U ovom članku ćemo govoriti o univerzalna trigonometrijska supstitucija. Uključuje izražavanje sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa bilo kojeg kuta kroz tangens polukuta. Štoviše, takva se zamjena provodi racionalno, to jest bez korijena.
Prvo ćemo zapisati formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens u smislu tangensa polukuta. Zatim ćemo pokazati izvođenje ovih formula. Zaključno, pogledajmo nekoliko primjera korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije.
Navigacija po stranici.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kroz tangens polukuta
Prvo, zapišimo četiri formule koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta kroz tangens polukuta.
Navedene formule vrijede za sve kutove u kojima su definirani tangenti i kotangenti koji su u njima uključeni:
Izvođenje formula
Analizirajmo izvođenje formula koje izražavaju sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta kroz tangens polukuta. Počnimo s formulama za sinus i kosinus.
Predstavimo sinus i kosinus pomoću formule dvostrukog kuta kao 
I 
odnosno. Sada izrazi 
I 
zapisujemo u obliku razlomaka s nazivnikom 1 as 
I 
. Zatim, na temelju glavnog trigonometrijskog identiteta, jedinice u nazivniku zamijenimo zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa, nakon čega dobivamo 
I 
. Na kraju dijelimo brojnik i nazivnik dobivenih razlomaka s (pod uvjetom da je njegova vrijednost različita od nule 
). Kao rezultat toga, cijeli lanac radnji izgleda ovako: 
I 
Ovime je završeno izvođenje formula koje izražavaju sinus i kosinus kroz tangens polukuta.
Ostaje izvesti formule za tangens i kotangens. Sada, uzimajući u obzir gore dobivene formule, obje formule i 
, odmah dobivamo formule koje izražavaju tangens i kotangens kroz tangens polukuta: 
Dakle, izveli smo sve formule za univerzalnu trigonometrijsku supstituciju.
Primjeri korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije
Prvo, pogledajmo primjer korištenja univerzalne trigonometrijske supstitucije pri transformaciji izraza.
Primjer.
Daj izraz 
na izraz koji sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.
Riješenje.
Odgovor:
.
Bibliografija.
- Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Obrazovanje, 1990.- 272 str.: ilustr.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn i dr.; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Obrazovanje, 2004. - il.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
Trigonometrijski identiteti- to su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta, što vam omogućuje da pronađete bilo koju od ovih funkcija, pod uvjetom da je poznata bilo koja druga.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ova identičnost kaže da je zbroj kvadrata sinusa jednog kuta i kvadrata kosinusa jednog kuta jednak jedan, što u praksi omogućuje izračunavanje sinusa jednog kuta kada je poznat njegov kosinus i obrnuto. .
Kod pretvorbe trigonometrijskih izraza vrlo se često koristi ovaj identitet koji vam omogućuje da zamijenite zbroj kvadrata kosinusa i sinusa jednog kuta s jednim i također izvršite operaciju zamjene obrnutim redoslijedom.
Određivanje tangensa i kotangensa pomoću sinusa i kosinusa
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ti se identiteti formiraju iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Uostalom, ako pogledate to, onda je po definiciji ordinata y sinus, a apscisa x kosinus. Tada će tangens biti jednak omjeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), i omjer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bit će kotangens.
Dodajmo da će samo za takve kutove \alpha pri kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla vrijediti identiteti, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Na primjer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) vrijedi za kutove \alpha koji su različiti od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kut \alpha koji nije \pi z, z je cijeli broj.
Odnos tangensa i kotangensa
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ovaj identitet vrijedi samo za kutove \alpha koji su različiti od \frac(\pi)(2) z. U suprotnom, kotangens ili tangens neće biti određeni.
Na temelju gornjih točaka dobivamo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz toga slijedi da tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dakle, tangens i kotangens istog kuta u kojem imaju smisla međusobno su inverzni brojevi.
Odnosi između tangensa i kosinusa, kotangensa i sinusa
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- zbroj kvadrata tangensa kuta \alpha i 1 jednak je inverznom kvadratu kosinusa tog kuta. Ovaj identitet vrijedi za sve \alpha osim \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- zbroj 1 i kvadrata kotangensa kuta \alpha jednak je inverznom kvadratu sinusa zadanog kuta. Ovaj identitet vrijedi za bilo koji \alpha različit od \pi z.
Primjeri s rješenjima zadataka pomoću trigonometrijskih identiteta
Primjer 1
Pronađite \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Prikaži rješenje
Riješenje
Funkcije \sin \alpha i \cos \alpha povezane su formulom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamjenom u ovu formulu \cos \alpha = -\frac12, dobivamo:
\sin^(2)\alpha + \lijevo (-\frac12 \desno)^2 = 1
Ova jednadžba ima 2 rješenja:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini sinus je pozitivan, dakle \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Da bismo pronašli tan \alpha, koristimo formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Primjer 2
Pronađite \cos \alpha i ctg \alpha ako je i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Prikaži rješenje
Riješenje
Zamjena u formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dati broj \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobivamo \lijevo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ova jednadžba ima dva rješenja \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . U drugoj četvrtini kosinus je negativan, dakle \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Da bismo pronašli ctg \alpha, koristimo formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Znamo odgovarajuće vrijednosti.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Dati su odnosi između osnovnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijske formule. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju smanjenje stupnja, četvrte - izražavaju sve funkcije kroz tangens pola kuta itd.
U ovom ćemo članku redom navesti sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni, temeljni trigonometrijski identiteti definirati odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije u smislu bilo koje druge.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.
Formule redukcije
Formule redukcije slijede iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijske funkcije, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka po zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.
Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.
Adicinske formule
Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule polukuta
Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostruki kut.
Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.
Formule za smanjenje stupnja
Trigonometrijske formule za smanjenje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni vam omogućuju smanjenje ovlasti trigonometrijskih funkcija na prvu.
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
Glavna namjena formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na produkt funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se često koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe, budući da vam omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.
Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus
Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.
Autorska prava cleverstudents
Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.
Referentni podaci za tangens (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangensa i kotangenata, derivacije, integrali, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.
Geometrijska definicija
|BD| - duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima.
Tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .
Kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| .
Tangens
Gdje n- cijeli.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.
Graf funkcije tangensa, y = tan x
Kotangens
Gdje n- cijeli.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Također su prihvaćene sljedeće oznake:
;
;
.
Graf kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangensa i kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične s periodom π.
Paritet
Funkcije tangens i kotangens su neparne.
Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje
Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( n- cijeli).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Opseg i kontinuitet | ||
| Raspon vrijednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povećavajući se | - | |
| Silazni | - | |
| Krajnosti | - | - |
| Nule, y = 0 | ||
| Točke presjeka s osi ordinata, x = 0 | y= 0 | - |
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
;
;
;
;
;
Formule za tangens i kotangens iz zbroja i razlike
Preostale formule lako je dobiti, na primjer
Umnožak tangenti
Formula za zbroj i razliku tangensa
Ova tablica predstavlja vrijednosti tangensa i kotangenata za određene vrijednosti argumenta. 
Izrazi koji koriste složene brojeve
Izrazi preko hiperboličkih funkcija
;
;
Derivati
; .
.
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>>
Integrali
Proširenja serije
Da biste dobili proširenje tangente po x-ovim potencijama, morate uzeti nekoliko članova proširenja u niz potencija za funkcije grijeh x I cos x i podijelite te polinome jedan s drugim, . Ovo proizvodi sljedeće formule.
U .
u .
Gdje Bn- Bernoullijevi brojevi. Oni se određuju ili iz relacije ponavljanja:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na tangens i kotangens su arktangens i arkotangens.
Arktangens, arctg
, Gdje n- cijeli.
Arccotangens, arcctg
, Gdje n- cijeli.
Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za znanstvenike i inženjere, 2012.