Kosinus zbroja i razlike dvaju kutova
U ovom odjeljku će se dokazati sljedeće dvije formule:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Kosinus zbroja (razlike) dvaju kutova jednak je umnošku kosinusa tih kutova minus (plus) umnošku sinusa tih kutova.
Bit će nam zgodnije da počnemo s dokazom formule (2). Radi jednostavnosti prikaza, pretpostavimo najprije da su kutovi α I β zadovoljiti sljedeće uvjete:
1) svaki od ovih kutova je nenegativan i manji 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Neka pozitivni dio osi 0x bude zajednička početna stranica kutova α I β .
Krajnje stranice ovih kutova označavamo s 0A, odnosno 0B. Očito kut α - β može se smatrati kutom za koji zraku 0B treba zarotirati oko točke 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu tako da se njen smjer poklapa sa smjerom zrake 0A.
Na zrakama 0A i 0B označimo točke M i N koje se nalaze na udaljenosti 1 od ishodišta koordinata 0, tako da je 0M = 0N = 1.
U koordinatnom sustavu x0y točka M ima koordinate ( cos α, sin α), a točka N su koordinate ( cos β, sin β). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
U našim izračunima koristili smo identitet
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Sada razmotrite drugi koordinatni sustav B0C, koji se dobiva rotiranjem osi 0x i 0y oko točke 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za kut β .
U ovom koordinatnom sustavu točka M ima koordinate (cos ( α - β ), grijeh ( α - β )), a točka N je koordinate (1,0). Dakle, kvadrat udaljenosti između njih je:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Ali udaljenost između točaka M i N ne ovisi o tome s kojim koordinatnim sustavom te točke promatramo u odnosu. Zato
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Ovdje slijedi formula (2).
Sada bismo se trebali sjetiti dvaju ograničenja koja smo nametnuli radi jednostavnosti prikaza kutova α I β .
Zahtjev da svaki od uglova α I β nije bio negativan, nije bio značajan. Uostalom, bilo kojem od ovih kutova možete dodati kut koji je višekratnik broja 2, što neće utjecati na valjanost formule (2). Na isti način, od svakog od ovih kutova možete oduzeti kut koji je višekratnik 2π. Stoga možemo pretpostaviti da 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Stanje se također pokazuje beznačajnim α > β . Doista, ako α < β , To β >α ; dakle, s obzirom na paritet funkcije cos x , dobivamo:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
što se u biti podudara s formulom (2). Dakle, formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
vrijedi za sve kutove α I β . Konkretno, zamjena u njemu β na - β a s obzirom na to da funkcija cosx je paran, a funkcija grijehx čudno, dobivamo:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
što dokazuje formulu (1).
Dakle, formule (1) i (2) su dokazane.
Primjeri.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Vježbe
1 . Izračunajte bez korištenja trigonometrijske tablice:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Pojednostavite izraze:
a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) grijeh ( α - 24°).
V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α + tg α grijeh 2 α .
3 . Izračunati :
a) cos(α - β), Ako
cos α = - 2 / 5 , grijeh β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), ako je cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Pronaći cos(α + β) i cos (α - β) ,ako se zna da grijes α = 7/25, cos β = - 5 / 13 i oba kuta ( α I β ) završavaju u istoj četvrtini.
5 .Izračunati:
A). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju nam prijelaz sa zbroja ovih kutova na umnožak kutova α + β 2 i α - β 2. Odmah napominjemo da ne smijete brkati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo ove formule, dajemo njihove izvode i prikazujemo primjere primjene za specifične probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa
Zapišimo kako izgledaju formule zbroja i razlike za sinuse i kosinuse
Formule zbroja i razlike za sinuse
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Formule zbroja i razlike za kosinuse
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj odnosno polurazlika kutova alfa i beta. Navedimo formulaciju za svaku formulu.
Definicije formula za zbrojeve i razlike sinusa i kosinusa
Zbroj sinusa dvaju kutova jednak dvostruko veći proizvod sinus poluzbroja ovih kutova kosinusom polurazlike.
Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.
Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.
Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetog s negativnim predznakom.
Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa
Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Nabrojimo ih u nastavku
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Zamislimo i same kutove kao zbroj poluzbroja i polurazlike.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.
Derivacija formule za zbroj sinusa
U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove danima gore. Dobivamo
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Sada primjenjujemo formulu zbrajanja na prvi izraz, a formulu za sinus kutnih razlika na drugi (vidi formule iznad)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorite zagrade, dodajte slične članove i dobijte traženu formulu
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Koraci za izvođenje preostalih formula su slični.
Izvod formule za razliku sinusa
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Derivacija formule za zbroj kosinusa
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Derivacija formule za razliku kosinusa
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Primjeri rješavanja praktičnih problema
Prvo, provjerimo jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2, β = π 6. Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo ćemo koristiti tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, a zatim ćemo primijeniti formulu za zbroj sinusa.
Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo razliku sinusa ovih kutova.
Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći sa zbroja ili razlike na umnožak trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe i tijekom pretvorbe trigonometrijski izrazi.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznatu drugu.
Odmah nabrojimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tablicu, au nastavku ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.
Navigacija po stranici.
Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta
Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan 
. Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i, odnosno, i jednakosti 
I 
slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.
Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.
Prije nego dokažemo glavni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.
Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi kada pretvaranje trigonometrijskih izraza. Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.
Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus
Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i 
neposredno slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. 
, a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. 
.
Zahvaljujući takvoj očitosti identiteta i Tangens i kotangens se često definiraju ne kroz odnos apscise i ordinate, već kroz odnos sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.
U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijati za sve kutove pod kojima su elementi uključeni u njih trigonometrijske funkcije ima smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje s nulom), i formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.
Odnos tangensa i kotangensa
Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da vrijedi za bilo koji kut osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.
Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle 
. Dokaz se mogao izvesti malo drugačije. Od , To 
.
Dakle, tangens i kotangens istog kuta pod kojim imaju smisla su .
U ovom članku ćemo govoriti o univerzalna trigonometrijska supstitucija. Uključuje izražavanje sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa bilo kojeg kuta kroz tangens polukuta. Štoviše, takva se zamjena provodi racionalno, to jest bez korijena.
Prvo ćemo zapisati formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens u smislu tangensa polukuta. Zatim ćemo pokazati izvođenje ovih formula. Zaključno, pogledajmo nekoliko primjera korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije.
Navigacija po stranici.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kroz tangens polukuta
Prvo, zapišimo četiri formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta kroz tangens polukuta.
Navedene formule vrijede za sve kutove u kojima su definirani tangenti i kotangenti koji su u njima uključeni:
Izvođenje formula
Analizirajmo izvođenje formula koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta kroz tangens polukuta. Počnimo s formulama za sinus i kosinus.
Predstavimo sinus i kosinus pomoću formule dvostrukog kuta kao 
I 
odnosno. Sada izrazi 
I 
zapisujemo u obliku razlomaka s nazivnikom 1 as 
I 
. Zatim, na temelju glavnog trigonometrijskog identiteta, jedinice u nazivniku zamijenimo zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa, nakon čega dobivamo 
I 
. Na kraju dijelimo brojnik i nazivnik dobivenih razlomaka s (pod uvjetom da je njegova vrijednost različita od nule 
). Kao rezultat toga, cijeli lanac radnji izgleda ovako: 
I 
Ovime je završeno izvođenje formula koje izražavaju sinus i kosinus kroz tangens polukuta.
Ostaje izvesti formule za tangens i kotangens. Sada, uzimajući u obzir gore dobivene formule, obje formule i 
, odmah dobivamo formule koje izražavaju tangens i kotangens kroz tangens polukuta: 
Dakle, izveli smo sve formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju.
Primjeri korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije
Prvo, pogledajmo primjer korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije pri transformaciji izraza.
Primjer.
Daj izraz 
na izraz koji sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.
Riješenje.
Odgovor:
.
Bibliografija.
- Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Obrazovanje, 1990.- 272 str.: ilustr.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn i dr.; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Obrazovanje, 2004. - il.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
Trigonometrijski identiteti- to su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta, što vam omogućuje da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uvjetom da je poznata bilo koja druga.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ova identičnost kaže da je zbroj kvadrata sinusa jednog kuta i kvadrata kosinusa jednog kuta jednak jedan, što u praksi omogućuje izračunavanje sinusa jednog kuta kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .
Kod pretvorbe trigonometrijskih izraza vrlo se često koristi ovaj identitet koji vam omogućuje da zamijenite zbroj kvadrata kosinusa i sinusa jednog kuta s jednim i također izvršite operaciju zamjene obrnutim redoslijedom.
Određivanje tangensa i kotangensa pomoću sinusa i kosinusa
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ti se identiteti formiraju iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Uostalom, ako pogledate to, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x kosinus. Tada će tangens biti jednak omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bit će kotangens.
Dodajmo da će samo za takve kutove \alpha pri kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla vrijediti identiteti, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za kutove \alpha koji su različiti od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kut \alpha koji nije \pi z, z je cijeli broj.
Odnos tangensa i kotangensa
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ovaj identitet vrijedi samo za kutove \alpha koji su različiti od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom, kotangens ili tangens neće biti određeni.
Na temelju gornjih točaka dobivamo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz toga slijedi da tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangens i kotangens istog kuta u kojem imaju smisla međusobno su inverzni brojevi.
Odnosi tangensa i kosinusa, kotangensa i sinusa
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbroj kvadrata tangensa kuta \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa tog kuta. Ovaj identitet vrijedi za sve \alpha osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbroj 1 i kvadrata kotangensa kuta \alpha jednak je inverznom kvadratu sinusa zadani kut. Ovaj identitet vrijedi za bilo koji \alpha različit od \pi z.
Primjeri s rješenjima zadataka pomoću trigonometrijskih identiteta
Primjer 1
Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Prikaži rješenje
Riješenje
Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjenom u ovu formulu \cos \alpha = -\frac12, dobivamo:
\sin^(2)\alpha + \lijevo (-\frac12 \desno)^2 = 1
Ova jednadžba ima 2 rješenja:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Da bismo pronašli tan \alpha, koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Primjer 2
Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako je i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Prikaži rješenje
Riješenje
Zamjena u formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dati broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobivamo \lijevo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednadžba ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Da bismo pronašli ctg \alpha , koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).