Mga paraan upang tukuyin ang isang eroplano na natatanging tumutukoy sa posisyon ng eroplano sa kalawakan (tingnan ang Fig. 16):
a) tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya;
b) isang linya at isang punto sa labas ng linya;
c) parallel na linya;
d) mga interseksyon na linya.
e) isang flat figure;
Sa diagram, ang eroplano ay tinukoy ng mga projection ng nakalistang geometric na elemento at mga bakas. Ang mga elementong ito ay tinatawag na plane determinant (∆).
Ang isang eroplano sa kalawakan ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga bakas (tingnan ang Fig. 17). Ang bakas ng eroplano ay ang linya ng intersection ng ibinigay na eroplano sa eroplano ng mga projection. Sa isang sistema ng tatlong projection planes, ang eroplano pangkalahatang posisyon p(hindi patayo at hindi parallel sa projection planes) ay maaaring magkaroon ng tatlong bakas - pahalang ( R 1 ), pangharap ( R 2 ), profile ( R 3 ); Рх, Ru, Рz- mga nawawalang punto (Larawan 17)
3.2. Mga eroplano ng pribadong posisyon.
Ang mga eroplano ng pribadong posisyon ay kinabibilangan ng:
Projecting planes, i.e. mga eroplanong patayo sa isa sa mga projection plane (Larawan 18);
Ang mga level plane ay mga eroplanong parallel sa isa sa mga projection plane (Larawan 19).
3.3. Pag-project ng mga eroplano
Mga tampok ng projecting planes:
1. Ang isang projection ng anumang elemento na matatagpuan sa projecting plane ay tumutugma sa kaukulang bakas ng eroplanong ito;
2. Sa diagram, ang anggulo ng pagkahilig ng ibinigay na eroplano sa eroplano ng mga projection ay inaasahang sa totoong halaga (Larawan 18).
3.4. Mga antas ng eroplano
Ang isang tampok ng mga antas ng eroplano ay ang anumang flat figure na matatagpuan sa naturang eroplano ay inaasahang papunta sa isang eroplanong parallel dito nang walang distortion, i.e. sa totoong halaga (Larawan 19).
Upang makabuo ng mga elemento na nasa eroplano ng pangkalahatang posisyon, kailangan mong sundin ang dalawang panuntunan:
Ang isang tuwid na linya ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay dumaan sa dalawang punto na nakahiga sa isang eroplano o kung ito ay dumaan sa isang punto na nakahiga sa isang eroplano at parallel sa isa pang tuwid na linya na matatagpuan sa eroplanong ito (Larawan 20);
Ang isang punto ay nasa isang eroplano kung ito ay nasa isang tuwid na linya na matatagpuan sa eroplanong ito (Larawan 21).
3.6. Mga pangunahing linya ng eroplano.
Pahalang (h) - isang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano at sabay-sabay na parallel sa eroplano P 1 (Larawan 22). Pangharap ( f) ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano at parallel sa eroplano P 2 . Ang linya ng pinakamalaking inclination ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano at patayo sa alinman sa mga pahalang o sa harap ng eroplano. Gamit ang linya ng pinakadakilang pagkahilig, tinutukoy ang anggulo ng pagkahilig ng eroplano sa mga projection plane. Ang linya ng pinakadakilang pagkahilig, na matatagpuan patayo sa mga pahalang na eroplano, ay tinatawag ding linya ng slope ng eroplano (VC Fig. 22).
Gamit ang linya ng slope, tinutukoy ang anggulo ng pagkahilig ng eroplano ABC sa pahalang na projection plane. Upang gawin ito, kinakailangan upang matukoy ang aktwal na sukat nito gamit ang paraan ng isang tamang tatsulok, at ang anggulo sa pagitan ng natural na sukat at ang pahalang na projection ay ang nais na anggulo.
3.7. Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili.
Ilista at ilarawan ang mga graphical na paraan ng pagtukoy ng isang eroplano sa isang kumplikadong pagguhit.
Ano ang ibig sabihin ng bakas ng isang eroplano?
Anong eroplano ang tinatawag na projecting plane at ano ang mga graphic features nito sa drawing?
Ibigay ang mga graphical na katangian ng mga eroplano: pahalang - projecting, frontally - projecting, profile - projecting.
Aling eroplano ang tinatawag na level plane?
Ano ang pahalang na eroplano? Pangharap? profile? Ipakita ang mga ito sa guhit.
Ano ang mga palatandaan ng pag-aari sa isang tuwid na eroplano, mga punto ng eroplano.
Ipakita sa guhit kung paano maaaring ilakip ang isang linya sa isang eroplano.
Pangalanan ang mga pangunahing linya ng eroplano.
Paano matukoy ang anggulo ng pagkahilig ng eroplano sa pahalang na projection plane?
Dito, mula sa mga axiom ng stereometry na pinagtibay namin, nakakakuha kami ng mahahalagang theorems at corollaries tungkol sa mga linya at eroplano. Sa kanilang sarili, sila ay medyo halata. Isaalang-alang ang kanilang mga patunay, na nagpapakita kung paano ang anumang pahayag ay mahigpit na mahihinuha mula sa mga axiom kasama ang lahat ng kinakailangang mga sanggunian.
2.1 Pagtukoy sa isang tuwid na linya na may dalawang puntos
Patunay. Sa Seksyon 1.1 napatunayan na na sa bawat dalawang puntong A at B ay may dumadaan na linya a.
Patunayan natin na ang linyang ito ay isa lamang. Ang linya a ay nasa ilang eroplano a. Ipagpalagay natin na, bilang karagdagan sa linya a, ang linya b ay dumadaan din sa mga puntong A, B (Larawan 31). Ayon sa axiom 3, ang isang linya na may dalawang puntos na karaniwan sa isang eroplano ay nasa eroplanong ito. Dahil ang linya b ay may mga karaniwang puntos na A at B na may a, kung gayon ang b ay nasa eroplanong α.
kanin. 31
Ngunit sa eroplano a, ang planimetry ay isinasagawa, at, dahil dito, isang tuwid na linya lamang ang dumadaan sa dalawang puntos na A at B. Kaya ang mga linyang a at b ay nagtutugma. Kaya, isang tuwid na linya lamang ang dumadaan sa mga puntong A at B.
Bunga. Sa kalawakan (pati na rin sa isang eroplano), ang dalawang natatanging linya ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang karaniwang punto.
Dalawang linya na may iisang karaniwang punto ay tinatawag na intersecting.
Magkomento. Hindi palaging ang isang panukala na totoo sa planimetry ay totoo din sa solid geometry. Kaya, halimbawa, sa isang eroplano sa pamamagitan ng dalawang ibinigay na mga punto N, S, isang bilog lamang na may diameter na NS ang pumasa, at sa puwang ng naturang mga bilog mayroong isang walang katapusang hanay - sa bawat eroplano na dumadaan sa mga puntos na N, S, tulad isang bilog ang namamalagi (Larawan 32, a).
kanin. 32
Ngunit ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong N, S sa espasyo ay isa lamang. Ito ay isang karaniwang linya ng lahat ng mga eroplano na dumadaan sa mga puntong N, S (Larawan 32, b).
Sa pagpapatunay na mayroon lamang isang linya sa kalawakan sa bawat dalawang punto, maaari nating tukuyin ang isang linya sa kalawakan sa pamamagitan ng anumang pares ng mga punto nito, nang hindi nababahala tungkol sa eroplano kung saan matatagpuan ang linyang ito. Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa mga punto A, B ay denoted (AB).
Totoo rin ito para sa mga segment: bawat dalawang punto sa espasyo ay nagsisilbing dulo ng isang segment.
2.2 Pagtukoy sa isang eroplano na may tatlong puntos
Patunay. Hayaang ang mga puntong A, B, C ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Ayon sa axiom ng eroplano, ang ilang eroplano ay dumadaan sa mga puntong ito (tingnan ang Fig. 6). Pinatunayan natin na isa lang.
Ipagpalagay natin na ang isa pang eroplano (3) maliban sa a ay dumadaan sa mga puntong A, B, C. Ang mga eroplanong a at p ay may mga karaniwang punto (halimbawa, ang puntong A). Ayon sa axiom 2, ang intersection ng mga eroplanong α at β ang kanilang karaniwang linya. Dito lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong α at β ay nasa tuwid na linya, at samakatuwid ang mga puntong A, B, C. Ngunit ito ay sumasalungat sa kondisyon ng teorama, dahil, ayon dito, A , B, C ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Kaya, sa pamamagitan ng mga puntong A, B, C ay dumadaan lamang sa isang eroplanong α.
Ang eroplanong dumadaan sa tatlong puntong A, B, C, na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, ay denoted (ABC).
Madaling ilarawan ang Theorem 2. Halimbawa, ang posisyon ng isang pinto ay naayos sa pamamagitan ng dalawang bisagra ng pinto at isang lock.
2.3 Pagtukoy ng isang eroplano na may linya at isang punto at dalawang linya
Patunay. Hayaang magbigay ng linya a at punto A na hindi nakalagay dito. Kumuha ng dalawang puntos B at C sa linya a (Larawan 33). Ang punto A ay hindi namamalagi sa kanila sa parehong linya, dahil isang linya lamang ang dumadaan sa mga puntos na B at C - ito ang linya a, at ang punto A ay hindi namamalagi dito sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama.
kanin. 33
Sa pamamagitan ng mga puntos na A, B, C, na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, ay dumadaan (sa pamamagitan ng Theorem 2) ang tanging eroplanong ABC. Ang linya a ay may dalawang karaniwang mga punto B at C kasama nito at, samakatuwid, sa pamamagitan ng axiom 3 ay namamalagi dito. Kaya, ang eroplanong ABC ay ang eroplanong dumadaan sa linya a at sa puntong A.
Pinatunayan namin ang pagiging natatangi ng naturang eroplano sa pamamagitan ng kontradiksyon.
Hayaang magkaroon ng isa pang eroplanong β na naglalaman ng linya a at ang puntong A. Pagkatapos ay naglalaman ito ng mga puntos na B at C. Sa pamamagitan ng Theorem 2, dapat itong tumutugma sa eroplanong ABC. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapatunay sa pagiging natatangi.
Narito ang isang paglalarawan ng teorama na ito: pagpihit sa pabalat ng isang libro, inaayos mo ang posisyon nito gamit ang iyong mga daliri sa bawat sandali.
Patunay. Hayaang magsalubong ang mga linya a at b sa punto A. Kumuha ng isa pang punto B sa linya b (Larawan 34). Sa pamamagitan ng Theorem 3, ang eroplano a ay dumadaan sa linya a at sa punto B. Ayon sa axiom 3, ang linya b ay namamalagi sa eroplanong ito, dahil mayroon itong dalawang karaniwang puntong A at B kasama nito. Kaya, ang eroplanong a ay dumadaan sa mga linyang a at b. Patunayan ang pagiging natatangi ng naturang eroplano sa pamamagitan ng kontradiksyon.
kanin. 34
Ngayon alam namin ang tatlong paraan upang tukuyin ang isang eroplano:
- tatlong puntos na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya;
- isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito;
- dalawang magkasalubong na linya.
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili
- Ano ang alam mo tungkol sa mga paraan ng pagtatakda ng tuwid na linya sa kalawakan?
- Ano ang alam mo kung paano tukuyin ang isang eroplano?
Ang posisyon ng isang eroplano sa kalawakan ay natutukoy sa pamamagitan ng tatlong punto nito na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya. Samakatuwid, upang magtakda ng isang eroplano sa diagram, sapat na upang itakda ang tatlong puntos nito (Larawan 206). Ang eroplano ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang punto at isang tuwid na linya (Larawan 207, a), dalawang magkatulad na linya (Larawan 207, b), dalawang intersecting na linya (Larawan 207, c), isang tatsulok (Larawan 207, d ).
Maaari mong itakda ang eroplano na may mga bakas. Ang bakas ng isang eroplano ay isang tuwid na linya kung saan binigay na eroplano tumatawid sa projection plane. Sa fig. 208 Pv - frontal trace ng eroplano Р, Рн - horizontal trace ng eroplano Р, Pw - profile trace ng plane Р.
Iba't ibang mga kaso ng pag-aayos ng mga eroplano na nauugnay sa mga eroplano ng mga projection
Eroplano sa pangkalahatang posisyon - isang eroplanong matatagpuan pahilig sa lahat ng projection planes (Larawan 208). Ang nasabing eroplano ay bumalandra sa tatlong projection planes sa mga tuwid na linya, na mga bakas ng eroplanong ito. Ang bawat pares ng mga bakas ay nagtatagpo sa isang puntong tinatawag na nawawalang punto ng mga bakas ng eroplano at matatagpuan sa projection axis. Ang eroplano ng pangkalahatang posisyon ay may tatlong nawawalang punto, na tinutukoy ng Px, Ru, Pz. Sa mga puntong ito, nag-intersect ang eroplano sa mga coordinate axes. Ang mga figure ng eroplano na nakahiga sa eroplano ng pangkalahatang posisyon ay inaasahang may distortion projection.
Projecting eroplano - isang eroplanong patayo sa anumang eroplano ng mga projection.
Pahalang - projecting plane - isang eroplanong patayo sa pahalang na eroplano ng mga projection H (Larawan 209).
Frontly projecting plane - isang eroplanong patayo sa frontal projection plane (Larawan 210).
Profile-projecting na eroplano - isang eroplanong patayo sa profile plane ng mga projection (Larawan 211).
Ang projecting plane ay naka-project sa projection plane, kung saan ito ay patayo, sa isang tuwid na linya. Pa fig. 209 ang eroplanong Р ay pahalang na naka-project, ang ΔАВС, na nakahiga sa eroplanong Р, ay na-project sa isang segment ng isang tuwid na linya, na tumutugma sa bakas ng eroplanong Рн. Sa fig. Ang 210 ΔDEF, na kabilang sa frontally projecting plane R, ay itinatakda sa isang segment na tumutugma sa bakas ng eroplanong Rv. Sa fig. 211 ΔKMN, na nakahiga sa profile-projecting plane Q, ay naka-project sa eroplanong W sa isang segment na kasabay ng bakas ng plane Qw. Samakatuwid, ang mga projecting plane ay kadalasang ginagamit bilang mga auxiliary plane para sa iba't ibang constructions. Halimbawa, upang gumuhit ng isang pahalang na projection na eroplano sa pamamagitan ng linya AB (Larawan 212), sapat na upang gumuhit ng isang pahalang na bakas ng eroplanong ito sa pamamagitan ng pahalang na projection ng linya ab, dahil lahat ng bagay na nasa eroplanong ito, kabilang ang ang linyang AB, ay naka-project sa pahalang na track nito. Ang frontal trace ng frontally projecting plane ay kasabay ng frontal projection ng straight line a "b" (Fig. 213). Ang mga bakas ng projection planes sa ibang projection planes ay patayo sa kaukulang projection axes (tingnan ang Fig. 209, 210, 211).
kanin. 212 Fig. 213
Ang mga eroplanong patayo sa dalawang projection plane ay parallel sa ikatlong projection plane . Ang mga geometric figure na nakahiga sa mga eroplanong ito ay inaasahang walang pagbaluktot sa projection plane kung saan ang eroplanong ito ay parallel (Larawan 214, 215; 216). Ang nasabing mga eroplano ay tinatawag sa parehong paraan tulad ng projection plane, parallel kung saan sila matatagpuan: horizontal plane (Fig. 214), frontal plane (Fig. 215), profile plane (Fig. 216).
Ang posisyon ng isang eroplano sa kalawakan ay natutukoy sa pamamagitan ng tatlong mga punto na hindi namamalagi sa isang linya, isang linya at isang punto na kinuha sa labas ng linya, dalawang intersecting na linya at dalawang parallel na linya. Alinsunod dito, ang eroplano sa pagguhit (Larawan 3.1) ay maaaring itakda sa pamamagitan ng mga projection ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya (a), isang tuwid na linya at isang punto na kinuha sa labas ng tuwid na linya (b), dalawang magkasalubong na linya (V), dalawang magkatulad na linya (d). Ang mga projection ng anumang flat figure ay maaari ding magsilbi bilang isang sanggunian sa eroplano sa pagguhit; halimbawa, tingnan ang fig. 3.10 imahe ng isang eroplano sa pamamagitan ng mga projection ng isang tatsulok.
Posisyon ng eroplano na may kaugnayan sa projection planes
Ang eroplano na may kaugnayan sa mga eroplano ng mga projection ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na posisyon: 1) hindi patayo sa mga eroplano ng mga projection; 2) patayo sa isang projection plane; 3) patayo sa dalawang projection planes.
Ang isang eroplano na hindi patayo sa alinman sa mga projection na eroplano ay tinatawag na isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (tingnan ang Fig. 3.1).
Ang pangalawa at pangatlong posisyon ng mga eroplano ay mga espesyal na kaso. Ang mga eroplano sa mga posisyong ito ay tinatawag na projecting planes.
Isang eroplanong patayo sa isang projection plane. Isang visual na representasyon ng eroplano na ibinigay ng isang tatsulok ABC at patayo sa eroplano ∏!, ay ipinapakita sa Fig. 3.2, ang pagguhit nito ay nasa fig. 3.3. Ang eroplanong ito ay tinatawag pahalang na projecting.
Visual na representasyon ng plane β na tinukoy ng isang paralelogram A B C D, patayo sa frontal projection plane, ay ipinapakita sa fig. 3.4, ang pagguhit nito ay nasa fig. 3.5. Ang eroplanong ito ay tinatawag na front projecting.
Pagguhit ng eroplano sa anyo ng isang tatsulok na may mga projection A "B" C "A" B "C", A "" B tn C"", patayo sa profile plane ng mga projection, ay ipinapakita sa fig. 3.6. Ang nasabing eroplano ay tinatawag na profile-projecting plane.
Mga bakas ng eroplano. Tinatawag ang linya ng intersection ng eroplano sa projection plane susunod. Ang linya ng intersection ng ilang eroplano
sti a ibinigay ng isang tatsulok ABC, na may π plane, denoted a", a na may π2 plane - a" (tingnan ang Fig. 3.2).
Ang linya ng intersection ng eroplano na may π na eroplano ay tinatawag na pahalang na bakas, na may π2 na eroplano - ang pangharap na bakas, na may π na eroplano - ang bakas ng profile.
Para sa isang eroplanong patayo sa π plane, ang pahalang na bakas ng "(tingnan ang Fig. 3.2,3.3) ay matatagpuan sa isang anggulo sa x-axis, na tumutugma sa anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa frontal projection plane, at ang frontal trace a" ay patayo sa x-axis.
Katulad nito, para sa ilang eroplanong β patayo sa eroplanong π2 (tingnan ang Fig. 3.4,3.5), ang frontal wake β" ay matatagpuan sa isang anggulo sa axis. X, katumbas na anggulo ng pagkahilig ng eroplanong ito sa eroplano ∏), at ang pahalang na track β" ay patayo sa axis X.
Sa mga guhit, ang bakas na patayo sa projection axis, kadalasan, kapag hindi ito nakikilahok sa mga konstruksyon, ay hindi inilalarawan.
Pag-aari ng mga projection ng mga geometric na elemento na nakahiga sa projecting na mga eroplano(tingnan ang § 1.1, ∏. 1, V). Ang projecting plane ay inilalarawan bilang isang tuwid na linya
linya sa projection plane kung saan ito ay patayo. Samakatuwid, anumang sarado geometric na pigura, na nakahiga sa projecting plane, ay naka-project sa projection plane na ito sa isang straight line segment.
Mga eroplanong patayo sa dalawang projection plane. Kung ang isang eroplano ay patayo sa dalawang projection plane, kung gayon ito ay parallel sa ikatlong projection plane. Ang nasabing eroplano ay tinatawag na pahalang (parallel sa π plane), frontal (parallel sa π2 plane) at profile (parallel sa π3 plane).
Ang mga halimbawa ng kanilang mga visual na imahe at mga guhit ay ipinapakita sa fig. 3.7, a, b(pangharap na eroplano sa at ang sarili nitong punto A), sa fig. 3.8, a, b (horizontal plane β at isang puntong kabilang dito SA), sa fig. 3.9 a, b(profile plane a at ang puntong Q na kabilang dito.
Ang posisyon ng eroplano sa kalawakan ay maaaring matukoy sa pagguhit sa isa sa mga sumusunod na paraan:
1. Tatlong puntos na hindi nakalagay sa isang tuwid na linya ( kanin. 35).
2. Isang linya at isang punto na hindi nakalagay sa linyang ito ( kanin. 36).
3. Dalawang magkasalubong na linya ( kanin. 37).
4. Dalawang magkatulad na tuwid na linya (Fig. 38 ).
5. Flat figure ( kanin. 39).
6. Bakas ( kanin. 40, 41).
7. Mga parameter ng eroplano.
 |
|
 |  |
 | |
 |  |
Mga bakas ng eroplano
Kasunod ng eroplano tinatawag na linya ng intersection ng eroplano sa eroplano ng mga projection . Ang bakas ng isang eroplano ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang eroplano, na may isang subscript na tumutugma sa pangalan ng projection plane kung saan ang ibinigay na isa ay intersect. Kung isang eroplano (tawagin natin ito P ) ay hindi parallel sa anumang projection plane, pagkatapos ay i-intersect nito ang lahat ng tatlong projection plane at, samakatuwid, ay may tatlong bakas - pahalang P H , pangharap P V at profile PW (kanin. 40, 41). Tulad ng anumang tuwid na linya, ang anumang bakas ng isang eroplano ay may tatlong projection, ngunit, upang mapadali ang pagbabasa ng diagram, kaugalian na italaga lamang ang projection na iyon ng bakas na hindi tumutugma sa projection axis. Ang posisyon ng anumang bakas ng isang eroplano, tulad ng anumang tuwid na linya, ay tinutukoy ng posisyon ng dalawang punto nito. Para sa mga bakas ng isang eroplano, ang mga naturang punto ay maaaring tawaging mga puntos nawawalang puntos, iyon ay, ang mga punto kung saan ang eroplano ay nag-intersect sa mga coordinate axes - P x ,P y ,Pz . Mga numerong halaga mga coordinate x , y , At z ang mga nawawalang punto ay tinatawag mga parameter ng eroplano.