Encyclopedic YouTube

1 / 1

✪ Vector na pamantayan. Bahagi 4.

Mga subtitle

Kahulugan

Hayaan ang K ang pangunahing field (karaniwan K = R o K = C ) at ang linear space ng lahat ng matrice na may m row at n column na binubuo ng mga elemento K. Ang isang pamantayan ay ibinibigay sa espasyo ng mga matrice kung ang bawat matrix ay nauugnay sa isang hindi negatibong tunay na numero ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), tinatawag na pamantayan nito, kaya na

Sa kaso ng mga square matrice (iyon ay, m = n), ang mga matrice ay maaaring paramihin nang hindi umaalis sa espasyo, at samakatuwid ang mga pamantayan sa mga puwang na ito ay kadalasang nakakatugon din sa ari-arian submultiplicativity :

Ang submultiplikativity ay maaari ding matupad para sa mga pamantayan ng mga non-square matrice, ngunit tinukoy para sa ilang kinakailangang laki nang sabay-sabay. Namely, kung ang A ay isang matrix ℓ  ×  m, at ang B ay ang matrix m ×  n, Iyon A B- matris ℓ  ×  n .

Mga pamantayan ng operator

Ang isang mahalagang klase ng matrix norms ay mga pamantayan ng operator, tinatawag din mga nasasakupan o sapilitan . Ang pamantayan ng operator ay natatanging binuo gamit ang dalawang pamantayan na tinukoy sa at , batay sa katotohanan na ang anumang matrix m ×  n kinakatawan ng isang linear operator mula sa K n (\displaystyle K^(n)) V K m (\displaystyle K^(m)). Sa partikular,

‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n , ‖ x ‖ = 1 ) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n , x ≠ 0 ) . (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\right\).\end(aligned)))

Sa kondisyon na ang mga pamantayan ay pare-parehong tinukoy sa mga puwang ng vector, ang gayong pamantayan ay submultiplicative (tingnan).

Mga halimbawa ng mga pamantayan ng operator

Mga katangian ng spectral norm:

1. Ang spectral norm ng isang operator ay katumbas ng maximum na singular na halaga ng operator na ito.
2. Ang spectral norm ng isang normal na operator ay katumbas ng absolute value ng maximum modulo eigenvalue ng operator na ito.
3. Ang spectral norm ay hindi nagbabago kapag ang matrix ay pinarami ng isang orthogonal (unitary) na matrix.

Non-operator na pamantayan ng mga matrice

May mga matrix norms na hindi operator norms. Ang konsepto ng mga non-operator na pamantayan ng mga matrice ay ipinakilala ni Yu. I. Lyubich at pinag-aralan ni G. R. Belitsky.

Halimbawa ng isang non-operator na pamantayan

Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang magkaibang pamantayan ng operator ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) At ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), halimbawa row at column norms. Gumawa tayo ng bagong pamantayan ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Ang bagong pamantayan ay may pabilog na ari-arian ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), pinapanatili ang pagkakaisa ‖ Ako ‖ = 1 (\displaystyle \|Ako\|=1) at hindi operator.

Mga halimbawa ng pamantayan

Vector p (\displaystyle p)-karaniwan

Maaring ikonsidera m × n (\displaystyle m\beses n) matrix bilang isang sukat na vector m n (\displaystyle mn) at gumamit ng karaniwang mga pamantayan ng vector:

‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\kaliwa(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ kanan)^(1/p))

Frobenius na pamantayan

Frobenius na pamantayan, o Euclidean na pamantayan kumakatawan sa isang espesyal na kaso ng p-norm para sa p = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j =1)^(n)a_(ij)^(2)))).

Ang Frobenius norm ay madaling kalkulahin (kumpara sa, halimbawa, ang spectral norm). May mga sumusunod na katangian:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\sum _(i=1)^(m)\left|\sum _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\kanan|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\kaliwa(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\kanan)=\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)

• Submultiplikativity: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), dahil ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\kanan|^(2)\leq \sum _(i,j)\kaliwa(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\kanan)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\right)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
• ‖ A ‖ F 2 = t r ⁡ A ∗ A = t r ⁡ A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), Saan t r ⁡ A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- bakas ng matrix A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*))- Hermitian conjugate matrix.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\dots +\rho _(n)^(2)), Saan ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- mga singular na numero ng matrix A (\displaystyle A).
• ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) ay hindi nagbabago kapag ang matrix ay pinarami A (\displaystyle A) kaliwa o kanan sa orthogonal (unitary) matrice.

Pinakamataas na module

Ang maximum na modulus norm ay isa pang espesyal na kaso ng p-norm para sa p = ∞ .

‖ A ‖ max = max ( | a i j | ) . (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)

Norma Schatten

Consistency ng matrix at vector norms

pamantayan ng matrix ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) sa K m × n (\displaystyle K^(m\beses n)) tinawag napagkasunduang may mga pamantayan ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a)) sa K n (\displaystyle K^(n)) At ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b)) sa K m (\displaystyle K^(m)), Kung:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))

para sa anumang A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\times n),x\in K^(n)). Ang pamantayan ng operator sa pamamagitan ng pagbuo ay pare-pareho sa orihinal na pamantayan ng vector.

Mga halimbawa ng coordinated ngunit hindi subordinated matrix norms:

Pagkakatumbas ng mga pamantayan

Lahat ng mga pamantayan sa espasyo K m × n (\displaystyle K^(m\beses n)) katumbas, iyon ay, para sa alinmang dalawang pamantayan ‖ . ‖ α (\displaystyle \|.\|_(\alpha )) At ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta )) at para sa anumang matrix A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\beses n)) totoo ang double inequality.

pamantayan ng matrix Tawagan natin ang totoong numero na nakatalaga sa matrix na ito ||A|| na kung saan, bilang isang tunay na numero, ay nauugnay sa bawat matrix mula sa n-dimensional na espasyo at nakakatugon sa 4 na axiom:

1. ||A||³0 at ||A||=0, kung ang A ay isang zero matrix;

2. ||αA||=|α|·||A||, kung saan ang isang R;

3. ||A+B||£||A||+||B||;

4. ||A·B||£||A||·||B||. (pag-aari ng multiplikativity)

Ang pamantayan ng mga matrice ay maaaring ipakilala sa iba't ibang paraan. Ang Matrix A ay maaaring tingnan bilang n 2 - dimensional na vector.

Ang pamantayang ito ay tinatawag na Euclidean norm ng matris.

Kung para sa anumang square matrix A at anumang vector x na ang dimensyon ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng matrix, ang hindi pagkakapantay-pantay ||Ax||£||A||·||x|| ay nasiyahan,

pagkatapos ay sinasabi namin na ang pamantayan ng matrix A ay pare-pareho sa pamantayan ng vector. Tandaan na sa kaliwa sa huling kondisyon ay ang pamantayan ng vector (Ax ay isang vector).

Ang iba't ibang mga pamantayan ng matrix ay naaayon sa isang ibinigay na pamantayan ng vector. Piliin natin ang pinakamaliit sa kanila. Ito ang mangyayari

Ang matrix norm na ito ay subordinate sa isang naibigay na vector norm. Ang pagkakaroon ng maximum sa expression na ito ay sumusunod mula sa pagpapatuloy ng pamantayan, dahil palaging mayroong isang vector x -> ||x||=1 at ||Ax||=||A||.

Ipakita natin na ang norm N(A) ay hindi napapailalim sa anumang vector norm. Ang mga pamantayan ng matrix, na nasa ilalim ng naunang ipinakilala na mga pamantayan ng vector, ay ipinahayag bilang mga sumusunod:

1. ||A|| ¥ = |a ij | (normal-maximum)

2. ||A|| 1 = |a ij | (norm-sum)

3. ||A|| 2 = , (spektral na pamantayan)

kung saan ang s 1 ay ang pinakamalaking eigenvalue ng simetriko matrix A¢A, na produkto ng transposed at orihinal na matrice. Dahil ang matrix A¢A ay simetriko, ang lahat ng eigenvalues ​​nito ay totoo at positibo. Ang numerong l ay isang eigenvalue, at ang isang di-zero na vector x ay isang eigenvector ng matrix A (kung ang mga ito ay nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng ugnayang Ax=lx). Kung ang mismong matrix A ay simetriko, A¢ = A, pagkatapos ay A¢A = A 2 at pagkatapos ay s 1 = , kung saan ang pinakamalaking absolute eigenvalue ng matrix A. Dahil dito, sa kasong ito mayroon tayong = .

Ang eigenvalues ​​ng isang matrix ay hindi lalampas sa alinman sa mga pare-parehong pamantayan nito. Ang pag-normalize ng kaugnayan na tumutukoy sa mga eigenvalues, nakukuha namin ang ||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, |λ| £||A||

Dahil ||A|| 2 £||A|| e, kung saan ang Euclidean norm ay kinakalkula nang simple, sa mga pagtatantya, sa halip na ang spectral norm, maaari mong gamitin ang Euclidean norm ng matrix.

30. Kondisyon ng mga sistema ng mga equation. Koepisyent ng kondisyon .

Degree ng conditioning- impluwensya ng desisyon sa paunang data. Ax = b: vector b tumutugma sa solusyon x. Hayaan b ay magbabago ayon sa halaga. Tapos yung vector b+ ang bagong solusyon ay tumutugma x+ : A(x+ ) = b+. Dahil ang sistema ay linear, kung gayon Ax+A = b+, Pagkatapos A = ; = ; = ; b = Ax; = pagkatapos ; * , nasaan ang relatibong error ng kaguluhan sa solusyon, - kadahilanan ng conditioningcond(A) (ilang beses maaaring tumaas ang error sa solusyon), – kamag-anak na kaguluhan ng vector b. cond(A) = ; cond(A)* Mga katangian ng koepisyent: depende sa pagpili ng matrix norm; cond( = cond(A); Ang pag-multiply ng isang matrix sa isang numero ay hindi makakaapekto sa conditioning coefficient. Kung mas malaki ang coefficient, mas malakas na nakakaapekto ang error sa source data sa solusyon ng SLAE. Ang numero ng kundisyon ay hindi maaaring mas mababa sa 1.

31. Ang paraan ng sweep para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation.

Kadalasan mayroong pangangailangan upang malutas ang mga sistema na ang mga matrice, na mahina na napuno, i.e. naglalaman ng maraming di-zero na elemento. Ang mga matrice ng naturang mga sistema ay karaniwang may isang tiyak na istraktura, kung saan ang mga sistema na may mga matrice ng isang istraktura ng laso ay nakikilala, i.e. sa kanila, ang mga di-zero na elemento ay matatagpuan sa pangunahing dayagonal at sa ilang pangalawang diagonal. Upang malutas ang mga sistema na may mga strip matrice, ang Gaussian na pamamaraan ay maaaring mabago sa mas mahusay na mga pamamaraan. Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng kaso ng mga sistema ng tape, kung saan, tulad ng makikita natin sa ibang pagkakataon, ang solusyon ng mga problema ng discretization ng mga problema sa boundary value para sa mga differential equation sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng may hangganan na pagkakaiba, may hangganan na mga elemento, atbp ay nabawasan. Ang matrix ay isang matrix kung saan ang mga di-zero na elemento ay matatagpuan lamang sa pangunahing dayagonal at katabi nito:

Ang tatlong diagonal na matrice ay may kabuuang (3n-2) na hindi zero na elemento.

I-redesign natin ang matrix coefficients:

Pagkatapos sa component-wise notation ang system ay maaaring katawanin bilang:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)

a 1 =0, c n =0. (8)

Ipinapalagay ng istraktura ng system ang isang ugnayan lamang sa pagitan ng mga kalapit na hindi alam:

x i =x i * x i +1 +h i (9)

x i -1 =x i -1* x i + h i -1 at palitan sa (7):

A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i

(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1

Ang paghahambing ng nagresultang expression sa representasyon (7), nakuha namin ang:

Ang mga formula (10) ay kumakatawan sa mga ugnayan ng pag-uulit para sa pagkalkula ng mga sweep coefficient. Nangangailangan sila ng pagtatakda ng mga paunang halaga. Alinsunod sa unang kondisyon (8) para sa i =1 mayroon kaming 1 =0, na nangangahulugang

Susunod, ang natitirang mga running coefficient ay kinakalkula at nai-save ayon sa mga formula (10) para sa i=2,3,..., n, at para sa i=n, ​​na isinasaalang-alang ang pangalawang kondisyon (8), nakukuha namin ang x n =0. Samakatuwid, alinsunod sa formula (9) x n = h n.

Pagkatapos nito, ayon sa formula (9), ang mga hindi alam na x n -1, x n -2, ..., x 1 ay sunud-sunod na natagpuan. Ang yugto ng pagkalkula na ito ay tinatawag na backward stroke, habang ang pagkalkula ng mga sweep coefficients ay tinatawag na forward stroke.

Para sa matagumpay na aplikasyon ng pamamaraan ng sweep, kinakailangan na sa panahon ng mga kalkulasyon ay dapat na walang mga sitwasyon na may dibisyon sa pamamagitan ng zero, at sa isang malaking sukat ng mga sistema ay hindi dapat magkaroon ng isang mabilis na pagtaas sa mga error sa pag-ikot. Tawagin natin itong tumakbo tama, kung ang denominator ng running coefficients (10) ay hindi maglaho, at napapanatiling, kung ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Teorama. Hayaan ang mga coefficient a i at c i ng equation (7) para sa i=2,3,..., n-1 ay iba sa zero at hayaan

½b i ½>½a i ½+½c i ½ para sa i=1, 2,..., n. (labing isang)

Kung gayon ang sweep na tinukoy ng mga formula (10), (9) ay tama at matatag.

» Aralin 12. Ranggo ng matrix. Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix. Norm ng matrices

Aralin #12. Ranggo ng matrix. Pagkalkula ng ranggo ng isang matrix. Norm ng matrices.

Kung ang lahat ng mga menor de edad ng matrisAutoskay katumbas ng zero, kung gayon ang lahat ng menor de edad ng order k+1, kung mayroon man, ay katumbas din ng zero.
Ranggo ng matrix A ay tinatawag na pinakamalaki sa mga menor de edad na order ng matris A , iba sa zero.
Ang pinakamataas na ranggo ay maaaring katumbas ng pinakamababang bilang ng bilang ng mga row o column ng matrix, i.e. kung ang matrix ay may sukat na 4x5, ang pinakamataas na ranggo ay magiging 4.
Ang minimum na ranggo ng isang matrix ay 1, maliban kung ikaw ay nakikitungo sa isang null matrix, kung saan ang ranggo ay palaging zero.

Ang rank ng isang non-singular square matrix ng order n ay katumbas ng n, dahil ang determinant nito ay minor ng order n at hindi-zero para sa non-singular matrix.
Kapag ang isang matrix ay inilipat, ang ranggo nito ay hindi nagbabago.

Hayaang ang ranggo ng matris ay . Pagkatapos ang anumang minor ng order , iba sa zero, ay tinatawag pangunahing menor de edad.
Halimbawa. Ibinigay ang Matrix A.

Ang determinant ng matrix ay zero.
Minor ng pangalawang order . Samakatuwid, ang r(A)=2 at ang menor ay basic.
Ang pangunahing menor de edad din ang menor de edad .
menor de edad , dahil =0, kaya hindi ito magiging basic.
Mag-ehersisyo: independiyenteng suriin kung aling mga pangalawang-order na menor de edad ang magiging basic at alin ang hindi.

Ang paghahanap ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagkalkula ng lahat ng mga menor de edad nito ay nangangailangan ng masyadong maraming computational work. (Maaaring suriin ng mambabasa na mayroong 36 second-order na menor de edad sa isang fourth-order square matrix.) Samakatuwid, ibang algorithm ang ginagamit upang mahanap ang ranggo. Upang ilarawan ito, kakailanganin ng ilang karagdagang impormasyon.

Tawagan natin ang mga sumusunod na aksyon sa mga ito ng elementarya na pagbabago ng mga matrice:
1) muling pagsasaayos ng mga hilera o haligi;
2) pagpaparami ng row o column sa isang numero maliban sa zero;
3) pagdaragdag sa isa sa mga row ng isa pang row na pinarami ng numero o pagdaragdag sa isa sa mga column ng isa pang column na pinarami ng numero.

Sa panahon ng mga pagbabagong elementarya, ang ranggo ng matrix ay hindi nagbabago.
Algorithm para sa pagkalkula ng ranggo ng isang matrix ay katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng determinant at binubuo sa katotohanan na, gamit ang elementarya na pagbabago, ang matrix ay nabawasan sa isang simpleng anyo kung saan hindi mahirap hanapin ang ranggo. Dahil hindi nagbago ang ranggo sa bawat pagbabagong-anyo, sa pamamagitan ng pagkalkula ng ranggo ng binagong matrix, sa gayon ay makikita natin ang ranggo ng orihinal na matrix.

Ipagpalagay na kailangan nating kalkulahin ang ranggo ng isang sukat na matrix mxn.

Bilang resulta ng mga kalkulasyon, ang matrix A1 ay may anyo

Kung ang lahat ng mga linya na nagsisimula sa ikatlo ay zero, kung gayon , mula noong menor de edad . Kung hindi, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga row at column na may mga numerong higit sa dalawa, tinitiyak namin na ang ikatlong elemento ng ikatlong row ay iba sa zero. Susunod, sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ikatlong hilera, na pinarami ng kaukulang mga numero, sa mga hilera na may mas mataas na mga numero, nakakakuha kami ng mga zero sa ikatlong hanay, simula sa ikaapat na elemento, atbp.
Sa ilang yugto, darating tayo sa isang matrix kung saan ang lahat ng mga row, simula sa (r+1)th, ay katumbas ng zero (o wala para sa ), at ang minor sa mga unang row at unang column ay ang determinant ng isang triangular matrix na may di-zero na elemento sa dayagonal . Ang ranggo ng naturang matrix ay katumbas ng . Samakatuwid, Rang(A)=r.

Sa iminungkahing algorithm para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix, ang lahat ng mga kalkulasyon ay dapat gawin nang walang pag-ikot. Ang isang di-makatwirang maliit na pagbabago sa hindi bababa sa isa sa mga elemento ng mga intermediate na matrice ay maaaring humantong sa katotohanan na ang resultang sagot ay mag-iiba mula sa ranggo ng orihinal na matrix ng ilang mga yunit.
Kung ang mga elemento sa orihinal na matrix ay mga integer, kung gayon ito ay maginhawa upang magsagawa ng mga kalkulasyon nang hindi gumagamit ng mga fraction. Samakatuwid, sa bawat yugto, ipinapayong i-multiply ang mga linya sa mga naturang numero upang ang mga fraction ay hindi lumabas sa panahon ng mga kalkulasyon.

Sa laboratoryo at praktikal na gawain, isasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng paghahanap ng ranggo ng isang matrix.

PAGHAHANAP ng ALGORITHM MGA PAMANTAYAN NG MATRIX .
Mayroon lamang tatlong pamantayan ng matris.
Unang pamantayan ng isang matrix= ang maximum ng mga numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lahat ng mga elemento ng bawat column, kinuha modulo.
Halimbawa: hayaan ang isang matrix A na may sukat na 3x2 (Larawan 10). Ang unang column ay naglalaman ng mga elemento: 8, 3, 8. Lahat ng elemento ay positibo. Hanapin natin ang kanilang kabuuan: 8+3+8=19. Ang ikalawang hanay ay naglalaman ng mga elemento: 8, -2, -8. Dalawang elemento ang negatibo, samakatuwid, kapag idinaragdag ang mga numerong ito, kinakailangang palitan ang modulus ng mga numerong ito (i.e., nang walang mga minus na palatandaan). Hanapin natin ang kanilang kabuuan: 8+2+8=18. Ang maximum ng dalawang numerong ito ay 19. Nangangahulugan ito na ang unang pamantayan ng matrix ay 19.

Larawan 10.

Pangalawang pamantayan ng matrix ay ang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng elemento ng matrix. Nangangahulugan ito na i-square namin ang lahat ng mga elemento ng matrix, pagkatapos ay idagdag ang mga resultang halaga at i-extract ang square root mula sa resulta.
Sa aming kaso, ang 2 norm ng matrix ay naging katumbas ng square root ng 269. Sa diagram, tinatayang kinuha ko ang square root ng 269 at ang resulta ay humigit-kumulang 16.401. Bagaman mas tama na huwag i-extract ang ugat.

Pangatlong pamantayan ng matris kumakatawan sa maximum ng mga numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lahat ng mga elemento ng bawat hilera, kinuha modulo.
Sa aming halimbawa: ang unang linya ay naglalaman ng mga elemento: 8, 8. Lahat ng mga elemento ay positibo. Hanapin natin ang kanilang kabuuan: 8+8=16. Ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga elemento: 3, -2. Ang isa sa mga elemento ay negatibo, kaya kapag idinagdag ang mga numerong ito, kinakailangang palitan ang modulus ng numerong ito. Hanapin natin ang kanilang kabuuan: 3+2=5. Ang ikatlong linya ay naglalaman ng mga elemento 8 at -8. Ang isa sa mga elemento ay negatibo, kaya kapag idinagdag ang mga numerong ito, kinakailangang palitan ang modulus ng numerong ito. Hanapin natin ang kanilang kabuuan: 8+8=16. Ang maximum ng tatlong numerong ito ay 16. Nangangahulugan ito na ang ikatlong pamantayan ng matrix ay 16.

Compiled by: Saliy N.A.