Promotrimo proizvoljnu ravnu liniju koja prolazi kroz točku na grafu funkcije - točku A(x 0, f (x 0)) i sijeku graf u nekoj točki B(x; f(x )). Takav pravac (AB) naziva se sekantom. Iz ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x ; VS =∆u; tgβ =∆ y /∆ x .

Budući da je AC || Ox, tada je Ð ALO = Ð BAC = β (kao odgovarajući kada je paralelan). AliÐ ALO je kut nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru osi Ox. Sredstva, tgβ = k - kutni koeficijent pravca AB.

Sada ćemo smanjiti ∆h, tj. ∆h→ 0. U tom slučaju će se točka B približiti točki A prema grafu, a sekanta AB će se zarotirati. Granični položaj sekante AB na ∆h→ 0 bit će ravna linija ( a ), naziva se tangenta na graf funkcije y = f (x) u točki A.

Ako idemo do limita kao ∆x → 0 u jednakosti tg β =∆ y /∆ x , tada dobivamo

ili tg a = f "(x 0 ), jer
a - kut nagiba tangente na pozitivan smjer osi Ox

, po definiciji izvedenice. Ali tg a = k je kutni koeficijent tangente, što znači k = tg a = f "(x 0 ).

Dakle, geometrijsko značenje izvoda je sljedeće:

Derivacija funkcije u točki x 0 jednaka je nagibu tangenta na graf funkcije nacrtana u točki s apscisom x 0.

Fizičko značenje derivata.

Razmotrimo kretanje točke po ravnoj liniji. Neka je koordinata točke zadana u bilo kojem trenutku x(t ). Poznato je (iz tečaja fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju [ t 0 ; t 0 + ∆ t ] jednaka je omjeru prijeđene udaljenosti u tom vremenskom razdoblju prema vremenu, tj.

V av = ∆ x /∆ t . Prijeđimo na limes u zadnjoj jednakosti na ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - trenutna brzina u trenutku vremena t 0 , ∆ t → 0.

i lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (po definiciji izvoda).

Dakle, n(t) = x"(t).

Fizičko značenje derivacije je sljedeće: derivacija funkcije g = f( x) u točkix 0 je brzina promjene funkcije f(x) u točkix 0

Derivacija se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanja iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.

u (t) = x "(t) - brzina,

a(f) = n"(t ) - ubrzanje, odn

a(t) = x"(t).

Ako je poznat zakon gibanja materijalna točka duž kružnice, tada možete pronaći kutnu brzinu i kutnu akceleraciju tijekom rotacijskog gibanja:

φ = φ (t ) - promjena kuta s vremenom,

ω = φ "(t ) - kutna brzina,

ε = φ "(t ) - kutno ubrzanje, odnε = φ "(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se linearna gustoća nehomogenog štapa može naći:

m = m (x) - masa,

x O , l - duljina štapa,

p = m "(x) - linearna gustoća.

Pomoću derivacije rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu

F = - kx, x – promjenjiva koordinata, k - koeficijent elastičnosti opruge. Stavljanjeω2 = k/m , dobivamo diferencijalnu jednadžbu opružnog njihala x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

gdje je ω = √ k /√ m frekvencija osciliranja ( l/c ), k - krutost opruge ( H/m).

Jednadžba oblika y" +ω2y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih titraja (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednadžbi je funkcija

y = Asin (ωt + φ 0) ili y = Acos (ωt + φ 0), gdje

A je amplituda oscilacija,ω - ciklička frekvencija,

φ 0 - početna faza.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

• Stvoriti uvjete da učenici smisleno usvoje fizičko značenje izvedenice.
• Promicati formiranje vještina i sposobnosti praktičnu upotrebu derivat za rješavanje raznih fizičkih problema.

Obrazovni:

• Promicati razvoj matematičkog pogleda i kognitivnog interesa kod učenika kroz otkrivanje praktične nužnosti i teorijskog značaja teme.
• Omogućiti uvjete za poboljšanje misaonih sposobnosti učenika: uspoređivati, analizirati, generalizirati.

Obrazovni:

• Promicati interes za matematiku.

Vrsta lekcije: Lekcija svladavanja novih znanja.

Oblici rada: frontalni, individualni, grupni.

Oprema: Računalo, interaktivna ploča, prezentacija, udžbenik.

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena, postavljanje cilja lekcije
2. Učenje novog gradiva
3. Primarno učvršćivanje novog gradiva
4. Samostalan rad
5. Sažetak lekcije. Odraz.

Tijekom nastave

ja Organizacijski trenutak, postavljanje cilja lekcije (2 min.)

II. Učenje novog gradiva (10 min.)

Učitelj, nastavnik, profesor: U prethodnim lekcijama upoznali smo se s pravilima za izračunavanje derivacija, naučili pronaći derivacije linearne, potencije, trigonometrijske funkcije. Naučili smo što je geometrijsko značenje izvodnice. Danas ćemo u razredu naučiti gdje se ovaj koncept koristi u fizici.

Da biste to učinili, prisjetite se definicije derivata (Slajd 2)

Sada se okrenimo tečaju fizike (Slajd 3)

Učenici govore i pamte fizički pojmovi i formule.

Neka se tijelo giba po zakonu S(t)= f(t) Promotrimo put koji tijelo prijeđe za vrijeme od t 0 do t 0 + Δ t, gdje je Δt prirast argumenta. U trenutku t 0 tijelo je prešlo put S(t 0), u trenutku t 0 +Δt - put S(t 0 +Δt). Dakle, za vrijeme Δt tijelo je prošlo put S(t 0 +Δt) – S(t 0), tj. dobili smo prirast funkcije. Prosječna brzina pokreti tijela u tom vremenskom razdoblju υ==

Što je vremenski interval t kraći, to točnije možemo saznati kojom brzinom se tijelo giba u trenutku t. Usmjerivši t →0, dobivamo trenutnu brzinu - brojčanu vrijednost brzine u trenutku t ovog kretanja.

υ= , pri Δt→0 brzina je derivacija puta u odnosu na vrijeme.

Slajd 4

Prisjetimo se definicije ubrzanja.

Koristeći gore prikazani materijal, možemo zaključiti da je pri t a(t)= υ’(t) ubrzanje je derivat brzine.

Zatim se na interaktivnoj ploči pojavljuju formule za jakost struje, kutnu brzinu, emf itd. Učenici dodaju trenutne vrijednosti podataka fizikalne veličine kroz koncept derivata. (Ako nemate interaktivnu ploču, upotrijebite prezentaciju)

Slajdovi 5-8

Učenici formuliraju zaključak.

Zaključak:(Slajd 9) Derivacija je brzina promjene funkcije. (Funkcije puta, koordinata, brzine, magnetskog toka itd.)

υ (x)=f ’(x)

Učitelj, nastavnik, profesor: Vidimo da je veza između kvantitativnih karakteristika najrazličitijih procesa koje proučavaju fizika, tehničke znanosti i kemija slična vezi između puta i brzine. Možete dati mnogo problema, za čije je rješenje također potrebno pronaći brzinu promjene određene funkcije, na primjer: pronalaženje koncentracije otopine u određenom trenutku, pronalaženje brzine protoka tekućine, kutni brzina rotacije tijela, linearna gustoća u točki itd. Sada ćemo riješiti neke od ovih problema.

III. Učvršćivanje stečenog znanja (rad u grupama) (15 min.)

Slijedi rasprava na komisiji

Prije rješavanja zadataka pojasniti mjerne jedinice fizikalnih veličina.

Brzina – [m/s]
Ubrzanje – [m/s 2 ]
Snaga – [N]
Energija – [J]

Zadatak 1. grupa

Točka se kreće po zakonu s(t)=2t³-3t (s je put u metrima, t je vrijeme u sekundama). Izračunajte brzinu točke i njezino ubrzanje u vremenu 2s

Zadatak 2. grupa

Zamašnjak se okreće oko osi po zakonu φ(t)= t 4 -5t. Nađite njegovu kutnu brzinu ω u trenutku 2s (φ je kut rotacije u radijanima, ω je kutna brzina rad/s)

Zadatak 3. grupa

Tijelo mase 2 kg giba se pravocrtno po zakonu x(t)=2-3t+2t²

Odredite brzinu tijela i njegovu kinetičku energiju 3 s nakon početka gibanja. Koja sila djeluje na tijelo u ovom trenutku? (t se mjeri u sekundama, x se mjeri u metrima)

Zadatak 4

Točka obvezuje oscilatorna kretanja prema zakonu x(t)=2sin3t. Dokažite da je ubrzanje proporcionalno x koordinati.

IV. Samostalno rješavanje zadataka br. 272, 274, 275, 277

[A.N. Kolmogorov, A.M. i drugi “Algebra i počeci analize” 12 min

dano:	Riješenje:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=h’(t); υ(t)= (-)'=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s Odgovor: t=6c; υ(6)= 18m/s

Derivacija funkcije f (x) u točki x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije u točki x0 i prirasta argumenta Δx, ako priraštaj argumenta teži nula i označava se s f '(x0). Čin pronalaženja izvoda funkcije naziva se diferenciranje.
Derivacija funkcije ima ovo fizičko značenje: izvod funkcije u danoj točki - brzina promjene funkcije u danoj točki.

Geometrijsko značenje derivacije. Derivacija u točki x0 jednaka je nagibu tangente na graf funkcije y=f(x) u ovoj točki.

Fizičko značenje derivata. Ako se točka giba duž osi x i njena koordinata se mijenja prema zakonu x(t), tada je trenutna brzina točke:

Pojam diferencijala, njegova svojstva. Pravila razlikovanja. Primjeri.

Definicija. Diferencijal funkcije u određenoj točki x je glavni, linearni dio prirasta funkcije y = f(x) jednak je umnošku njezine derivacije i prirasta nezavisne varijable x. (argument).

Napisano je ovako:

ili

Ili


Diferencijalna svojstva
Diferencijal ima svojstva slična onima derivata:





DO osnovna pravila razlikovanja uključuju:
1) stavljanje konstantnog faktora izvan znaka izvoda
2) izvod zbroja, izvod razlike
3) izvod umnoška funkcija
4) izvod kvocijenta dviju funkcija (derivacija razlomka)

Primjeri.
Dokažimo formulu: Po definiciji derivacije imamo:

Proizvoljni faktor može se uzeti izvan predznaka prijelaza do granice (ovo je poznato iz svojstava granice), dakle

Na primjer: Pronađite izvod funkcije
Riješenje: Poslužimo se pravilom postavljanja množitelja izvan znaka derivacije :

Često je potrebno najprije pojednostaviti oblik diferencijabilne funkcije da bi se koristila tablica derivacija i pravila za nalaženje derivacija. Sljedeći primjeri to jasno potvrđuju.

Formule diferenciranja. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima. Primjeri.

Korištenje diferencijala u približnim izračunima omogućuje vam korištenje diferencijala za aproksimaciju vrijednosti funkcije.
Primjeri.
Pomoću diferencijala izračunajte približno
Izračunati dana vrijednost primijenimo formulu iz teorije
Uvedimo funkciju u razmatranje i predstavimo zadanu vrijednost u obliku
onda računajmo

Zamjenom svega u formulu, konačno dobivamo
Odgovor:

16. L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 Ili ∞/∞. Primjeri.
Granica omjera dviju beskonačno malih ili dviju beskonačno velikih veličina jednaka je granici omjera njihovih izvodnica.

1)

17. Rastuće i padajuće funkcije. Ekstrem funkcije. Algoritam za proučavanje funkcije za monotonost i ekstrem. Primjeri.

Funkcija povećava se na intervalu ako je za bilo koje dvije točke tog intervala povezane relacijom , nejednakost istinita. To je, višu vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide “odozdo prema gore”. Funkcija demonstracije se povećava tijekom intervala

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke danog intervala tako da je , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njezin grafikon ide "odozgo prema dolje". Naš se smanjuje u intervalima smanjuje u intervalima .

Krajnosti Točka se naziva točka maksimuma funkcije y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njezinoj blizini. Vrijednost funkcije u točki maksimuma naziva se maksimum funkcije i označavaju .
Točka se naziva minimalna točka funkcije y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njezinoj blizini. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija i označavaju .
Okolica točke shvaćena je kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Točke minimuma i maksimuma nazivaju se točkama ekstrema, a vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema nazivaju se ekstremi funkcije.

Za istraživanje funkcije do monotonije, koristite sljedeću shemu:
- Naći domenu definicije funkcije;
- Naći derivaciju funkcije i područje definiranja derivacije;
- Pronađite nulte točke izvoda, tj. vrijednost argumenta pri kojoj je izvod jednak nuli;
- Označite na brojčanim zrakama zajednički dio domena definicije funkcije i domena definicije njezine derivacije, a na njoj - nulte derivacije;
- Odrediti predznake izvoda na svakom od dobivenih intervala;
- Pomoću predznaka derivacije odrediti na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima pada;
- Napišite odgovarajuće intervale odvojene točkom i zarezom.

Algoritam istraživanja kontinuirana funkcija y = f(x) za monotonost i ekstreme:
1) Nađite derivaciju f ′(x).
2) Odredite stacionarnu (f ′(x) = 0) i kritičnu (f ′(x) ne postoji) točku funkcije y = f(x).
3) Označite stacionarno i kritične točke na brojevnoj crti i na dobivenim intervalima odredi predznake derivacije.
4) Izvedite zaključke o monotonosti funkcije i njezinim točkama ekstrema.

18. Konveksnost funkcije. Točke infleksije. Algoritam za proučavanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primjeri.

konveksno prema dolje na X intervalu ako se njegov graf ne nalazi niže od tangente na njega u bilo kojoj točki X intervala.

Funkcija koju treba diferencirati zove se konveksno gore na X intervalu ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj točki X intervala.

Formula točke se zove točka infleksije grafa funkcija y=f(x), ako u danoj točki postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna s osi Oy) i postoji takva okolina točke formule unutar koje lijevo i desno točke M graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Pronalaženje intervala za konveksnost:

Ako funkcija y=f(x) ima konačnu drugu derivaciju na intervalu X i ako vrijedi nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje (gore) na X.
Ovaj teorem vam omogućuje da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije;

Primjer: Odredite intervale na kojima se nalazi graf funkcije Odredite intervale na kojima se nalazi graf funkcije ima konveksitet usmjeren prema gore i konveksitet usmjeren prema dolje. ima konveksitet usmjeren prema gore i konveksitet usmjeren prema dolje.
Riješenje: Područje definiranja ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.
Nađimo drugu derivaciju.

Područje definiranja druge derivacije podudara se s područjem definiranja izvorne funkcije, stoga je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i prema tome. Posljedično, funkcija je konveksna prema dolje na intervalnoj formuli i konveksna prema gore na intervalnoj formuli.

19) Asimptote funkcije. Primjeri.

Pravac se zove vertikalna asimptota graf funkcije ako je barem jedan od granične vrijednosti ili jednako ili .

Komentar. Pravac ne može biti okomita asimptota ako je funkcija kontinuirana u točki. Stoga vertikalne asimptote treba tražiti u točkama diskontinuiteta funkcije.

Pravac se zove horizontalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka .

Komentar. Graf funkcije može imati samo desnu horizontalnu asimptotu ili samo lijevu.

Pravac se zove kosa asimptota graf funkcije if

PRIMJER:

Vježbajte. Odredite asimptote grafa funkcije

Riješenje. Opseg funkcije:

a) vertikalne asimptote: pravac - vertikalna asimptota, budući da

b) horizontalne asimptote: nalazimo granicu funkcije u beskonačnosti:

odnosno nema horizontalnih asimptota.

c) kose asimptote:

Dakle, kosa asimptota je: .

Odgovor. Vertikalna asimptota je ravna.

Kosa asimptota je ravna.

20) Opća shema istraživanje funkcije i crtanje grafa. Primjer.

a.
Pronađite ODZ i točke diskontinuiteta funkcije.

b. Pronađite sjecišne točke grafa funkcije s koordinatnim osima.

2. Provesti studij funkcije pomoću prve derivacije, odnosno pronaći točke ekstrema funkcije i intervale porasta i pada.

3. Proučiti funkciju pomoću derivacije drugog reda, odnosno pronaći točke infleksije grafa funkcije i intervale njezine konveksnosti i konkavnosti.

4. Odredite asimptote grafa funkcije: a) okomite, b) kose.

5. Na temelju istraživanja konstruirajte graf funkcije.

Imajte na umu da je prije konstruiranja grafa korisno utvrditi je li ovu funkciju par ili nepar.

Podsjetimo se da se funkcija poziva čak i ako promjena predznaka argumenta ne mijenja vrijednost funkcije: f(-x) = f(x) a funkcija se naziva neparna ako f(-x) = -f(x).

U ovom slučaju dovoljno je proučiti funkciju i konstruirati njezin graf za pozitivne vrijednosti argumenta koji pripada ODZ-u. Za negativne vrijednosti argumenta, graf se popunjava na temelju toga za ravnomjerna funkcija simetričan je u odnosu na os Joj, a za neparne u odnosu na ishodište.

Primjeri. Istražite funkcije i izgradite njihove grafove.

Funkcijska domena D(u)= (–∞; +∞). Nema prijelomnih točaka.

Sjecište s osi Vol: x = 0,y= 0.

Funkcija je neparna, stoga se može proučavati samo na intervalu )