Dati su odnosi između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju smanjenje stupnja, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangens pola kuta itd.
U ovom ćemo članku redom navesti sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni, temeljni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije u smislu bilo koje druge.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.
Formule redukcije
Formule redukcije slijede iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijske funkcije, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka po zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.
Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.
Adicinske formule
Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule polukuta
Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostruki kut.
Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.
Formule za smanjenje stupnja
Trigonometrijske formule za smanjenje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni vam omogućuju smanjenje ovlasti trigonometrijskih funkcija na prvu.
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
Glavna namjena formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na produkt funkcija, što je vrlo korisno pri pojednostavljenju trigonometrijski izrazi. Ove formule također se često koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe, budući da vam omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.
Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus
Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.
Autorska prava cleverstudents
Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.
Neću vas pokušavati uvjeriti da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i zašto su varalice korisne. A evo i informacija kako ne učiti, nego zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice koristi asocijacije za pamćenje!
1. Formule zbrajanja:
Kosinusi uvijek “dolaze u paru”: kosinus-kosinus, sinus-sinus.
I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima “ne štima sve” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.
Sinusi - "mješavina": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Formule zbroja i razlike:
kosinus uvijek “dolazi u paru”. Dodavanjem dva kosinusa - "koloboka", dobivamo par kosinusa - "koloboka". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti nikakve koloboke. Dobivamo par sinusa. Također s minusom naprijed.
Sinusi - "mješavina" :
3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.
Kada ćemo dobiti kosinusni par? Kada zbrojimo kosinuse. Zato
Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:
"Miješanje" se dobiva i pri zbrajanju i oduzimanju sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzimaju zbrajanje:
U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preraspoređivanjem mjesta članova ne mijenja se zbroj. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku
i drugo – iznos
Varalice u vašem džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne uspijete koristiti varalicu, lako ćete se sjetiti formula.
Jedno od područja matematike s kojim se učenici najviše muče je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa pomoću formula, pojednostavljivanje izraza i sposobnost korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, potrebno je znati koristiti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Porijeklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangensa kuta, no prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.
Povijesno gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke znanosti bili su pravokutni trokuti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje razne operacije, omogućujući vam da odredite vrijednosti svih parametara predmetne figure pomoću dvije strane i jednog kuta ili dva kuta i jedne strane. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak iu umjetnosti.
Prva razina
U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnog trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica uporabe u Svakidašnjica ovu granu matematike.
Učenje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega učenici koriste stečena znanja iz fizike i rješavanja apstraktnih trigonometrijskih jednadžbi, što počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeći stupanj razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangensom i kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede drugačija pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj odjeljak se ne proučava u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje barem zato Zemljina površina, a površina bilo kojeg drugog planeta je konveksna, što znači da će svaka površinska oznaka biti "lučna" u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Napominjemo - poprimilo je oblik luka. Takvim oblicima bavi se sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.
Pravokutni trokut
Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangens, koji se proračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Najduži je. Sjećamo se da je prema Pitagorinom teoremu njezino numerička vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije stranice.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.
Dvije preostale stranice, koje tvore pravi kut, nazivaju se krakovi. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu jednak 180 stupnjeva.
Definicija
Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se okrenuti definiciji sinusa, kosinusa i tangensa kuta.
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. stranice nasuprot željenog kuta) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjedne stranice i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža, bez obzira na duljinu katete, bit će kraća od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj je odgovor očito netočan.
Konačno, tangens kuta je omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Dijeljenje sinusa s kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo s hipotenuzom, zatim podijelimo s duljinom druge stranice i pomnožimo s hipotenuzom. Time dobivamo isti odnos kao u definiciji tangente.
Kotangens je, prema tome, omjer stranice koja je uz ugao i suprotne strane. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedan s tangentom.
Dakle, pogledali smo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa i možemo prijeći na formule.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što se traži pri rješavanju problema.
Prva formula koju morate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova je formula izravna posljedica Pitagorinog poučka, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu kuta, a ne stranice.
Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna pri rješavanju školske zadatke: zbroj jedan i kvadrata tangensa kuta jednak je jedan podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte bolje: ovo je ista tvrdnja kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispada da jednostavna matematička operacija može trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangens i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku izvesti tražene složenije formule na listu papira.
Formule za dvostruke kutove i zbrajanje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Predstavljeni su na slici ispod. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje umnožak sinusa i kosinusa u paru.
Postoje i formule povezane s argumentima dvostrukog kuta. Oni su potpuno izvedeni iz prethodnih - kao trening pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa kut jednaka kutu beta.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangensa alfa.
Teoremi
Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangens, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Sinusni teorem kaže da dijeljenjem duljine svake stranice trokuta sa suprotnim kutom dobivamo isti broj. Štoviše, taj će broj biti jednak dvama radijusima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke danog trokuta.
Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicirajući ga na sve trokute. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen s dvostrukim kosinusom susjednog kuta - dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se Pitagorin teorem ispostavlja kao poseban slučaj kosinusnog teorema.
Greške iz nepažnje
Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog odsutnosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao razlomak osim ako nije drugačije navedeno u uvjetima. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koji bi se, prema ideji autora, trebali smanjiti. U tom ćete slučaju gubiti vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen iz tri ili korijen iz dva, jer se one nalaze u problemima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem odnosi na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite oduzeti dvostruki proizvod strane pomnožene s kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno netočan rezultat, već ćete također pokazati potpuno nerazumijevanje predmeta. Ovo je gore od greške iz nepažnje.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus 30 stupnjeva jednak kosinusu 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Primjena
Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju jer ne razumiju njezino praktično značenje. Što je sinus, kosinus, tangens za inženjera ili astronoma? Ovo su pojmovi pomoću kojih možete izračunati udaljenost do daleke zvijezde, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.
Konačno
Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangens. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske zadatke.
Cijela poanta trigonometrije svodi se na činjenicu da pomoću poznatih parametara trokuta morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: duljina tri strane I veličine tri kutovi Jedina razlika u zadacima je u tome što su zadani različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangens na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze. Budući da ovi izrazi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, Glavni cilj trigonometrijski problem je pronalaženje korijena obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.
Referentni podaci za tangens (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangensa i kotangenata, derivacije, integrali, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.
Geometrijska definicija
|BD| - duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.
Tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija ovisna o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutni trokut, jednaka omjeru duljine suprotne stranice |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .
Kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| .
Tangens
Gdje n- cijeli.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.
Graf funkcije tangensa, y = tan x
Kotangens
Gdje n- cijeli.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također su prihvaćene sljedeće oznake:
;
;
.
Graf kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangensa i kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične s periodom π.
Paritet
Funkcije tangens i kotangens su neparne.
Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje
Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Opseg i kontinuitet | ||
| Raspon vrijednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povećavajući se | - | |
| Silazni | - | |
| Krajnosti | - | - |
| Nule, y = 0 | ||
| Točke presjeka s osi ordinata, x = 0 | y= 0 | - |
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
;
;
;
;
;
Formule za tangens i kotangens iz zbroja i razlike
Preostale formule lako je dobiti, na primjer
Umnožak tangenti
Formula za zbroj i razliku tangensa
Ova tablica predstavlja vrijednosti tangensa i kotangenata za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste složene brojeve
Izrazi preko hiperboličkih funkcija
;
;
Derivati
; .
.
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>>
Integrali
Proširenja serije
Da biste dobili proširenje tangente u potencije od x, trebate uzeti nekoliko članova proširenja u niz potencija za funkcije grijeh x I cos x i podijelite te polinome jedan s drugim, . Ovo proizvodi sljedeće formule.
U .
u .
Gdje Bn- Bernoullijevi brojevi. Oni se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na tangens i kotangens su arktangens i arkotangens.
Arktangens, arctg
, Gdje n- cijeli.
Arccotangens, arcctg
, Gdje n- cijeli.
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za znanstvenike i inženjere, 2012.
Nastavljamo razgovor o formulama koje se najčešće koriste u trigonometriji. Najvažnije od njih su formule zbrajanja.
Definicija 1
Formule zbrajanja omogućuju vam da izrazite funkcije razlike ili zbroja dvaju kutova pomoću trigonometrijskih funkcija tih kutova.
Za početak ćemo dati puni popis adicijskih formula, zatim ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Osnovne adicijske formule u trigonometriji
Postoji osam osnovnih formula: sinus zbroja i sinus razlike dvaju kutova, kosinus zbroja i razlike, tangens i kotangens zbroja i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i izračuni.
1. Sinus zbroja dvaju kutova može se dobiti na sljedeći način:
Izračunavamo umnožak sinusa prvog kuta i kosinusa drugog kuta;
Pomnožite kosinus prvog kuta sa sinusom prvog kuta;
Zbrojite dobivene vrijednosti.
Grafički zapis formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Sinus razlike izračunava se na gotovo isti način, samo se dobiveni proizvodi ne moraju zbrajati, već oduzimati jedan od drugog. Dakle, izračunavamo umnoške sinusa prvog kuta s kosinusom drugog i kosinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta i nalazimo njihovu razliku. Formula se piše ovako: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Kosinus zbroja. Za njega pronalazimo umnoške kosinusa prvog kuta s kosinusom drugog i sinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta, te nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Kosinus razlike: izračunajte umnoške sinusa i kosinusa ovih kutova, kao i prije, i zbrojite ih. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangens zbroja. Ova se formula izražava razlomkom čiji je brojnik zbroj tangensa traženih kutova, a nazivnik jedinica od koje se oduzima umnožak tangensa traženih kutova. Sve je jasno iz njegovog grafičkog zapisa: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangens razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i umnoška tangenti ovih kutova i nastavljamo s njima na sličan način. U nazivniku zbrajamo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangens zbroja. Da bismo izračunali pomoću ove formule, trebat će nam umnožak i zbroj kotangenata ovih kutova, a postupamo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali su brojnik i nazivnik minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Vjerojatno ste primijetili da su ove formule slične u parovima. Pomoću znakova ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus) možemo ih grupirati radi lakšeg bilježenja:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Prema tome, imamo jednu formulu za snimanje zbroja i razlike svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.
Definicija 2
Možemo uzeti bilo koje kutove α i β, a formule zbrajanja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangensa i kotangensa ovih kutova, tada će za njih vrijediti i formule zbrajanja za tangens i kotangens.
Kao i većina pojmova u algebri, formule zbrajanja mogu se dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Ostatak dokaza se zatim lako može izvesti iz toga.
Razjasnimo osnovne pojmove. Trebat će nam jedinični krug. To će uspjeti ako uzmemo određenu točku A i zakrenemo kutove α i β oko središta (točka O). Tada će kut između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π · z ili 2 π - (α - β) + 2 π · z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori tvore kut koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β), ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj punih okretaja. Pogledajte sliku:
Koristili smo formule redukcije i dobili sljedeće rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultat: kosinus kuta između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu kuta α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Podsjetimo se na definicije sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta, jednaka omjeru kraka suprotnog kuta i hipotenuze, kosinus je sinus komplementarnog kuta. Stoga, bodovi A 1 I A 2 imaju koordinate (cos α, sin α) i (cos β, sin β).
Dobivamo sljedeće:
O A 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)
Ako nije jasno, pogledajte koordinate točaka koje se nalaze na početku i kraju vektora.
Duljine vektora su jednake 1, jer Imamo jediničnu kružnicu.
Analizirajmo sada skalarni produkt vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Iz ovoga možemo izvesti jednakost:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Dakle, formula za kosinus razlike je dokazana.
Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus zbroja. To je lakše jer možemo koristiti prethodne izračune. Uzmimo prikaz α + β = α - (- β) . Imamo:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ovo je dokaz formule zbroja kosinusa. Posljednji redak koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih kutova.
Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu redukcije za ovo:
oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Tako
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
A evo i dokaza formule sinusa razlike:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na upotrebu svojstava sinusa i kosinusa suprotnih kutova u zadnjem izračunu.
Zatim trebamo dokaze adicijskih formula za tangens i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangens je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens je obrnuto) i uzmimo već unaprijed izvedene formule. Uspjeli smo:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa cos α · cos β, s obzirom da je cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, dobivamo:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Sada reduciramo razlomke i dobijemo sljedeću formulu: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ovo je dokaz formule zbrajanja tangente.
Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula tangensa razlike. Sve je jasno prikazano u izračunima:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formule za kotangens dokazuju se na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Unaprijediti:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β