Συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών
Σε αυτή την ενότητα θα αποδειχθούν οι ακόλουθοι δύο τύποι:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Το συνημίτονο του αθροίσματος (διαφορά) δύο γωνιών είναι ίσο με το γινόμενο των συνημιτόνων αυτών των γωνιών μείον (συν) το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες α Και β πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Έστω το θετικό τμήμα του άξονα 0x η κοινή αρχική πλευρά των γωνιών α Και β .
Σημειώνουμε τις ακραίες πλευρές αυτών των γωνιών με 0Α και 0Β, αντίστοιχα. Προφανώς η γωνία α - β μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία κατά την οποία η δέσμη 0Β πρέπει να περιστραφεί γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα έτσι ώστε η διεύθυνσή της να συμπίπτει με την κατεύθυνση της δέσμης 0Α.
Στις ακτίνες 0Α και 0Β σημειώνουμε τα σημεία M και N, που βρίσκονται σε απόσταση 1 από την αρχή των συντεταγμένων 0, έτσι ώστε 0M = 0N = 1.
Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, το σημείο M έχει συντεταγμένες ( cos α, sin α), και το σημείο N είναι οι συντεταγμένες ( cos β, αμαρτία β). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Στους υπολογισμούς μας χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Τώρα εξετάστε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων B0C, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους άξονες 0x και 0y γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα κατά γωνία β .
Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το σημείο M έχει συντεταγμένες (cos ( α - β ), αμαρτία ( α - β )), και το σημείο N είναι συντεταγμένες (1,0). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ αμαρτία 2 (α - β) = 2 .
Αλλά η απόσταση μεταξύ των σημείων M και N δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων με το οποίο εξετάζουμε αυτά τα σημεία σε σχέση. Να γιατί
δ 1 2 = δ 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Εδώ ακολουθεί ο τύπος (2).
Τώρα πρέπει να θυμηθούμε αυτούς τους δύο περιορισμούς που επιβάλαμε για απλότητα παρουσίασης στις γωνίες α Και β .
Η απαίτηση ότι κάθε μία από τις γωνίες α Και β ήταν μη αρνητικό, όχι πραγματικά σημαντικό. Εξάλλου, σε οποιαδήποτε από αυτές τις γωνίες μπορείτε να προσθέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2, κάτι που δεν θα επηρεάσει την εγκυρότητα του τύπου (2). Με τον ίδιο τρόπο, από καθεμία από αυτές τις γωνίες μπορείτε να αφαιρέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2π. Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Η κατάσταση αποδεικνύεται επίσης ασήμαντη α > β . Πράγματι, αν α < β , Οτι β >α ; επομένως, δεδομένης της ισοτιμίας της συνάρτησης cos Χ , παίρνουμε:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + αμαρτία β sin α,
που ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο (2). Ο τύπος λοιπόν
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
ισχύει για όλες τις γωνίες α Και β . Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας σε αυτό β επί - β και δεδομένου ότι η συνάρτηση cosΧ είναι άρτιο και η συνάρτηση αμαρτίαΧ περίεργο, παίρνουμε:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + αμαρτία α αμαρτία (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
που αποδεικνύει τον τύπο (1).
Έτσι, οι τύποι (1) και (2) αποδεικνύονται.
Παραδείγματα.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Γυμνάσια
1 . Υπολογίστε χωρίς χρήση τριγωνομετρικοί πίνακες:
α) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
β) αμαρτία 3° αμαρτία 42° - συν 39° συν 42°;
γ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
δ) αμαρτία 97° αμαρτία 37° + συν 37° συν 97°;
ε) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
ε) αμαρτία 3π / 5 αμαρτία 7π / 5 - συν 3π / 5 συν 7π / 5 .
2.Απλοποιήστε τις εκφράσεις:
ένα). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
σι). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + αμαρτία (36° + α ) αμαρτία ( α - 24°).
V). sin(π/4 - α ) αμαρτία (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
δ) συν 2 α + tg α αμαρτία 2 α .
3 . Υπολογίζω :
ένα) cos(α - β), Αν
cos α = - 2 / 5 , αμαρτία β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
β) ως ( α + π / 6), εάν συν α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Εύρημα cos(α + β)και συν (α - β) ,αν είναι γνωστό ότι η αμαρτία α = 7 / 25, συν β = - 5 / 13 και οι δύο γωνίες ( α Και β ) λήγει στο ίδιο τρίμηνο.
5 .Υπολογίζω:
ΕΝΑ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
σι). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β μας επιτρέπουν να μετακινηθούμε από το άθροισμα αυτών των γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε τις παραγώγους τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής για συγκεκριμένα προβλήματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο
αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα
cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 , συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 · β - α 2
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα αντίστοιχα. Ας δώσουμε τη διατύπωση για κάθε τύπο.
Ορισμοί τύπων για αθροίσματα και διαφορές ημιτόνων και συνημιτόνων
Άθροισμα ημιτόνων δύο γωνιώνίσο με διπλάσιο του προϊόντοςτο ημίτονο του μισού αθροίσματος αυτών των γωνιών με το συνημίτονο της μισής διαφοράς.
Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος.
Άθροισμα συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.
Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.
Εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Ας τα παραθέσουμε παρακάτω
αμαρτία (α + β) = αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α · cos β - cos α · αμαρτία β cos (α + β) = cos α · cos β - αμαρτία α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Ας φανταστούμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων
Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. Παίρνουμε
αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2
Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη έκφραση και στη δεύτερη - τον τύπο για το ημίτονο διαφορών γωνίας (βλ. τύπους παραπάνω)
αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 sin α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 Ανοίξτε τις αγκύλες, προσθέστε παρόμοιους όρους και λάβετε τον απαιτούμενο τύπο
αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2
Τα βήματα για την παραγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων
αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά συνημιτόνων
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2
Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων
Αρχικά, ας ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2, β = π 6. Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα βασικών τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.
Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών
α = π 2, β = π 6 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 2 αμαρτία π 2 + π 6 2 συν π 2 - π 6 2 = 2 αμαρτία π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές γωνίας διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου διαφοράς ημιτόνων
α = 165 °, β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημίτονων, μπορείτε να μετακινηθείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από ένα άθροισμα σε ένα γινόμενο. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στη λύση τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικές εκφράσεις.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Σε αυτό το άρθρο θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά. Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και επιτρέπουν σε κάποιον να βρει οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.
Ας απαριθμήσουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Ας τους γράψουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω θα δώσουμε την έξοδο αυτών των τύπων και θα παρέχουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας
Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότητατύπος 
. Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και, αντίστοιχα, και τις ισότητες 
Και 
ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες στις επόμενες παραγράφους.
Είναι δηλαδή η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.
Πριν αποδείξουμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα, δίνουμε τη διατύπωσή της: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.
Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά όταν μετατροπή τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει την αντικατάσταση του αθροίσματος των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με την αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημίτονος
Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οπτικής γωνίας και 
ακολουθήστε αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, 
και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, 
.
Χάρη σε τέτοια προφανή των ταυτοτήτων και Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συχνά ορίζονται όχι μέσω της αναλογίας τετμημένης και τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας ημιτόνου και συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας, και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.
Συμπερασματικά της παραγράφου αυτής, να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και λαμβάνουν χώρα για όλες τις γωνίες στις οποίες τα στοιχεία που περιλαμβάνονται σε αυτά τριγωνομετρικές συναρτήσειςΒγάζει νόημα. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε , εκτός από (αλλιώς ο παρονομαστής θα έχει μηδέν, και δεν ορίσαμε διαίρεση με το μηδέν), και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Μια ακόμη πιο εμφανής τριγωνομετρική ταυτότητα από τις δύο προηγούμενες είναι η ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι ισχύει για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από , διαφορετικά δεν ορίζονται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.
Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού 
. Η απόδειξη θα μπορούσε να είχε γίνει λίγο διαφορετικά. Από , Οτι 
.
Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι .
Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση. Περιλαμβάνει την έκφραση του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οποιασδήποτε γωνίας μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας. Επιπλέον, μια τέτοια αντικατάσταση πραγματοποιείται ορθολογικά, δηλαδή χωρίς ρίζες.
Αρχικά, θα γράψουμε τύπους που εκφράζουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας. Στη συνέχεια θα δείξουμε την παραγωγή αυτών των τύπων. Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικά παραδείγματα χρήσης της καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας
Αρχικά, ας γράψουμε τέσσερις τύπους που εκφράζουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας.
Οι αναφερόμενοι τύποι ισχύουν για όλες τις γωνίες στις οποίες ορίζονται οι εφαπτομένες και οι συνεφαπτομένες που περιλαμβάνονται σε αυτούς:
Εξαγωγή τύπων
Ας αναλύσουμε την παραγωγή τύπων που εκφράζουν ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας. Ας ξεκινήσουμε με τους τύπους για ημίτονο και συνημίτονο.
Ας αναπαραστήσουμε το ημίτονο και το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας ως 
Και 
αντίστοιχα. Τώρα οι εκφράσεις 
Και 
το γράφουμε με τη μορφή κλασμάτων με παρονομαστή το 1 ως 
Και 
. Στη συνέχεια, με βάση την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα, αντικαθιστούμε τις μονάδες στον παρονομαστή με το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μετά το οποίο παίρνουμε 
Και 
. Τέλος, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή των κλασμάτων που προκύπτουν με (η τιμή του είναι διαφορετική από το μηδέν που παρέχεται 
). Ως αποτέλεσμα, ολόκληρη η αλυσίδα των ενεργειών μοιάζει με αυτό: 
Και 
Αυτό ολοκληρώνει την παραγωγή τύπων που εκφράζουν ημίτονο και συνημίτονο μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας.
Απομένει να εξαχθούν τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους που ελήφθησαν παραπάνω, τόσο οι τύποι όσο και 
, λαμβάνουμε αμέσως τύπους που εκφράζουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μέσω της εφαπτομένης της μισής γωνίας: 
Έτσι, έχουμε εξάγει όλους τους τύπους για την καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση.
Παραδείγματα χρήσης καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης
Αρχικά, ας δούμε ένα παράδειγμα χρήσης καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης κατά τον μετασχηματισμό παραστάσεων.
Παράδειγμα.
Δώστε μια έκφραση 
σε μια έκφραση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση.
Λύση.
Απάντηση:
.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Education, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες- αυτές είναι ισότητες που καθορίζουν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, υπό την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονό του και αντίστροφα .
Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας με ένα και επίσης να εκτελέσετε τη λειτουργία αντικατάστασης με την αντίστροφη σειρά.
Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης με χρήση ημιτόνου και συνημίτονος
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Άλλωστε, αν το δεις, τότε εξ ορισμού η τεταγμένη y είναι ημίτονο και η τετμημένη x είναι συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ίση με τον λόγο \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)και η αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.
Ας προσθέσουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα στις οποίες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές έχουν νόημα, οι ταυτότητες θα ισχύουν, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z, το z είναι ακέραιος.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.
Με βάση τα παραπάνω σημεία, παίρνουμε ότι tg \alpha = \frac(y)(x), ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(x)(y). Από αυτό προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί.
Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου δεδομένη γωνία. Αυτή η ταυτότητα ισχύει για οποιοδήποτε \alpha διαφορετικό από το \pi z.
Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Δείξε λύση
Λύση
Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha σχετίζονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:
\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1
Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Για να βρούμε το tan \alpha, χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Παράδειγμα 2
Βρείτε \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Δείξε λύση
Λύση
Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1δεδομένου αριθμού \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).