Video lekcija “Teorem o odnosima stranica i kutova trokuta” predstavlja ovaj teorem, kao i njegove posljedice. Poznavanje teorema i njegovih posljedica potrebno je za rješavanje praktičnih problema u geometriji, u kojoj se različiti omjeri njegovih stranica i kutova koriste za pronalaženje parametara trokuta. Svrha video lekcije je olakšati razumijevanje gradiva i potaknuti pamćenje teorema i njegovih posljedica.
Video vodič koristi efekte animacije koji pomažu pri isticanju važni detalji geometrijski oblici prilikom savladavanja gradiva. Označavanje bojom također se koristi za isticanje izjave teorema i njegovih posljedica. Glasovno objašnjenje u potpunosti zamjenjuje nastavnika pri standardnom prezentiranju novog gradiva učenicima.
Na početku video lekcije, nakon predstavljanja teme, na ekranu se prikazuje tekst teorema koji kaže da se u proizvoljnom trokutu nasuprot veće stranice nalazi veći kut, ali nasuprot većeg kuta uvijek stoji veća strana. Ova tvrdnja je demonstrirana na trokutu ΔABC, koji je prikazan na slici ispod teksta teorema. Dokaz teorema usmeno objašnjava govornik.
Za dokaz tvrdnje treba razmotriti stranice AB, AC i kutove koji se nalaze nasuprot njima - ∠C i ∠B. Pretpostavlja se da će za stranice AB>AC suprotni kutovi biti ∠C>∠B. Na stranici AB položen je segment AD koji je po veličini jednak segmentu AC. Budući da je stranica AC manja od stranice AB, kraj segmentne točke D nalazi se između vrhova trokuta A i B. Slijedi da je kut ∠1 koji nastaje tijekom konstrukcije manji od kuta ∠C, a kut ∠2 kao vanjski kutu ∠BDC jednak je zbroju kutova ∠DBC i ∠DCB. To znači da je ∠2 veći od kuta ∠DBC=∠B. Prema tome, kut ∠C je veći od kuta ∠B.
Dokaz obrnute tvrdnje svodi se na razmatranje omjera stranica AB, AC ako je kut ∠C veći od kuta ∠B. Provodi se dokaz kontradikcijom. Da bi se to postiglo, pretpostavlja se da je za ∠C>∠B stranica AB jednaka ili manja od stranice AC. Međutim, uzimajući u obzir jednakost stranica AB=AC, poznavajući svojstva jednakokračnog trokuta, može se tvrditi da će u tom slučaju i kutovi ∠C=∠B biti jednaki. Ako je AB
Sljedeći video vodič govori o posljedicama ovog teorema. Tvrdi se da je, na temelju ovog teorema, hipotenuza pravokutnog trokuta uvijek veća od katete. Doista, budući da hipotenuza leži nasuprot pravog kuta, noge se nalaze nasuprot oštrih kutova. Budući da su oštri kutovi uvijek manji od pravih kutova, suprotne stranice su uvijek manje od hipotenuze.
Druga posljedica teorema je znak jednakokračnog trokuta. Ovaj korolar kaže da jednakost dvaju kutova trokuta znači da je trokut jednakokračan. Na primjeru trokuta ΔABC promatramo dva kuta ∠C i ∠B, te nasuprotne stranice AB i AC. Pretpostavlja se da jednakost kutova ∠C=∠B odgovara jednakosti stranica AB=AC. Doista, da stranice nisu jednake, tada bi, prema teoremu, nasuprot veće stranice ležao veći kut, a nasuprot manje stranice ležao bi manji kut. Dakle, pretpostavka o nejednakosti strana nije točna. Ovaj trokut je jednakokračan. Istraga je dokazana.
TROKUTI.
§ 30. ODNOSI STRANICA I KUTOVA TROKUTA.
Teorem 1. Veći kut u trokutu je nasuprot veće stranice .
Pustiti unutra /\ ABC Stranica AB je veća od stranice BC. Dokažimo da je kut C koji leži nasuprot veće stranice AB veći od kuta A koji leži nasuprot manje stranice BC (sl. 164).
Na stranici AB od točke B odložimo dužinu BD jednaku stranici BC i spojimo točke D i C dužicom.
Trokut DBC je jednakokračan. Kut BDC jednak je kutu BCD jer leže nasuprot jednakih stranica u trokutu.
Kut BDC je vanjski kut trokuta ADC, pa je veći od kuta A.
Jer / VSD = / BDC, tada je kut BCD veći od kuta A: / VSD > / A. Ali kut BCD je samo dio cijelog kuta C, tako da će kut C biti još značajniji od kuta A.
Dokažite sami isti teorem pomoću crteža 165, kada je BD = AB.
U § 18 dokazali smo da su u jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici jednaki, odnosno da su u trokutu nasuprot jednakih stranica jednaki kutovi. Dokažimo sada obrnute teoreme.
Teorem 2. Jednake stranice u trokutu su naspram jednakih kutova.
Pustiti unutra /\ ABC / A= / C (crtež 166). Dokažimo da je AB = BC, tj. trokut ABC jednakokračan.
Između strana AB i BC može postojati samo jedan od sljedeća tri odnosa:
1) AB > BC;
2) AB< ВС;
3) AB = BC.
Da je stranica AB veća od BC, tada bi kut C bio veći od kuta A, ali to je u suprotnosti s uvjetom teorema, dakle, AB ne može biti veći od BC.
Na isti način, AB ne može biti manji od BC, jer bi u tom slučaju kut C bio manji od kuta A.
Prema tome, moguć je samo treći slučaj, tj.
Dakle, dokazali smo: jednake stranice leže nasuprot jednakih kutova u trokutu.
Teorem 3. Veća stranica trokuta je nasuprot većem kutu.
Neka u trokutu ABC (sl. 167) / C> / B
Dokažimo da je AB > AC.
Također može postojati jedan od sljedeća tri odnosa:
1) AB = AC;
2) AB< АС;
3) AB > AC.
Kada bi stranica AB bila jednaka stranici AC, onda / C bi bilo jednako / B. Ali to je u suprotnosti s uvjetima teorema. To znači da AB ne može biti jednako AC
Isto tako, AB ne može biti manji od AC, jer bi u tom slučaju kut C bio manji od kuta B, što također proturječi ovom uvjetu.
Stoga je moguć samo jedan slučaj, naime:
Dokazali smo da je veća stranica trokuta nasuprot većem kutu.
Posljedica. U pravokutnom trokutu. hipotenuza je veća od bilo koje njegove katete.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni:
- Unaprijediti vještine rješavanja problema na temu “Teorem o odnosima stranica i kutova trokuta.”
- Sažeti i sistematizirati teorijsko gradivo:
– vrste trokuta;
– zbroj kutova trokuta;
– odnose stranica i kutova trokuta;
– znak jednakokračnog trokuta.
Obrazovni:
- Razvijte mentalne vještine brojanja.
- Razvijati logičko mišljenje učenika.
- Razviti sposobnost jasnog i jasnog izražavanja svojih misli.
- Razvijati matematički govor učenika u procesu izvođenja usmenog rada za reprodukciju teorijskog materijala.
Obrazovni:
- Razviti sposobnost rada s dostupnim informacijama.
- Razviti poštovanje prema predmetu, sposobnost da vidimo matematičke probleme u svijetu oko nas.
- Razvijati sposobnost slušanja prijatelja, osjećaj međusobnog pomaganja i uzajamne podrške.
Vrsta lekcije: lekcija generaliziranja i sistematiziranja znanja korištenjem računalne tehnologije.
Oprema i vizualna pomagala: Računalo, projektor, prezentacija lekcije, bojice .
Dizajn ploče: crtež za br. 246 napravljen je na zatvorenom dijelu ploče.
Struktura lekcije.
| Vrsta aktivnosti. | Slajd br. | min. |
| 1. Organizacijski trenutak. | 1 | |
| 2. Priopćite temu i ciljeve lekcije. | 2 | |
| 3. Aktualizacija temeljnih znanja. | 6 | |
| 4. Praktičan rad. | 2–4 | 8 |
| 5. Tjelesna minuta. | 2 | |
| 6. Konsolidacija proučenog materijala: br. 241, 239, 246 - u bilježnici. U pisanom obliku. | 23 | |
| 7. Sažimanje lekcije. Ocjenjivanje. | 2 | |
| 8. Domaća zadaća: ponoviti 30. odlomak – 32. odlomak udžbenika br.337,338. | 1 |
Tijekom nastave
I. Organizacijski trenutak.
II. Priopćiti temu i ciljeve lekcije.
Provjera spremnosti učenika za nastavni sat. Komuniciranje ciljeva i plana nastave učenicima.
Svrha današnje lekcije je generalizirati i sistematizirati teorijski materijal, poboljšati vještine rješavanja problema na temu "Teorem o odnosima između stranica i kutova trokuta."
Danas će glavna figura u našoj lekciji biti trokut.
III. Obnavljanje temeljnih znanja.
Frontalni rad.
- Što je trokut?
- Koje vrste trokuta postoje?
- Koji se trokut naziva šiljastim?
- Koji se trokut naziva pravokutnim? Kako se zovu njegove strane?
- Koji se trokut naziva tupokutnim?
- Navedite teorem o zbroju kutova trokuta.
- Koji se kut naziva vanjskim kutom trokuta? Koliki je vanjski kut trokuta?
- Koji se trokut naziva jednakokračnim? Navedite njegova svojstva.
- Formulirajte znak jednakokračnog trokuta.
- Formulirajte teorem o odnosima stranica i kutova trokuta.
- Koje posljedice proizlaze iz teorema o odnosima stranica i kutova trokuta?
IV. Praktični rad. Usmeni rad na gotovim crtežima . <Презентация>.
U trokutu ABC nalazimo manji kut.
Manja stranica AC znači manji kut B.
U trokutu NRQ nalazimo najkraću stranicu.
1) Manji kut Q, jer 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Manja stranica NR.
V. Tjelesna minuta.
VI. Učvršćivanje obrazovnog materijala
Rješenje zadatka br.241.
Učenici u svoje bilježnice zapisuju datum i temu sata. Nastavnik poziva učenika pred ploču da riješi zadatak br.241.
Rješenje: ∆ABC je jednakokračan, što znači<В = <С. MN||BC, откуда Kužim to Nastavnik poziva učenika pred ploču da riješi zadatak br.239. Rješenje: 1. Promotrimo ∆BMH – pravokutnik, jer BH – visina. Prema korolariji 1 BM>BH. 2. BM=BH ako je ∆ABC jednakokračan (AB = BC) ili jednakostraničan. Nastavnik poziva učenika pred ploču da riješi zadatak br. 246 (crtež je nacrtan na ploči). Rješenje: Kako je VO simetrala, onda OE||AB, dakle, OD||AC, dakle, P∆EDO = OE + ED + DO, ali OE = BE, OD = DC, tada je P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Sažimanje lekcije. Ocjenjivanje. VIII. Domaća zadaća: ponoviti 30. odlomak – 32. odlomak udžbenika, br.337,338. Književnost.
