Kako pronaći područje poligona na različite načine. Kako pronaći površinu poligona

Geometrijski problemi često zahtijevaju izračunavanje površine poligona. Štoviše, može imati prilično raznolik oblik - od poznatog trokuta do nekog n-kuta s nekim nezamislivim brojem vrhova. Osim toga, ti poligoni mogu biti konveksni ili konkavni. U svakom konkretna situacija trebao bi početi od izgled figure. Na taj način možete odabrati optimalni način rješavanja problema. Brojka se može pokazati točnom, što će uvelike pojednostaviti rješenje problema.

Malo teorije o poligonima

Ako nacrtate tri ili više linija koje se sijeku, one tvore određenu figuru. Ona je poligon. Na temelju broja presječnih točaka postaje jasno koliko će vrhova imati. Oni daju ime dobivenoj figuri. To bi mogao biti:

Takvu će figuru svakako karakterizirati dvije pozicije:

Susjedne stranice ne pripadaju istoj ravnici.
Nesusjedne nemaju zajedničkih točaka, odnosno ne sijeku se.

Da biste razumjeli koji su vrhovi susjedni, morat ćete vidjeti pripadaju li istoj strani. Ako da, onda susjedne. Inače se mogu povezati segmentom koji se mora nazvati dijagonalom. Mogu se provoditi samo u poligonima koji imaju više od tri vrha.

Koje vrste postoje?

Poligon s više od četiri kuta može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati duž različite strane od prave povučene kroz proizvoljnu stranicu mnogokuta. U konveksnom slučaju svi vrhovi uvijek leže s jedne strane takve ravne linije.

U školski tečaj geometrija većina vrijeme se posvećuje posebno konveksnim figurama. Stoga problemi zahtijevaju pronalaženje područja konveksnog poligona. Zatim postoji formula u smislu polumjera opisane kružnice, koja vam omogućuje da pronađete željenu vrijednost za bilo koju figuru. U drugim slučajevima nema jasnog rješenja. Za trokut postoji jedna formula, ali za kvadrat ili trapez potpuno je drugačija. U situacijama kada je lik nepravilan ili ima mnogo vrhova, uobičajeno ih je podijeliti na jednostavne i poznate.

Što učiniti ako lik ima tri ili četiri vrha?

U prvom slučaju ispast će da je to trokut, a možete koristiti jednu od formula:

S = 1/2 * a * n, gdje je a stranica, n je visina do nje;
S = 1/2 * a * b * sin (A), gdje su a, b stranice trokuta, A je kut između poznatih strana;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), gdje je c stranica trokuta, na dvije već navedene, p je poluopseg, tj. zbroj sve tri strane podijeljen s dva .

Figura s četiri vrha može se pokazati kao paralelogram:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, α je kut između njih;
S = a * u * sin(α).

Formula za područje trapeza: S = n * (a + b) / 2, gdje su a i b duljine baza.

Što učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha?

Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su sve strane jednake. Osim toga, poligon ima jednake kutove.

Ako nacrtate krug oko takve figure, tada će se njegov radijus podudarati sa segmentom od središta poligona do jednog od vrhova. Stoga, da biste izračunali površinu pravilnog poligona s proizvoljnim brojem vrhova, trebat će vam sljedeća formula:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhova poligona.

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

trokut: S = (3√3)/4 * R 2 ;
kvadrat: S = 2 * R 2 ;
šesterokut: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija s pogrešnom figurom

Rješenje kako saznati površinu poligona ako nije pravilan i ne može se pripisati niti jednoj od prethodno poznatih figura je algoritam:

razbiti ga u jednostavne oblike, na primjer, trokute, tako da se ne sijeku;
izračunati njihove površine bilo kojom formulom;
zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako su u zadatku navedene koordinate vrhova poligona?

To jest, za svaku točku poznat je skup parova brojeva koji ograničavaju strane figure. Obično se pišu kao (x 1 ; y 1) za prvi, (x 2 ; y 2) za drugi, a n-ti vrh ima sljedeće vrijednosti (x n ; y n). Tada se površina poligona određuje kao zbroj n članova. Svaki od njih izgleda ovako: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). U ovom izrazu, i varira od jedan do n.

Vrijedno je napomenuti da će predznak rezultata ovisiti o obilasku figure. Kada koristite navedenu formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Ogledni zadatak

Stanje. Koordinate vrhova određene su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Morate izračunati površinu poligona.

Riješenje. Prema gornjoj formuli, prvi član će biti jednak (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Ovdje samo trebate uzeti vrijednosti za Y i X iz druge i prve točke. Jednostavan izračun će dovesti do rezultata 1.8.

Drugi član se dobiva na sličan način: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Prilikom rješavanja takvih problema nemojte se bojati negativnih veličina. Sve ide kako treba. Ovo je planirano.

Vrijednosti za treći (0,29), četvrti (-6,365) i peti član (2,96) dobivene su na sličan način. Tada je konačna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Savjeti za rješavanje zadatka gdje je na kariranom papiru nacrtan poligon

Ono što je najčešće zagonetno je da podaci sadrže samo veličinu ćelije. No pokazalo se da više informacija nije potrebno. Preporuka za rješavanje ovog problema je podijeliti lik na više trokuta i pravokutnika. Njihove površine vrlo je lako izračunati pomoću duljina stranica, koje se zatim lako zbrajaju.

Ali često postoji jednostavniji pristup. Sastoji se od crtanja figure na pravokutnik i izračunavanja njegove površine. Zatim izračunajte površine onih elemenata koji su se pokazali suvišnim. Oduzmite ih od opće značenje. Ova opcija ponekad uključuje nešto manji broj radnji.

Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Pozdrav dragi čitatelju.

Rješenje mnogih problema računalne geometrije temelji se na pronalaženju područje poligona. U ovoj lekciji ćemo izvesti formulu za izračunavanje površine poligona kroz koordinate njegovih vrhova i napisati funkciju za izračunavanje ove površine.

Zadatak. Izračunaj površinu poligona, zadan koordinatama njegovih vrhova, redoslijedom njihovog prelaska u smjeru kazaljke na satu.

Uvidi iz računalne geometrije

Da bismo izveli formulu za područje poligona, potrebne su nam informacije iz računalne geometrije, naime koncept orijentirane površine trokuta.

Orijentirano područje trokuta je obično područje opremljeno znakom. Znak orijentirane površine trokuta ABC isto kao i orijentirani kut između vektora i . To jest, njegov znak ovisi o redoslijedu kojim su vrhovi navedeni.

Na riža. 1 trokut ABC je pravokutni trokut. Njegova orijentirana površina jednaka je (veća je od nule, jer je par orijentiran pozitivno). Ista se vrijednost može izračunati na drugi način.

Neka OKO– proizvoljna točka ravnine. Na našoj slici površina trokuta ABC dobije se ako od površine trokuta OBC oduzmemo površine OAB i OCA. Dakle, samo trebate dodajte orijentirana područja trokuta OAB, OBC i OCA. Ovo pravilo vrijedi za bilo koji izbor točke OKO.

Slično tome, da biste izračunali površinu bilo kojeg poligona, trebate zbrojiti orijentirane površine trokuta

Ukupna će biti površina poligona, uzeta s predznakom plus ako je, kada se obilazi poligon, poligon s lijeve strane (prolaženje granice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), i s predznakom minus ako je s desne strane ( prijelaz u smjeru kazaljke na satu).

Dakle, izračunavanje površine poligona svodi se na pronalaženje površine trokuta. Pogledajmo kako to izraziti u koordinatama.

Umnožak dvaju vektora na ravnini je površina paralelograma konstruiranog na tim vektorima.

Križni umnožak izražen u vektorskim koordinatama:

Površina trokuta bit će jednaka polovici ove površine:

Pogodno je uzeti ishodište koordinata kao točku O, tada će se koordinate vektora na temelju kojih se izračunavaju orijentirane površine podudarati s koordinatama točaka.

Neka (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - koordinate vrhova zadanog poligona u smjeru kretanja kazaljke na satu ili suprotno od njega. Tada će njegova usmjerena površina S biti jednaka:

Ovo je naša radna formula, koristi se u našem programu.

Ako su koordinate vrhova navedene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada broj S, izračunato ovom formulom bit će pozitivno. Inače će biti negativan, a da bismo dobili uobičajenu geometrijsku površinu trebamo uzeti njegovu apsolutnu vrijednost.

Dakle, razmotrimo program za pronalaženje površine poligona zadanog koordinatama vrhova.

Program geom6; Konst n_max=200; (maksimalni broj bodova+1) type b=record x,y:real; kraj;

Koordinate vrhova se čitaju iz datoteke input.pas., pohranjene u nizu A kao zapisi s dva polja. Radi lakšeg obilaska poligona, u niz je uveden n+1 element čija je vrijednost jednaka vrijednosti prvog elementa niza.

edukativni: naučiti učenike pronaći površinu mnogokuta odabranim metodama, formirati početne ideje
poligonske, grafičke i mjerne vještine;
razvijanje: razvoj metoda mentalne aktivnosti učenika pri izvođenju zadataka od promatranja, izračunavanja do razjašnjavanja obrazaca izračunavanja površine poligona;
odgojni: otkrivanje subjektivnog doživljaja učenika, poticanje djelovanja i težnji učenika kao temelja za njegovanje pozitivnih osobina ličnosti;
metodički: stvaranje uvjeta za ispoljavanje kognitivne aktivnosti učenika.

Oprema za nastavu:

Dizajn ploče: s lijeve strane - figure poligona, s desne strane - prazna ploča za pisanje u lekciji, u sredini - poligon-pravokutnik.
Letak “Za istraživanje”.
Pribor za nastavnike i učenike (kreda, pokazivač, ravnalo, istraživački list, figure, Whatman papir, marker).

Metoda lekcije:

U smislu interakcije između nastavnika i učenika – dijalog-komunikacija;
Prema načinu rješavanja problema – djelomično pretraživački;
Prema metodi mentalne aktivnosti – (CUD) razvojni odgoj.

Oblik sata je frontalni, u paru, individualni.

Vrsta lekcije - lekcija u svladavanju novih znanja, vještina i sposobnosti.

Struktura sata je postupno produbljivanje u temu, fleksibilna, dijaloška.

Tijekom nastave

Lijepi pozdrav.

Lekcija je prekrasna i donosi radost kada razmišljamo i radimo zajedno. Danas ćemo promatrati figure, određivati im nazive, razmišljati, tražiti i pronaći rješenja. Poželimo jedni drugima uspješan rad.

Obnavljanje znanja.

Pogledajte figure (poligone na ploči).

Svi su zajedno. Zašto? Koja im je zajednička karakteristika? (Poligoni).

Imenujte ovaj poligon (5-kut, 6-kut...)

Možda znate koja je površina poligona?

Zatim pokažite na jednoj od slika.

(Uopćavanje od strane učitelja: površina je dio ravnine unutar zatvorene geometrijske figure.)

U ruskom jeziku ova riječ ima nekoliko značenja.

(Učenik koristi rječnik za upoznavanje značenja.)

Dio ravnine unutar zatvorene geometrijske figure.
Velika neizgrađena i ravna površina.
Soba za neku svrhu.

Koje se značenje koristi u matematici?

U matematici se koristi prva vrijednost.

(Na ploči je figura).

Je li ovo poligon? Da.

Nazovite figuru drugačije. Pravokutnik.

Prikaži duljinu, širinu.

Kako pronaći površinu poligona?

Napiši formulu koristeći slova i simbole.

Ako je duljina našeg pravokutnika 20 cm, širina je 10 cm. Koja je površina?

Površina je 200 cm 2

Razmislite kako primijeniti ravnalo tako da je lik podijeljen na:

Jeste li vidjeli od kojih se dijelova sastoji figura? Sada, naprotiv, spojimo cjelinu dio po dio.

(Dijelovi figure leže na stolovima. Djeca od njih sastavljaju pravokutnik.)

Izvucite zaključke iz svojih zapažanja.

Cijela figura se može podijeliti na dijelove i od dijelova se može napraviti cjelina.

Kuće temeljene na trokutima i četverokutima bile su sastavljene od figura i silueta. Evo kako su ispali.

(Demonstracija crteža koje su učenici izradili kod kuće. Jedan od radova se analizira).

Koje ste oblike koristili? Imate složen poligon.

Postavljanje zadatka učenja.

U lekciji moramo odgovoriti na pitanje: kako pronaći područje složenog poligona?

Zašto osoba treba pronaći područje?

(Odgovori djece i sažetak nastavnika).

Problem određivanja površine proizašao je iz prakse.

(Prikazan je plan lokacije škole).

Da bi sagradili školu, prvo su napravili plan. Zatim je teritorij podijeljen na dijelove određenog područja, postavljene su zgrade, cvjetnjaci i stadion. U ovom slučaju područje ima određeni oblik - oblik poligona.

Rješavanje problema učenja.

(Podijeljeni su listovi za istraživanje).

Pred vama je lik. Imenuj.

Poligon, šesterokut.

Nađimo površinu poligona. Što treba učiniti za to?

Podijeliti na pravokutnike.

(Ako imate poteškoća, bit će još jedno pitanje: "Od kojih se figura sastoji poligon?").

Od dva pravokutnika.

Pomoću ravnala i olovke podijelite oblik na pravokutnike. Dobivene dijelove označi brojevima 1 i 2.

Uzmimo mjerenja.

Nađimo površinu prve figure.

(Učenici nude sljedeća rješenja i zapisuju ih na ploču).

S 1 = 5? 2 = 10 cm 2
S2 = 5? 1 = 5 cm 2

Znajući područje dijelova, kako pronaći područje cijele figure?

S = 10 + 5 = 15 cm 2

S 1 = 6? 2 = 12 cm 2
S 2 = 3? 1 = 3 cm 2
S = 12 + 3 = 15 cm 2.

Usporedite rezultate i izvedite zaključak.

Pratimo naše postupke

Kako ste pronašli površinu poligona?

Algoritam je sastavljen i napisan na plakatu:?

1. Podijelite figuru na dijelove

2. Odredite površine dijelova ovih mnogokuta (S 1, S 2).

3. Pronađite površinu cijelog poligona (S 1 + S 2).

Razgovarajte o algoritmu.

(Nekoliko učenika recitira algoritam).

Našli smo dva načina, možda ih ima više?

I možete dovršiti figuru.

Koliko ste pravokutnika dobili?

Označimo dijelove 1 i 2. Uzmimo mjerenja.

Pronađite površinu svakog dijela mnogokuta.

S 1 = 6? 5=30cm 2
S2 = 5? 3 = 15 cm 2

Kako pronaći područje našeg šesterokuta?

S = 30 – 15 = 15 cm 2

Kreirajmo algoritam:

Dovršili smo lik do pravokutnika

Pronađeni S1 i S2.

Pronašli smo razliku S 1 – S 2.

Usporedite dva algoritma. Izvući zaključak. Koje radnje su iste? Gdje su se naše akcije razišle?

Zatvorite oči, spustite glave. Mentalno ponovite algoritam.

Proveli smo istraživanje, pogledali različite metode i sada možemo pronaći površinu bilo kojeg poligona.

Provjera izvedbe.

Testirajte se.

Prije nego što su poligoni.

Pronađite površinu jedne figure po vašem izboru i možete je koristiti različiti putevi.

Rad se obavlja samostalno. Djeca biraju figuru. Pronađite područje na jedan od sljedećih načina. Provjerite - ključ je na ploči.

Što možete reći o formi? (Oblik varira)

Kolika je površina ovih poligona? (Površine ovih poligona su jednake)

Ocijenite rezultate.

Tko ima pravo neka stavi “+”.

Svatko tko ima nedoumica ili poteškoća – “?”

Konzultanti pomažu djeci, traže greške i pomažu ih ispraviti.

Domaća zadaća:

Napravite vlastite istraživačke listove i izračunajte površinu poligona na različite načine.

Sažetak lekcije.

Dakle, dečki, što ćete reći svojim roditeljima o tome kako pronaći područje geometrijske figure - poligona.

Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Pozdrav dragi čitatelju.

Zadatak. Izračunaj površinu poligona, zadan koordinatama njegovih vrhova, redoslijedom njihovog prelaska u smjeru kazaljke na satu.

Uvidi iz računalne geometrije

Da bismo izveli formulu za područje poligona, potrebne su nam informacije iz računalne geometrije, naime koncept orijentirane površine trokuta.

Orijentirano područje trokuta je obično područje opremljeno znakom. Znak orijentirane površine trokuta ABC isto što i orijentirani kut između vektora i. To jest, njegov znak ovisi o redoslijedu kojim su vrhovi navedeni.

Na riža. 1 trokut ABC je pravokutni trokut. Njegova orijentirana površina jednaka je (veća je od nule, jer je par pozitivno orijentiran). Ista se vrijednost može izračunati na drugi način.

Slično tome, da biste izračunali površinu bilo kojeg poligona, trebate zbrojiti orijentirane površine trokuta

Dakle, izračunavanje površine poligona svodi se na pronalaženje površine trokuta. Pogledajmo kako to izraziti u koordinatama.

Umnožak dvaju vektora na ravnini je površina paralelograma konstruiranog na tim vektorima.

Križni umnožak izražen u vektorskim koordinatama:

Dakle, razmotrimo program za pronalaženje površine poligona zadanog koordinatama vrhova.

3. Ako je mnogokut sastavljen od više mnogokuta, tada je njegova površina jednaka zbroju površina tih mnogokuta.

4. Površina kvadrata sa stranicom \(a\) jednaka je \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Površina pravokutnika i paralelograma)))\]

Teorem: Površina pravokutnika

Površina pravokutnika sa stranicama \(a\) i \(b\) jednaka je \(S=ab\) .

Dokaz

Sastavimo pravokutnik \(ABCD\) u kvadrat sa stranicom \(a+b\), kao što je prikazano na slici:

Ovaj kvadrat se sastoji od pravokutnika \(ABCD\), drugog jednakog pravokutnika i dva kvadrata sa stranicama \(a\) i \(b\). Tako,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Lijeva desna strelica\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightright S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Definicija

Visina paralelograma je okomica povučena iz vrha paralelograma na stranicu (ili na produžetak stranice) koja ne sadrži taj vrh.
Na primjer, visina \(BK\) pada na stranicu \(AD\) , a visina \(BH\) pada na nastavak stranice \(CD\) :

Teorem: Površina paralelograma

Površina paralelograma jednaka je umnošku visine i strane na koju je ta visina povučena.

Dokaz

Nacrtajmo okomice \(AB"\) i \(DC"\) kao što je prikazano na slici. Imajte na umu da su ove okomice jednake visini paralelograma \(ABCD\) .

Tada je \(AB"C"D\) pravokutnik, dakle \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Primijetite da su pravokutni trokuti \(ABB"\) i \(DCC"\) sukladni. Tako,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Area of troangle)))\]

Definicija

Stranicu na koju je povučena visina u trokutu nazvat ćemo osnovicom trokuta.

Teorema

Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove baze i visine povučene na tu bazu.

Dokaz

Neka je \(S\) površina trokuta \(ABC\) . Uzmimo stranicu \(AB\) kao osnovicu trokuta i nacrtajmo visinu \(CH\) . Dokažimo da \ Dopunimo trokut \(ABC\) do paralelograma \(ABDC\) kao što je prikazano na slici:

Trokuti \(ABC\) i \(DCB\) jednaki su na tri stranice (\(BC\) im je zajednička stranica, \(AB = CD\) i \(AC = BD\) kao suprotne stranice paralelograma \ (ABDC\ )), pa su im površine jednake. Dakle, površina \(S\) trokuta \(ABC\) jednaka je polovici površine paralelograma \(ABDC\), tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorema

Ako dva trokuta \(\trokut ABC\) i \(\trokut A_1B_1C_1\) imaju jednake visine, tada su njihove površine povezane s bazama na koje su te visine povučene.

Posljedica

Medijan trokuta dijeli ga na dva trokuta jednake površine.

Teorema

Ako dva trokuta \(\trokut ABC\) i \(\trokut A_2B_2C_2\) imaju jednak kut, tada su njihove površine povezane kao umnožak stranica koje tvore ovaj kut.

Dokaz

Neka \(\kut A=\kut A_2\) . Kombinirajmo ove kutove kao što je prikazano na slici (točka \(A\) poravnata s točkom \(A_2\)):

Nađimo visine \(BH\) i \(C_2K\) .

Trokuti \(AB_2C_2\) i \(ABC_2\) imaju istu visinu \(C_2K\), dakle: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trokuti \(ABC_2\) i \(ABC\) imaju istu visinu \(BH\), dakle: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Množenjem posljednje dvije jednakosti dobivamo: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( ili ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pitagorin poučak

U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta:

Vrijedi i obrnuto: ako trokut ima kvadrat duljine jedne stranice jednak zbroju kvadrata duljina druge dvije stranice, onda je takav trokut pravokutan.

Teorema

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici produkta kateta.

Teorem: Heronova formula

Neka je \(p\) poluopseg trokuta, \(a\) , \(b\) , \(c\) duljine njegovih stranica, tada je njegova površina \

\[(\Large(\text(Površina romba i trapeza)))\]

Komentar

Jer Romb je paralelogram, onda za njega vrijedi ista formula, tj. Površina romba jednaka je umnošku visine i strane na koju je ta visina povučena.

Teorema

Površina konveksnog četverokuta čije su dijagonale okomite jednaka je polovici umnoška dijagonala.

Dokaz

Promotrimo četverokut \(ABCD\) . Označimo \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Imajte na umu da se ovaj četverokut sastoji od četiri pravokutni trokuti, stoga je njegova površina jednaka zbroju površina ovih trokuta:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multiline*)\)

Posljedica: površina romba

Površina romba jednaka je polovici proizvoda njegovih dijagonala: \

Definicija

Visina trapeza je okomica povučena od vrha jedne osnovice do druge osnovice.

Teorem: Površina trapeza

Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbroja baza i visine.

Dokaz

Razmotrimo trapez \(ABCD\) s bazama \(BC\) i \(AD\) . Nacrtajmo \(CD"\paralelu AB\) kao što je prikazano na slici:

Tada je \(ABCD"\) paralelogram.

Izvedimo i \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) su visine trapeza).

Zatim \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Jer trapez se sastoji od paralelograma \(ABCD"\) i trokuta \(CDD"\), tada je njegova površina jednaka zbroju površina paralelograma i trokuta, odnosno:

\ \[=\dfrac12 CH\lijevo(BC+AD"+D"D\desno)=\dfrac12 CH\lijevo(BC+AD\desno)\]

Svatko tko je učio matematiku i geometriju u školi, poznaje te znanosti barem površno. Ali s vremenom, ako ih ne prakticirate, znanje se zaboravi. Mnogi čak vjeruju da su samo izgubili vrijeme proučavajući geometrijske proračune. Međutim, nisu u pravu. Tehnički radnici obavljaju svakodnevne poslove vezane uz geometrijske proračune. Što se tiče izračuna površine poligona, ovo znanje također nalazi svoju primjenu u životu. Oni će biti potrebni barem za izračunavanje površine zemljišta. Dakle, naučimo kako pronaći površinu poligona.

Definicija poligona

Prvo, definirajmo što je poligon. Ovo je ravna geometrijska figura koja nastaje kao rezultat sjecišta tri ili više ravnih linija. Još jedna jednostavna definicija: poligon je zatvorena izlomljena linija. Naravno, kada se linije sijeku, formiraju se točke sjecišta; njihov broj je jednak broju linija koje tvore poligon. Točke sjecišta nazivaju se vrhovima, a segmenti formirani od ravnih linija nazivaju se stranicama poligona. Susjedni segmenti poligona nisu na istoj ravnoj liniji. Odsječci koji nisu susjedni su oni koji ne prolaze kroz zajedničke točke.

Zbroj površina trokuta

Kako pronaći površinu poligona? Površina poligona je unutarnji dio ravnina koja nastaje sjecištem segmenata ili stranica mnogokuta. Budući da je poligon kombinacija figura kao što su trokut, romb, kvadrat, trapez, onda univerzalna formula jednostavno ne postoji način da se izračuna njegova površina. U praksi je najuniverzalnija metoda dijeljenja poligona na jednostavnije figure, čije područje nije teško pronaći. Zbrajanjem zbroja površina ovih jednostavnih figura dobiva se površina poligona.

Kroz područje kruga

U većini slučajeva poligon ima pravilan oblik i tvori lik s jednakim stranicama i kutovima između njih. U ovom slučaju, izračunavanje površine je vrlo jednostavno pomoću upisane ili opisane kružnice. Ako je površina kruga poznata, tada se mora pomnožiti s opsegom poligona, a zatim dobiveni proizvod podijeliti s 2. Rezultat je formula za izračunavanje površine takvog poligona: S = ½∙P∙r., gdje je P površina kruga, a r opseg poligona.

Metoda dijeljenja poligona u "prikladne" oblike je najpopularnija u geometriji; omogućuje vam brzo i ispravno pronalaženje područja poligona. U 4. razredu srednje škole obično se uče takve metode.

Područje, jedna od glavnih veličina povezanih s geometrijski oblici. U najjednostavnijim slučajevima, mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata sa stranicom jednakom jedinici duljine. Izračunavanje P. bilo je već u antičko doba... ...

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Područje (značenja). Površina ravne figure je aditivna numerička karakteristika figure koja u potpunosti pripada jednoj ravnini. U najjednostavnijem slučaju, kada se figura može podijeliti na konačnu... ... Wikipedia

I Površina je jedna od glavnih veličina povezanih s geometrijskim oblicima. U najjednostavnijim slučajevima, mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata sa stranicom jednakom jedinici duljine. Izračun P....... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Područje (značenja). Površina Dimenzija L² SI jedinice m² ... Wikipedia

G. 1. Dio Zemljina površina, prostor prirodno ograničen ili posebno namijenjen za neku svrhu. Ott. Vodeni prostor. Ott. Veliko, ravno mjesto, prostor. 2. Ravan, neizgrađen javni prostor... ... Moderno Rječnik ruski jezik Efremova

Ovaj se članak predlaže za brisanje. Objašnjenje razloga i odgovarajuću raspravu možete pronaći na stranici Wikipedije: Za brisanje / 2. rujna 2012. Dok proces rasprave nije dovršen, možete pokušati poboljšati članak, ali trebali biste ... .. .Wikipedia

Dva komada u R2 imajući jednake površine i, prema tome, dva mnogokuta M1 i M 2 tako da se mogu izrezati na poligone tako da su dijelovi koji čine M 1 sukladni dijelovima koji sačinjavaju M 2. Jer, jednaka površina ... ... Matematička enciklopedija

V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pickov teorem je klasičan rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Površina poligona s cijelim brojem ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Pickov teorem. V = 7, G = 8, V + G/2 − 1 = 10 Pickova formula (ili Pickov teorem) klasičan je rezultat kombinatorne geometrije i geometrije brojeva. Područje... Wikipedia

Regija (povezani otvoreni skup) na granici konveksnog tijela u euklidskom prostoru E 3. Cjelokupna granica konveksnog tijela naziva se. potpuni V. p. Ako je tijelo konačno, potpuni V. p. zatvoreno. Ako je tijelo beskonačno, tada je kompletan V.p. beskrajno...... Matematička enciklopedija

1.1 Izračunavanje površina u antičko doba

1.2 Različiti pristupi proučavanju pojmova "područje", "poligon", "površina poligona"

1.2.1 Pojam područja. Svojstva područja

1.2.2 Pojam poligona

1.2.3 Pojam površine poligona. Opisna definicija

1.3 Razne formule za površine mnogokuta

1.4 Izvođenje formula za površine mnogokuta

1.4.1 Površina trokuta. Heronova formula

1.4.2 Površina pravokutnika

1.4.3 Površina trapeza

1.4.4 Površina četverokuta

1.4.5 Univerzalna formula

1.4.6 Površina n-kuta

1.4.7 Izračunavanje površine poligona iz koordinata njegovih vrhova

1.4.8 Pickova formula

1.5 Pitagorin poučak o zbroju površina kvadrata izgrađenih na katetama pravokutnog trokuta

1.6 Jednaki raspored trokuta. Bolyay-Gerwinov teorem

1.7 Omjer površina sličnih trokuta

1.8 Slike s najvećom površinom

1.8.1 Trapez ili pravokutnik

1.8.2 Izvanredno svojstvo trga

1.8.3 Presjeci drugih oblika

1.8.4 Trokut najveće površine

Poglavlje 2. Metodološke značajke proučavanja područja poligona u nastavi matematike

2.1 Tematsko planiranje te obilježja nastave u razredima s produbljenim proučavanjem matematike

2.2 Metodika izvođenja nastave

2.3 Rezultati eksperimentalnog rada

Zaključak

Književnost

Uvod

Tema "Područje poligona" sastavni je dio školskog tečaja matematike, što je sasvim prirodno. Uostalom, povijesno je sam nastanak geometrije povezan s potrebom za usporedbom zemljišne parcele ovaj ili onaj oblik. Međutim, treba napomenuti da obrazovne mogućnosti za pokrivanje ove teme u Srednja škola daleko su od toga da se u potpunosti iskoriste.

Glavna zadaća nastave matematike u školi je osigurati da učenici čvrsto i svjesno ovladaju sustavom matematičkih znanja i vještina potrebnih za Svakidašnjica I radna aktivnost svaki član moderno društvo, dovoljno za učenje srodne discipline i kontinuirano obrazovanje.

Uz rješavanje glavnog problema, produbljeni studij matematike uključuje kod učenika formiranje održivog interesa za predmet, prepoznavanje i razvoj njihovih matematičkih sposobnosti, usmjeravanje na zanimanja koja su značajno povezana s matematikom te pripremu za studij na sveučilištu. .

Kvalifikacijski rad obuhvaća sadržaj kolegija matematike Srednja škola i brojna dodatna pitanja koja su neposredno uz ovaj tečaj i koja ga produbljuju duž glavnih ideoloških linija.

Uključivanje dodatnih pitanja ima dvije međusobno povezane svrhe. S jedne strane, to je stvaranje, zajedno s glavnim dijelovima predmeta, osnove za zadovoljavanje interesa i razvoj sposobnosti učenika sa sklonošću prema matematici; s druge strane, to je ispunjenje sadržajne praznine glavnog jela, dajući sadržaj dubinsko proučavanje neophodan integritet.

Kvalifikacijski rad sastoji se od uvoda, dva poglavlja, zaključka i citirane literature. U prvom poglavlju razmatraju se teorijske osnove proučavanja površina poligona, au drugom poglavlju neposredno se obrađuju metodološke značajke proučavanja površina.

Poglavlje 1. Teorijska osnova proučavanje površina poligona

1.1 Izračunavanje površina u antičko doba

Počeci geometrijskih znanja vezanih uz mjerenje površina izgubljeni su u dubinama tisuća godina.

Čak i prije 4 - 5 tisuća godina, Babilonci su mogli odrediti površinu pravokutnika i trapeza u kvadratnim jedinicama. Kvadrat je dugo služio kao standard za mjerenje površina zbog svojih brojnih izvanrednih svojstava: jednakih stranica, jednakih i pravih kutova, simetrije i opće savršenosti oblika. Kvadrate je lako konstruirati ili možete ispuniti ravninu bez praznina.

U drevna Kina Mjera za površinu bio je pravokutnik. Kada su zidari određivali površinu pravokutnog zida kuće, množili su visinu i širinu zida. Ovo je definicija prihvaćena u geometriji: površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih susjednih stranica. Obje ove strane moraju biti izražene u istim linearnim jedinicama. Njihov proizvod će biti površina pravokutnika, izražena u odgovarajućim kvadratnim jedinicama. Recimo, ako se visina i širina zida mjere u decimetrima, tada će umnožak obaju mjerenja biti izražen u kvadratnim decimetrima. A ako je površina svake obložene splavi kvadratni decimetar, tada će dobiveni proizvod pokazati broj pločica potrebnih za oblaganje. To proizlazi iz tvrdnje na kojoj se temelji mjerenje površina: površina figure sastavljene od figura koje se ne sijeku jednaka je zbroju njihovih površina.

Stari Egipćani prije 4000 godina koristili su gotovo iste tehnike kao i mi za mjerenje površine pravokutnika, trokuta i trapeza: osnovica trokuta podijeljena je na pola i pomnožena s visinom; za trapez, zbroj paralelnih stranica podijeljen je na pola i pomnožen s visinom itd. Za izračunavanje površine

četverokut sa stranicama (sl. 1.1), korištena je formula

(1.1)

oni. Poluzbroji suprotnih stranica su pomnoženi.

Ova formula je očito netočna za bilo koji četverokut; iz nje slijedi, posebice, da su površine svih rombova iste. U međuvremenu, očito je da područja takvih rombova ovise o veličini kutova na vrhovima. Ova formula vrijedi samo za pravokutnik. Uz njegovu pomoć možete približno izračunati površinu četverokuta čiji su kutovi blizu pravih kutova.

Za određivanje površine

jednakokračan trokut(Sl. 1.2), u kojoj su Egipćani koristili približnu formulu:

(1.2)

Riža. 1.2 Pogreška počinjena u ovom slučaju je manja što je manja razlika između stranice i visine trokuta, drugim riječima, što je vrh (i ) bliži bazi visine od . Zato je približna formula (1.2) primjenjiva samo za trokute s relativno malim kutom pri vrhu.

Ali već su stari Grci znali ispravno pronaći površine poligona. U svojim Elementima Euklid ne koristi riječ "područje", budući da pod samom riječju "lik" razumijeva dio ravnine omeđen jednom ili drugom zatvorenom linijom. Euklid ne izražava rezultat mjerenja površine brojem, već uspoređuje površine različite figure između sebe.

Kao i drugi antički znanstvenici, Euklid se bavi transformacijom jednih figura u druge jednake veličine. Područje složene figure neće se promijeniti ako su njezini dijelovi različito raspoređeni, ali bez presijecanja. Stoga je, na primjer, moguće na temelju formula za područje pravokutnika pronaći formule za područja drugih figura. Dakle, trokut je podijeljen na dijelove od kojih se zatim može oblikovati pravokutnik jednake veličine. Iz ove konstrukcije slijedi da je površina trokuta jednaka polovici proizvoda njegove baze i visine. Pribjegavajući takvom ponovnom krojenju, oni otkrivaju da je površina paralelograma jednaka umnošku baze i visine, a površina trapeza je umnožak polovine zbroja baza i visine .

Kada zidari moraju popločiti zid složene konfiguracije, mogu odrediti površinu zida brojanjem broja pločica korištenih za oblaganje. Neke će pločice, naravno, morati biti usitnjene tako da se rubovi obloge podudaraju s rubom zida. Broj svih pločica korištenih u radu procjenjuje površinu zida s viškom, broj nerazbijenih pločica - s nedostatkom. Kako se veličina ćelija smanjuje, količina otpada se smanjuje, a površina zida određena brojem pločica se sve točnije izračunava.

Jedan od kasnijih grčkih matematičara i enciklopedista, čiji su radovi uglavnom bili primijenjene prirode, bio je Heron iz Aleksandrije, koji je živio u 1. stoljeću. n. e. Budući da je bio izvanredan inženjer, zvali su ga i "Heron mehaničar". U svom djelu "Dioptrika" Heron opisuje razne strojeve i praktične mjerne instrumente.

Jedna Heronova knjiga zvala se “Geometrija” i svojevrsna je zbirka formula i odgovarajućih problema. Sadrži primjere izračunavanja površina kvadrata, pravokutnika i trokuta. O pronalaženju površine trokuta na temelju njegovih stranica, Heron piše: „Neka, na primjer, jedna stranica trokuta ima duljinu od 13 mjernih užeta, druga 14, a treća 15. Da biste pronašli površinu, nastavite kako slijedi. Dodajte 13, 14 i 15; to će biti 42. Polovica ovoga će biti 21. Oduzmite od ovoga tri strane jednu po jednu; prvo oduzmite 13 - ostaje vam 8, zatim 14 - ostaje vam 7, i na kraju 15 - ostaje vam 6. Sada ih pomnožite: 21 puta 8 daje 168, uzmite ovo 7 puta - dobit ćete 1176, i uzmite ovo još 6 puta - dobivate 7056. Odavde Korijen bit će 84. Toliko će mjernih žica biti u području trokuta.”

Geometrijski problemi često zahtijevaju izračunavanje površine poligona. Štoviše, može imati prilično raznolik oblik - od poznatog trokuta do nekog n-kuta s nekim nezamislivim brojem vrhova. Osim toga, ti poligoni mogu biti konveksni ili konkavni. U svakoj konkretnoj situaciji potrebno je graditi na izgledu figure. Na taj način možete odabrati optimalni način rješavanja problema. Brojka se može pokazati točnom, što će uvelike pojednostaviti rješenje problema.

Malo teorije o poligonima

Takvu će figuru svakako karakterizirati dvije pozicije:

Susjedne stranice ne pripadaju istoj ravnici.
Nesusjedne nemaju zajedničkih točaka, odnosno ne sijeku se.

Koje vrste postoje?

Poligon s više od četiri kuta može biti konveksan ili konkavan. Razlika između potonjeg je u tome što neki od njegovih vrhova mogu ležati na suprotnim stranama ravne linije povučene kroz proizvoljnu stranu poligona. U konveksnom slučaju svi vrhovi uvijek leže s jedne strane takve ravne linije.

U školskom tečaju geometrije većina se vremena posvećuje konveksnim figurama. Stoga problemi zahtijevaju pronalaženje područja konveksnog poligona. Zatim postoji formula u smislu polumjera opisane kružnice, koja vam omogućuje da pronađete željenu vrijednost za bilo koju figuru. U drugim slučajevima nema jasnog rješenja. Za trokut postoji jedna formula, ali za kvadrat ili trapez potpuno je drugačija. U situacijama kada je lik nepravilan ili ima mnogo vrhova, uobičajeno ih je podijeliti na jednostavne i poznate.

Što učiniti ako lik ima tri ili četiri vrha?

U prvom slučaju ispast će da je to trokut, a možete koristiti jednu od formula:

S = 1/2 * a * n, gdje je a stranica, n je visina do nje;
S = 1/2 * a * b * sin (A), gdje su a, b stranice trokuta, A je kut između poznatih strana;
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), gdje je c stranica trokuta, na dvije već navedene, p je poluopseg, tj. zbroj sve tri strane podijeljen s dva .

Figura s četiri vrha može se pokazati kao paralelogram:

S = a * n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, α je kut između njih;
S = a * u * sin(α).

Formula za područje trapeza: S = n * (a + b) / 2, gdje su a i b duljine baza.

Što učiniti s pravilnim poligonom koji ima više od četiri vrha?

Za početak, takvu figuru karakterizira činjenica da su sve strane jednake. Osim toga, poligon ima jednake kutove.

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), gdje je n broj vrhova poligona.

Iz njega je lako dobiti onaj koji je koristan za posebne slučajeve:

trokut: S = (3√3)/4 * R 2 ;
kvadrat: S = 2 * R 2 ;
šesterokut: S = (3√3)/2 * R 2.

Situacija s pogrešnom figurom

Rješenje kako saznati površinu poligona ako nije pravilan i ne može se pripisati niti jednoj od prethodno poznatih figura je algoritam:

razbiti ga u jednostavne oblike, na primjer, trokute, tako da se ne sijeku;
izračunati njihove površine bilo kojom formulom;
zbrojite sve rezultate.

Što učiniti ako su u zadatku navedene koordinate vrhova poligona?

Vrijedno je napomenuti da će predznak rezultata ovisiti o obilasku figure. Kada koristite navedenu formulu i krećete se u smjeru kazaljke na satu, odgovor će biti negativan.

Ogledni zadatak

Stanje. Koordinate vrhova određene su sljedećim vrijednostima (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Morate izračunati površinu poligona.

Drugi član se dobiva na sličan način: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Prilikom rješavanja takvih problema nemojte se bojati negativnih veličina. Sve ide kako treba. Ovo je planirano.

Vrijednosti za treći (0,29), četvrti (-6,365) i peti član (2,96) dobivene su na sličan način. Tada je konačna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Savjeti za rješavanje zadatka gdje je na kariranom papiru nacrtan poligon

Ali često postoji jednostavniji pristup. Sastoji se od crtanja figure na pravokutnik i izračunavanja njegove površine. Zatim izračunajte površine onih elemenata koji su se pokazali suvišnim. Oduzmite ih od ukupne vrijednosti. Ova opcija ponekad uključuje nešto manji broj radnji.