Prikaz veze između predznaka izvoda i prirode monotonosti funkcije.
Budite izuzetno oprezni u vezi sa sljedećim. Pogledajte, raspored ŠTO vam je dano! Funkcija ili njezina derivacija
Ako je dan graf derivacije, tada će nas zanimati samo funkcijski predznaci i nule. Nikakva “brda” i “udubine” nas u principu ne zanimaju!
Zadatak 1.
Na slici je prikazan graf funkcije definirane na intervalu. Odredite broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.
Riješenje:
Na slici su područja opadajuće funkcije označena bojom:
Ova padajuća područja funkcije sadrže 4 cjelobrojne vrijednosti.
Zadatak 2.
Na slici je prikazan graf funkcije definirane na intervalu. Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem ili se s njim poklapa.
Riješenje:
Jednom kada je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se podudara) s ravnom linijom (ili, što je isto), imajući nagib , jednaka nuli, tada i tangenta ima kutni koeficijent.
To opet znači da je tangenta paralelna s osi, budući da je nagib tangens kuta nagiba tangente na os.
Stoga na grafu nalazimo točke ekstrema (točke maksimuma i minimuma) - u tim će točkama funkcije tangente na graf biti paralelne s osi.
Postoje 4 takve točke.
Zadatak 3.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem ili se s njim poklapa.
Riješenje:
Budući da je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) s pravcem koji ima nagib, tada i tangenta ima nagib.
To pak znači da na dodirnim točkama.
Stoga gledamo koliko točaka na grafu ima ordinatu jednaku .
Kao što vidite, postoje četiri takve točke.
Zadatak 4.
Na slici je prikazan graf funkcije definirane na intervalu. Odredite broj točaka u kojima je derivacija funkcije 0.
Riješenje:
Derivacija je jednaka nuli u točkama ekstrema. Imamo ih 4:
Zadatak 5.
Slika prikazuje graf funkcije i jedanaest točaka na x-osi:. U koliko je od ovih točaka derivacija funkcije negativna?
Riješenje:
Na intervalima opadajuće funkcije njezina derivacija poprima negativne vrijednosti. I funkcija opada u točkama. Postoje 4 takve točke.
Zadatak 6.
Na slici je prikazan graf funkcije definirane na intervalu. Odredi zbroj točaka ekstrema funkcije.
Riješenje:
Ekstremne točke– to su maksimalni bodovi (-3, -1, 1) i minimalni bodovi (-2, 0, 3).
Zbroj točaka ekstrema: -3-1+1-2+0+3=-2.
Zadatak 7.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odredite intervale porasta funkcije. U odgovoru navedite zbroj cjelobrojnih točaka uključenih u te intervale.
Riješenje:
Na slici su istaknuti intervali u kojima je derivacija funkcije nenegativna.
Na malom rastućem intervalu nema cjelobrojnih točaka, postoje četiri cjelobrojne vrijednosti: , , i .
Njihov zbroj:
Zadatak 8.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odredite intervale porasta funkcije. U odgovoru navedite duljinu najvećeg od njih.
Riješenje:
Na slici su bojom označeni svi intervali na kojima je derivacija pozitivna, što znači da sama funkcija raste na tim intervalima.
Duljina najvećeg od njih je 6.
Zadatak 9.
Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. U kojoj točki segmenta poprima najveću vrijednost?
Riješenje:
Pogledajmo kako se graf ponaša na segmentu koji nas zanima samo znak izvedenice .
Predznak derivacije na je minus, jer je graf na ovom segmentu ispod osi.
Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje.
Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno određena pravila diferencijacija. Prvi koji su radili na polju pronalaženja izvedenica bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu izvodnice i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije.
Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz pod glavnim znakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Dalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja. Tablica izvoda i pravila diferenciranja dani su nakon prva dva primjera.
Primjer 1. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj.
Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija “X” jednaka jedinici, a derivacija sinusa jednaka je kosinusu. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:
Primjer 2. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. Diferenciramo kao izvod zbroja u kojem drugi član ima konstantan faktor;
Ako se ipak pojave pitanja odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom derivacija i najjednostavnijim pravilima razlikovanja. Upravo sada prelazimo na njih.
Tablica izvoda jednostavnih funkcija
| 1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek jednaka nuli. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često | |
| 2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti na duže vrijeme | |
| 3. Derivacija stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije. | |
| 4. Derivacija varijable na potenciju -1 | |
| 5. Izvedenica korijen | |
| 6. Derivacija sinusa | |
| 7. Derivacija kosinusa |  |
| 8. Derivacija tangente |  |
| 9. Derivacija kotangensa |  |
| 10. Derivacija arcsinusa |  |
| 11. Derivacija arkosinusa |  |
| 12. Derivacija arktangensa |  |
| 13. Derivacija ark kotangensa |  |
| 14. Derivacija prirodnog logaritma | |
| 15. Derivacija logaritamske funkcije |  |
| 16. Derivacija eksponenta | |
| 17. Derivacija eksponencijalne funkcije |
Pravila razlikovanja
| 1. Derivacija zbroja ili razlike |  |
| 2. Derivat proizvoda |  |
| 2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom | |
| 3. Derivacija kvocijenta |  |
| 4. Derivacija složene funkcije |  |
Pravilo 1.Ako funkcije
diferencijabilne u nekoj točki, tada su funkcije diferencijabilne u istoj točki
i
oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija.
Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantan član, tada su njihove derivacije jednake, tj.
Pravilo 2.Ako funkcije
diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak diferencijabilan u istoj točki
i
oni. Derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge.
Korolar 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije:
Korolar 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog faktora i svih ostalih.
Na primjer, za tri množitelja:
Pravilo 3.Ako funkcije
diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilanu/v , i
oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nekadašnji brojnik.
Gdje tražiti stvari na drugim stranicama
Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim problemima uvijek je potrebno primijeniti više pravila razlikovanja odjednom, dakle više primjera za ove izvedenice – u članku"Derivacija umnoška i kvocijent funkcija".
Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovaj tipična greška, koji se javlja na početno stanje uče izvedenice, ali kako riješe nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječni učenik više ne radi tu grešku.
A ako pri diferenciranju proizvoda ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je objašnjen u primjeru 10).
Druga česta pogreška je mehaničko rješavanje izvoda složene funkcije kao izvoda jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvedenice jednostavne funkcije.
Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .
Ako tražite rješenja za derivacije razlomaka s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda 
, zatim slijedite lekciju “Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima.”
Ako imate zadatak poput 
, tada ćete uzeti lekciju “Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.
Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu
Primjer 3. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija s derivacijom one druge:
Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju drugi član ima predznak minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čija je derivacija jednaka jedinici, i konstantu (broj), čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 se pretvara u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:
Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:
Primjer 4. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnik, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika. Dobivamo:
Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u ovom primjeru, uzet s predznakom minus:
Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i potencija, kao što je npr. 
, onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .
Ako trebate naučiti više o izvedenicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugima trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda , onda lekcija za vas "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .
Primjer 5. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu razlikovanja proizvoda i tablična vrijednost izvod kvadratnog korijena dobivamo:
Primjer 6. Pronađite izvod funkcije
Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferenciranja kvocijenata, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnu vrijednost derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:
Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .
Prilikom rješavanja raznih problema geometrije, mehanike, fizike i drugih grana znanja ukazala se potreba korištenja istog analitičkog procesa iz ove funkcije y=f(x) primiti nova značajka koji se zove izvodna funkcija(ili jednostavno izvod) zadane funkcije f(x) i označava se simbolom
Proces kojim se iz zadane funkcije f(x) dobiti novu značajku f" (x), nazvao diferencijacija a sastoji se od sljedeća tri koraka: 1) dati argument x prirast
x te odrediti pripadni prirast funkcije
y = f(x+
x) -f(x); 2) uspostaviti odnos 
3) brojanje x konstantan i
x0, nalazimo 
, što označavamo sa f" (x), kao da naglašava da rezultirajuća funkcija ovisi samo o vrijednosti x, pri čemu idemo do granice. Definicija:
Derivacija y " =f " (x)
dana funkcija y=f(x)
za dati x naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da priraštaj argumenta teži nuli, ako, naravno, ta granica postoji, tj. konačan. Tako, 
, ili 
Imajte na umu da ako za neku vrijednost x, na primjer kada x=a, stav 
na
x0 ne teži konačnoj granici, onda u ovom slučaju kažu da funkcija f(x) na x=a(ili u točki x=a) nema derivaciju ili nije diferencijabilna u točki x=a.
2. Geometrijsko značenje izvoda.
Razmotrimo graf funkcije y = f (x), diferencijabilne u blizini točke x 0
f(x)
Promotrimo proizvoljnu ravnu liniju koja prolazi točkom na grafu funkcije - točkom A(x 0, f (x 0)) i siječe graf u nekoj točki B(x;f(x)). Takav pravac (AB) naziva se sekantom. Iz ∆ABC: AC = ∆x; BC =∆u; tgβ=∆y/∆x.
Budući da je AC || Ox, tada je ALO = BAC = β (kao što odgovara za paralelu). Ali ALO je kut nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru osi Ox. To znači da je tanβ = k kutni koeficijent pravca AB.
Sada ćemo smanjiti ∆x, tj. ∆h→ 0. U tom slučaju će se točka B približiti točki A prema grafu, a sekanta AB će se zarotirati. Granični položaj sekante AB na ∆x→ 0 bit će pravac (a), koji se naziva tangenta na graf funkcije y = f (x) u točki A.
Ako idemo do limita kao ∆x → 0 u jednakosti tgβ =∆y/∆x, dobivamo 
ortg =f "(x 0), jer 
-kut nagiba tangente na pozitivan smjer osi Ox 
, po definiciji izvedenice. Ali tg = k je kutni koeficijent tangente, što znači k = tg = f "(x 0).
Dakle, geometrijsko značenje izvoda je sljedeće:
Derivacija funkcije u točki x 0 jednak nagibu tangente na graf funkcije nacrtan u točki s apscisom x 0 .
3. Fizičko značenje izvedenice.
Razmotrimo kretanje točke po ravnoj liniji. Neka je dana koordinata točke u bilo kojem trenutku x(t). Poznato je (iz tečaja fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju jednaka omjeru prijeđene udaljenosti u tom vremenskom razdoblju prema vremenu, tj.
Vav = ∆x/∆t. Idemo do granice u posljednjoj jednakosti kao ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - trenutna brzina u trenutku t 0, ∆t → 0.
i lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (po definiciji derivacije).
Dakle, (t) =x"(t).
Fizičko značenje derivacije je sljedeće: derivacija funkcijeg = f(x) u točkix 0 je brzina promjene funkcijef(x) u točkix 0
Derivacija se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanja iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.
(t) = x"(t) - brzina,
a(f) = "(t) - ubrzanje, odn
Ako je poznat zakon gibanja materijalne točke u krugu, tada se mogu pronaći kutna brzina i kutna akceleracija tijekom rotacijskog gibanja:
φ = φ(t) - promjena kuta tijekom vremena,
ω = φ"(t) - kutna brzina,
ε = φ"(t) - kutno ubrzanje, odnosno ε = φ"(t).
Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se linearna gustoća nehomogenog štapa može naći:
m = m(x) - masa,
x , l - duljina štapa,
p = m"(x) - linearna gustoća.
Pomoću derivacije rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu
F = -kx, x – promjenljiva koordinata, k – koeficijent elastičnosti opruge. Stavljajući ω 2 =k/m, dobivamo diferencijalnu jednadžbu opružnog njihala x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
gdje je ω = √k/√m frekvencija oscilacija (l/c), k - krutost opruge (H/m).
Jednadžba oblika y" + ω 2 y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednadžbi je funkcija
y = Asin(ωt + φ 0) ili y = Acos(ωt + φ 0), gdje je
A - amplituda oscilacija, ω - ciklička frekvencija,
φ 0 - početna faza.
Kontinuitet i diferencijabilnost funkcije.
Darbouxov teorem . Intervali monotonije.
Kritične točke . Ekstremno (minimum, maksimum).
Dizajn studije funkcije.
Odnos između neprekidnosti i diferencijabilnosti funkcije. Ako funkcija f(x)je diferencijabilan u nekoj točki, onda je kontinuiran u toj točki. Obrnuto nije istina: kontinuirana funkcija ne mora imati izvedenicu.
Ilustracija. Ako je funkcija u nekom trenutku diskontinuirana, onda u ovoj točki nema izvoda.
Dovoljni znakovi monotonosti funkcije.
Ako je f’(x) > 0 u svakoj točki intervala (a, b), tada funkcija f (x)povećava u ovom intervalu.
Ako je f’(x) < 0 u svakoj točki intervala (a, b) , tada funkcija f(x)smanjuje se na ovom intervalu.
Darbouxov teorem. Točke u kojima je derivacija funkcije 0ili ne postoji, dijele domenu definiranja funkcije na intervale unutar kojih derivacija zadržava svoj predznak.
Pomoću ovih intervala možemo pronaći intervalima monotonije funkcije, što je vrlo važno pri njihovom proučavanju.
Posljedično, funkcija raste u intervalima (- , 0) i ( 1, + ) i opada na intervalu ( 0, 1). Točka x= 0 nije uključen u domenu definicije funkcije, ali kako se približavamox k0 izraz x - 2 raste neograničeno, pa i funkcija raste neograničeno. U točkix= 1 vrijednost funkcije je 3. Prema ovoj analizi možemo postnacrtajte graf funkcije ( sl.4 b ) .
Kritične točke. Unutarnje točke domene funkcije, u kojem derivacija je jednaka nula ili ne postoji, se zovu kritično točkice ovu funkciju. Ove su točke vrlo važne pri analizi funkcije i crtanju njezina grafikona, jer samo u tim točkama funkcija može imati ekstrem (minimum ili maksimum , sl.5 A,b).
U točkama x 1 , x 2 (Sl.5 a) I x 3 (Sl.5 b) izvod je 0; u točkama x 1 , x 2 (Sl.5 b) izvedenica ne postoji. Ali sve su to ekstremne točke.
Nužan uvjet za ekstrem. Ako x 0 - ekstremna točka funkcije f(x) i derivacija f’ postoji u ovoj točki, tada f’(x 0)= 0.
Ovaj teorem je potrebno ekstremno stanje. Ako je derivacija funkcije u nekom trenutku 0, to ne znači da funkcija ima ekstrem u ovoj točki. Na primjer, izvod funkcijef (x) = x 3 jednako 0 at x= 0, ali ova funkcija u ovoj točki nema ekstrem (slika 6).
S druge strane, funkcijag = | x| , prikazan na slici 3, ima minimum u točkix= 0, ali u ovom trenutku izvod ne postoji.
Dovoljni uvjeti za ekstrem.
Ako je izvodnica pri prolasku kroz točku x 0 tada mijenja predznak s plusa na minus x 0 - maksimalna točka.
Ako je izvodnica pri prolasku kroz točku x 0 mijenja predznak iz minusa u plus, zatim x 0 - minimalni bod.
Dizajn studije funkcije. Za iscrtavanje grafa funkcije potrebno vam je:
1) pronaći domenu definicije i raspon vrijednosti funkcije,
2) odrediti je li funkcija parna ili neparna,
3) odrediti je li funkcija periodična ili ne,
4) pronađite nule funkcije i njezine vrijednosti nax = 0,
5) pronaći intervale konstantnog predznaka,
6) pronaći intervale monotonosti,
7) pronaći ekstremne točke i vrijednosti funkcije u tim točkama,
8) analizirati ponašanje funkcije u blizini “singularnih” točaka
I kada velike vrijednosti modulx .
PRIMJER Istražite značajkuf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 i nacrtajte graf.
Rješenje. Proučimo funkciju prema gornjoj shemi.
1) domenaxR (x– bilo koji pravi broj);
Raspon vrijednostigR , jer f (x) – neparan polinom
stupnjevi;
2) funkcija f (x) nije ni paran ni neparan
(pojasnite molim);
3) f (x) je neperiodična funkcija (dokažite sami);
4) graf funkcije siječe osY u točki (0, – 2),
Jer f (0) = - 2 ; pronaći nule funkcije koja vam je potrebna
Riješite jednadžbu:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, jedan od korijena
koji ( x= 1) je očigledan. Drugi korijeni su
(ako jesu! ) iz rješavanja kvadratne jednadžbe:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, koji se dobije dijeljenjem polinoma
x 3 + 2 x 2 - x- 2 po binomu ( x- 1). Lako provjeriti
Koja su druga dva korijena:x 2 = - 2 i x 3 = - 1. Dakle,
Nule funkcije su: - 2, - 1 i 1.
5) To znači da je brojčana os podijeljena ovim korijenima s
Četiri intervala stalnosti predznaka unutar kojih
Funkcija zadržava svoj predznak:
Ovaj rezultat se može dobiti proširenjem
polinom na faktore:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
I procjena predznaka djela .
6) Izvedenica f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 nema točaka u kojima
Ona ne postoji, pa je njezina domena definiranjaR (Svi
realni brojevi); nulef' (x) su korijeni jednadžbe:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Dobiveni rezultati su sažeti u tablici:
Zadatak.
Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Među točkama x 1, x 2, ..., x 7 pronađite one točke u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka nuli. Kao odgovor zapišite broj pronađenih bodova.
Riješenje:
Princip u rješavanju ovog problema je sljedeći: postoje tri moguće ponašanje funkcije na ovom intervalu:
1) kada funkcija raste (derivacija je tamo veća od nule)
2) kada je funkcija opadajuća (gdje je derivacija manja od nule)
3) kada funkcija ne raste ili opada (gdje je derivacija ili nula ili ne postoji)
Zanima nas treća opcija.
Derivacija je jednaka nuli gdje je funkcija glatka i ne postoji na prijelomnim točkama. Pogledajmo sve ove točke.
x 1 - funkcija raste, što znači derivacija f′(x) >0
x 2 - funkcija ima minimum i glatka je, što znači da je derivacija f ′(x) = 0
x 3 - funkcija traje maksimalno, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači izvedenica f ′(x) ne postoji
x 4 - funkcija zauzima maksimum, ali u ovom trenutku dolazi do prekida, što znači izvedenica f ′(x) ne postoji
x 5 - derivacija f ′(x) = 0
x 6 - funkcija raste, što znači izvod f′(x) >0
x 7 - funkcija zauzima minimum i glatka je, što znači derivacija f ′(x) = 0
Vidimo da f ′(x) = 0 u točkama x 2, x 5 i x 7, ukupno 3 boda.