότητα 1° βρίσκουμε ότι για να πολλαπλασιάσουμε ρίζες του ίδιου βαθμού, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις ριζικές εκφράσεις και να εξαγάγουμε τη ρίζα του ίδιου βαθμού από το αποτέλεσμα που προκύπτει. Που σημαίνει,
β) Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μειώσουμε τις ρίζες σε έναν δείκτη. Σύμφωνα με την ιδιότητα των 5°, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον εκθέτη της ρίζας και τον εκθέτη της ριζικής έκφρασης με τον ίδιο φυσικό αριθμό. Επομένως, Επόμενο έχουμε Και τώρα στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαιρώντας τους δείκτες της ρίζας και τον βαθμό της ριζικής έκφρασης με 3, παίρνουμε