Η προσέγγιση του συγγραφέα σε αυτό το θέμα δεν είναι τυχαία. Εξισώσεις με δύο μεταβλητές συναντώνται για πρώτη φορά στο μάθημα της 7ης τάξης. Μια εξίσωση με δύο μεταβλητές έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, που δίνεται ως ax + by=c. ΣΕ σχολικό μάθημαΟι μαθητές μελετούν συστήματα δύο εξισώσεων σε δύο μεταβλητές. Ως αποτέλεσμα, μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων με περιορισμένες συνθήκες στον συντελεστή της εξίσωσης, καθώς και μέθοδοι επίλυσής τους, πέφτουν από τα μάτια του δασκάλου και, επομένως, του μαθητή.
Μιλάμε για επίλυση εξίσωσης με δύο αγνώστους σε ακέραιους ή φυσικούς αριθμούς.
Στο σχολείο μελετώνται φυσικοί αριθμοί και ακέραιοι στις τάξεις 4-6. Μέχρι να αποφοιτήσουν από το σχολείο, δεν θυμούνται όλοι οι μαθητές τις διαφορές μεταξύ των συνόλων αυτών των αριθμών.
Ωστόσο, ένα πρόβλημα όπως «να λύσετε μια εξίσωση της μορφής ax + by=c σε ακέραιους αριθμούς» απαντάται ολοένα και περισσότερο στις εισαγωγικές εξετάσεις στα πανεπιστήμια και στο υλικό των Εξετάσεων του Ενιαίου Κράτους.
Η επίλυση αβέβαιων εξισώσεων αναπτύσσει τη λογική σκέψη, την ευφυΐα και την προσοχή στην ανάλυση.
Προτείνω την ανάπτυξη πολλών μαθημάτων για αυτό το θέμα. Δεν έχω σαφείς συστάσεις για το χρονοδιάγραμμα αυτών των μαθημάτων. Μερικά στοιχεία μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν στην 7η τάξη (για μια δυνατή τάξη). Αυτά τα μαθήματα μπορούν να ληφθούν ως βάση και να αναπτυχθεί ένα μικρό μάθημα επιλογής για την προ-επαγγελματική κατάρτιση στην 9η τάξη. Και, φυσικά, αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις τάξεις 10-11 για προετοιμασία για εξετάσεις.
Σκοπός του μαθήματος:
- επανάληψη και γενίκευση γνώσεων με θέμα «Εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης»
- καλλιέργεια γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα
- ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, γενικεύσεων, μεταφοράς γνώσης σε μια νέα κατάσταση
Μάθημα 1.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
1) Οργ. στιγμή.
2) Ενημέρωση βασικών γνώσεων.
Ορισμός. Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι μια εξίσωση της μορφής
mx + ny = k, όπου m, n, k είναι αριθμοί, x, y είναι μεταβλητές.
Παράδειγμα: 5x+2y=10
Ορισμός. Μια λύση σε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος τιμών μεταβλητών που μετατρέπει την εξίσωση σε πραγματική ισότητα.
Οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμες.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει οποιοδήποτε αριθμό λύσεων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιαδήποτε τιμή x και να βρείτε την αντίστοιχη τιμή y.
Έστω x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Ζεύγη αριθμών (2;1); (4;-4) – λύσεις της εξίσωσης (1).
Αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
3) Ιστορική αναδρομή
Οι αόριστες (διοφαντικές) εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν περισσότερες από μία μεταβλητές.
Τον 3ο αιώνα. ΕΝΑ Δ – Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός έγραψε την «Αριθμητική», στην οποία επέκτεινε το σύνολο των αριθμών σε ορθολογικούς και εισήγαγε αλγεβρικό συμβολισμό.
Ο Διόφαντος εξέτασε επίσης τα προβλήματα επίλυσης αόριστων εξισώσεων και έδωσε μεθόδους για την επίλυση αόριστων εξισώσεων δεύτερου και τρίτου βαθμού.
4) Μελέτη νέου υλικού.
Ορισμός: Μια πρώτης τάξης ανομοιογενής Διοφαντική εξίσωση με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = k, όπου m, n, k, x, y Z k0
Δήλωση 1.
Αν ο ελεύθερος όρος k στην εξίσωση (1) δεν διαιρείται με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών m και n, τότε η εξίσωση (1) δεν έχει ακέραιες λύσεις.
Παράδειγμα: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, το 3 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 17, δεν υπάρχει λύση σε ακέραιους αριθμούς.
Έστω k διαιρείται με gcd (m, n). Διαιρώντας όλους τους συντελεστές, μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι τα m και n γίνονται σχετικά πρώτοι.
Δήλωση 2.
Εάν τα m και n της εξίσωσης (1) είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση.
Δήλωση 3.
Εάν οι συντελεστές m και n της εξίσωσης (1) είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις:
Όπου (; ) είναι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (1), t Z
Ορισμός. Μια ομογενής Διοφαντινή εξίσωση πρώτης τάξης με δύο αγνώστους x, y είναι μια εξίσωση της μορφής mx + ny = 0, όπου (2)
Δήλωση 4.
Αν οι m και n είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή 
5) Εργασία για το σπίτι. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Πολλά παιδιά μάζευαν μήλα. Κάθε αγόρι μάζεψε 21 κιλά και το κορίτσι 15 κιλά. Συνολικά συγκέντρωσαν 174 κιλά. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια μάζεψαν μήλα;
Σχόλιο. Αυτό το μάθημα δεν παρέχει παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων σε ακέραιους αριθμούς. Να γιατί εργασία για το σπίτιτα παιδιά αποφασίζουν με βάση την πρόταση 1 και την επιλογή.
Μάθημα 2.
1) Οργανωτική στιγμή
2) Έλεγχος της εργασίας
1) 9x – 18y = 5
Το 5 δεν διαιρείται με το 9, δεν υπάρχουν λύσεις σε ακέραιους αριθμούς.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής μπορείτε να βρείτε μια λύση
Απάντηση: (0;0), (2;2)
3) Ας κάνουμε μια εξίσωση:
Έστω τα αγόρια x, x Z και τα κορίτσια y, y Z, τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε την εξίσωση 21x + 15y = 174
Πολλοί μαθητές, έχοντας γράψει μια εξίσωση, δεν θα μπορέσουν να τη λύσουν.
Απάντηση: 4 αγόρια, 6 κορίτσια.
3) Εκμάθηση νέου υλικού
Έχοντας αντιμετωπίσει δυσκολίες στην ολοκλήρωση της εργασίας, οι μαθητές πείστηκαν για την ανάγκη να μάθουν τις μεθόδους τους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων. Ας δούμε μερικά από αυτά.
I. Μέθοδος για την εξέταση υπολοίπων διαίρεσης.
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς 3x – 4y = 1.
Αριστερή πλευράΗ εξίσωση διαιρείται με το 3, επομένως πρέπει να διαιρείται και η δεξιά πλευρά. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.
Απάντηση: όπου m Z.
Η περιγραφόμενη μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν οι αριθμοί m και n δεν είναι μικροί, αλλά μπορούν να αποσυντεθούν σε απλούς παράγοντες.
Παράδειγμα: Λύστε εξισώσεις σε ακέραιους αριθμούς.
Έστω y = 4n, τότε 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) διαιρείται με το 4.
y = 4n+1, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n δεν διαιρείται με το 4.
y = 4n+2, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n δεν διαιρείται με το 4.
y = 4n+3, τότε 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n δεν διαιρείται με το 4.
Επομένως y = 4n, λοιπόν
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Απάντηση: , όπου n Z.
II. Αβέβαιες εξισώσεις 2ου βαθμού
Σήμερα στο μάθημα θα αγγίξουμε μόνο τη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων δεύτερης τάξης.
Και από όλους τους τύπους εξισώσεων, θα εξετάσουμε την περίπτωση που μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων ή άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης.
Παράδειγμα: Λύστε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς.
Το 13 είναι πρώτος αριθμός, επομένως μπορεί να παραγοντοποιηθεί μόνο με τέσσερις τρόπους: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13) (-1)
Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις
Απάντηση: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Εργασία για το σπίτι.
Παραδείγματα. Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | δεν χωράει | δεν χωράει |
| 2x = -4 | δεν χωράει | δεν χωράει |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Απάντηση: (-2;0), (2;0).
Απαντήσεις: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Απάντηση: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Αποτελέσματα. Τι σημαίνει να λύνουμε μια εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς;
Ποιες μεθόδους για την επίλυση αβέβαιων εξισώσεων γνωρίζετε;
Εφαρμογή:
Ασκήσεις για προπόνηση.
1) Λύστε σε ακέραιους αριθμούς.
| α) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| β) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| γ) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| δ) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| ε) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| ε) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| ζ) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| η) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Να βρείτε ακέραιες μη αρνητικές λύσεις της εξίσωσης.
Θέμα:Γραμμική συνάρτηση
Μάθημα:Γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές και η γραφική παράσταση της
Εξοικειωθήκαμε με τις έννοιες του άξονα συντεταγμένων και του επιπέδου συντεταγμένων. Γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο στο επίπεδο ορίζει μοναδικά ένα ζεύγος αριθμών (x, y), με τον πρώτο αριθμό να είναι η τετμημένη του σημείου και ο δεύτερος να είναι η τεταγμένη.
Πολύ συχνά θα συναντήσουμε μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές, η λύση των οποίων είναι ένα ζεύγος αριθμών που μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο συντεταγμένων.
Εξίσωση της μορφής:
Όπου a, b, c είναι αριθμοί και 
Ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές x και y. Η λύση σε μια τέτοια εξίσωση θα είναι οποιοδήποτε τέτοιο ζεύγος αριθμών x και y, αντικαθιστώντας τους στην εξίσωση θα λάβουμε τη σωστή αριθμητική ισότητα.
Ένα ζεύγος αριθμών θα απεικονιστεί στο επίπεδο συντεταγμένων ως σημείο.
Για τέτοιες εξισώσεις θα δούμε πολλές λύσεις, δηλαδή πολλά ζεύγη αριθμών, και όλα τα αντίστοιχα σημεία θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Για να βρείτε λύσεις σε αυτή την εξίσωση, πρέπει να επιλέξετε τα αντίστοιχα ζεύγη αριθμών x και y:
Έστω, τότε η αρχική εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση με έναν άγνωστο:
,
Δηλαδή το πρώτο ζεύγος αριθμών που είναι λύση σε μια δεδομένη εξίσωση (0; 3). Πήραμε το σημείο A(0; 3)
Αφήστε . Παίρνουμε την αρχική εξίσωση με μία μεταβλητή: 
, από εδώ, πήραμε το σημείο B(3; 0)
Ας βάλουμε τα ζεύγη των αριθμών στον πίνακα:
Ας σχεδιάσουμε σημεία στο γράφημα και ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή: 
Σημειώστε ότι οποιοδήποτε σημείο σε μια δεδομένη ευθεία θα είναι λύση στη δεδομένη εξίσωση. Ας ελέγξουμε - πάρουμε ένα σημείο με μια συντεταγμένη και χρησιμοποιήστε το γράφημα για να βρείτε τη δεύτερη συντεταγμένη του. Είναι προφανές ότι σε αυτό το σημείο. Ας αντικαταστήσουμε αυτό το ζεύγος αριθμών στην εξίσωση. Παίρνουμε 0=0 - μια σωστή αριθμητική ισότητα, που σημαίνει ότι ένα σημείο που βρίσκεται σε μια ευθεία είναι μια λύση.
Προς το παρόν, δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κατασκευασμένη γραμμή είναι μια λύση στην εξίσωση, επομένως το αποδεχόμαστε ως αληθές και θα το αποδείξουμε αργότερα.
Παράδειγμα 2 - γραφική παράσταση της εξίσωσης:
Ας φτιάξουμε έναν πίνακα, χρειαζόμαστε μόνο δύο σημεία για να φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή, αλλά θα πάρουμε ένα τρίτο για έλεγχο:
Στην πρώτη στήλη πήραμε ένα βολικό, θα το βρούμε από:
, ,
Στη δεύτερη στήλη πήραμε ένα βολικό, ας βρούμε το x:
, , ,
Ας ελέγξουμε και ας βρούμε:
, ,
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα:
Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεδομένη εξίσωση επί δύο:
Από έναν τέτοιο μετασχηματισμό, το σύνολο των λύσεων δεν θα αλλάξει και το γράφημα θα παραμείνει το ίδιο.
Συμπέρασμα: μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις με δύο μεταβλητές και να χτίζουμε τις γραφικές παραστάσεις τους, μάθαμε ότι το γράφημα μιας τέτοιας εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή και ότι οποιοδήποτε σημείο αυτής της ευθείας είναι μια λύση της εξίσωσης
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. και άλλα.Άλγεβρα 7. 6η έκδοση. Μ.: Διαφωτισμός. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7. Μ.: ΒΕΝΤΑΝΑ-ΓΡΑΦ
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. και άλλα.Άλγεβρα 7.Μ.: Διαφωτισμός. 2006
2. Πύλη για οικογενειακή προβολή ().
Εργασία 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 960, Άρθ. 210;
Εργασία 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 961, Άρθ. 210;
Εργασία 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Άλγεβρα 7, Αρ. 962, Άρθ. 210;
Στο μάθημα των μαθηματικών της 7ης δημοτικού συναντάμε για πρώτη φορά εξισώσεις με δύο μεταβλητές, αλλά μελετώνται μόνο στο πλαίσιο συστημάτων εξισώσεων με δύο αγνώστους. Γι' αυτό μια ολόκληρη σειρά προβλημάτων στα οποία εισάγονται ορισμένες συνθήκες στους συντελεστές της εξίσωσης που τους περιορίζουν ξεφεύγουν από τα μάτια μας. Επιπλέον, μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων όπως «Επίλυση εξίσωσης σε φυσικούς ή ακέραιους αριθμούς» αγνοούνται επίσης, αν και σε Υλικό Ενιαίας Κρατικής ΕξεταστικήςΚαι στις εισαγωγικές εξετάσεις, προβλήματα αυτού του είδους συναντώνται όλο και πιο συχνά.
Ποια εξίσωση θα ονομαστεί εξίσωση με δύο μεταβλητές;
Έτσι, για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ή xy = 12 είναι εξισώσεις σε δύο μεταβλητές.
Θεωρήστε την εξίσωση 2x – y = 1. Γίνεται αληθής όταν x = 2 και y = 3, επομένως αυτό το ζεύγος μεταβλητών τιμών είναι μια λύση στην εξίσου εξίσωση.
Έτσι, η λύση σε οποιαδήποτε εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (x; y), τιμές των μεταβλητών που μετατρέπουν αυτήν την εξίσωση σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα.
Μια εξίσωση με δύο άγνωστους μπορεί:
ΕΝΑ) έχουν μια λύση.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + 5y 2 = 0 έχει μια μοναδική λύση (0; 0).
σι) έχουν πολλαπλές λύσεις.Για παράδειγμα, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 έχει 4 λύσεις: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) δεν έχουν λύσεις.Για παράδειγμα, η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 δεν έχει λύσεις.
ΣΟΛ) έχουν άπειρες λύσεις.Για παράδειγμα, x + y = 3. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με 3. Το σύνολο των λύσεων αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (k; 3 – k), όπου k είναι κάθε πραγματικό αριθμός.
Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι μέθοδοι που βασίζονται σε παραγοντοποιητικές παραστάσεις, απομόνωση πλήρους τετραγώνου, χρήση των ιδιοτήτων μιας τετραγωνικής εξίσωσης, περιορισμένες εκφράσεις και μέθοδοι εκτίμησης. Η εξίσωση συνήθως μετατρέπεται σε μια μορφή από την οποία μπορεί να ληφθεί ένα σύστημα για την εύρεση των αγνώστων.
Παραγοντοποίηση
Παράδειγμα 1.
Λύστε την εξίσωση: xy – 2 = 2x – y.
Λύση.
Ομαδοποιούμε τους όρους για σκοπούς παραγοντοποίησης:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Από κάθε παρένθεση βγάζουμε έναν κοινό παράγοντα:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Έχουμε:
y = 2, x – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ή x = -1, y – οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Ετσι, η απάντηση είναι όλα τα ζεύγη της μορφής (x; 2), x € R και (-1; y), y € R.
Ίσο με μηδέν δεν είναι αρνητικούς αριθμούς
Παράδειγμα 2.
Λύστε την εξίσωση: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Λύση.
Ομαδοποίηση:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Τώρα κάθε βραχίονας μπορεί να διπλωθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο τετραγωνικής διαφοράς.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Το άθροισμα δύο μη αρνητικών παραστάσεων είναι μηδέν μόνο αν 3x – 2 = 0 και 2y – 3 = 0.
Αυτό σημαίνει x = 2/3 και y = 3/2.
Απάντηση: (2/3; 3/2).
Μέθοδος εκτίμησης
Παράδειγμα 3.
Λύστε την εξίσωση: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.
Λύση.
Σε κάθε παρένθεση επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Ας υπολογίσουμε 
τη σημασία των εκφράσεων στην παρένθεση.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 και (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα τουλάχιστον 2. Η ισότητα είναι δυνατή αν:
(x + 1) 2 + 1 = 1 και (y – 2) 2 + 2 = 2, που σημαίνει x = -1, y = 2.
Απάντηση: (-1; 2).
Ας γνωρίσουμε μια άλλη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων με δύο μεταβλητές δευτέρου βαθμού. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντιμετώπιση της εξίσωσης ως τετράγωνο σε σχέση με κάποια μεταβλητή.
Παράδειγμα 4.
Λύστε την εξίσωση: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Λύση.
Ας λύσουμε την εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το x. Ας βρούμε το διαχωριστικό:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Η εξίσωση θα έχει λύση μόνο όταν D = 0, δηλαδή αν y = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή του y στην αρχική εξίσωση και βρίσκουμε ότι x = 3.
Απάντηση: (3; 4).
Συχνά σε εξισώσεις με δύο άγνωστα υποδεικνύουν περιορισμούς στις μεταβλητές.
Παράδειγμα 5.
Λύστε την εξίσωση σε ακέραιους αριθμούς: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Λύση.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει όταν διαιρείται με το 5 δίνει ένα υπόλοιπο 2. Επομένως, το x 2 δεν διαιρείται με το 5. Αλλά το τετράγωνο ενός Ο αριθμός που δεν διαιρείται με το 5 δίνει υπόλοιπο 1 ή 4. Έτσι, η ισότητα είναι αδύνατη και δεν υπάρχουν λύσεις.
Απάντηση: χωρίς ρίζες.
Παράδειγμα 6.
Λύστε την εξίσωση: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Λύση.
Ας επισημάνουμε τα πλήρη τετράγωνα σε κάθε παρένθεση:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 3. Η ισότητα είναι δυνατή εφόσον |x| – 2 = 0 και y + 3 = 0. Έτσι, x = ± 2, y = -3.
Απάντηση: (2; -3) και (-2; -3).
Παράδειγμα 7.
Για κάθε ζεύγος αρνητικών ακεραίων (x;y) που ικανοποιεί την εξίσωση
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, υπολογίστε το άθροισμα (x + y). Σημειώστε το μικρότερο ποσό στην απάντησή σας.
Λύση.
Ας επιλέξουμε ολόκληρα τετράγωνα:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Εφόσον τα x και y είναι ακέραιοι, τα τετράγωνά τους είναι επίσης ακέραιοι. Παίρνουμε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ακεραίων ίσων με 37 αν προσθέσουμε 1 + 36. Επομένως:
(x – y) 2 = 36 και (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 και (y + 2) 2 = 36.
Λύνοντας αυτά τα συστήματα και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα x και y είναι αρνητικά, βρίσκουμε λύσεις: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Απάντηση: -17.
Μην απελπίζεστε αν δυσκολεύεστε να λύσετε εξισώσεις με δύο άγνωστα. Με λίγη εξάσκηση, μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις σε δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Η επίλυση εξισώσεων σε ακέραιους είναι μια από τις παλαιότερες μαθηματικά προβλήματα. Ήδη στις αρχές της 2ης χιλιετίας π.Χ. μι. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν συστήματα τέτοιων εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Αυτός ο τομέας των μαθηματικών έφτασε στη μεγαλύτερη άνθησή του Αρχαία Ελλάδα. Η κύρια πηγή για εμάς είναι η Αριθμητική του Διόφαντου, που περιέχει Διάφοροι τύποιεξισώσεις. Σε αυτό, ο Διόφαντος (από το όνομά του το όνομα των εξισώσεων είναι Διοφαντικές εξισώσεις) προβλέπει μια σειρά από μεθόδους για τη μελέτη των εξισώσεων του 2ου και 3ου βαθμού, που αναπτύχθηκαν μόλις τον 19ο αιώνα.
Οι απλούστερες Διοφαντικές εξισώσεις είναι ax + y = 1 (εξίσωση με δύο μεταβλητές, πρώτου βαθμού) x2 + y2 = z2 (εξίσωση με τρεις μεταβλητές, δεύτερος βαθμός)
Πιο πλήρως μελετημένο αλγεβρικές εξισώσεις, η απόφασή τους ήταν μία από πιο σημαντικά καθήκονταάλγεβρα τον 16ο-17ο αιώνα.
Στις αρχές του 19ου αιώνα, τα έργα των P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ερεύνησαν μια Διοφαντινή εξίσωση της μορφής: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c , d, e, f είναι αριθμοί. x, y άγνωστες μεταβλητές.
Αυτή είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με δύο άγνωστους.
Κ. Γκάους έχτισε γενική θεωρίατετραγωνικές μορφές, που αποτελεί τη βάση για την επίλυση ορισμένων τύπων εξισώσεων με δύο μεταβλητές (Διοφαντικές εξισώσεις). Υπάρχει μεγάλος αριθμόςσυγκεκριμένες Διοφαντικές εξισώσεις λυμένες με στοιχειώδεις μεθόδους. /p>
Θεωρητικό υλικό.
Σε αυτό το μέρος της εργασίας θα περιγραφούν οι βασικές μαθηματικές έννοιες, θα οριστούν όροι και θα διατυπωθεί το θεώρημα επέκτασης με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, οι οποίοι μελετήθηκαν και ελήφθησαν υπόψη κατά την επίλυση εξισώσεων με δύο μεταβλητές.
Ορισμός 1: Εξίσωση της μορφής ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, όπου a, b, c, d, e, f είναι αριθμοί. x, y άγνωστες μεταβλητές ονομάζεται εξίσωση δεύτερου βαθμού με δύο μεταβλητές.
Στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών σπουδάζουμε τετραγωνική εξίσωση ax2+inx+c=0, όπου αριθμοί α, β, γ x μεταβλητή, με μία μεταβλητή. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λυθεί αυτή η εξίσωση:
1. Εύρεση ριζών με χρήση διακριτικού.
2. Εύρεση των ριζών για τον άρτιο συντελεστή στο (σύμφωνα με το D1=);
3. Εύρεση ριζών χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.
4. Εύρεση ριζών απομονώνοντας το τέλειο τετράγωνο ενός διωνύμου.
Η επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει να βρεις όλες τις ρίζες της ή να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν.
Ορισμός 2: Η ρίζα μιας εξίσωσης είναι ένας αριθμός που, όταν αντικατασταθεί σε μια εξίσωση, σχηματίζει μια αληθινή ισότητα.
Ορισμός 3: Η λύση μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές ονομάζεται ζεύγος αριθμών (x, y) όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση, μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα.
Η διαδικασία εύρεσης λύσεων σε μια εξίσωση πολύ συχνά συνήθως συνίσταται στην αντικατάσταση της εξίσωσης με μια ισοδύναμη εξίσωση, η οποία όμως είναι πιο απλή στην επίλυση. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται ισοδύναμες.
Ορισμός 4: Δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες εάν κάθε λύση μιας εξίσωσης είναι λύση της άλλης εξίσωσης και αντίστροφα, και οι δύο εξισώσεις θεωρούνται στον ίδιο τομέα.
Για να λύσετε εξισώσεις με δύο μεταβλητές, χρησιμοποιήστε το θεώρημα για την αποσύνθεση της εξίσωσης σε άθροισμα πλήρων τετραγώνων (με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών).
Για την εξίσωση δεύτερης τάξης ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), λαμβάνει χώρα η επέκταση a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Ας διατυπώσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες λαμβάνει χώρα η επέκταση (2) για την εξίσωση (1) δύο μεταβλητών.
Θεώρημα: Αν οι συντελεστές α,β,γ εξισώσεις(1) ικανοποιεί τις συνθήκες a0 και 4ab – c20, τότε η επέκταση (2) προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο.
Με άλλα λόγια, η εξίσωση (1) με δύο μεταβλητές μπορεί να αναχθεί σε μορφή (2) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς εφαρμόζεται η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.
ΜΕΘΟΔΟΣ Νο. 1. Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των συνθηκών του θεωρήματος, a=2, b=1, c=2, που σημαίνει a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Οι προϋποθέσεις του θεωρήματος πληρούνται· μπορούν να επεκταθούν σύμφωνα με τον τύπο (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, με βάση τις συνθήκες του θεωρήματος και τα δύο μέρη της ταυτότητας είναι ισοδύναμα. Ας απλοποιήσουμε σωστη πλευραταυτότητες.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Εξισώνουμε τους συντελεστές για πανομοιότυπες μεταβλητές με τις δυνάμεις τους.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Ας πάρουμε ένα σύστημα εξισώσεων, να το λύσουμε και να βρούμε τις τιμές των συντελεστών.
7. Αντικαταστήστε τους συντελεστές με (2) και τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Έτσι, η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.
Απάντηση: (-1; 1).
Αν προσέξετε τον τύπο της επέκτασης (3), θα παρατηρήσετε ότι είναι πανομοιότυπο σε μορφή με την απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση με μία μεταβλητή: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Ας εφαρμόσουμε αυτήν την τεχνική όταν λύνουμε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές. Ας λύσουμε, χρησιμοποιώντας την επιλογή ενός πλήρους τετραγώνου, μια τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές που έχει ήδη λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα.
ΜΕΘΟΔΟΣ Νο 2: Λύστε την εξίσωση 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Λύση: 1. Ας φανταστούμε το 2x2 ως άθροισμα δύο όρων x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Ας ομαδοποιήσουμε τους όρους με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να τους διπλώσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο ενός πλήρους τετραγώνου.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Επιλέξτε πλήρη τετράγωνα από τις εκφράσεις σε αγκύλες.
(x + y) 2 + (x + 1) 2 = 0.
4. Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Απάντηση: (-1;1).
Εάν συγκρίνετε τα αποτελέσματα, μπορείτε να δείτε ότι η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 1 χρησιμοποιώντας το θεώρημα και τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών και η εξίσωση που λύθηκε με τη μέθοδο Νο. 2 χρησιμοποιώντας την εξαγωγή πλήρους τετραγώνου έχουν τις ίδιες ρίζες.
Συμπέρασμα: Μια τετραγωνική εξίσωση με δύο μεταβλητές μπορεί να επεκταθεί σε ένα άθροισμα τετραγώνων με δύο τρόπους:
➢ Η πρώτη μέθοδος είναι η μέθοδος των αόριστων συντελεστών, η οποία βασίζεται στο θεώρημα και την επέκταση (2).
➢ Ο δεύτερος τρόπος είναι η χρήση μετασχηματισμών ταυτότητας που σας επιτρέπουν να επιλέξετε διαδοχικά πλήρη τετράγωνα.
Φυσικά, κατά την επίλυση προβλημάτων, η δεύτερη μέθοδος είναι προτιμότερη, καθώς δεν απαιτεί απομνημόνευση επέκτασης (2) και συνθηκών.
Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τετραγωνικές εξισώσεις με τρεις μεταβλητές. Η απομόνωση ενός τέλειου τετραγώνου σε τέτοιες εξισώσεις είναι πιο απαιτητική. Θα κάνω αυτόν τον τύπο μεταμόρφωσης του χρόνου.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μια συνάρτηση που έχει τη μορφή: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f ονομάζεται τετραγωνική λειτουργίαδύο μεταβλητές. Οι τετραγωνικές συναρτήσεις ανήκουν σημαντικός ρόλοςσε διάφορους κλάδους των μαθηματικών:
Στον μαθηματικό προγραμματισμό (τετραγωνικός προγραμματισμός)
Στη γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία (τετραγωνικές μορφές)
Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων (αναγωγή γραμμική εξίσωσηδεύτερη τάξη σε κανονική μορφή).
Κατά την επίλυση αυτών των διαφόρων προβλημάτων, ουσιαστικά πρέπει να εφαρμοστεί η διαδικασία της απομόνωσης ενός πλήρους τετραγώνου από μια τετραγωνική εξίσωση (μία, δύο ή περισσότερες μεταβλητές).
Οι γραμμές των οποίων οι εξισώσεις περιγράφονται με μια τετραγωνική εξίσωση δύο μεταβλητών ονομάζονται καμπύλες δεύτερης τάξης.
Αυτός είναι ένας κύκλος, έλλειψη, υπερβολή.
Κατά την κατασκευή γραφημάτων αυτών των καμπυλών, χρησιμοποιείται επίσης η μέθοδος της διαδοχικής απομόνωσης ενός πλήρους τετραγώνου.
Ας δούμε πώς λειτουργεί η μέθοδος διαδοχικής επιλογής πλήρους τετραγώνου χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.
Πρακτικό μέρος.
Να λύσετε εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διαδοχικής απομόνωσης πλήρους τετραγώνου.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Απάντηση:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Απάντηση: (0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Απάντηση:(-1;1).
Λύστε εξισώσεις:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(αναγωγή στη μορφή: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Απάντηση: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(αναγωγή στη μορφή: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Απάντηση: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(αναγωγή στη μορφή: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Απάντηση: (7; -7)
Συμπέρασμα.
Σε αυτό επιστημονική εργασίαΜελετήθηκαν εξισώσεις με δύο μεταβλητές δεύτερου βαθμού και εξετάστηκαν μέθοδοι επίλυσής τους. Η εργασία έχει ολοκληρωθεί, διατυπωθεί και περιγράφεται με περισσότερες λεπτομέρειες. σύντομο δρόμολύσεις που βασίζονται στην απομόνωση ενός πλήρους τετραγώνου και στην αντικατάσταση της εξίσωσης με ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων, με αποτέλεσμα μια απλοποιημένη διαδικασία εύρεσης των ριζών μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές.
Ένα σημαντικό σημείο της εργασίας είναι ότι η τεχνική που εξετάζεται χρησιμοποιείται κατά την επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων που σχετίζονται με μια τετραγωνική συνάρτηση, την κατασκευή καμπυλών δεύτερης τάξης και την εύρεση της μεγαλύτερης (μικρότερης) τιμής παραστάσεων.
Έτσι, η τεχνική της αποσύνθεσης μιας εξίσωσης δεύτερης τάξης με δύο μεταβλητές σε άθροισμα τετραγώνων έχει τις πιο πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά.
Μη γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους
Ορισμός 1. Ας είναι λίγος ο Α σύνολο ζευγών αριθμών (Χ; y) . Λένε ότι δίνεται το σύνολο Α αριθμητική συνάρτηση z από δύο μεταβλητές x και y , εάν καθορίζεται ένας κανόνας με τη βοήθεια του οποίου κάθε ζεύγος αριθμών από το σύνολο Α συνδέεται με έναν συγκεκριμένο αριθμό.
Ο καθορισμός μιας αριθμητικής συνάρτησης z δύο μεταβλητών x και y είναι συχνά δείχνωΕτσι:
Οπου φά (Χ , y) – οποιαδήποτε άλλη λειτουργία εκτός από συνάρτηση
φά (Χ , y) = τσεκούρι+κατά+γ ,
όπου a, b, c δίνονται αριθμοί.
Ορισμός 3. Επίλυση της εξίσωσης (2)καλέστε ένα ζευγάρι αριθμών ( Χ; y), για τον οποίο ο τύπος (2) είναι αληθινή ισότητα.
Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση
Εφόσον το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι μη αρνητικό, από τον τύπο (4) προκύπτει ότι οι άγνωστοι x και y ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων
η λύση της οποίας είναι ένα ζεύγος αριθμών (6; 3).
Απάντηση: (6; 3)
Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση
Επομένως, η λύση της εξίσωσης (6) είναι άπειρος αριθμός ζευγών αριθμώνείδος
(1 + y ; y) ,
όπου y είναι οποιοσδήποτε αριθμός.
γραμμικός
Ορισμός 4. Επίλυση συστήματος εξισώσεων
καλέστε ένα ζευγάρι αριθμών ( Χ; y), κατά την αντικατάστασή τους σε καθεμία από τις εξισώσεις αυτού του συστήματος, προκύπτει η σωστή ισότητα.
Συστήματα δύο εξισώσεων, εκ των οποίων η μία είναι γραμμική, έχουν τη μορφή
σολ(Χ , y)
Παράδειγμα 4. Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Λύση . Ας εκφράσουμε τον άγνωστο y από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (7) μέσω του αγνώστου x και ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:
Επίλυση της εξίσωσης
Χ 1 = - 1 , Χ 2 = 9 .
Ως εκ τούτου,
y 1 = 8 - Χ 1 = 9 ,
y 2 = 8 - Χ 2 = - 1 .
Συστήματα δύο εξισώσεων, εκ των οποίων η μία είναι ομοιογενής
Συστήματα δύο εξισώσεων, εκ των οποίων η μία είναι ομοιογενής, έχουν τη μορφή
όπου a, b, c δίνονται αριθμοί, και σολ(Χ , y) – συνάρτηση δύο μεταβλητών x και y.
Παράδειγμα 6. Επίλυση συστήματος εξισώσεων
Λύση . Ας λύσουμε την ομοιογενή εξίσωση
3Χ 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3Χ 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
αντιμετωπίζοντάς το ως τετραγωνική εξίσωση ως προς το άγνωστο x:
.
Σε περίπτωση Χ = - 5y, από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (11) παίρνουμε την εξίσωση
5y 2 = - 20 ,
που δεν έχει ρίζες.
Σε περίπτωση
από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (11) παίρνουμε την εξίσωση
,
των οποίων οι ρίζες είναι αριθμοί y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Βρίσκοντας για καθεμία από αυτές τις τιμές y την αντίστοιχη τιμή x, λαμβάνουμε δύο λύσεις στο σύστημα: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Απάντηση: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων άλλων τύπων
Παράδειγμα 8. Επίλυση συστήματος εξισώσεων (MIPT)
Λύση . Ας εισάγουμε νέα άγνωστα u και v, τα οποία εκφράζονται μέσω των x και y σύμφωνα με τους τύπους:
Για να ξαναγράψουμε το σύστημα (12) με όρους νέων αγνώστων, αρχικά εκφράζουμε τους αγνώστους x και y ως u και v. Από το σύστημα (13) προκύπτει ότι
Ας λύσουμε το γραμμικό σύστημα (14) εξαλείφοντας τη μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση αυτού του συστήματος. Για το σκοπό αυτό, πραγματοποιούμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς στο σύστημα (14):
- Θα αφήσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος αμετάβλητη.
- από τη δεύτερη εξίσωση αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση και αντικαθιστούμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος με τη διαφορά που προκύπτει.
Ως αποτέλεσμα, το σύστημα (14) μετατρέπεται σε ισοδύναμο σύστημα
από την οποία βρίσκουμε
Χρησιμοποιώντας τους τύπους (13) και (15), ξαναγράφουμε το αρχικό σύστημα (12) στη μορφή
Η πρώτη εξίσωση του συστήματος (16) είναι γραμμική, οπότε μπορούμε να εκφράσουμε από αυτήν το άγνωστο u μέσω του αγνώστου v και να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.