Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Докажем одну из них, например теорему 2.5.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .
Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.
Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.
Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).
Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
Найти угол D.
Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Видео-решение.
Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным, так как в равнобедренном треугольнике равны между собой только две стороны, а в равностороннем – все стороны равны между собой. Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного, но отличается от него. Чтобы построить равносторонний треугольник достаточно знать длину только одной стороны, а для построения равнобедренного надо знать длины двух сторон. Определение равнобедренного треугольника приведенное Лейбом абсолютно правильное.
Naitkin Reply:
Октябрь 17th, 2014 at 16:03
А=”Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным”
В=”Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного”,
Эти два выражения не могут быть истинны одновременно.
Вячеслав Reply:
Октябрь 18th, 2014 at 13:54
В реальности оба выражения истинны. Это наглядно видно из рисунка 7 vasil stryzhak. Всё множество треугольников равнобедренные, включая красный равносторонний, что соответствует выражению В. Но только один (красный) равносторонний является исключением из множества равнобедренных, и поэтому не может называться только равнобедренным. Для определения треугольника с равными сторонами недостаточно сказать, что он равнобедренный. Это особый вид, не являющийся только равнобедренным, и у него есть специальное название.
Naitkin Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 9:36
“Только” равно бедренным, он (равносторонний) естественно не является. Но равнобедренным, он при этом является. Равносторонний треугольник “получается” из равнобедренного не теряя ни одного из свойств равнобедренного. А значит
C = “равносторонний треугольник является равнобедренным”, и
D = “равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.”
это идентичные высказывания (C=D).
Приведи пример, какое свойство равнобедренный треугольник теряет (именно теряет! [Если приобретает, то все свойства равнобедренного в нём остаются]) и становится равносторонним?
(Только 2 стороны равны, напомню, это не свойство. Это из определения. А раз мы дискутируем об определениях как раз, то нам необходимо вообще абстрагироваться от определений. Не принимать во внимание определения вообще и понять что же такое равнобедренный и равносторонний треугольники. Выясним, какого же определение, зная только свойства.)
Вячеслав Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 21:13
О каких свойствах можно говорить без определений? Разве равенство двух сторон в равнобедренном треугольнике следует не из его определения?. Почему нужно приводить пример свойства равнобедренного треугольника, которое он теряет, становясь равносторонним? Нельзя потерять то, чего не имеешь. Равнобедренный треугольник не имеет третьей равной стороны и этого свойства он потерять не может.
Равнобедренный треугольник - это треугольник , в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Свойства
- Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
- Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
- Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).
Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, α и β - соответствующие углы, R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной .
Стороны могут быть найдены следующим образом:
Углы могут быть выражены следующими способами:
Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:
Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:
(формула Герона).Признаки
- Два угла треугольника равны.
- Высота совпадает с медианой.
- Высота совпадает с биссектрисой.
- Биссектриса совпадает с медианой.
- Две высоты равны.
- Две медианы равны.
- Две биссектрисы равны (теорема Штейнера - Лемуса).
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Равнобедренный треугольник" в других словарях:
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ТРЕУГОЛЬНИК, имеющий две равные по длине стороны; углы при этих сторонах также равны … Научно-технический энциклопедический словарь
И (прост.) трёхугольник, треугольника, муж. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла (мат.). Тупоугольный треугольник. Остроугольный треугольник. Прямоугольный треугольник.… … Толковый словарь Ушакова
РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ая, ое: равнобедренный треугольник имеющий две равные стороны. | сущ. равнобедренность, и, жен. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
треугольник - ▲ многоугольник имеющий, три, угол треугольник простейший многоугольник; задается 3 точками, не лежащими на одной прямой. треугольный. остроугольник. остроугольный. прямоугольный треугольник: катет. гипотенуза. равнобедренный треугольник. ▼… … Идеографический словарь русского языка
треугольник - ТРЕУГОЛЬНИК1, а, м чего или с опр. Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Она перебирала письма мужа пожелтевшие фронтовые треугольники. ТРЕУГОЛЬНИК2, а, м… … Толковый словарь русских существительных
У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Треугольник (многоугольник) - Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы и центр тяжести; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. ТРЕУГОЛЬНИК, многоугольник с 3 сторонами. Иногда под… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Энциклопедический словарь
треугольник - а; м. 1) а) Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный треуго/льник. Вычислить площадь треугольника. б) отт. чего или с опр. Фигура или предмет такой формы.… … Словарь многих выражений
А; м. 1. Геометрическая фигура, ограниченная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла. Прямоугольный, равнобедренный т. Вычислить площадь треугольника. // чего или с опр. Фигура или предмет такой формы. Т. крыши. Т.… … Энциклопедический словарь
На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.
Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.
Рис. 1. Равнобедренный треугольник
АВ = АС - боковые стороны. ВС - основание.
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = СА.
Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Дано: АВ = АС.
Доказать: ∠В =∠С.
Рис. 3. Чертеж к теореме
Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса , проведенная к основанию, является медианой и высотой .
Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.
Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.
Рис. 4. Чертеж к теореме 2
Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD - общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.
В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.
Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.
Найти: ВС, АС, АВ.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 1
Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.
2а + 2а + а = 50.
5а = 50, а = 10.
Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.
Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Дано: АВ = ВС = СА.
Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.
Доказательство:
Рис. 6. Чертеж к примеру
∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.
Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
- Словари и энциклопедии на «Академике» ().
- Фестиваль педагогической идеи «Открытый урок» ().
- Кaknauchit.ru ().
1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а основа втрое меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
3. Дано: АВ = ВС. Докажите, что ∠1 = ∠2.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?