Μωσαϊκό Penrose και χρυσή τομή. Μωσαϊκό Penrose, ή πώς οι αρχιτέκτονες της Κεντρικής Ασίας περίμεναν την ανακάλυψη των Ευρωπαίων επιστημόνων κατά πέντε αιώνες Διάφορα. Μωσαϊκά στη φύση

διαφάνεια 1

Και αρχαία ισλαμικά πρότυπα

Μωσαϊκό Penrose

Η παρουσίαση έγινε από μια μαθήτρια της 7Β τάξης, Κεντρικό Εκπαιδευτικό Κέντρο Νο. 1679, Marina Zherder. Υπεύθυνοι έργου Sinyukova E.V. και Zherder V.M.

διαφάνεια 2

Τι είναι το μωσαϊκό

Το μωσαϊκό είναι ένα σχέδιο που συναρμολογείται από πλακάκια διαφορετικές μορφές. Μπορούν να στρώσουν ένα ατελείωτο αεροπλάνο χωρίς κενά.

Διαφάνεια 3

Ένα περιοδικό μωσαϊκό είναι ένα μωσαϊκό του οποίου το σχέδιο επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα. Ένα μη περιοδικό μωσαϊκό είναι ένα μωσαϊκό του οποίου το σχέδιο μπορεί να επαναλαμβάνεται σε ακανόνιστα διαστήματα.

διαφάνεια 4

Μωσαϊκά στη φύση

Υπάρχουν επίσης πολλά παραδείγματα περιοδικών ψηφιδωτών στη φύση. Κυρίως κρύσταλλα στερεά- για παράδειγμα: Κρύσταλλο αλατιού Κρύσταλλο διαμαντιού Κρύσταλλο γραφίτη Κρύσταλλο γραφενίου

διαφάνεια 5

Μωσαϊκά στους πίνακες του Escher

Τα μωσαϊκά είναι ένα σημαντικό θέμα στην τέχνη. Ο καλλιτέχνης M.C. Escher είναι γνωστός για τα ψηφιδωτά και τους μη πραγματικούς πίνακές του.

Διαφάνεια 6

Τι είναι το μωσαϊκό Penrose;

Το 1973, ο Άγγλος μαθηματικός Roger Penrose δημιούργησε ένα ειδικό μωσαϊκό του γεωμετρικά σχήματα, που έγινε γνωστό ως το μωσαϊκό Penrose.

Διαφάνεια 7

Πολυγωνικές ψηφιδωτές πλάκες

Το μωσαϊκό Penrose είναι ένα μωσαϊκό συναρμολογημένο από πολυγωνικά πλακίδια των δύο ορισμένες μορφές.

Διαφάνεια 8

Συμμετρία μωσαϊκού

Η εικόνα που προκύπτει μοιάζει σαν να είναι κάποιο είδος «ρυθμικού» στολίδι - μια εικόνα με μεταφραστική συμμετρία.

Διαφάνεια 9

Συμμετρία

Μεταφραστική συμμετρία σημαίνει ότι μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο κομμάτι σε ένα μοτίβο που μπορεί να «αντιγραφεί» σε ένα επίπεδο και στη συνέχεια να συνδυάσετε αυτά τα «διπλότυπα» μεταξύ τους με παράλληλη μεταφορά.

Διαφάνεια 10

Δομή Ψηφιδωτών

Ωστόσο, αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι το μοτίβο Penrose δεν έχει τέτοιες επαναλαμβανόμενες δομές - είναι μη περιοδικό. Αλλά δεν είναι θέμα οφθαλμαπάτη, αλλά ότι το μωσαϊκό δεν είναι χαοτικό: έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης.

Διαφάνεια 11

Ελάχιστη γωνία

Αυτό σημαίνει ότι η εικόνα μπορεί να περιστραφεί κατά μια ελάχιστη γωνία ίση με 360 / n μοίρες, όπου n είναι η τάξη συμμετρίας, σε αυτή η υπόθεση n = 5. Επομένως, η γωνία περιστροφής, που δεν αλλάζει τίποτα, πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των 360 / 5 = 72 μοιρών.

Διαφάνεια 12

Ασυνήθιστο φαινόμενο

Το 1984, ο Dan Shechtman, ενώ μελετούσε τη δομή ενός κράματος αλουμινίου-μαγνήσιου, ανακάλυψε ότι ατομικό πλέγμαΑυτή η ουσία παρουσιάζει ένα φυσικό φαινόμενο ασυνήθιστο για τους κρυστάλλους.

διαφάνεια 13

«Λάθος» κρύσταλλα

Δείγμα ουσίας που υποβάλλεται σε ειδική μέθοδοςταχεία ψύξη, σκόρπισε τη δέσμη ηλεκτρονίων έτσι ώστε να σχηματιστεί ένα έντονο μοτίβο περίθλασης στη φωτογραφική πλάκα με συμμετρία πέμπτης τάξης στη διάταξη των μέγιστων περίθλασης (συμμετρία του εικοσάεδρου).

Διαφάνεια 14

Οιονεί κρύσταλλοι

Οι επιστήμονες συμφώνησαν ότι αυτή η επιλογή θα ονομαζόταν οιονεί κρύσταλλοι - κάτι σαν ειδική κατάστασηουσίες. Και ένα μαθηματικό μοντέλο για αυτό είναι από καιρό έτοιμο - το μωσαϊκό Penrose.

διαφάνεια 15

Το 2007, οι φυσικοί Peter Lu και Paul Steinhardt δημοσίευσαν ένα άρθρο στο περιοδικό Science on Penrose tilings.

Έκδοση 2007

Διαφάνεια 16

Ενδιαφέρον για οιονεί κρυστάλλους

Φαίνεται ότι υπάρχει μικρή έκπληξη εδώ: η ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων προσέλκυσε έντονο ενδιαφέρον για αυτό το θέμα, το οποίο οδήγησε στην εμφάνιση ενός σωρού δημοσιεύσεων στον επιστημονικό τύπο.

Διαφάνεια 17

Μοτίβα στην Ασία

Ωστόσο, το αποκορύφωμα του έργου είναι ότι είναι αφιερωμένο μακριά από σύγχρονη επιστήμη. Και γενικά - όχι επιστήμη. Ο Peter Lu επέστησε την προσοχή στα σχέδια που καλύπτουν τα τζαμιά στην Ασία, που χτίστηκαν τον Μεσαίωνα.

Διαφάνεια 18

Υπάρχουν δύο στυλ στην ισλαμική διακόσμηση: Το Girih (Περσικά) είναι ένα σύνθετο γεωμετρικό στολίδι που αποτελείται από γραμμές που σχηματίζονται σε ορθογώνιες και πολυγωνικές φιγούρες. Στις περισσότερες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται για τον εξωτερικό σχεδιασμό τζαμιών και βιβλίων σε μεγάλη έκδοση.

Στυλ. Girikh

Διαφάνεια 19

Islimi (pers.) – ένα είδος στολιδιού που χτίζεται πάνω στο συνδυασμό ζιβάγκου και σπείρας. Ενσωματώνει σε στυλιζαρισμένη ή νατουραλιστική μορφή την ιδέα ενός συνεχώς αναπτυσσόμενου ανθοφόρου φυλλοβόλου βλαστού. Είναι πιο διαδεδομένο σε ρούχα, βιβλία, εσωτερική διακόσμησητζαμιά, πιάτα.

Διαφάνεια 20

Μωσαϊκά του Ουζμπεκιστάν

Καθώς ταξίδευε στο Ουζμπεκιστάν, ο Λου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα ψηφιδωτά μοτίβα που κοσμούσαν την τοπική μεσαιωνική αρχιτεκτονική και παρατήρησε κάτι οικείο σε αυτά.

Εξώφυλλο Κορανίου 1306-1315 και σχέδιο των γεωμετρικών θραυσμάτων στα οποία βασίζεται το σχέδιο.

Διαφάνεια 21

Μωσαϊκά από διάφορες χώρες

Επιστρέφοντας στο Χάρβαρντ, ο επιστήμονας άρχισε να εξετάζει παρόμοια μοτίβα σε ψηφιδωτά στους τοίχους μεσαιωνικών κτιρίων στο Αφγανιστάν, το Ιράν, το Ιράκ και την Τουρκία.

διαφάνεια 23

Σχέδια Girikh

Διαφάνεια 24

Παραγγελία κατασκευής

Για να δημιουργήσουν αυτά τα μοτίβα, χρησιμοποίησαν όχι απλά, τυχαία επινοημένα περιγράμματα, αλλά φιγούρες που ήταν διατεταγμένες με μια συγκεκριμένη σειρά. Τα αρχαία σχέδια αποδείχτηκαν ακριβείς κατασκευές ψηφιδωτών Penrose!

Διαφάνεια 25

Στην ισλαμική παράδοση, υπήρχε αυστηρή απαγόρευση στην απεικόνιση ανθρώπων και ζώων, έτσι τα γεωμετρικά σχέδια έγιναν πολύ δημοφιλή στο σχεδιασμό των κτιρίων.

Ισλαμικές παραδόσεις

διαφάνεια 26

Το μυστικό των αρχαίων δασκάλων

Οι μεσαιωνικοί δάσκαλοι το έκαναν ποικίλο. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιο ήταν το μυστικό της «στρατηγικής» τους. Έτσι, το μυστικό αποδεικνύεται στη χρήση ειδικών μωσαϊκών που μπορούν, ενώ παραμένουν συμμετρικά, να γεμίζουν το αεροπλάνο χωρίς να επαναλαμβάνονται.

Κρίμα! Οι άνθρωποι του Μεσαίωνα ξεπέρασαν τους σύγχρονους επιστήμονες. Νομίζαμε ότι τα προχωρημένα μαθηματικά και η κρυσταλλογραφία ήταν τα επιτεύγματά μας. Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει τίποτα τέτοιο - όλα αυτά συνέβησαν πριν από μισή χίλια χρόνια. Επιπλέον, η σύγχρονη επιστήμη φαίνεται να έχει ξεπεραστεί όχι από τους καλύτερους μαθηματικούς, αλλά από απλούς καλλιτέχνες. Λοιπόν, ίσως όχι πολύ απλό... Αλλά ακόμα!

Όχι, αλήθεια, οι σύγχρονοι μαθηματικοί κάνουν την πλήρη ανοησία! Είτε διπλώνουν χαρτί 12 φορές, μετά πλέκουν με βελονάκι τις εξισώσεις Lorentz, είτε στρίβουν μπάλες σε ντόνατς. Γενικά, οι μόνοι σοβαροί άνθρωποι που έχουν απομείνει είναι ο Πέρελμαν και ο Οκούνοφ - όλη η ελπίδα βρίσκεται σε αυτούς...

Αλλά είναι ενδιαφέρον ότι οι άνθρωποι έκαναν μαθηματικά επιτεύγματα στην αρχαιότητα, μερικές φορές χωρίς να τους δίνουν ιδιαίτερη σημασία. Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι οι επιστήμονες επαναλαμβάνουν τις ίδιες «αρχαίες» ανακαλύψεις σήμερα, χωρίς καθόλου να υποψιάζονται ότι εφευρίσκουν κάτι που υπάρχει χωρίς τις εικασίες τους εδώ και αιώνες.

Για παράδειγμα, ο Άγγλος μαθηματικός Roger Penrose σκέφτηκε κάτι τέτοιο το 1973 - ένα ειδικό μωσαϊκό γεωμετρικών σχημάτων. Ως εκ τούτου, έγινε γνωστό ως το μωσαϊκό Penrose. Τι είναι τόσο συγκεκριμένο σε αυτό;

Μωσαϊκό Penrose σύμφωνα με τον δημιουργό του. Συναρμολογείται από δύο τύπους ρόμβων, ο ένας με γωνία 72 μοιρών, ο άλλος με γωνία 36 μοίρες. Η εικόνα που παράγει είναι συμμετρική, αλλά όχι περιοδική (εικόνα από en.wikipedia.org).

Το μωσαϊκό Penrose είναι ένα σχέδιο συναρμολογημένο από πολυγωνικά πλακίδια δύο συγκεκριμένων σχημάτων (ελαφρώς διαφορετικοί ρόμβοι). Μπορούν να στρώσουν ένα ατελείωτο αεροπλάνο χωρίς κενά.

Η εικόνα που προκύπτει μοιάζει σαν να είναι κάποιο είδος «ρυθμικού» στολίδι - μια εικόνα με μεταφραστική συμμετρία. Αυτός ο τύπος συμμετρίας σημαίνει ότι μπορείτε να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο κομμάτι σε ένα μοτίβο που μπορεί να "αντιγραφεί" σε ένα επίπεδο και στη συνέχεια να συνδυάσετε αυτά τα "διπλότυπα" μεταξύ τους με παράλληλη μεταφορά (με άλλα λόγια, χωρίς περιστροφή και χωρίς μεγέθυνση).

Ωστόσο, αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι το μοτίβο Penrose δεν έχει τέτοιες επαναλαμβανόμενες δομές - είναι απεριοδικό. Αλλά το θέμα δεν είναι μια οπτική ψευδαίσθηση, αλλά το γεγονός ότι το μωσαϊκό δεν είναι χαοτικό: έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης.

Παραδείγματα οιονείκυσταλλων είναι ένα κράμα AlMnPd και Al 60 Li 30 Cu 10 (εικονογράφηση Paul J. Steinhardt).

Αυτό σημαίνει ότι η εικόνα μπορεί να περιστραφεί σε ελάχιστη γωνία 360/ nβαθμούς, όπου n– σειρά συμμετρίας, σε αυτή την περίπτωση n= 5. Επομένως, η γωνία περιστροφής, που δεν αλλάζει τίποτα, πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των 360 / 5 = 72 μοιρών.

Για περίπου μια δεκαετία, η εφεύρεση του Penrose δεν θεωρούνταν τίποτα περισσότερο από μια χαριτωμένη μαθηματική αφαίρεση. Ωστόσο, το 1984, ο Dan Shechtman, καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας του Ισραήλ (Technion), ενώ μελετούσε τη δομή ενός κράματος αλουμινίου-μαγνήσιου, ανακάλυψε ότι η περίθλαση συμβαίνει στο ατομικό πλέγμα αυτής της ουσίας.

Πώς μπορούμε να είμαστε εδώ; Το ερώτημα δεν είναι εύκολο, έτσι οι επιστήμονες συμφώνησαν ότι αυτή η επιλογή θα ονομάζεται οιονεί κρύσταλλοι - κάτι σαν μια ειδική κατάσταση της ύλης.

Εδώ παρουσιάζεται ένα από τα παραδείγματα τοποθέτησης πλακιδίων σε αραβικό χειρόγραφο του 15ου αιώνα. Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν χρώματα για να τονίσουν τις επαναλαμβανόμενες περιοχές. Όλα τα γεωμετρικά μοτίβα των μεσαιωνικών Αράβων δασκάλων που μελετήθηκαν από τους Lu και Steinhardt χτίζονται με βάση αυτά τα πέντε στοιχεία. Όπως μπορείτε να δείτε, τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία δεν ευθυγραμμίζονται απαραίτητα με τα όρια των πλακιδίων (εικονογράφηση του Peter J. Lu).

Λοιπόν, η ομορφιά της ανακάλυψης, όπως μαντέψατε, είναι ότι ένα μαθηματικό μοντέλο για αυτήν είναι από καιρό έτοιμο. Και, όπως πιθανότατα καταλάβατε, αυτό είναι ένα μωσαϊκό Penrose. Αυτός όμως δεν είναι καθόλου δέκα ετών, αλλά πολύ μεγαλύτερος. Αυτό έγινε γνωστό μόνο στις μέρες μας, στην αυγή του 21ου αιώνα, και αυτό το μοντέλο αποδείχθηκε πολύ παλαιότερο από ό,τι μπορούσε κανείς να φανταστεί.

Το 2007, ο Peter J. Lu, ένας φυσικός από το Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, μαζί με έναν άλλο φυσικό, τον Paul J. Steinhardt, αλλά από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, δημοσίευσαν ένα άρθρο στο Science για τα μωσαϊκά Penrose (Ο Λου πρέπει να είναι γνωστός στους τακτικούς αναγνώστες του Membrane - έχουμε μίλησε ήδη για τις ανακαλύψεις του στην κοπή με διαμάντια αρχαίων τσεκούρια και πολύπλοκων αρχαίων μηχανών). Φαίνεται ότι υπάρχουν λίγα απροσδόκητα εδώ: η ανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων προσέλκυσε έντονο ενδιαφέρον για αυτό το θέμα, το οποίο οδήγησε στην εμφάνιση μιας δέσμης δημοσιεύσεων στον επιστημονικό τύπο.

Ωστόσο, το αποκορύφωμα της εργασίας είναι ότι δεν είναι αφιερωμένο στη σύγχρονη επιστήμη. Και γενικά - όχι επιστήμη.

Τα «οιονεί κρυστάλλινα» μοτίβα έχουν βρει τη θέση τους όχι μόνο στην αρχιτεκτονική. Εδώ βλέπετε το εξώφυλλο του Κορανίου από το 1306-1315 και ένα σχέδιο των γεωμετρικών θραυσμάτων στα οποία βασίζεται το σχέδιο. Αυτό και τα ακόλουθα παραδείγματα δεν αντιστοιχούν σε πλέγματα Penrose, αλλά έχουν περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης (εικονογράφηση Peter J. Lu).

Ο Λου επέστησε την προσοχή στα σχέδια που καλύπτουν τα τζαμιά στην Ασία, που χτίστηκαν τον Μεσαίωνα. Αυτά τα εύκολα αναγνωρίσιμα σχέδια είναι κατασκευασμένα από ψηφιδωτά πλακάκια. Ονομάζονται girihi (από την αραβική λέξη που σημαίνει «κόμπος») και είναι ένα γεωμετρικό σχέδιο χαρακτηριστικό της ισλαμικής τέχνης και αποτελείται από πολυγωνικά σχήματα.

Για πολύ καιρό πίστευαν ότι αυτά τα σχέδια δημιουργήθηκαν χρησιμοποιώντας χάρακα και πυξίδα. Ωστόσο, πριν από μερικά χρόνια, ενώ ταξίδευε στο Ουζμπεκιστάν, ο Λου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα ψηφιδωτά μοτίβα που κοσμούσαν την τοπική μεσαιωνική αρχιτεκτονική και παρατήρησε κάτι οικείο σε αυτά.

Διαπίστωσε ότι αυτά τα σχέδια ήταν σχεδόν πανομοιότυπα και ήταν σε θέση να αναγνωρίσει τα βασικά στοιχεία των girikh που χρησιμοποιούνται σε όλα τα γεωμετρικά σχέδια. Επιπλέον, βρήκε σχέδια αυτών των εικόνων σε αρχαία χειρόγραφα, τα οποία οι αρχαίοι καλλιτέχνες χρησιμοποιούσαν ως ένα είδος φύλλου για τη διακόσμηση των τοίχων.

Αλλά όλα αυτά, αποδεικνύεται, δεν είναι τόσο σημαντικά. Για να δημιουργήσουν αυτά τα μοτίβα, χρησιμοποίησαν όχι απλά, τυχαία επινοημένα περιγράμματα, αλλά φιγούρες που ήταν διατεταγμένες με μια συγκεκριμένη σειρά. Και αυτό δεν προκαλεί ιδιαίτερη έκπληξη.

Αυτό που είναι πραγματικά ενδιαφέρον είναι ότι, έχοντας ξεχάσει τέτοια σχέδια, οι άνθρωποι τα ξανασυνάντησαν αργότερα. Ναι, ναι, τα αρχαία μοτίβα δεν είναι τίποτα άλλο από αυτά που αιώνες αργότερα θα ονομαστούν πλέγματα Penrose και θα βρεθούν στη δομή των οιονεί κρυστάλλων!

Αυτές οι εικόνες τονίζουν παρόμοιες περιοχές, αν και προέρχονται από πολύ διαφορετικά τζαμιά (εικονογράφηση Peter J. Lu).

Στην ισλαμική παράδοση, υπήρχε αυστηρή απαγόρευση στην απεικόνιση ανθρώπων και ζώων, έτσι τα γεωμετρικά σχέδια έγιναν πολύ δημοφιλή στο σχεδιασμό των κτιρίων. Οι μεσαιωνικοί δάσκαλοι κατάφεραν με κάποιο τρόπο να το κάνουν ποικιλόμορφο. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιο ήταν το μυστικό της «στρατηγικής» τους. Έτσι, το μυστικό αποδεικνύεται στη χρήση ειδικών μωσαϊκών που μπορούν, ενώ παραμένουν συμμετρικά, να γεμίζουν το αεροπλάνο χωρίς να επαναλαμβάνονται.

Ένα άλλο «κόλπο» αυτών των εικόνων είναι ότι, «αντιγράφοντας» τέτοια σχέδια σε διάφορους ναούς σύμφωνα με σχέδια, οι καλλιτέχνες θα έπρεπε αναπόφευκτα να επιτρέψουν παραμορφώσεις. Αλλά οι παραβιάσεις αυτής της φύσης είναι ελάχιστες. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μόνο από το γεγονός ότι δεν υπήρχε νόημα σε σχέδια μεγάλης κλίμακας: το κύριο πράγμα ήταν η αρχή με την οποία έπρεπε να κατασκευαστεί η εικόνα.

Για τη συναρμολόγηση των girikh χρησιμοποιήθηκαν πέντε είδη πλακιδίων (δεκα- και πενταγωνικοί ρόμβοι και «πεταλούδες»), τα οποία συναρμολογήθηκαν σε ένα μωσαϊκό δίπλα στο άλλο χωρίς ελεύθερο χώρο μεταξύ τους. Τα μωσαϊκά που δημιουργήθηκαν από αυτά θα μπορούσαν να έχουν είτε περιστροφική και μεταφορική συμμετρία ταυτόχρονα, είτε μόνο περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης (δηλαδή, ήταν μωσαϊκά Penrose).

Θραύσμα από το στολίδι του ιρανικού μαυσωλείου του 1304. Στα δεξιά είναι μια ανακατασκευή των girikhs (εικονογράφηση Peter J. Lu).

Οι ερευνητές θεώρησαν το ιερό του Ιμάμ Darb-i στην ιρανική πόλη Ισφαχάν, που χρονολογείται από το 1453, ως παράδειγμα σχεδόν ιδανικής οιονεί κρυσταλλικής δομής.

Αυτή η ανακάλυψη εντυπωσίασε πολλούς ανθρώπους. Αμερικανική Ένωση για την Προώθηση της Επιστήμης (

Περί ύπαρξης Μωσαϊκά PenroseΔεν γνωρίζουν όλοι, πόσο μάλλον ότι αυτό το καταπληκτικό μωσαϊκό μερικές φορές είναι κυριολεκτικά κάτω από τα πόδια.
Όταν ο σύζυγός μου και εγώ επισκεπτόμαστε την οικογένεια του γιου μας στη Φινλανδία, φυσικά, περπατάμε στη ζεστή και περιποιημένη πόλη του Ελσίνκι. Το πρόγραμμα της διαμονής μας περιλαμβάνει απαραιτήτως επίσκεψη στο Ακαδημαϊκό Βιβλιοπωλείο Akateeminen Kirjakauppa, που βρίσκεται στο κέντρο της οδού Keskuskatu, που στα ρωσικά σημαίνει Κεντρική οδός. Μια επίσκεψη σε αυτό το βιβλιοπωλείο μας δίνει αισθητική απόλαυση και, παρόλο που τα βιβλία είναι ακριβά στη Φινλανδία, θέλουμε πάντα να αγοράσουμε τουλάχιστον ένα μικρό, όμορφα εικονογραφημένο βιβλίο για λουλούδια και φυτά.
Μια μέρα, ο γιος μου, μαθηματικός στο επάγγελμα, μας συμβούλεψε όταν περπατούσαμε σε αυτόν τον πεζόδρομο να σκεφτούμε προσεκτικά στρώσιμο της επιφάνειας με πλακάκια. Εξήγησε τι ήταν Μωσαϊκό Penrose.

Όλοι έχουμε δει πλακάκια, φυσικά. Τις περισσότερες φορές συμβαίνει τετράγωνο σχήμα. Τα πλακάκια είναι απλωμένα σε διάφορα όμορφα σχέδια.

Μερικές φορές χρησιμοποιούνται πλακάκια διαφορετικών σχημάτων και μεγεθών, αλλά γενική μορφήΤο κάλυμμα της επιφάνειας είναι ακόμα τετράγωνο.

Μερικές φορές τα πλακάκια τοποθετούνται με όφετ ή χρησιμοποιούνται μη τετράγωνα πλακίδια

Αλλά όλα αυτά τα μοτίβα εξακολουθούν να αποτελούνται από επαναλαμβανόμενα μέρη

Στην οδό Keskuskatu στο Ελσίνκι, τα πλακάκια είναι τοποθετημένα έτσι ώστε το μοτίβο δεν επαναλαμβάνεται.

Μέχρι το 1964, κανείς δεν πίστευε ότι ήταν δυνατό να καταλήξει σε ένα τέτοιο σύνολο πλακιδίων που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να στρώσουν ένα αεροπλάνο χωρίς να επαναληφθεί το σχέδιο.
Το 1964, ο μαθηματικός Robert Berger σκέφτηκε ένα τέτοιο σύνολο. Δυστυχώς, υπήρχαν 20.426 πλακάκια σε αυτό το σετ διαφορετικών σχημάτων και μεγεθών.
Σχεδόν αμέσως, κατάλαβε πώς να μειώσει τον αριθμό των διαφορετικών πλακιδίων σε ένα σετ σε 104 τύπους.
Το 1968, ο διάσημος μαθηματικός Donald Knuth μείωσε τον αριθμό των διαφορετικών πλακιδίων σε 92.

Το 1971, ο Raphael Robinson βρήκε ένα σύνολο μόλις έξι πλακιδίων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κάλυψη μιας επιφάνειας χωρίς επανάληψη. Αλλά μάλλον δεν θα θέλετε να τα χρησιμοποιήσετε στο μπάνιο σας.

Το 1973, ο Άγγλος μαθηματικός Roger Penrose σκέφτηκε ένα σετ έξι όμορφων πλακιδίων. Εάν καλύψετε ακόμη και ένα πολύ μεγάλο πάτωμα με αυτά τα πλακάκια, το σχέδιο δεν θα επαναληφθεί.

Πραγματική φήμη ήρθε στον Roger Penrose όταν ανακάλυψε ότι μόνο δύο είδη πλακιδίων ήταν αρκετά για να δημιουργήσουν ένα μοναδικό μοτίβο. Αυτά τα πλακάκια είναι γεωμετρικά σχήματα - ρόμβοι, ελαφρώς διαφορετικά μεταξύ τους.
Αυτή είναι μια φωτογραφία του μαθηματικού Roger Penrose σε μια επιφάνεια καλυμμένη με ένα μη επαναλαμβανόμενο σχέδιο.
Τοποθετώντας πλακάκια ένα αεροπλάνο μη επαναλαμβανόμενο στολίδιαπό κεραμίδια λέγεται τώρα Μωσαϊκό Penrose.

Το πλακίδιο που προκύπτει μοιάζει σαν το μωσαϊκό να έχει μια ορισμένη ιδιότητα συμμετρίας, όταν ένα μέρος του γεωμετρικού σχεδίου μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα χωρίς να περιστρέφεται και τα μέρη μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους.

Στην πραγματικότητα, μετά από προσεκτική εξέταση του μωσαϊκού Penrose, θα παρατηρήσετε ότι το σχέδιο δεν έχει περιοδικότητα, αλλά ταυτόχρονα το σχέδιο δεν είναι χαοτικό. Η συμμετρία του γεωμετρικού σχεδίου Penrose ονομάζεται περιστροφική, και αυστηρά μαθηματικά, πέμπτη τάξη.

Για περίπου δέκα χρόνια, η μαθηματική εφεύρεση του Roger Penrose δεν είχε εφαρμοσμένη τιμήκαι ήταν γνωστό κυρίως στους μαθηματικούς. Αλλά ο Ισραηλινός καθηγητής Dan Shechtman το 1984, ο οποίος μελετά τη φυσική στερεάς κατάστασης, ανακάλυψε την περίθλαση αυτής ακριβώς της πέμπτης τάξης στο ατομικό πλέγμα ενός κράματος αλουμινίου-μαγνήσιου. Όταν συζητούσαν αυτό το φαινόμενο, οι επιστήμονες έλαβαν το ήδη γνωστό πλακάκι Penrose ως μαθηματικό μοντέλο.

Αργότερα αποδείχθηκε ότι η κάλυψη της επιφάνειας με γεωμετρικά σχήματα χωρίς κενά ή αλληλοεπικάλυψη χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην ισλαμική τέχνη ήδη από τον Μεσαίωνα. Στην Ασία, τα τζαμιά καλύφθηκαν με ψηφιδωτά γεωμετρικά σχέδια. Σε αρχαία χειρόγραφα, βρέθηκαν διαγράμματα που δείχνουν ότι τα σχέδια που διακοσμούν τους τοίχους δεν είναι χαοτικά, αλλά αποτελούνται από ορισμένα στοιχεία, τακτοποιημένα με αυστηρή σειρά. Δεδομένου ότι η ισλαμική τέχνη απαγορευόταν να απεικονίζει ζώα ή ανθρώπους, οι αρχαίοι δάσκαλοι διακοσμούσαν τους ναούς με γεωμετρικά στολίδια.
Μια μεγάλη ποικιλία από μη επαναλαμβανόμενα στολίδια προκαλεί θαυμασμό και έκπληξη. Ο λόγος έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι χρησιμοποιήθηκαν ειδικούς τύπουςπλακάκια, πολλά από τα οποία είχαν την ίδια την περιστροφική συμμετρία της πέμπτης τάξης, και στην πραγματικότητα ήταν πλακάκια Penrose. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο ρόλος των μαθηματικών ήταν πολύ σημαντικός στη μεσαιωνική τέχνη του Ισλάμ.

Παρακάτω προσφέρω φωτογραφίες για προβολή Μωσαϊκά πλακάκια Penroseπεζόδρομος Keskuskatu στο Ελσίνκι. Η επιφάνεια καλύπτεται με πλακάκια χωρίς κενά ή επικαλύψεις, ενώ το μοτίβο δεν επαναλαμβάνεται πουθενά.

Και οι αρχαίοι
ισλαμικά πρότυπα
Ολοκληρώθηκε η παρουσίαση
μαθητής 7Β τάξης Κεντρικό Εκπαιδευτικό Κέντρο Νο 1679
Ζέρντερ Μαρίνα.
Υπεύθυνοι έργου
Sinyukova E.V. και Zherder V.M.
5klass.net

Τι είναι το μωσαϊκό

Μωσαϊκό παρουσιάζει
ένα σχέδιο
από πλακάκια
διαφορετικές μορφές. από αυτούς
μπορεί να πλακοστρωθεί
ατελείωτες
αεροπλάνο χωρίς
χώρους.

Ένα περιοδικό μωσαϊκό είναι ένα μωσαϊκό,
το μοτίβο του οποίου επαναλαμβάνεται μέσω
ίσα διαστήματα.
Ένα μη περιοδικό μωσαϊκό είναι ένα μωσαϊκό
ένα μοτίβο που μπορεί να επαναληφθεί
σε ακανόνιστα διαστήματα.

Μωσαϊκά στη φύση

Υπάρχουν επίσης πολλά παραδείγματα στη φύση
περιοδικό μωσαϊκό. Κυρίως
κρύσταλλοι στερεών - για παράδειγμα:
κρύσταλλο αλατιού
Κρύσταλλο διαμαντιού
Κρύσταλλο γραφίτη
Κρύσταλλο γραφενίου

Μωσαϊκά στους πίνακες του Escher

Τα μωσαϊκά είναι ένα σημαντικό θέμα
τέχνη. Καλλιτέχνης
Ο M.C. Escher είναι διάσημος για το δικό του
μωσαϊκά και όχι αληθινά
ΠΙΝΑΚΕΣ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣ.

Τι είναι το μωσαϊκό Penrose;

Το 1973
Αγγλικά
μαθηματικός Ρότζερ
Penrose (Ρότζερ
Penrose) δημιουργήθηκε
ειδικό μωσαϊκό
από γεωμετρικά
φιγούρες, οι οποίες
έγινε γνωστό ως το μωσαϊκό Penrose.

Πολυγωνικές ψηφιδωτές πλάκες

Το μωσαϊκό Penrose αντιπροσωπεύει
μωσαϊκό συναρμολογημένο από πολυγωνικό
πλακάκια δύο συγκεκριμένων σχημάτων.

Συμμετρία μωσαϊκού

Η εικόνα που προκύπτει μοιάζει
σαν να ήταν κάποιο είδος «ρυθμικού»
στολίδι - μια εικόνα,
κατέχοντας
αναμετάδοση
συμμετρία.

Συμμετρία

Μεταφραστική συμμετρία σημαίνει
Τι μπορείτε να επιλέξετε από το μοτίβο;
ένα συγκεκριμένο κομμάτι που μπορεί να είναι
«αντιγραφή» στο αεροπλάνο, και μετά
συνδυάστε αυτά τα «διπλότυπα» μεταξύ τους
παράλληλη μεταφορά.

10. Δομή Ψηφιδωτών

Ωστόσο, αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε
δείτε ότι δεν υπάρχουν τέτοια στο μοτίβο Penrose
επαναλαμβανόμενες δομές - αυτό
μη περιοδική. Αλλά δεν είναι θέμα
οπτική ψευδαίσθηση, αλλά ότι το μωσαϊκό
όχι χαοτική: αυτή
έχει
περιστροφικός
πέμπτη συμμετρία
Σειρά.

11. Ελάχιστη γωνία

Αυτό σημαίνει ότι
εικόνα είναι δυνατή
ανάβω
ελάχιστη γωνία,
ίσο με 360/n μοίρες,
όπου n είναι η σειρά
συμμετρία, σε αυτό
περίπτωση n = 5.
Επομένως, η γωνία
γυρίστε αυτό δεν είναι τίποτα
δεν αλλάζει, θα έπρεπε να είναι
πολλαπλάσιο του 360 / 5 = 72
βαθμούς.

12. Ασυνήθιστο φαινόμενο

Το 1984 ο Dan
Ο Shekhtman σπουδάζει
μελετώντας τη δομή
κράμα αλουμινίου-μαγνήσιου,
ανακάλυψε ότι στις
ατομικό πλέγμα
αυτή την ουσία
συμβαίνει
ασυνήθιστο για
κρυστάλλους
φυσικό φαινόμενο.

13. «Λάθος» κρύσταλλα

Δείγμα ουσίας που υποβάλλεται σε
ειδική γρήγορη μέθοδος
ψύξη, σκόρπισε τη δέσμη ηλεκτρονίων
ώστε στο φωτογραφικό πιάτο α
σαφής
περίθλαση
ζωγραφική με συμμετρία
πέμπτη σειρά σε
τοποθεσία
περίθλαση
μέγιστα
(συμμετρία του εικοσάεδρου).

14. Οικοκρύσταλλοι

Οι επιστήμονες συμφώνησαν
αυτό που δίνεται
θα υπάρχει επιλογή
ονομάστε το όνομά σας
οιονεί κρύσταλλοι -
κάτι σαν ιδιαίτερο
κατάσταση της ύλης. ΚΑΙ
έχει περάσει πολύς καιρός για αυτόν
ήταν έτοιμο
μαθηματικό μοντέλο
- Μωσαϊκό Penrose.

15.

Έκδοση 2007
Το 2007, οι φυσικοί Peter Lu και Paul
Ο Steinhardt δημοσιεύτηκε στο περιοδικό
Επιστημονικό άρθρο για τα μωσαϊκά
Penrose.

16. Ενδιαφέρον για οιονεί κρυστάλλους

Φαίνεται ότι,
απροσδόκητο εδώ
λίγο: άνοιγμα
οιονεί κρύσταλλοι
προσέλκυσε ζωντανά
ενδιαφέρον για αυτό
θέμα που οδήγησε
στην εμφάνιση ενός σωρού
δημοσιεύσεις σε
επιστημονικός τύπος.

17. Μοτίβα στην Ασία

Ωστόσο, το αποκορύφωμα της δουλειάς είναι ότι
δεν είναι αφιερωμένη στη σύγχρονη επιστήμη.
Και γενικά - όχι επιστήμη. Πήτερ Λου
παρατήρησε τα μοτίβα
καλύπτοντας τζαμιά
στην Ασία, χτισμένο
πίσω στον Μεσαίωνα.

18.

Στυλ. Girikh
Στο ισλαμικό στολίδι υπάρχουν δύο
στυλ:
Girikh (περσ.) – σύνθετος
γεωμετρικό στολίδι,
που αποτελείται από στυλιζαρισμένη
ορθογώνιο και πολυγωνικό
γραμμικά σχήματα. Στις περισσότερες περιπτώσεις
χρησιμοποιείται για εξωτερικό
σχεδιασμός τζαμιών και βιβλίων σε μεγάλα
δημοσίευση.

19. Ισλίμη

Islimi (pers.) – είδος στολιδιού,
χτισμένο πάνω στη σύνδεση του bindweed και
σπείρες. Ενσωματώνει σε στυλιζαρισμένη
ή νατουραλιστική μορφή της ιδέας
συνεχώς αναπτυσσόμενη ανθοφορία
φυλλοβόλο βλαστό. Μεγαλύτερο
έγινε ευρέως διαδεδομένο στα ρούχα,
βιβλία, εσωτερική διακόσμηση τζαμιών,
πιάτα

20. Ψηφιδωτά του Ουζμπεκιστάν

Ενώ ταξιδεύετε μέσα
Ουζμπεκιστάν, ο Λου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα μοτίβα
ψηφιδωτά που στόλιζαν το ντόπιο
μεσαιωνική αρχιτεκτονική, και παρατηρήθηκε σε
κάτι οικείο για αυτούς.
Εξώφυλλο του Κορανίου 1306-1315 και
σχέδιο
γεωμετρικός
θραύσματα
στο οποίο βασίζεται
πρότυπο.

21. Ψηφιδωτά από διάφορες χώρες

Πίσω στο
Χάρβαρντ, επιστήμονας έγινε
σκεφτείτε
παρόμοια κίνητρα σε
μωσαϊκά στους τοίχους
μεσαιονικός
κτίρια
Αφγανιστάν, Ιράν,
Ιράκ και Τουρκία.

22. Ισλαμικά ψηφιδωτά

Αυτό το παράδειγμα χρονολογείται αργότερα
περίοδος - 1622 (Ινδικό τζαμί).

23. Σχήματα Girikh

Ο Peter Lu ανακάλυψε αυτό το γεωμετρικό
τα κυκλώματα girikh είναι σχεδόν πανομοιότυπα, και
μπόρεσε να εντοπίσει τα κύρια στοιχεία
χρησιμοποιείται σε όλα
γεωμετρικά σχέδια. Εκτός,
βρήκε σχέδια αυτών των εικόνων
αρχαία χειρόγραφα, τα οποία
χρησιμοποιούσαν αρχαίοι καλλιτέχνες
ως ένα είδος cheat sheet on
διακόσμηση τοίχου.

24. Παραγγελία κατασκευής

Για να δημιουργήσουμε αυτά τα μοτίβα χρησιμοποιήσαμε το αρ
απλά, τυχαία επινοημένα περιγράμματα,
και οι φιγούρες που βρίσκονταν σε
με μια ορισμένη σειρά. Αρχαία μοτίβα
αποδείχθηκαν ακριβείς κατασκευές ψηφιδωτών
Penrose!

25.

Ισλαμικές παραδόσεις
Στην ισλαμική παράδοση
υπήρχε μια αυστηρή
απαγόρευση εικόνας
ανθρώπους και ζώα,
επομένως στον σχεδιασμό
μεγάλα κτίρια
απέκτησε δημοτικότητα
γεωμετρικός
στολίδι.

26. Το μυστικό των αρχαίων δασκάλων

Μεσαιωνικοί δάσκαλοι
το έκανε
ποικίλος. Αλλά τί
ήταν το μυστικό τους
"στρατηγικές" - κανένας
γνώριζε. Να λοιπόν το μυστικό πώς
φορές αποδεικνύεται ότι είναι
χρήση
ειδικά ψηφιδωτά,
ποιος μπορεί, παραμένοντας
συμμετρικός,
γεμίστε το αεροπλάνο, όχι
επαναλαμβάνεται.

27. "εστίαση"

Άλλο ένα «κόλπο» από αυτά
Το «κόλπο» των εικόνων είναι ότι,
«αντιγραφή» τέτοιων σχημάτων σε
διάφοροι ναοί τριγύρω
σχέδια, καλλιτέχνες
θα έπρεπε αναπόφευκτα
επιτρέπουν στρεβλώσεις. Αλλά
παραβιάσεις αυτού
ο χαρακτήρας είναι ελάχιστος.
Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μόνο με
ότι οι κύριοι δεν είναι
χρησιμοποιήθηκαν σχέδια
κατασκευή μωσαϊκού.

28. Πλακάκια

Για συναρμολόγηση βαρών
χρησιμοποιημένα πλακάκια των πέντε
είδη (δέκα και
πενταγωνικούς ρόμβους και
«πεταλούδες»), οι οποίες
κατασκευάστηκαν ψηφιδωτά,
γειτονικά το ένα με το άλλο
χωρίς δωρεάν
διαστήματα μεταξύ
τους.

29. Συμμετρία ψηφιδωτών

Μωσαϊκά που δημιουργήθηκαν από αυτά,
θα μπορούσε αμέσως
περιστροφική και
αναμετάδοση
συμμετρία, αυτό είναι όλο
περιστροφική συμμετρία
πέμπτη σειρά (δηλαδή
ήταν ψηφιδωτά
Penrose).

30. Girihi

Θραύσμα από το στολίδι του ιρανικού μαυσωλείου
1304 χρόνια. Δεξιά – ανακατασκευή γηρύκων

31. Χρονολογία εμφάνισης ψηφιδωτών

Έχοντας ερευνήσει εκατοντάδες
ημερομηνία
εμφάνιση
φωτογραφίες
μωσαϊκά
μεσαιονικός
μουσουλμάνος
θελγήτρα,
Ο Λου και ο Στάινχαρντ μπόρεσαν
ημερομηνία εμφάνισης
παρόμοια τάση XIII
αιώνας. Σταδιακά αυτό
τρόπος να τα πάρεις όλα
μεγάλη δημοτικότητα και
XV αιώνα έγινε ευρέως
διαδεδομένη.

32. Κεραμικά πλακίδια

Ραντεβού περίπου
συμπίπτει με την περίοδο
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ
διακόσμηση
παλάτια, τζαμιά,
διάφορα σημαντικά
τζάμια κτίρια
χρώμα
κεραμικά πλακάκια
με τη μορφή διαφόρων
πολύγωνα. Οτι
υπάρχει ένα κεραμικό
ειδικά πλακάκια
δημιουργήθηκαν φόρμες
ειδικά για γκίριχ.
Κεραμικός
πλακάκι

33. Συμπέρασμα

Τι ανακάλυψε η δυτική επιστήμη
βασίζεται σε μια τεράστια γενίκευση
ακανθώδης εμπειρία, ανατολική επιστήμη
φτιαγμένο με βάση τη διαίσθηση και το συναίσθημα
πανεμορφη. Και τα αποτελέσματα είναι προφανή: στο
ενσάρκωση των νόμων της γεωμετρίας σε
πρακτική των ανατολικών στοχαστών
μπροστά από τους δυτικούς κατά πέντε αιώνες!

Το 1973, ο Άγγλος μαθηματικός Roger Penrose δημιούργησε ένα ειδικό μωσαϊκό γεωμετρικών σχημάτων, το οποίο έγινε γνωστό ως το μωσαϊκό Penrose.
Το μωσαϊκό Penrose είναι ένα σχέδιο συναρμολογημένο από πολυγωνικά πλακίδια δύο συγκεκριμένων σχημάτων (ελαφρώς διαφορετικοί ρόμβοι). Μπορούν να στρώσουν ένα ατελείωτο αεροπλάνο χωρίς κενά.

Μωσαϊκό Penrose σύμφωνα με τον δημιουργό του.
Συναρμολογείται από δύο τύπους ρόμβων,
το ένα με γωνία 72 μοιρών, το άλλο με γωνία 36 μοίρες.
Η εικόνα αποδεικνύεται συμμετρική, αλλά όχι περιοδική.

Αυτό σημαίνει ότι η εικόνα μπορεί να περιστραφεί κατά μια ελάχιστη γωνία ίση με 360 / n μοίρες, όπου n είναι η τάξη συμμετρίας, σε αυτήν την περίπτωση n = 5. Επομένως, η γωνία περιστροφής, που δεν αλλάζει τίποτα, πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των 360 / 5 = 72 μοίρες.

Προηγούμενες ιδέες που υπήρχαν στη φυσική στερεάς κατάστασης απέκλειαν αυτήν την πιθανότητα: η δομή του σχεδίου περίθλασης έχει συμμετρία πέμπτης τάξης. Τα μέρη του δεν μπορούν να συνδυαστούν με παράλληλη μεταφορά, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι καθόλου κρύσταλλος. Αλλά η περίθλαση είναι χαρακτηριστική ενός κρυσταλλικού πλέγματος! Οι επιστήμονες συμφώνησαν ότι αυτή η επιλογή θα ονομαζόταν οιονεί κρύσταλλοι - κάτι σαν μια ειδική κατάσταση της ύλης. Λοιπόν, η ομορφιά της ανακάλυψης είναι ότι ένα μαθηματικό μοντέλο για αυτό ήταν από καιρό έτοιμο - το μωσαϊκό Penrose.

Και πολύ πρόσφατα έγινε σαφές ότι αυτή η μαθηματική κατασκευή είναι πολύ περισσότερα χρόνιααπ' όσο θα μπορούσε να φανταστεί κανείς. Το 2007, ο Peter J. Lu, ένας φυσικός από το Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, μαζί με έναν άλλο φυσικό, τον Paul J. Steinhardt, αλλά από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, δημοσίευσαν ένα άρθρο στο Science για τα μωσαϊκά Penrose. Φαίνεται ότι υπάρχουν λίγα απροσδόκητα εδώ: η ανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων προσέλκυσε έντονο ενδιαφέρον για αυτό το θέμα, το οποίο οδήγησε στην εμφάνιση μιας δέσμης δημοσιεύσεων στον επιστημονικό τύπο.

Ωστόσο, το αποκορύφωμα της εργασίας είναι ότι δεν είναι αφιερωμένο στη σύγχρονη επιστήμη. Και γενικά - όχι επιστήμη. Ο Peter Lu επέστησε την προσοχή στα σχέδια που καλύπτουν τα τζαμιά στην Ασία, που χτίστηκαν τον Μεσαίωνα. Αυτά τα εύκολα αναγνωρίσιμα σχέδια είναι κατασκευασμένα από ψηφιδωτά πλακάκια. Ονομάζονται girihi (από την αραβική λέξη που σημαίνει «κόμπος») και είναι ένα γεωμετρικό σχέδιο χαρακτηριστικό της ισλαμικής τέχνης και αποτελείται από πολυγωνικά σχήματα.

Ένα παράδειγμα διάταξης πλακιδίων που εμφανίζεται σε αραβικό χειρόγραφο του 15ου αιώνα.
Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν χρώματα για να τονίσουν τις επαναλαμβανόμενες περιοχές.
Όλα τα γεωμετρικά μοτίβα είναι χτισμένα με βάση αυτά τα πέντε στοιχεία.
μεσαιωνικοί Άραβες δάσκαλοι. Επαναλαμβανόμενα στοιχεία
δεν συμπίπτουν απαραίτητα με τα όρια των πλακιδίων.

Υπάρχουν δύο στυλ στο ισλαμικό στολίδι: γεωμετρικό - girikh, και floral - islimi.
Girikh(pers.) - ένα σύνθετο γεωμετρικό σχέδιο που αποτελείται από γραμμές σχηματοποιημένες σε ορθογώνια και πολυγωνικά σχήματα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται για τον εξωτερικό σχεδιασμό τζαμιών και βιβλίων σε μεγάλη έκδοση.
Ισλίμη(pers.) – ένα είδος στολιδιού που χτίζεται πάνω στο συνδυασμό ζιζανίων και σπείρας. Ενσωματώνει σε στυλιζαρισμένη ή νατουραλιστική μορφή την ιδέα ενός συνεχώς εξελισσόμενου ανθοφόρου φυλλώματος και περιλαμβάνει μια ατελείωτη ποικιλία επιλογών. Είναι πιο διαδεδομένο σε ρούχα, βιβλία, εσωτερική διακόσμηση τζαμιών και πιάτα.

Εξώφυλλο του Κορανίου του 1306-1315 και σχέδιο γεωμετρικών θραυσμάτων,
στο οποίο βασίζεται το μοτίβο. Αυτό και τα ακόλουθα παραδείγματα δεν ταιριάζουν
Πλέγματα Penrose, αλλά έχουν περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξης

Πριν από την ανακάλυψη του Peter Lu, πίστευαν ότι οι αρχαίοι αρχιτέκτονες δημιούργησαν μοτίβα giriha χρησιμοποιώντας χάρακα και πυξίδα (αν όχι από έμπνευση). Ωστόσο, πριν από μερικά χρόνια, ενώ ταξίδευε στο Ουζμπεκιστάν, ο Λου άρχισε να ενδιαφέρεται για τα ψηφιδωτά μοτίβα που κοσμούσαν την τοπική μεσαιωνική αρχιτεκτονική και παρατήρησε κάτι οικείο σε αυτά. Επιστρέφοντας στο Χάρβαρντ, ο επιστήμονας άρχισε να εξετάζει παρόμοια μοτίβα σε ψηφιδωτά στους τοίχους μεσαιωνικών κτιρίων στο Αφγανιστάν, το Ιράν, το Ιράκ και την Τουρκία.

Αυτό το δείγμα χρονολογείται περισσότερο από όψιμη περίοδος– 1622 (Ινδικό τζαμί).
Κοιτώντας το και τη σχεδίαση της δομής του, δεν μπορεί παρά να θαυμάσει κανείς τη σκληρή δουλειά
ερευνητές. Και, φυσικά, οι ίδιοι οι κύριοι.

Ο Peter Lu ανακάλυψε ότι τα γεωμετρικά σχέδια των girikh ήταν σχεδόν πανομοιότυπα και ήταν σε θέση να αναγνωρίσει τα βασικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται σε όλα τα γεωμετρικά σχέδια. Επιπλέον, βρήκε σχέδια αυτών των εικόνων σε αρχαία χειρόγραφα, τα οποία οι αρχαίοι καλλιτέχνες χρησιμοποιούσαν ως ένα είδος φύλλου για τη διακόσμηση των τοίχων.
Για να δημιουργήσουν αυτά τα μοτίβα, χρησιμοποίησαν όχι απλά, τυχαία επινοημένα περιγράμματα, αλλά φιγούρες που ήταν διατεταγμένες με μια συγκεκριμένη σειρά. Τα αρχαία σχέδια αποδείχτηκαν ακριβείς κατασκευές ψηφιδωτών Penrose!

Αυτές οι εικόνες υπογραμμίζουν τις ίδιες περιοχές,
αν και πρόκειται για φωτογραφίες από διάφορα τζαμιά

Θραύσμα από το στολίδι του ιρανικού μαυσωλείου του 1304. Δεξιά – ανακατασκευή γηρύκων

Αφού εξέτασαν εκατοντάδες φωτογραφίες μεσαιωνικών μουσουλμανικών τοποθεσιών, ο Lu και ο Steinhardt μπόρεσαν να χρονολογήσουν την τάση στον 13ο αιώνα. Σταδιακά αυτή η μέθοδος απέκτησε αυξανόμενη δημοτικότητα και μέχρι τον 15ο αιώνα έγινε ευρέως διαδεδομένη. Η χρονολόγηση συμπίπτει περίπου με την περίοδο ανάπτυξης της τεχνικής διακόσμησης ανακτόρων, τζαμιών και διαφόρων σημαντικών κτιρίων με εφυαλωμένα έγχρωμα κεραμικά πλακίδια σε σχήμα διαφόρων πολυγώνων. Κεραμικά πλακάκια δηλαδή ειδικές φόρμεςπου δημιουργήθηκε ειδικά για τους Γκίριχ.

Πύλη του ναού του Ιμάμ Darb-i στο Ισφαχάν (Ιράν).
Εδώ δύο συστήματα γκίριχ επιτίθενται το ένα πάνω στο άλλο.

Στήλη από την αυλή ενός τζαμιού στην Τουρκία (περίπου 1200)
και τα τείχη μιας μεντρεσάς στο Ιράν (1219). Αυτά είναι πρώιμα έργα
και χρησιμοποιούν μόνο δύο δομικά στοιχεία, που βρέθηκε από τον Lou

Τώρα μένει να βρούμε απαντήσεις σε μια σειρά από μυστήρια στην ιστορία του Girikh και των ψηφιδωτών Penrose. Πώς και γιατί οι αρχαίοι μαθηματικοί ανακάλυψαν οιονεί κρυσταλλικές δομές; Οι μεσαιωνικοί Άραβες έδιναν στα μωσαϊκά άλλη σημασία εκτός από καλλιτεχνική; Γιατί μια τόσο ενδιαφέρουσα μαθηματική έννοια ξεχάστηκε για μισή χιλιετία; Και το πιο ενδιαφέρον είναι τι άλλο σύγχρονες ανακαλύψειςείναι καινούργια, τα οποία είναι στην πραγματικότητα καλά ξεχασμένα παλιά;