Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji nekoliko puta, drugi se smanji za isti iznos.
Odnos između takvih količina je izravno proporcionalan odnos. Primjeri izravne proporcionalne ovisnosti:
1) pri konstantnoj brzini, prijeđeni put je izravno proporcionalan vremenu;
2) opseg kvadrata i njegova stranica izravno su proporcionalne veličine;
3) trošak proizvoda kupljenog po jednoj cijeni izravno je proporcionalan njegovoj količini.
Da biste razlikovali izravni proporcionalni odnos od obrnutog, možete upotrijebiti poslovicu: "Što dalje u šumu, to više drva za ogrjev."
Prikladno je rješavati probleme koji uključuju izravno proporcionalne količine pomoću proporcija.
1) Za izradu 10 dijelova potrebno je 3,5 kg metala. Koliko će metala ući u izradu 12 ovih dijelova?
(Razumiramo ovako:
1. U popunjeni stupac postavite strelicu u smjeru od više na manje.
2. Što je više dijelova, potrebno je više metala za njihovu izradu. To znači da je ovo izravno proporcionalan odnos.
Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Sastavljamo udio (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):
12:10=x:3,5
Da biste pronašli, trebate podijeliti umnožak ekstremnih članova s poznatim srednjim članom:
To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.
Odgovor: 4,2 kg.
2) Za 15 metara tkanine platili su 1680 rubalja. Koliko košta 12 metara takve tkanine?
(1. U popunjeni stupac postavite strelicu u smjeru od najvećeg prema najmanjem broju.
2. Što manje tkanine kupite, manje je morate platiti. To znači da je ovo izravno proporcionalan odnos.
3. Dakle, druga strelica je u istom smjeru kao i prva).
Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Pravimo proporciju (od početka strelice do njenog kraja):
15:12=1680:x
Da biste pronašli nepoznati ekstremni član udjela, podijelite umnožak srednjih članova s poznatim ekstremnim članom udjela:
To znači da 12 metara košta 1344 rublja.
Odgovor: 1344 rubalja.
Trikhleb Daniil, učenik 7. razreda
upoznavanje s ravnom proporcionalnošću i koeficijentom ravne proporcionalnosti (uvođenje pojma kutni koeficijent”);
konstruiranje grafa izravne proporcionalnosti;
razmatranje međusobnog položaja grafova izravne proporcionalnosti i linearnih funkcija s jednakim kutnim koeficijentima.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Direktna proporcionalnost i njezin grafikon
Što je argument i vrijednost funkcije? Koja se varijabla naziva nezavisnom ili zavisnom? Što je funkcija? PONAVLJANJE Što je domena funkcije?
Metode za specificiranje funkcije. Analitički (pomoću formule) Grafički (pomoću grafikona) Tabularni (pomoću tablice)
Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcije. RASPORED FUNKCIJA
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
RIJEŠI ZADATAK Konstruiraj graf funkcije y = 2 x +1, gdje je 0 ≤ x ≤ 4. Napravite stol. Pomoću grafa pronađite vrijednost funkcije pri x=2,5. Pri kojoj je vrijednosti argumenta vrijednost funkcije jednaka 8?
Definicija Izravna proporcionalnost je funkcija koja se može odrediti formulom u obliku y = k x, gdje je x nezavisna varijabla, a k nije jednaka nuli broj. (k-koeficijent izravne proporcionalnosti) Izravna proporcionalnost
8 Graf izravne proporcionalnosti - pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata (točka O(0,0)) Za konstruiranje grafa funkcije y= kx dovoljne su dvije točke od kojih je jedna O (0,0) Za k > 0, graf se nalazi u I i III koordinatnoj četvrtini. Kod k
Grafovi funkcija izravne proporcionalnosti y x k>0 k>0 k
Zadatak Odredite koji od grafova prikazuje funkciju izravne proporcionalnosti.
Zadatak Odredite koji je graf funkcije prikazan na slici. Odaberite formulu od tri ponuđene.
Usmeni rad. Može li se graf funkcije zadan formulom y = k x, gdje je k
Odredite koje od točaka A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) pripadaju grafu izravne proporcionalnosti danom formulom y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - netočno. Točka A ne pripada grafu funkcije y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - točno. Točka B pripada grafu funkcije y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - netočno Točka C ne pripada grafu funkcije y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - točno. Točka E pripada grafu funkcije y=5x
TEST 1 opcija 2 opcija br. Koje su funkcije dane formulom izravno proporcionalne? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
broj 2. Zapišite brojeve redaka y = kx, gdje je k > 0 1 opcija k
broj 3. Odredite koje od točaka pripadaju grafu izravne proporcionalnosti danom formulom Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opcija C (1, -1), E (0,0 ) Opcija 2
y =5x y =10x III A VI i IV E 1 2 3 1 2 3 Br.Tačan odgovor Tačan odgovor Br.
Izvršite zadatak: Shematski prikažite kako se nalazi graf funkcije zadane formulom: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
ZADATAK Iz sljedećih grafikona odaberite samo grafikone izravne proporcionalnosti.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Funkcije y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Odaberi funkcije oblika y = k x (ravna proporcionalnost) i zapiši ih
Funkcije izravne proporcionalnosti Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Linearne funkcije koje nisu funkcije izravne proporcionalnosti 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Domaća zadaća: pasus 15 str. 65-67, br. 307; broj 308.
Ponovimo opet. Što ste novoga naučili? Što si naučio? Što vam je bilo posebno teško?
Svidjela mi se lekcija i tema je shvaćena: Svidjela mi se lekcija, ali još uvijek ne razumijem sve: Nije mi se svidjela lekcija i tema nije jasna.
Vrste ovisnosti
Pogledajmo punjenje baterije. Kao prvu količinu, uzmimo vrijeme potrebno za punjenje. Druga vrijednost je vrijeme koje će raditi nakon punjenja. Što dulje punite bateriju, to će dulje trajati. Proces će se nastaviti dok se baterija potpuno ne napuni.
Ovisnost vremena rada baterije o vremenu punjenja
Napomena 1
Ta se ovisnost naziva ravno:
Kako jedna vrijednost raste, tako raste i druga. Kako se jedna vrijednost smanjuje, tako se smanjuje i druga vrijednost.
Pogledajmo još jedan primjer.
Što više knjiga učenik pročita, to će manje griješiti u diktatu. Ili što se više popnete u planine, to će atmosferski tlak biti niži.
Napomena 2
Ta se ovisnost naziva obrnuti:
Kako jedna vrijednost raste, druga se smanjuje. Kako se jedna vrijednost smanjuje, druga vrijednost raste.
Dakle, u slučaju izravna ovisnost obje se veličine jednako mijenjaju (obje se ili povećavaju ili smanjuju), a u slučaju inverzni odnos– suprotno (jedno se povećava, a drugo smanjuje, ili obrnuto).
Utvrđivanje ovisnosti između veličina
Primjer 1
Vrijeme potrebno za posjet prijatelju je $20$ minuta. Ako se brzina (prva vrijednost) poveća $2$ puta, saznat ćemo kako se mijenja vrijeme (druga vrijednost) koje će biti potrošeno na putu do prijatelja.
Očito, vrijeme će se smanjiti za $2$ puta.
Napomena 3
Ta se ovisnost naziva proporcionalan:
Koliko se puta promijeni jedna veličina, toliko se puta promijeni druga veličina.
Primjer 2
Za štruce kruha od 2$ u trgovini morate platiti 80 rubalja. Ako trebate kupiti štruce kruha od 4$ (količina kruha se povećava 2$ puta), koliko ćete puta više morati platiti?
Očito, trošak će također porasti $2$ puta. Imamo primjer proporcionalne ovisnosti.
U oba primjera razmatrane su proporcionalne ovisnosti. Ali u primjeru sa štrucama kruha, količine se mijenjaju u jednom smjeru, dakle, ovisnost je ravno. A u primjeru odlaska kod prijatelja, odnos između brzine i vremena je obrnuti. Stoga postoji izravno proporcionalni odnos I obrnuto proporcionalan odnos.
Izravna proporcionalnost
Razmotrimo proporcionalne količine od 2$: broj štruca kruha i njihovu cijenu. Neka štruce kruha od 2$ koštaju 80$ rubalja. Kada se broj peciva poveća za $4$ puta ($8$ peciva), oni Ukupni trošak iznosit će 320 $ rubalja.
Omjer broja peciva: $\frac(8)(2)=4$.
Omjer cijene peciva: $\frac(320)(80)=$4.
Kao što vidite, ovi odnosi su međusobno jednaki:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definicija 1
Jednakost dvaju omjera naziva se proporcija.
Uz izravno proporcionalnu ovisnost, odnos se dobiva kada se promjena prve i druge količine podudara:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definicija 2
Dvije se veličine nazivaju izravno proporcionalan, ako kada se jedna od njih promijeni (poveća ili smanji), druga vrijednost se također promijeni (poveća ili smanji, redom) za isti iznos.
Primjer 3
Auto je prešao 180$ km za 2$ sata. Nađite vrijeme za koje će on istom brzinom prijeći 2$ puta veću udaljenost.
Riješenje.
Vrijeme je izravno proporcionalno udaljenosti:
$t=\frac(S)(v)$.
Koliko će se puta povećati udaljenost, pri konstantnoj brzini, za toliko će se povećati vrijeme:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto je prešao 180$ km za 2$ sata
Automobil će prijeći $180 \cdot 2=360$ km – za $x$ sati
Što automobil dalje putuje, to će mu trebati više vremena. Prema tome, odnos između količina je izravno proporcionalan.
Napravimo proporciju:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 4$ sata.
Obrnuta proporcionalnost
Definicija 3
Riješenje.
Vrijeme je obrnuto proporcionalno brzini:
$t=\frac(S)(v)$.
Za koliko se puta poveća brzina, pri istom putu, za isto se vrijeme smanji:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Napišimo stanje problema u obliku tablice:
Auto je prešao 60$ km - za 6$ sati
Automobil će prijeći 120$ km – za $x$ sati
Što brže automobil juri, to će mu manje vremena trebati. Prema tome, odnos između količina je obrnuto proporcionalan.
Napravimo proporciju.
Jer proporcionalnost je obrnuta, drugi odnos u omjeru je obrnut:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odgovor: Automobilu će trebati 3$ sata.
Primjer
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, itd.Faktor proporcionalnosti
Stalni odnos proporcionalnih veličina naziva se faktor proporcionalnosti. Koeficijent proporcionalnosti pokazuje koliko jedinica jedne veličine pripada jedinici druge.
Izravna proporcionalnost
Izravna proporcionalnost- funkcionalna ovisnost, u kojoj određena veličina ovisi o drugoj veličini na način da njihov omjer ostaje konstantan. Drugim riječima, te se varijable mijenjaju proporcionalno, u jednakim udjelima, to jest, ako se argument dva puta promijeni u bilo kojem smjeru, tada se i funkcija dva puta mijenja u istom smjeru.
Matematički, izravna proporcionalnost se piše kao formula:
f(x) = ax,a = const
Obrnuta proporcionalnost
Obrnuta proporcionalnost- ovo je funkcionalna ovisnost, u kojoj porast nezavisne vrijednosti (argumenta) uzrokuje proporcionalno smanjenje zavisne vrijednosti (funkcije).
Matematički, obrnuta proporcionalnost se piše kao formula:
Svojstva funkcije:
Izvori
Zaklada Wikimedia. 2010.
Pogledajte što je "izravna proporcionalnost" u drugim rječnicima:
izravna proporcionalnost- - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Energetske teme općenito EN izravni omjer ... Vodič za tehničke prevoditelje
izravna proporcionalnost- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. izravna proporcionalnost vok. direkte Proportionalität, f rus. izravna proporcionalnost, f pranc. proporcionalno direktno, f … Fizikos terminų žodynas
- (od lat. proporcionalis razmjeran, razmjeran). Proporcionalnost. Rječnik strane riječi, uključen u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALNOST lat. proporcionalis, proporcionalan. Proporcionalnost. Objašnjenje 25000... ... Rječnik stranih riječi ruskog jezika
PROPORCIONALNOST, razmjernost, mn. ne, žensko (knjiga). 1. sažetak imenica do proporcionalnog. Proporcionalnost dijelova. Proporcionalnost tijela. 2. Takav odnos između veličina kada su proporcionalne (vidi proporcionalne ... Rječnik Ushakova
Dvije međusobno ovisne veličine nazivaju se proporcionalnim ako omjer njihovih vrijednosti ostaje nepromijenjen. Sadržaj 1. Primjer 2. Koeficijent proporcionalnosti ... Wikipedia
PROPORCIONALNOST, i, žen. 1. vidi proporcionalan. 2. U matematici: takav odnos između veličina u kojem povećanje jedne od njih povlači za sobom promjenu druge za isti iznos. Ravna linija (s rezom s povećanjem za jednu vrijednost... ... Ozhegovov objašnjavajući rječnik
I; i. 1. do Proporcionalno (1 vrijednost); proporcionalnost. P. dijelovi. P. tjelesne građe. P. zastupljenost u parlamentu. 2. Matematika. Ovisnost između proporcionalno promjenjivih veličina. Faktor proporcionalnosti. Izravna linija (u kojoj s... ... enciklopedijski rječnik
>>Matematika: Izravna proporcionalnost i njezin grafikon
Direktna proporcionalnost i njezin grafikon
Među linearnim funkcijama y = kx + m posebno se ističe slučaj kada je m = 0; u ovom slučaju ima oblik y = kx i naziva se izravna proporcionalnost. Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da se dvije veličine y i x nazivaju izravno proporcionalnim ako je njihov omjer jednak određenom
broj različit od nule. Ovdje se taj broj k naziva koeficijent proporcionalnosti.
Puno stvarne situacije modeliraju se izravnom proporcionalnošću.
Na primjer, put s i vrijeme t pri konstantnoj brzini od 20 km/h povezani su ovisnošću s = 20t; ovo je izravna proporcionalnost, s k = 20.
Još jedan primjer:
trošak y i broj x kruha po cijeni od 5 rubalja. za štrucu su povezani ovisnošću y = 5x; ovo je izravna proporcionalnost, gdje je k = 5.
Dokaz. Realizirat ćemo ga u dvije faze.
1. y = kx - poseban slučaj linearna funkcija, a graf linearne funkcije je pravac; Označimo ga sa I.
2. Par x = 0, y = 0 zadovoljava jednadžbu y - kx, pa stoga točka (0; 0) pripada grafu jednadžbe y = kx, tj. pravoj I.
Prema tome, pravac I prolazi kroz ishodište. Teorem je dokazan.
Morate biti u mogućnosti prijeći ne samo s analitičkog modela y = kx na geometrijski (graf izravne proporcionalnosti), već i s geometrijskog modeli do analitičkog. Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju na koordinatnoj ravnini xOy prikazanu na slici 50. To je graf izravne proporcionalnosti; samo trebate pronaći vrijednost koeficijenta k. Budući da je y, tada je dovoljno uzeti bilo koju točku na pravcu i pronaći omjer ordinate te točke prema njezinoj apscisi. Pravac prolazi točkom P(3; 6) i za tu točku vrijedi: To znači k = 2, pa stoga zadani pravac služi kao graf izravne proporcionalnosti y = 2x.
Zbog toga se koeficijent k u zapisu linearne funkcije y = kx + m također naziva koeficijent nagiba. Ako je k>0, tada je ravna linija y = kx + m s pozitivnim smjerom x osi oštar kut(Sl. 49, a), a ako je k< О, - tup kut(Slika 49, b).
Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove
Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije