Многоугольник - геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией; линия, которая получается, если взять n любых точек А 1 , А 2 , ..., А n и соединить прямолинейными отрезками каждую из них с последующей, а последнюю с первой.
Многоугольники бывают двух типов: выпуклые и невыпуклые . Мы подробнее рассмотрим выпуклые многоугольники. Многоугольник называют выпуклым , если никакая сторона многоугольника, будучи неограниченно продолженной, не разрезает многоугольник на две части. Выпуклые многоугольники бывают правильными и неправильными, но мы рассмотрим правильные. Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.
Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра. Свойства правильного многоугольника:
1) Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают;
2) Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей;
3) Сторона правильного n -угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой;
4) Периметры правильных n -угольников относятся как радиусы описанных окружностей.
5) Диагонали правильного n-угольника делят его углы на равные части.
Правильный пятиугольник
Подробнее остановимся на правильном пятиугольнике - пентагоне.
Основные соотношения: угол при вершине пятиугольника равен 108°, внешний угол - 72°. Сторона пятиугольника выражается через радиусы вписанной и описанной окружности:
Построим правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные 72°. Стороны углов пересекут окружность в пяти точках, соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольники все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т.е. знаменитую пентаграмму. Интересно, что стороны пентаграмм, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму и так далее до бесконечности (см. рис. 6).
Пентаграмма - правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т.д. Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий. Пентаграмма была отличительным знаком школы Пифагора (580-500 гг. до н.э.). Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны.
Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, обладающую пятью углами. При этом, с точки зрения геометрии, в категорию пятиугольников входят любые многоугольники, обладающие этой характеристикой, вне зависимости от расположения его сторон.
Сумма углов пятиугольника
Пятиугольник фактически представляет собой многоугольник, поэтому для вычисления суммы его углов можно воспользоваться формулой, принятой для исчисления указанной суммы в отношении многоугольника с любым количеством углов. Указанная рассматривает сумму углов многоугольника как следующее равенство: сумма углов = (n - 2) * 180°, где n - число углов в искомом многоугольнике.Таким образом, в случае, когда речь идет именно о , значение n в данной формуле будет равно 5. Таким образом, подставляя заданное значение n в формулу, получается, что сумма углов пятиугольника составит 540°. Вместе с тем, следует иметь в виду, что применение этой формулы в отношении конкретного пятиугольника связано с рядом ограничений.
Виды пятиугольников
Дело в том, что указанная формула , имеющего , как и для остальных видов этих геометрических фигур, может применяться только в том случае, если речь идет о так называемом выпуклом многоугольнике. Он, в свою очередь, представляет собой геометрическую фигуру, удовлетворяющую следующему условию: все ее точки находятся по одну сторону от прямой, которая проходит между двумя соседними вершинами.Таким образом, существует целая категория пятиугольников, сумма углов в которых будет отличаться от указанной величины. Так, например, одним из вариантов невыпуклого пятиугольника является геометрическая фигура звездчатой формы. Звездчатый пятиугольник также можно получить, используя всю совокупность диагоналей правильного пятиугольника, то есть пентагона: в этом случае образовавшаяся геометрическая фигура будет носить название пентаграммы, которая обладает равными углами. В этом случае сумма указанных углов будет составлять 180°.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Мы уже писали, что пифагорейцы рассматривали мир как устроенный по законам числовой гармонии. Они обнаружили, что восприятие гармонии в музыке связано с некоторыми отношениями между числами (см. Гармония Пифагора); но и зрительная гармония, оказывается, тоже связана с определенными соотношениями различных отрезков. В этом плане наиболее знаменито золотое сечение – такой способ деления отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей:
Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.
В эпоху Возрождения у ученых и художников возник новый интерес к золотому сечению. Итальянский математик Лука Пачоли посвятил ему книгу «Божественная пропорция». А его другу – великому Леонардо да Винчи – принадлежит сам термин «золотое сечение» (древние обычно называли его «делением отрезка в крайнем и среднем отношении»). «Золотое сечение» нередко встречается в произведениях Рафаэля, Микеланджело, Дюрера.
Иоганн Кеплер, не чуждый пифагорейским представлениям о лежащей в основе Вселенной числовой гармонии, говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением; первую можно сравнить с мерой золота, второе же – с драгоценным камнем.
Экспериментально доказано, что, например, из прямоугольников с различными отношениями сторон человеческий глаз предпочитает те, в которых это отношение равно золотому сечению. Листы бумаги, плитки шоколада, кредитные карточки и т. д. очень часто делают в форме именно таких прямоугольников.
Чтобы разделить данный отрезок AB в пропорции золотого сечения, нужно восстановить через один из его концов, скажем, через точку B , перпендикуляр, отложить на нем отрезок BD = AB /2 , провести отрезок AD , отложить на нем отрезок DE = AB /2 и, наконец, отметить на отрезке AB точку C такую, что AC = AE . Точка C и будет делить отрезок AB в золотом сечении.
Докажем это. По теореме Пифагора (AE + ED ) 2 = AB 2 + BD 2 , или
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2 , а поскольку BD = DE = AB /2 и AE = AC , то
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2 ,
откуда AC 2 = AB (AB – AC ) .
Так как AB – AC = BC , то имеем
AC 2 = AB ∙ BC , откуда
Приведенное построение позволяет найти числовое значение золотого сечения. Оно равно отношению всего отрезка AB к отрезку
Таким образов, золотое сечение выражается числом 
Это число приблизительно равно 1,618. Часто оно называется числом Фидия и обозначается греческой буквой Φ:
| Φ = |
Число иногда называют малым числом Фидия (а Φ тогда – большим числом Фидия) и обозначают φ. Оно приблизительно равно 0,618.
Золотое сечение выражается иррациональным числом. Это следует из иррациональности (если бы золотое сечение было рациональным, то и число = 2Φ – 1 тоже было бы рациональным), а иррациональность можно доказать аналогично иррациональности Кроме того, иррациональность Φ довольно просто показать с помощью геометрической иллюстрации алгоритма Евклида. Пусть мы имеем прямоугольник a 1 × a 2 , стороны которого относятся в золотом сечении. Отложив на большей стороне меньшую, мы получим квадрат, а оставшийся прямоугольник будет подобен исходному прямоугольнику: Применив к нему ту же операцию, мы снова получим квадрат и прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (Интересно, что первый, третий, пятый и т. д. прямоугольники имеют общую диагональ, как и второй, четвертый, шестой и т. д.; эти две диагонали пересекаются под прямым углом в точке, которая принадлежит всем прямоугольникам).
Поскольку этот алгоритм никогда не закончится, у отрезков a 1 и a 2 нет общей меры. Кеплер говорил, что золотое сечение постоянно воспроизводит само себя. Оно нередко встречается в живой природе в строении таких организмов, части которых приблизительно подобны целому – например, в раковинах, в расположении листьев на побегах и т. д.
 |
|
Рис. 5. Раковина |
Наконец, золотое сечение позволяет построить правильный пятиугольник. (Правильные трех- и четырехугольник вы умеете строить и без подсказки, не так ли? Описывая вокруг них окружности и деля стороны пополам, нетрудно построить правильные многоугольники с 2 n и с 3 ∙ 2 n вершинами). Если продлить стороны правильного пятиугольника до точек пересечения с продолжениями смежных сторон, получится красивая пятиконечная звезда. Это древний мистический символ, популярный, в частности, у пифагорейцев: он называется «пентаграмма» или «пентальфа», то есть, дословно, «пять букв» или «пять альф» – в нем усматривали соединение пяти букв «альфа» (А). Пентаграмма считалась символом здоровья – гармонии в человеке – и служила у пифагорейцев опознавательным знаком. (Например, когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не имел денег, чтобы заплатить человеку, ухаживавшему за ним до самой его кончины, то велел изобразить пентаграмму на двери своего жилища. Спустя несколько лет другой пифагореец увидел этот знак и хозяин получил щедрое вознаграждение). Оказывается, что в пентаграмме различные линии делят друг друга в отношении золотого сечения. В самом деле, треугольники ACD и ABE подобны, AB : AC = AE : AD . Но AD = BC , а AE = AC , и поэтому AB : AC = AC : BC . Получается, что любой из 10 отрезков внешнего контура звезды относится в золотом сечении к любому из 5 отрезков, образующих маленький внутренний пятиугольник.
Между прочим, из подобия тех же треугольников ACD и ABE следует, что треугольник ACD равнобедренный и CD = AD . Значит, диагональ правильного пятиугольника относится к его стороне тоже в золотом сечении. Все пять диагоналей правильного пятиугольника образуют еще одну пентаграмму, в которой снова повторяются все соотношения.
Если нужно построить правильный пятиугольник со стороной a 1 , то надо разделить отрезок a 1 в золотом сечении на отрезки a 2 и a 3 , затем построить равнобедренный треугольник со сторонами a 1 , a 1 и (a 1 + a 2). Два отрезка длины a 1 составят две стороны искомого пятиугольника, а отрезок длиной a 1 + a 2 = a 1 /Φ – его диагональ. С помощью построения других треугольников не составляет труда найти и оставшиеся вершины пятиугольника.
В средние века пентаграмма служила символом Венеры: эта планета приближается к Земле в пяти точках, образующих пятиугольник.
Равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны относятся к основанию в золотом сечении – например, треугольник, образуемый двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника – обладает еще одним интересным свойством: биссектрисы его углов при основании равны самому основанию.
Такой треугольник часто встречается в композиции различных художественных произведений – например, в знаменитой «Джоконде» Леонардо да Винчи.
Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).
Чем интересен правильный пятиугольник?
Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!
Основные свойства и формулы
Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.
- Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
- Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть (примерно 1,618).
- Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:
- если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.
- Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
- если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;
- площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Правильный пятиугольник: построение
Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.
1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.
2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.
3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.
4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.
5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.
6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.
7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить
8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.
9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!