SA totoong buhay Kailangan nating gumana sa mga ordinaryong fraction. Gayunpaman, upang magdagdag o magbawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, tulad ng 2/3 at 5/7, kailangan nating maghanap ng isang karaniwang denominator. Sa pamamagitan ng pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator, madali nating maisagawa ang mga pagpapatakbo ng pagdaragdag o pagbabawas.
Kahulugan
Ang mga fraction ay isa sa pinakamarami mahirap na mga paksa sa elementarya aritmetika, at ang mga rational na numero ay nakakatakot sa mga mag-aaral na nakatagpo sa kanila sa unang pagkakataon. Nakasanayan na naming magtrabaho sa mga numerong nakasulat sa decimal na format. Mas madaling magdagdag ng 0.71 at 0.44 kaagad kaysa magdagdag ng 5/7 at 4/9. Pagkatapos ng lahat, sa kabuuan ng mga fraction, dapat silang bawasan sa isang karaniwang denominator. Gayunpaman, ang mga fraction ay kumakatawan sa kahulugan ng mga dami nang mas tumpak kaysa sa kanilang mga katumbas na desimal, at sa matematika, ang kumakatawan sa mga serye o hindi makatwiran na mga numero bilang isang fraction ay nagiging priyoridad. Ang gawaing ito ay tinatawag na "pagdadala ng isang expression sa isang closed form."
Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong salik, ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago. Ito ay isa sa pinakamahalagang katangian mga fractional na numero. Halimbawa, ang fraction na 3/4 sa decimal form ay nakasulat bilang 0.75. Kung i-multiply natin ang numerator at denominator sa 3, makukuha natin ang fraction na 9/12, na eksaktong kapareho ng 0.75. Salamat sa pag-aari na ito, maaari nating i-multiply ang iba't ibang mga fraction upang lahat sila ay may parehong denominator. Paano ito gagawin?
Paghahanap ng common denominator
Ang least common denominator (LCD) ay ang pinakamaliit na common multiple ng lahat ng denominator sa isang expression. Mahahanap natin ang gayong numero sa tatlong paraan.
Gamit ang maximum denominator
Ito ay isa sa pinakasimpleng, ngunit pinaka-nakakaubos ng oras na pamamaraan para sa paghahanap ng mga NCD. Una, isinulat namin ang pinakamalaking bilang mula sa mga denominador ng lahat ng mga fraction at suriin ang divisibility nito sa pamamagitan ng mas maliliit na numero. Kung ito ay mahahati, kung gayon ang pinakamalaking denominator ay ang NCD.
Kung sa nakaraang operasyon ang mga numero ay nahahati sa isang natitira, kung gayon ang pinakamalaki sa kanila ay dapat na i-multiply sa 2 at ang pagsubok sa divisibility ay paulit-ulit. Kung ito ay nahahati nang walang natitira, kung gayon ang bagong koepisyent ay magiging NOZ.
Kung hindi, ang pinakamalaking denominator ay i-multiply sa 3, 4, 5 at iba pa hanggang sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mas mababang bahagi lahat ng fraction. Sa pagsasagawa, ganito ang hitsura.
Hayaan natin ang mga fraction na 1/5, 1/8 at 1/20. Sinusuri namin ang 20 para sa divisibility ng 5 at 8. Ang 20 ay hindi nahahati sa 8. I-multiply ang 20 sa 2. Lagyan ng tsek ang 40 para sa divisibility ng 5 at 8. Ang mga numero ay nahahati nang walang natitira, samakatuwid, N3 (1/5, 1/8) at 1/20) = 40 , at ang mga fraction ay nagiging 8/40, 5/40 at 2/40.
Sunod-sunod na paghahanap ng maramihan
Ang pangalawang paraan ay isang simpleng paghahanap ng mga multiple at pagpili ng pinakamaliit. Upang makahanap ng mga multiple, i-multiply namin ang isang numero sa 2, 3, 4, at iba pa, kaya ang bilang ng mga multiple ay napupunta sa infinity. Ang sequence na ito ay maaaring limitahan ng isang limitasyon, na produkto ng mga ibinigay na numero. Halimbawa, para sa mga numero 12 at 20 ang LCM ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
- isulat ang mga numero na multiple ng 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
- isulat ang mga numero na multiple ng 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
- matukoy ang mga karaniwang multiple - 60, 120;
- piliin ang pinakamaliit sa kanila - 60.
Kaya, para sa 1/12 at 1/20, ang karaniwang denominator ay 60, at ang mga fraction ay na-convert sa 5/60 at 3/60.
Prime factorization
Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng LOC ay ang pinaka-nauugnay. Ang pamamaraang ito ay nagpapahiwatig ng agnas ng lahat ng mga numero mula sa mas mababang bahagi ng mga fraction sa hindi mahahati na mga salik. Pagkatapos nito, ang isang numero ay pinagsama-sama na naglalaman ng mga kadahilanan ng lahat ng mga denominador. Sa pagsasanay ito ay gumagana tulad nito. Hanapin natin ang LCM para sa parehong pares 12 at 20:
- i-factorize ang 12 - 2 × 2 × 3;
- lay out 20 - 2 × 2 × 5;
- pinagsasama namin ang mga kadahilanan upang maglaman ang mga ito ng mga numero na parehong 12 at 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
- paramihin ang hindi mahahati at makuha ang resulta - 60.
Sa ikatlong punto, pinagsasama namin ang mga multiplier nang walang pag-uulit, iyon ay, sapat na ang dalawang dalawa upang bumuo ng 12 kasama ang tatlo at 20 na may lima.
Ang aming calculator ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang NOZ para sa isang arbitrary na bilang ng mga fraction na nakasulat sa parehong ordinaryong at decimal na anyo. Upang maghanap para sa NOS, kailangan mo lamang magpasok ng mga halaga na pinaghihiwalay ng mga tab o kuwit, pagkatapos nito ay kakalkulahin ng programa ang karaniwang denominator at ipakita ang na-convert na mga fraction.
Halimbawa sa totoong buhay
Pagdaragdag ng mga Fraction
Ipagpalagay na sa isang problema sa aritmetika kailangan nating magdagdag ng limang praksyon:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Ang solusyon ay gagawin nang manu-mano sa sumusunod na paraan. Una, kailangan nating katawanin ang mga numero sa isang anyo ng notasyon:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Ngayon ay mayroon na tayong serye ng mga ordinaryong fraction na kailangang bawasan sa parehong denominator:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Dahil mayroon kaming 5 termino, ang pinakamadaling paraan ay ang paggamit ng paraan ng paghahanap ng NOZ sa pamamagitan ng ang pinakamalaking bilang. Sinusuri namin ang 20 para sa divisibility ng iba pang mga numero. Ang 20 ay hindi mahahati ng 8 nang walang natitira. I-multiply namin ang 20 sa 2, suriin ang 40 para sa divisibility - lahat ng numero ay nahahati sa 40 sa kabuuan. Ito ang ating common denominator. Ngayon, upang mabuo ang mga rational na numero, kailangan nating tukuyin ang mga karagdagang kadahilanan para sa bawat fraction, na tinukoy bilang ratio ng LCM sa denominator. Magiging ganito ang hitsura ng mga karagdagang multiplier:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Ngayon pinarami namin ang numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kaukulang karagdagang mga kadahilanan:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Para sa gayong pagpapahayag, madali nating matutukoy ang kabuuan na katumbas ng 85/40 o 2 buo at 1/8. Ito ay isang masalimuot na pagkalkula, kaya maaari mo lamang ipasok ang data ng problema sa form ng calculator at makuha ang sagot kaagad.
Konklusyon
Ang mga operasyon ng aritmetika na may mga fraction ay hindi isang napaka-maginhawang bagay, dahil upang mahanap ang sagot kailangan mong magsagawa ng maraming mga intermediate na kalkulasyon. Gamitin ang aming online na calculator para i-convert ang mga fraction sa isang common denominator at mabilis na solusyon mga gawain sa paaralan.
Upang malutas ang mga halimbawa na may mga fraction, kailangan mong mahanap ang pinakamababang common denominator. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.
Paano mahahanap ang pinakamababang karaniwang denominador - konsepto
Least common denominator (LCD) sa simpleng salita ay ang pinakamababang bilang na nahahati ng mga denominador ng lahat ng mga praksyon sa halimbawang ito. Sa madaling salita, ito ay tinatawag na Least Common Multiple (LCM). Ang NOS ay ginagamit lamang kung ang mga denominador ng mga fraction ay magkaiba.
Paano mahanap ang pinakamababang karaniwang denominator - mga halimbawa
Tingnan natin ang mga halimbawa ng paghahanap ng mga NOC.
Kalkulahin: 3/5 + 2/15.
Solusyon (Pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):
- Tinitingnan namin ang mga denominator ng mga fraction, siguraduhin na ang mga ito ay naiiba at ang mga expression ay pinaikling hangga't maaari.
- Nahanap namin ang pinakamaliit na numero na nahahati sa parehong 5 at 15. Ang bilang na ito ay magiging 15. Kaya, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Nalaman namin ang denominator. Ano ang magiging sa numerator? Ang karagdagang multiplier ay makakatulong sa amin na malaman ito. Ang isang karagdagang kadahilanan ay ang bilang na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng NZ sa denominator ng isang partikular na fraction. Para sa 3/5, ang karagdagang salik ay 3, dahil 15/5 = 3. Para sa pangalawang bahagi, ang karagdagang salik ay 1, dahil 15/15 = 1.
- Nang malaman ang karagdagang kadahilanan, pinarami namin ito ng mga numerator ng mga fraction at idagdag ang mga resultang halaga. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Sagot: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Kung sa halimbawa ay hindi 2, ngunit 3 o higit pang mga praksyon ang idinagdag o ibinabawas, kung gayon ang NCD ay dapat hanapin kung gaano karaming mga praksiyon ang ibinigay.
Kalkulahin: 1/2 – 5/12 + 3/6
Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):
- Paghahanap ng pinakamababang common denominator. Ang pinakamababang bilang na nahahati sa 2, 12 at 6 ay 12.
- Nakukuha namin ang: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Naghahanap kami ng mga karagdagang multiplier. Para sa 1/2 – 6; para sa 5/12 – 1; para sa 3/6 – 2.
- Nag-multiply tayo sa mga numerator at nagtalaga ng kaukulang mga palatandaan: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Sagot: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Maaaring katawanin ang \(5x+xy\) bilang \(x(5+y)\). Talagang magkapareho ang mga expression na ito, mabe-verify natin ito kung bubuksan natin ang mga bracket: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Tulad ng nakikita mo, bilang isang resulta, nakukuha namin ang orihinal na expression. Nangangahulugan ito na ang \(5x+xy\) ay talagang katumbas ng \(x(5+y)\). Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang maaasahang paraan upang suriin ang kawastuhan ng mga karaniwang kadahilanan - buksan ang resultang bracket at ihambing ang resulta sa orihinal na expression.
Ang pangunahing panuntunan para sa bracketing:
Halimbawa, sa expression na \(3ab+5bc-abc\) ang \(b\) lang ang maaaring alisin sa bracket, dahil ito lang ang naroroon sa lahat ng tatlong termino. Ang proseso ng pagkuha ng mga karaniwang salik mula sa mga bracket ay ipinapakita sa diagram sa ibaba:
Mga panuntunan sa bracketing
Sa matematika, kaugalian na alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang sabay-sabay.
Halimbawa:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Pakitandaan na dito maaari tayong magpalawak ng ganito: \(3(xy-xz)\) o tulad nito: \(x(3y-3z)\). Gayunpaman, ang mga ito ay magiging mga hindi kumpletong decomposition. Parehong ang C at ang X ay dapat na alisin.
Minsan ang mga karaniwang miyembro ay hindi agad nakikita.
Halimbawa:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Sa kasong ito, nakatago ang karaniwang termino (lima). Gayunpaman, sa pagpapalawak ng \(10\) bilang \(2\) na pinarami ng \(5\), at \(15\) bilang \(3\) na pinarami ng \(5\) - "hinatak namin ang lima sa liwanag ng Diyos”, pagkatapos ay madali nilang naalis ito sa bracket.
Kung ang isang monomial ay ganap na tinanggal, ang isa ay nananatili mula dito.
Halimbawa: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Inilalagay namin ang \(x\) sa labas ng mga bracket, at ang pangatlong monomial ay binubuo lamang ng x. Bakit may nananatili sa kanya? Dahil kung ang anumang expression ay pinarami ng isa, hindi ito magbabago. Ibig sabihin, itong parehong \(x\) ay maaaring katawanin bilang \(1\cdot x\). Pagkatapos ay mayroon kaming sumusunod na kadena ng mga pagbabago:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Bukod dito, ito ay ang tanging Ang tamang daan pag-alis, dahil kung hindi tayo mag-iiwan ng isa, kung gayon kapag binuksan natin ang mga bracket ay hindi na tayo babalik sa orihinal na expression. Sa katunayan, kung gagawin natin ang pagkuha tulad nito \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), pagkatapos ay kapag pinalawak ay makakakuha tayo ng \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Ang pangatlong miyembro ay nawawala. Nangangahulugan ito na ang naturang pahayag ay hindi tama.
Maaari kang maglagay ng minus sign sa labas ng bracket, at ang mga senyales ng mga termino sa bracket ay mababaligtad.
Halimbawa:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Mahalaga, narito namin ang paglalagay ng "minus one", na maaaring "mapili" sa harap ng anumang monomial, kahit na walang minus sa harap nito. Ginagamit namin dito ang katotohanan na ang isa ay maaaring isulat bilang \((-1) \cdot (-1)\). Narito ang parehong halimbawa, na inilarawan nang detalyado:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Ang isang panaklong ay maaari ding maging isang karaniwang kadahilanan.
Halimbawa:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Madalas nating nakakaharap ang sitwasyong ito (pag-aalis ng mga bracket mula sa mga bracket) kapag nagfa-factor gamit ang paraan ng pagpapangkat o
Ang denominator ng arithmetic fraction a / b ay ang bilang b, na nagpapakita ng laki ng mga fraction ng isang yunit kung saan binubuo ang fraction. Ang denominator ng algebraic fraction na A / B ay ang algebraic expression na B. Upang gumanap mga operasyon sa aritmetika na may mga fraction ay dapat na bawasan ang mga ito sa pinakamababang common denominator.
Kakailanganin mong
- Upang gumana sa mga algebraic fraction at mahanap ang pinakamababang common denominator, kailangan mong malaman kung paano i-factor ang mga polynomial.
Mga tagubilin
Isaalang-alang natin ang pagbabawas ng dalawang arithmetic fraction n/m at s/t sa pinakamaliit na common denominator, kung saan ang n, m, s, t ay mga integer. Malinaw na ang dalawang fraction na ito ay maaaring bawasan sa anumang denominator na mahahati ng m at t. Ngunit sinusubukan nilang humantong sa pinakamababang karaniwang denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominador m at t ng mga ibinigay na fraction. Ang hindi bababa sa maramihang (LMK) ng isang numero ay ang pinakamaliit na mahahati ng lahat ng ibinigay na numero nang sabay-sabay. Yung. sa aming kaso, kailangan naming hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong m at t. Tinutukoy bilang LCM (m, t). Susunod, ang mga praksiyon ay pinarami ng kaukulang mga: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Hanapin natin ang pinakamababang common denominator ng tatlong fraction: 4/5, 7/8, 11/14. Una, palawakin natin ang mga denominator 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Susunod, kalkulahin ang LCM (5, 8, 14) sa pamamagitan ng pag-multiply lahat ng numerong kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Tandaan na kung ang isang salik ay nangyari sa pagpapalawak ng ilang mga numero (factor 2 sa pagpapalawak ng mga denominator 8 at 14), pagkatapos ay kunin natin ang salik sa isang mas mataas na antas (2^3 sa aming kaso).
Kaya, ang pangkalahatan ay natanggap. Ito ay katumbas ng 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Dito ay nakukuha natin ang mga numero kung saan kailangan nating i-multiply ang mga fraction na may katumbas na denominator upang madala ang mga ito sa pinakamababang common denominator. Nakukuha namin ang 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Ang pagbabawas ng mga algebraic fraction sa pinakamababang common denominator ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga arithmetic. Para sa kalinawan, tingnan natin ang problema gamit ang isang halimbawa. Hayaang ibigay ang dalawang fraction (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) at (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). I-factorize natin ang parehong denominator. Tandaan na ang denominator ng unang fraction ay isang perpektong parisukat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Para sa
Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, ang mga fraction ay unang humahantong sa karaniwang denominador. Nangangahulugan ito na nakahanap sila ng isang denominator na hinati sa orihinal na denominator ng bawat algebraic fraction na kasama sa ibinigay na expression.
Tulad ng alam mo, kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (o hinati) sa parehong numero maliban sa zero, ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Ito ang pangunahing katangian ng isang fraction. Samakatuwid, kapag ang mga fraction ay binawasan sa isang karaniwang denominator, mahalagang i-multiply nila ang orihinal na denominator ng bawat fraction sa nawawalang salik upang makakuha ng isang karaniwang denominator. Sa kasong ito, kailangan mong i-multiply ang numerator ng fraction sa kadahilanang ito (ito ay naiiba para sa bawat fraction).
Halimbawa, ibinigay ang sumusunod na kabuuan ng mga algebraic fraction:
Kinakailangang gawing simple ang expression, iyon ay, magdagdag ng dalawang algebraic fraction. Upang gawin ito, una sa lahat, kailangan mong dalhin ang mga termino ng fraction sa isang karaniwang denominator. Ang unang hakbang ay ang paghahanap ng monomial na nahahati sa parehong 3x at 2y. Sa kasong ito, ito ay kanais-nais na ito ay ang pinakamaliit, iyon ay, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang (LCM) para sa 3x at 2y.
Para sa mga numerical coefficient at variable, ang LCM ay hinanap nang hiwalay. LCM(3, 2) = 6, at LCM(x, y) = xy. Susunod, ang mga nahanap na halaga ay pinarami: 6xy.
Ngayon kailangan nating tukuyin kung anong salik ang kailangan nating i-multiply ng 3x upang makakuha ng 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Nangangahulugan ito na kapag binabawasan ang unang algebraic fraction sa isang common denominator, ang numerator nito ay dapat na i-multiply sa 2y (ang denominator ay na-multiply na kapag binabawasan sa isang common denominator). Ang multiplier para sa numerator ng pangalawang fraction ay naghahanap ng katulad. Ito ay magiging katumbas ng 3x.
Kaya nakukuha natin ang: 
Pagkatapos ay maaari kang kumilos bilang sa mga fraction na may magkatulad na denominator: pagsamahin ang mga numerator, at isulat ang isang karaniwang denominator: 
Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, isang pinasimple na expression ang nakuha, na isang algebraic fraction, na siyang kabuuan ng dalawang orihinal: 
Ang mga algebraic fraction sa orihinal na expression ay maaaring maglaman ng mga denominator na mga polynomial sa halip na mga monomial (tulad ng sa halimbawa sa itaas). Sa kasong ito, bago maghanap ng common denominator, dapat mong i-factor ang mga denominator (kung maaari). Susunod, ang karaniwang denominator ay kinokolekta mula sa iba't ibang mga kadahilanan. Kung ang multiplier ay nasa ilang orihinal na denominator, ito ay kinuha nang isang beses. Kung ang multiplier ay may iba't ibang grado sa orihinal na mga denominador, pagkatapos ito ay kinuha sa mas malaki. Halimbawa: 
Dito ang polynomial a 2 – b 2 ay maaaring katawanin bilang produkto (a – b)(a + b). Ang salik 2a – 2b ay pinalawak bilang 2(a – b). Kaya, ang karaniwang denominator ay magiging 2(a – b)(a + b).