Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) - геометрическая фигура , правильный многоугольник с пятью сторонами.
Свойства
- Додекаэдр - единственный из правильных многогранников , грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
- Пентагон - здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
- Правильный пятиугольник - правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
- В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
- Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.
См. также
Напишите отзыв о статье "Правильный пятиугольник"
Примечания
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Отрывок, характеризующий Правильный пятиугольник
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.
Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг"ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.
Переговоривши с старшим французским офицером, который вышел к нему из за дома с платком на шпаге и объявил, что они сдаются, Долохов слез с лошади и подошел к неподвижно, с раскинутыми руками, лежавшему Пете.
– Готов, – сказал он, нахмурившись, и пошел в ворота навстречу ехавшему к нему Денисову.
– Убит?! – вскрикнул Денисов, увидав еще издалека то знакомое ему, несомненно безжизненное положение, в котором лежало тело Пети.
– Готов, – повторил Долохов, как будто выговаривание этого слова доставляло ему удовольствие, и быстро пошел к пленным, которых окружили спешившиеся казаки. – Брать не будем! – крикнул он Денисову.
Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, обладающую пятью углами. При этом, с точки зрения геометрии, в категорию пятиугольников входят любые многоугольники, обладающие этой характеристикой, вне зависимости от расположения его сторон.
Сумма углов пятиугольника
Пятиугольник фактически представляет собой многоугольник, поэтому для вычисления суммы его углов можно воспользоваться формулой, принятой для исчисления указанной суммы в отношении многоугольника с любым количеством углов. Указанная рассматривает сумму углов многоугольника как следующее равенство: сумма углов = (n - 2) * 180°, где n - число углов в искомом многоугольнике.Таким образом, в случае, когда речь идет именно о , значение n в данной формуле будет равно 5. Таким образом, подставляя заданное значение n в формулу, получается, что сумма углов пятиугольника составит 540°. Вместе с тем, следует иметь в виду, что применение этой формулы в отношении конкретного пятиугольника связано с рядом ограничений.
Виды пятиугольников
Дело в том, что указанная формула , имеющего , как и для остальных видов этих геометрических фигур, может применяться только в том случае, если речь идет о так называемом выпуклом многоугольнике. Он, в свою очередь, представляет собой геометрическую фигуру, удовлетворяющую следующему условию: все ее точки находятся по одну сторону от прямой, которая проходит между двумя соседними вершинами.Таким образом, существует целая категория пятиугольников, сумма углов в которых будет отличаться от указанной величины. Так, например, одним из вариантов невыпуклого пятиугольника является геометрическая фигура звездчатой формы. Звездчатый пятиугольник также можно получить, используя всю совокупность диагоналей правильного пятиугольника, то есть пентагона: в этом случае образовавшаяся геометрическая фигура будет носить название пентаграммы, которая обладает равными углами. В этом случае сумма указанных углов будет составлять 180°.
Мы уже писали, что пифагорейцы рассматривали мир как устроенный по законам числовой гармонии. Они обнаружили, что восприятие гармонии в музыке связано с некоторыми отношениями между числами (см. Гармония Пифагора); но и зрительная гармония, оказывается, тоже связана с определенными соотношениями различных отрезков. В этом плане наиболее знаменито золотое сечение – такой способ деления отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей:
Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.
В эпоху Возрождения у ученых и художников возник новый интерес к золотому сечению. Итальянский математик Лука Пачоли посвятил ему книгу «Божественная пропорция». А его другу – великому Леонардо да Винчи – принадлежит сам термин «золотое сечение» (древние обычно называли его «делением отрезка в крайнем и среднем отношении»). «Золотое сечение» нередко встречается в произведениях Рафаэля, Микеланджело, Дюрера.
Иоганн Кеплер, не чуждый пифагорейским представлениям о лежащей в основе Вселенной числовой гармонии, говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением; первую можно сравнить с мерой золота, второе же – с драгоценным камнем.
Экспериментально доказано, что, например, из прямоугольников с различными отношениями сторон человеческий глаз предпочитает те, в которых это отношение равно золотому сечению. Листы бумаги, плитки шоколада, кредитные карточки и т. д. очень часто делают в форме именно таких прямоугольников.
Чтобы разделить данный отрезок AB в пропорции золотого сечения, нужно восстановить через один из его концов, скажем, через точку B , перпендикуляр, отложить на нем отрезок BD = AB /2 , провести отрезок AD , отложить на нем отрезок DE = AB /2 и, наконец, отметить на отрезке AB точку C такую, что AC = AE . Точка C и будет делить отрезок AB в золотом сечении.
Докажем это. По теореме Пифагора (AE + ED ) 2 = AB 2 + BD 2 , или
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2 , а поскольку BD = DE = AB /2 и AE = AC , то
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2 ,
откуда AC 2 = AB (AB – AC ) .
Так как AB – AC = BC , то имеем
AC 2 = AB ∙ BC , откуда
Приведенное построение позволяет найти числовое значение золотого сечения. Оно равно отношению всего отрезка AB к отрезку
Таким образов, золотое сечение выражается числом 
Это число приблизительно равно 1,618. Часто оно называется числом Фидия и обозначается греческой буквой Φ:
| Φ = |
Число иногда называют малым числом Фидия (а Φ тогда – большим числом Фидия) и обозначают φ. Оно приблизительно равно 0,618.
Золотое сечение выражается иррациональным числом. Это следует из иррациональности (если бы золотое сечение было рациональным, то и число = 2Φ – 1 тоже было бы рациональным), а иррациональность можно доказать аналогично иррациональности Кроме того, иррациональность Φ довольно просто показать с помощью геометрической иллюстрации алгоритма Евклида. Пусть мы имеем прямоугольник a 1 × a 2 , стороны которого относятся в золотом сечении. Отложив на большей стороне меньшую, мы получим квадрат, а оставшийся прямоугольник будет подобен исходному прямоугольнику: Применив к нему ту же операцию, мы снова получим квадрат и прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (Интересно, что первый, третий, пятый и т. д. прямоугольники имеют общую диагональ, как и второй, четвертый, шестой и т. д.; эти две диагонали пересекаются под прямым углом в точке, которая принадлежит всем прямоугольникам).
Поскольку этот алгоритм никогда не закончится, у отрезков a 1 и a 2 нет общей меры. Кеплер говорил, что золотое сечение постоянно воспроизводит само себя. Оно нередко встречается в живой природе в строении таких организмов, части которых приблизительно подобны целому – например, в раковинах, в расположении листьев на побегах и т. д.
 |
|
Рис. 5. Раковина |
Наконец, золотое сечение позволяет построить правильный пятиугольник. (Правильные трех- и четырехугольник вы умеете строить и без подсказки, не так ли? Описывая вокруг них окружности и деля стороны пополам, нетрудно построить правильные многоугольники с 2 n и с 3 ∙ 2 n вершинами). Если продлить стороны правильного пятиугольника до точек пересечения с продолжениями смежных сторон, получится красивая пятиконечная звезда. Это древний мистический символ, популярный, в частности, у пифагорейцев: он называется «пентаграмма» или «пентальфа», то есть, дословно, «пять букв» или «пять альф» – в нем усматривали соединение пяти букв «альфа» (А). Пентаграмма считалась символом здоровья – гармонии в человеке – и служила у пифагорейцев опознавательным знаком. (Например, когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не имел денег, чтобы заплатить человеку, ухаживавшему за ним до самой его кончины, то велел изобразить пентаграмму на двери своего жилища. Спустя несколько лет другой пифагореец увидел этот знак и хозяин получил щедрое вознаграждение). Оказывается, что в пентаграмме различные линии делят друг друга в отношении золотого сечения. В самом деле, треугольники ACD и ABE подобны, AB : AC = AE : AD . Но AD = BC , а AE = AC , и поэтому AB : AC = AC : BC . Получается, что любой из 10 отрезков внешнего контура звезды относится в золотом сечении к любому из 5 отрезков, образующих маленький внутренний пятиугольник.
Между прочим, из подобия тех же треугольников ACD и ABE следует, что треугольник ACD равнобедренный и CD = AD . Значит, диагональ правильного пятиугольника относится к его стороне тоже в золотом сечении. Все пять диагоналей правильного пятиугольника образуют еще одну пентаграмму, в которой снова повторяются все соотношения.
Если нужно построить правильный пятиугольник со стороной a 1 , то надо разделить отрезок a 1 в золотом сечении на отрезки a 2 и a 3 , затем построить равнобедренный треугольник со сторонами a 1 , a 1 и (a 1 + a 2). Два отрезка длины a 1 составят две стороны искомого пятиугольника, а отрезок длиной a 1 + a 2 = a 1 /Φ – его диагональ. С помощью построения других треугольников не составляет труда найти и оставшиеся вершины пятиугольника.
В средние века пентаграмма служила символом Венеры: эта планета приближается к Земле в пяти точках, образующих пятиугольник.
Равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны относятся к основанию в золотом сечении – например, треугольник, образуемый двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника – обладает еще одним интересным свойством: биссектрисы его углов при основании равны самому основанию.
Такой треугольник часто встречается в композиции различных художественных произведений – например, в знаменитой «Джоконде» Леонардо да Винчи.
В мире математики сенсация. Открыт новый вид пятиугольников , которые покрывают плоскость без разрывов и без перекрытий.
Это всего 15-й вид таких пятиугольников и первый, открытый за последние 30 лет.
Плоскость покрывается треугольниками и четырехугольниками любой формы, а вот с пятиугольниками все гораздо сложнее и интереснее. Правильные пятиугольники не могут покрыть плоскость, но некоторые неправильные пятиугольники могут. Поиск таких фигур уже сто лет является одной из самых интересных математических задач. Квест начался в 1918 году, когда математик Карл Рейнхард открыл пять первых подходящих фигур.
Долгое время считалось, что Рейнхард рассчитал все возможные формулы и больше таких пятиугольников не существует, но в 1968 году математик Р.Б.Кершнер (R. B. Kershner) нашел еще три, а Ричард Джеймс (Richard James) в 1975 году довел их число до девяти. В том же году 50-летняя американская домохозяйка и любительница математики Марджори Райс (Marjorie Rice) разработала собственный метод нотации и в течение нескольких лет открыла еще четыре пятиугольника. Наконец, в 1985 году Рольф Штайн довел число фигур до четырнадцати.
Пятиугольники остаются единственной фигурой, в отношении которой сохраняется неопределенность и загадка. В 1963 году было доказано, что существует всего три вида шестиугольников, покрывающих плоскость. Среди выпуклых семи-, восьми- и так далее -угольников таких нет. А вот с «пентагонами» пока не все ясно до конца.
До сегодняшнего дня было известно всего 14 видов таких пятиугольников. Они изображены на иллюстрации. Формулы для каждого из них приведены по ссылке .
В течение 30 лет никто не мог найти ничего нового, и вот наконец-то долгожданное открытие! Его сделала группа ученых из Вашингтонского университета: Кейси Манн (Casey Mann), Дженнифер Маклауд (Jennifer McLoud) и Дэвид вон Деро (David Von Derau). Вот как выглядит маленький красавчик.
«Мы открыли фигуру с помощью компьютерного перебора большого, но ограниченного количества вариантов, - говорит Кейси Манн. - Конечно, мы очень взволнованы и немного удивлены, что удалось открыть новый вид пятиугольника».
Открытие кажется чисто абстрактным, но на самом деле оно может найти практическое применение. Например, в производстве отделочной плитки.
Поиск новых пятиугольников, покрывающих плоскость, наверняка продолжится.
Первый способ — по данной стороне S с помощью транспортира.
Проводим прямую и откладываем на ней AB = S; принимаем эту линию за радиус и этим радиусом из точек A и В описываем дуги:
далее с помощью транспортира строим в этих точках углы в 108°, стороны которых пересекутся с дугами в точках С и D; из этих точек радиусом АВ = 5 описываем дуги, которые пересекутся в Е, и прямыми линиями соединяем точки Л, С, Е, D, В.
Полученный пятиугольник
— искомый.
Второй способ. Проведем окружность радиусом r. Из точки А циркулем проводим дугу радиуса AM до пересечения в точках В и С с окружностью. Соединяем В и С линией, которая пересечет горизонтальную ось в точке Е.
Затем из точки Е проводим дугу, которая пересечет горизонтальную линию в точке О. Описываем, наконец, из точки F дугу, которая пересечет окружность в точках Н и К. Отложив по окружности расстояние FO = FH = FK пять раз и соединив точки деления линиями, получим правильный пятиугольник.
Третий способ. В данный круг вписать правильный пятиугольник. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и МС. Делим радиус АО точкой Е пополам. Из точки Е, как из центра, проводим дугу окружности радиуса ЕМ и засекаем ею диаметр АВ в точке F. Отрезок MF равен стороне искомого правильного пятиугольника. Раствором циркуля, равным MF, делаем засечки N 1 , Р 1 , Q 1 , К 1 и соединяем их прямыми.
На рисунке построен шестиугольник по данной стороне.
Прямой АВ = 5, как радиусом, из точек А и В описываем дуги, которые пересекутся в С; из этой точки тем же радиусом описываем окружность, на которой сторона А В отложится 6 раз.
Шестиугольник ADEFGB
— искомый.
«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов
Основанием для нанесения росписи служат полностью законченные окраской поверхности стен, потолков и других конструкций; роспись делается по высококачественным клеевым и масляным окраскам, сделанным под торцовку или флейц. Приступая к разработке эскиза отделки, мастер должен ясно представить себе всю композицию в бытовой обстановке и отчетливо осознать творческий замысел. Только при соблюдении этого основного условия можно правильно…
Обмер выполненных работ, за исключением особо оговоренных случаев, производится по площади действительно обработанной поверхности с учетом ее рельефа и за вычетом необработанных мест. Для определения действительно обработанных поверхностей при малярных работах следует пользоваться переводными коэффициентами, приведенными в таблицах. А. Деревянные оконные устройства (обмер производится по площади проемов по наружному обводу коробок) Наименование устройств Коэффициент при…
Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…