Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta pomoći će vam da razumijete pravokutni trokut.
Kako se zovu strane? pravokutni trokut? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \(AC\)); noge su dvije preostale strane \(AB\) i \(BC\) (one koje graniče s pravi kut), a ako uzmemo u obzir krake u odnosu na kut \(BC\), tada je krak \(AB\) susjedni krak, a krak \(BC\) suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?
Sinus kuta– ovo je omjer suprotne (udaljene) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus kuta– ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangens kuta– to je odnos suprotne (daleke) strane prema susjednoj (bliskoj).
U našem trokutu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens kuta– ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daljoj).
U našem trokutu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
Kosinus→dodir→dodir→susjedni;
Kotangens→dodir→dodir→susjedan.
Prije svega, trebate zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod istim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \(\beta \) . Prema definiciji, iz trokuta \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus kuta \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!
Za trokut \(ABC \) prikazan na donjoj slici nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)
Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \(\beta \) .
odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Jedinična (trigonometrijska) kružnica
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav se krug zove singl. Bit će vrlo koristan pri proučavanju trigonometrije. Stoga, pogledajmo ga malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je konstruiran u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice je jednak jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu koordinata, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \(x\) (u našem primjeru, ovo je polumjer \(AB\)).
Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati duž \(x\) osi i koordinati duž \(y\) osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Promotrimo trokut \(ACG\) . Pravokutan je jer je \(CG\) okomit na os \(x\).
Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinične kružnice, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo što se događa:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Čemu je jednako \(\sin \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \)? Pa naravno, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijte:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Dakle, možete li reći koje koordinate ima točka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Što ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! A kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordiniraj \(y\)! Dakle poanta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Što ako je kut veći? Na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovno pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kut (kao susjedni kutu \(\beta \) ). Koja je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa kuta - koordinate \(x\) ; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije vrijede za bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi \(x\). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, dobit ćete i kut određene vrijednosti, ali samo negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Je li moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), stoga će radijus vektor napraviti jedan puni krug i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .
U drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna kruga i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Donja slika prikazuje kut \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara kutu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(niz)\)
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim kutnim mjerama. Pa, krenimo redom: kut unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara točki s koordinatama \(\left(0;1 \right) \), dakle:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju točkama s koordinatama \(\lijevo(-1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0;-1 \desno),\tekst( )\lijevo(1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji
\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:
Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate ga zapamtiti ili moći prikazati!! \) !}
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) navedeni u tablici u nastavku, morate zapamtiti:
Nemojte se bojati, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:
Za korištenje ove metode bitno je zapamtiti sinusne vrijednosti za sve tri mjere kuta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangensa kuta u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\kraj(niza)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojnik "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tablice.
Koordinate točke na kružnici
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na krugu, znajući koordinate središta kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa naravno da možete! Izvadimo ga opća formula pronaći koordinate točke. Na primjer, ovdje je krug ispred nas:
Dobili smo tu točku \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kruga je \(1,5\) . Potrebno je pronaći koordinate točke \(P\) dobivene rotacijom točke \(O\) za \(\delta \) stupnjeva.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) točke \(P\) odgovara duljini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Duljina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) središta kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Duljina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Zatim to imamo za točku \(P\) koordinatu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za točku \(P\) . Tako,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Dakle, u opći pogled koordinate točaka određuju se formulama:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središta kruga,
\(r\) - polumjer kruga,
\(\delta \) - kut rotacije polumjera vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta jednake nuli, a polumjer jednak jedan:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.Da biste izvršili izračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
Trigonometrija je grana matematičke znanosti koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u staroj Grčkoj. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove znanosti.
Ovaj je članak posvećen Osnovni koncepti i definicije trigonometrije. Razmatra definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Njihovo značenje objašnjeno je i ilustrirano u kontekstu geometrije.
Yandex.RTB R-A-339285-1
U početku su se definicije trigonometrijskih funkcija čiji je argument kut izražavale u terminima omjera stranica pravokutnog trokuta.
Definicije trigonometrijskih funkcija
Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot tom kutu i hipotenuze.
Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
Tangens kuta (t g α) - omjer suprotne stranice prema susjednoj strani.
Kotangens kuta (c t g α) - omjer susjedne i suprotne stranice.
Ove definicije su date za oštar kut pravokutni trokut!
Dajmo ilustraciju.
U trokutu ABC s pravim kutom C sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.
Definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa omogućuju vam izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.
Važno je zapamtiti!
Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa je od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangensa i kotangensa je cijeli brojevni pravac, odnosno te funkcije mogu poprimiti bilo koje vrijednosti.
Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi koncept kuta rotacije, čija vrijednost, za razliku od šiljastog kuta, nije ograničena na 0 do 90 stupnjeva. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞. .
U ovom kontekstu možemo definirati sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislimo jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu Kartezijevog koordinatnog sustava.
Početna točka A s koordinatama (1, 0) rotira oko središta jedinične kružnice za određeni kut α i ide u točku A 1. Definicija je dana u smislu koordinata točke A 1 (x, y).
Sinus (sin) kuta rotacije
Sinus kuta zakreta α je ordinata točke A 1 (x, y). sin α = y
Kosinus (cos) kuta rotacije
Kosinus kuta zakreta α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x
Tangens (tg) kuta rotacije
Tangens kuta zakreta α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x
Kotangens (ctg) kuta rotacije
Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y
Sinus i kosinus definirani su za svaki kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangensom i kotangensom. Tangenta je nedefinirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0, 1) i (0, - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke ide na nulu.
Važno je zapamtiti!
Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α.
Tangenta je definirana za sve kutove osim za α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, implicirajući da je već iz konteksta jasno o čemu se raspravlja.
Brojke
Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?
Sinus, kosinus, tangens, kotangens broja
Sinus, kosinus, tangens i kotangens broja t je broj koji je redom jednak sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu u t radijan.
Na primjer, sinus broja 10 π jednak je sinusu kuta zakreta od 10 π rad.
Postoji još jedan pristup određivanju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja. Pogledajmo ga pobliže.
Bilo koji realni broj t točka na jediničnoj kružnici pridružena je središtu u ishodištu pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangens i kotangens određeni su preko koordinata ove točke.
Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1, 0).
Pozitivan broj t
Negativan broj t odgovara točki do koje će ići početna točka ako se kreće po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prijeđe put t.
Sada kada je veza između broja i točke na kružnici utvrđena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.
Sinus (grijeh) t
Sinus broja t- ordinata točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t. sin t = y
Kosinus (cos) od t
Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x
Tangenta (tg) od t
Tangens broja t- omjer ordinate i apscise točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t
Najnovije definicije su u skladu i nisu u suprotnosti s definicijom danom na početku ovog paragrafa. Točka na kružnici koja odgovara broju t, poklapa se s točkom do koje ide početna točka nakon skretanja za kut t radijan.
Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta
Svaka vrijednost kuta α odgovara specifična vrijednost sinus i kosinus ovog kuta. Baš kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) odgovaraju određenoj vrijednosti tangensa. Kotangens je, kao što je gore navedeno, definiran za sve α osim za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Možemo reći da su sin α, cos α, t g α, c t g α funkcije kuta alfa, odnosno funkcije kutnog argumenta.
Slično, možemo govoriti o sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki realni broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k, k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangensa. Kotangens je, slično, definiran za sve brojeve osim π · k, k ∈ Z.
Osnovne funkcije trigonometrije
Sinus, kosinus, tangens i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno o kojem argumentu trigonometrijske funkcije (kutni argument ili numerički argument) imamo posla.
Vratimo se definicijama danim na samom početku i alfa kutu koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijske definicije, dano korištenjem omjera stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.
Uzmimo jediničnu kružnicu sa središtem u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i iz dobivene točke A 1 (x, y) povucimo okomicu na os apscisa. U dobivenom pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak kutu zaokret α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y). Duljina kraka nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedinici jer je to polumjer jedinične kružnice.
Sukladno definiciji iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotne stranice prema hipotenuzi.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
To znači da je određivanje sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer širine i visine ekvivalentno određivanju sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.
Slično, podudarnost definicija može se pokazati za kosinus, tangens i kotangens.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Primjeri:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Argument i smisao
Kosinus oštrog kuta
Kosinus oštrog kuta može se odrediti pomoću pravokutnog trokuta - jednak je omjeru susjedne katete i hipotenuze.
Primjer :
1) Neka je zadan kut i trebamo odrediti kosinus tog kuta.
2) Dopunimo bilo koji pravokutni trokut na ovom kutu.
3) Nakon što smo izmjerili tražene stranice, možemo izračunati kosinus.
Kosinus broja
Brojevni krug vam omogućuje određivanje kosinusa bilo kojeg broja, ali obično ćete pronaći kosinus brojeva nekako povezan s: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Na primjer, za broj \(\frac(π)(6)\) - kosinus će biti jednak \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A za broj \(-\)\(\frac(3π)(4)\) to će biti jednako \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približno \ (-0 ,71\)).
Za kosinus za druge brojeve koji se često susreću u praksi, vidi.
Vrijednost kosinusa uvijek je u rasponu od \(-1\) do \(1\). U ovom slučaju, kosinus se može izračunati za apsolutno bilo koji kut i broj.
Kosinus bilo kojeg kuta
Zahvaljujući krugu brojeva, možete odrediti kosinus ne samo oštrog kuta, već i tupog, negativnog, pa čak i većeg od \(360°\) (puni okret). Kako to učiniti lakše je vidjeti jednom nego čuti \(100\) puta, pa pogledajte sliku.
Sada objašnjenje: pretpostavimo da trebamo odrediti kosinus kuta KOA S stupanjska mjera u \(150°\). Kombiniranje točke OKO sa središtem kruga i bočnom stranom u redu– s osi \(x\). Nakon toga odložite \(150°\) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zatim ordinata točke A pokazat će nam kosinus ovog kuta.
Ako nas zanima kut s mjerom stupnjeva, na primjer, u \(-60°\) (kut KOV), učinite isto, ali postavite \(60°\) u smjeru kazaljke na satu.
I konačno, kut je veći od \(360°\) (kut CBS) - sve je slično onoj glupoj, samo nakon punog okretanja u smjeru kazaljke na satu, idemo u drugi krug i "dobijamo nedostatak stupnjeva". Konkretno, u našem slučaju, kut \(405°\) je iscrtan kao \(360° + 45°\).
Lako je pogoditi da za iscrtavanje kuta, na primjer, u \(960°\), morate napraviti dva okreta (\(360°+360°+240°\)), a za kut u \(2640 °\) - cijelih sedam.
Kao što možete zamijeniti, i kosinus broja i kosinus proizvoljnog kuta definirani su gotovo identično. Mijenja se samo način na koji se točka nalazi na kružnici.
Predznaci kosinusa po četvrtinama
Pomoću kosinusne osi (odnosno apscisne osi, označene crvenom bojom na slici), lako je odrediti predznake kosinusa duž numeričke (trigonometrijske) kružnice:
Gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(1\), kosinus će imati znak plus (I i IV četvrtine - zelena površina),
- gdje su vrijednosti na osi od \(0\) do \(-1\), kosinus će imati znak minus (II i III četvrtine - ljubičasto područje).
Veza s drugim trigonometrijskim funkcijama:
- isti kut (ili broj): glavni trigonometrijski identitet\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- isti kut (ili broj): po formuli \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- i sinus istog kuta (ili broja): formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Ostale najčešće korištene formule pogledajte.
Rješenje jednadžbe \(\cosx=a\)
Rješenje jednadžbe \(\cosx=a\), gdje je \(a\) broj koji nije veći od \(1\) niti manji od \(-1\), tj. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Ako \(a>1\) ili \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Riješenje:
Riješimo jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Za ovo:
1) Napravimo sjekire.
2) Konstruirajmo krug.
3) Na kosinusnoj osi (osi \(y\)) označite točku \(\frac(1)(2)\) .
4) Kroz ovu točku povucite okomicu na kosinusnu os.
5) Označite sjecišta okomice i kružnice.
6) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapišimo sve vrijednosti koje odgovaraju tim točkama pomoću formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Odgovor: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Funkcija \(y=\cos(x)\)
Ako iscrtamo kutove u radijanima duž \(x\) osi i kosinusne vrijednosti koje odgovaraju tim kutovima duž \(y\) osi, dobit ćemo sljedeći grafikon:
Ovaj graf se zove i ima sljedeća svojstva:
Domena definicije je bilo koja vrijednost x: \(D(\cos(x))=R\)
- raspon vrijednosti - od \(-1\) do \(1\) uključujući: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parno: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- periodički s periodom \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- točke presjeka s koordinatnim osima:
apscisna os: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), gdje \(n ϵ Z\)
Y os: \((0;1)\)
- intervali konstantnosti predznaka:
funkcija je pozitivna na intervalima: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija je negativna na intervalima: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), gdje \(n ϵ Z\)
- intervali povećanja i smanjenja:
funkcija raste na intervalima: \((π+2πn;2π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
funkcija opada na intervalima: \((2πn;π+2πn)\), gdje je \(n ϵ Z\)
- maksimumi i minimumi funkcije:
funkcija ima najveću vrijednost \(y=1\) u točkama \(x=2πn\), gdje \(n ϵ Z\)
funkcija ima minimalnu vrijednost \(y=-1\) u točkama \(x=π+2πn\), gdje \(n ϵ Z\).
Sinusšiljasti kut α pravokutnog trokuta je omjer suprotan krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: sin α.
Kosinus Oštri kut α pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.
Tangensšiljasti kut α je omjer suprotne strane prema susjednoj stranici.
Označava se na sljedeći način: tg α.
Kotangensšiljasti kut α je omjer susjedne i suprotne stranice.
Označava se na sljedeći način: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta ovise samo o veličini kuta.
Pravila:
Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:
(α - oštri kut nasuprot kraku b a uz nogu a . Strana S – hipotenuza. β – drugi šiljasti kut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
grijeh α |
Kako se šiljasti kut povećavasin α itan α povećanje, icos α opada.
Za bilo koji oštri kut α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Primjer-objašnjenje:
Neka je unutra pravokutni trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
kut A = 30º.
Odredimo sinus kuta A i kosinus kuta B.
Riješenje .
1) Prvo, nalazimo vrijednost kuta B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbroj oštrih kutova 90º, tada je kut B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Izračunajmo sinus A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi. Za kut A, suprotna stranica je stranica BC. Tako:
BC 3 1
grijeh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sada izračunajmo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjedne katete i hipotenuze. Za kut B, susjedni krak je iste stranice BC. To znači da ponovno moramo podijeliti BC s AB - to jest, izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz toga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog kuta jednak kosinusu drugog oštrog kuta - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Uvjerimo se još jednom u ovo:
1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u formulu sinusa dobivamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u formulu kosinusa dobivamo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Za više informacija o trigonometriji pogledajte odjeljak Algebra)
Proučavanje trigonometrije započet ćemo s pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.
Prisjetimo se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, pola okrenutog kuta.
Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.
Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tup" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravokutni trokut. Pravi kut obično se označava s . Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, stranica nasuprot kutu A je označena.
Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza pravokutnog trokuta je stranica nasuprot pravog kuta.
Noge- stranice koje leže nasuprot oštrih kutova.
Noga koja leži nasuprot kutu naziva se suprotan(u odnosu na kut). Drugi krak, koji leži na jednoj od stranica kuta, zove se susjedni.
Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i hipotenuze:
Kosinus oštri kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge i hipotenuze:
Tangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane prema susjednoj:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:
Kotangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):
Zabilježite osnovne odnose za sinus, kosinus, tangens i kotangens ispod. Oni će nam biti od koristi pri rješavanju problema.
Dokažimo neke od njih.
U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još trebaju sinus, kosinus, tangens i kotangens?
Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta jednak je.
Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .
Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trokuta, možete pronaći treću. To znači da kutovi imaju svoj omjer, a stranice svoj. Ali što biste trebali učiniti ako u pravokutnom trokutu znate jedan kut (osim pravog kuta) i jednu stranicu, ali morate pronaći druge strane?
S tim su se ljudi u prošlosti susretali izrađujući karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.
Sinus, kosinus i tangens - oni se također nazivaju trigonometrijske funkcije kut- dati odnose između stranke I kutovi trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za "dobre" kutove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Pri odgovarajućim vrijednostima kutova tangens i kotangens ne postoje.
Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.
1. U trokutu je kut , . Pronaći .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Jer , .
2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .
Pronađimo ga pomoću Pitagorinog teorema.
Problem je riješen.
Često se u problemima nalaze trokuti s kutovima i ili s kutovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!
Za trokut s kutovima i krakom nasuprot kutu na jednak je polovica hipotenuze.
Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od katete.
Gledali smo probleme rješavanja pravokutnih trokuta – odnosno pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! Postoji mnogo problema na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike koji uključuju sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.