Trokut je geometrijski lik koji se sastoji od tri ravne crte koje se spajaju u točkama koje ne leže na istoj pravoj crti. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima(npr. A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

• Pravokutan.
• Tupi.
• Oštri kutni.
• Svestran.
• Jednakostraničan.
• Jednakokračan.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na temelju duljine i visine

S= a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ Korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluopseg trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na temelju kuta i duljine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
Gdje b,c je duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.

Formula za površinu trokuta s polumjerom upisane kružnice i trima stranicama

S=p*r,
gdje je p polumjer trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru kruga opisanog oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer kruga opisanog oko trokuta.

Formula za površinu trokuta koja koristi kartezijeve koordinate točaka

Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini su međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini zadane u obliku A(x1, y1), B(x2, y2). ) i C(x3, y3 ), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz vektorskog produkta dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut je trokut s jednim kutom od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge su strane uz pravi kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze i oštrog kuta

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju stranice i suprotnog kuta

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tan(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta

Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga stranica je baza. Za izračunavanje površine jednakokračan trokut Možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.

Formula jednakokračnog trokuta s osnovicom i stranicom

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je veličina jedne od bočnih stranica jednakokračnog trokuta.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri stranice i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti trokut se od davnina koristio za uzimanje raznih mjera, a danas lik može biti koristan za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Značajke trokuta

Slika se koristila za izračune od davnih vremena, na primjer, zemljomjeri i astronomi koriste svojstva trokuta za izračunavanje površina i udaljenosti. Lako je izraziti područje bilo kojeg n-kuta kroz područje ove figure, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Puno radno vrijeme s trokutima, posebno s pravokutnim trokutom, postala je osnova za cijelu jednu granu matematike - trigonometriju.

Geometrija trokuta

Svojstva geometrijski lik su proučavani od davnina: najraniji podaci o trokutu pronađeni su u egipatskim papirusima od prije 4000 godina. Zatim je lik proučavan u Drevna grčka a najveći doprinos geometriji trokuta dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trokuta nikada nije prestalo, au 18. stoljeću Leonhard Euler uveo je koncept ortocentra figure i Eulerove kružnice. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trokutu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teorem o trisektorima kutova, a Waclaw Sierpinski predložio je fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskih tečajeva geometrije:

• akutni - svi uglovi figure su akutni;
• tup - lik ima jedan tup kut(više od 90 stupnjeva);
• pravokutni - lik sadrži jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva;
• jednakokračan - trokut s dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranicama.
• U stvaran život Postoje sve vrste trokuta, au nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trokuta

Površina je procjena koliki dio ravnine figura obuhvaća. Površina trokuta može se pronaći na šest načina, pomoću stranica, visine, kutova, radijusa upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje ograničavaju ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora omogućuje vam izračunavanje površine znajući:

• tri strane;
• dvije stranice i kut između njih;
• jednu stranu i dva ugla.

Za određivanje površine kroz tri strane koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluopseg trokuta.

Površina dviju stranica i kuta izračunava se klasičnom formulom:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa kut između stranica a i b.

Za određivanje površine u smislu jedne stranice i dva kuta, koristimo se relacijom:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Jednostavnom proporcijom odredimo duljinu druge stranice, nakon čega izračunamo površinu pomoću formule S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatiziran i samo trebate unijeti navedene varijable i dobiti rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz života

Ploče za popločavanje

Recimo da želite popločiti pod trokutastim pločicama i odrediti količinu potreban materijal, trebali biste saznati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 četvornih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očito, za izračun površine trokuta, kalkulator koristi Heronovu formulu i daje. rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 četvornih metara, a za poboljšanje poda trebat će vam 6/0,021 = 285 trokuta. Brojevi 20, 21 i 29 tvore Pitagorin trostruki broj koji zadovoljava . I to je točno, naš kalkulator također je izračunao sve kutove trokuta, a gama kut je točno 90 stupnjeva.

Školski zadatak

U školski zadatak potrebno je pronaći površinu trokuta, znajući da je strana a = 5 cm, a kutovi alfa i beta su 30 odnosno 50 stupnjeva. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći udio omjera širine i visine i sinusa suprotnih kutova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vrijeme, unesi podatke u obrazac kalkulatora i dobij instant odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno naznačiti kutove i strane, inače će rezultat biti netočan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se nalazi iu stvarnom životu iu apstraktnim izračunima. Koristite naš online kalkulator za određivanje površine trokuta bilo koje vrste.

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu trokutaste parcele ili je došlo vrijeme za još jednu obnovu u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu s trokutasti oblik. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, ali sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne brini za to! Uostalom, sasvim je normalno kada čovjekov mozak odluči prenijeti dugo neiskorišteno znanje negdje u udaljeni kutak, iz kojih ih ponekad nije tako lako izvući. Kako se ne biste morali mučiti s traženjem zaboravljenog školskog znanja za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži razne metode, koji olakšavaju pronalaženje tražene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta mnogokuta koji je ograničen na najmanji mogući broj stranica. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova prav, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje međusobno tvore pravi kut.

Ako znamo visinu trokuta spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotnu stranu, a duljina ove stranice, koja se zove baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je potrebna površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to naravno dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možemo koristiti konstrukcijski kut, trokut za crtanje, razglednicu ili neki drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutasti zemljišna parcela? U tom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha očekivanog pravi kut s jedne strane udaljenost je višekratnik broja 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a s druge strane udaljenost se mjeri u istom omjeru koji je višekratnik broja 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je rezultat višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada možemo reći da je kut pravi.

Ako je poznata duljina svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluopseg. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi s određivanjem površine pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p - vrijednost poluperimetra (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilnog oblika? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru u dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je veličina kuta između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Iz suprotnog vrha) i dobiveni umnožak podijelite s dva. U formi to izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

Gdje:
S – površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednu stranicu skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ kut između njih.

U praksi npr. kod mjerenja zemljišne parcele, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje kutova.

Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – duljine stranica trokuta,
p – poluopseg: p = (a+b+c)/2.

Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, upotrijebite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r – radijus upisane kružnice (r – poluopseg).

Za izračun površine razmjernog trokuta i duljine njegovih stranica upotrijebite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako znate duljinu jedne od stranica trokuta i tri kuta (u načelu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), tada upotrijebite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ – vrijednosti preostala dva kuta trokuta.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trokut, pojavio se mnogo stoljeća prije Krista među učenim astronomima stare Grčke. Kvadrat trokut može se izračunati različiti putevi korištenjem različite formule. Način izračuna ovisi o tome koji elementi trokut znan.

upute

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica b, c i kut koji one čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica a, b i kut koji one ne čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje kuta?, sin? = bsin?/a, zatim pomoću tablice odredite sam kut.
Pronalaženje kuta?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu površinu S = (absin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti samo triju strana trokut a, b i c, zatim područje trokut ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je p poluopseg p = (a+b+c)/2

Ako iz uvjeta problema znamo visinu trokut h i strana na koju je ta visina spuštena, zatim površina trokut ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo značenja strana trokut a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trokut R, zatim područje ovoga trokut ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri stranice a, b, c i polumjer upisane, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluopseg, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostraničan, tada se površina nalazi prema formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje c – trokut.
Ako je trokut ABC pravokutan, tada se površina određuje formulom:
S = ab/2, gdje su a i b krakovi trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokračni trokut, tada se površina određuje formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trokut, a=b – krak.

Video na temu

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trokuta

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je kut poznat

Za određivanje površine nije dovoljno znati samo jedan parametar (kut). tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost kuta također koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je navedeno nekoliko najčešće korištenih formula.

upute

Ako osim veličine kuta (γ) koji čine dvije stranice tre kvadrat , poznate su i duljine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure mogu se definirati kao polovica umnoška duljina stranica i sinusa toga poznati kut: S=½×A×B×sin(γ).

Kao što se možda sjećate iz školski plan i program Prema geometriji, trokut je lik sastavljen od tri segmenta spojena s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili svoj tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Upamtite da se ta površina mjeri u četvornih centimetara(sq.cm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita segmenta). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut, jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju podijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:

Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, prvo i glavna formula već znate, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate: