Αυτό το άρθρο αφορά παράλληλες και παράλληλες ευθείες. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των παράλληλων ευθειών σε επίπεδο και στο διάστημα, εισάγονται σημειώσεις, δίνονται παραδείγματα και γραφικές απεικονίσεις παράλληλων ευθειών. Στη συνέχεια, συζητούνται τα σημάδια και οι προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό των ευθειών. Συμπερασματικά, παρουσιάζονται λύσεις σε τυπικά προβλήματα απόδειξης παραλληλισμού ευθειών, οι οποίες δίνονται από ορισμένες εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Παράλληλες γραμμές - βασικές πληροφορίες.
Ορισμός.
Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλο, αν δεν έχουν κοινά σημεία.
Ορισμός.
Δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζονται παράλληλο, αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.
Σημειώστε ότι η ρήτρα "αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο" στον ορισμό των παράλληλων ευθειών στο διάστημα είναι πολύ σημαντική. Ας διευκρινίσουμε αυτό το σημείο: δύο ευθείες στον τρισδιάστατο χώρο που δεν έχουν κοινά σημεία και δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν είναι παράλληλες, αλλά τέμνουσες.
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα παράλληλων ευθειών. Απέναντι άκρα φύλλο σημειωματάριουβρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Οι ευθείες γραμμές κατά τις οποίες το επίπεδο του τοίχου του σπιτιού τέμνει τα επίπεδα της οροφής και του δαπέδου είναι παράλληλες. Οι σιδηροτροχιές σε επίπεδο έδαφος μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως παράλληλες γραμμές.
Για να δηλώσετε παράλληλες γραμμές, χρησιμοποιήστε το σύμβολο "". Δηλαδή, αν οι ευθείες a και b είναι παράλληλες, τότε μπορούμε να γράψουμε εν συντομία a b.
Παρακαλώ σημειώστε: εάν οι ευθείες a και b είναι παράλληλες, τότε μπορούμε να πούμε ότι η ευθεία a είναι παράλληλη στην ευθεία b και επίσης ότι η ευθεία b είναι παράλληλη στην ευθεία a.
Ας εκφράσουμε τη δήλωση που παίζει σημαντικός ρόλοςόταν μελετάμε παράλληλες ευθείες σε ένα επίπεδο: μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτή η δήλωση γίνεται αποδεκτή ως γεγονός (δεν μπορεί να αποδειχθεί με βάση τα γνωστά αξιώματα της επιπεδομετρίας) και ονομάζεται αξίωμα παράλληλων ευθειών.
Για την περίπτωση στο χώρο, ισχύει το θεώρημα: από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτό το θεώρημα αποδεικνύεται εύκολα χρησιμοποιώντας το παραπάνω αξίωμα των παράλληλων ευθειών (μπορείτε να βρείτε την απόδειξή του στο εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 10-11, το οποίο παρατίθεται στο τέλος του άρθρου στη λίστα αναφορών).
Για την περίπτωση στο χώρο, ισχύει το θεώρημα: από οποιοδήποτε σημείο του χώρου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μια ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη. Αυτό το θεώρημα μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το παραπάνω αξίωμα της παράλληλης γραμμής.
Παραλληλισμός ευθειών - σημεία και προϋποθέσεις παραλληλισμού.
Σημάδι παραλληλισμού γραμμώνείναι επαρκής κατάστασηπαραλληλισμός ευθειών, δηλαδή προϋπόθεση η εκπλήρωση της οποίας εγγυάται παραλληλισμό ευθειών. Με άλλα λόγια, η εκπλήρωση αυτής της προϋπόθεσης αρκεί για να διαπιστωθεί το γεγονός ότι οι ευθείες είναι παράλληλες.
Υπάρχουν επίσης αναγκαίες και επαρκείς προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό των γραμμών σε επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο.
Ας εξηγήσουμε την έννοια της φράσης «απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για παράλληλες ευθείες».
Έχουμε ήδη ασχοληθεί με την επαρκή συνθήκη για παράλληλες γραμμές. Ποια είναι η «απαραίτητη προϋπόθεση για παράλληλες ευθείες»; Από το όνομα "απαραίτητο" είναι σαφές ότι η εκπλήρωση αυτής της προϋπόθεσης είναι απαραίτητη για παράλληλες γραμμές. Με άλλα λόγια, εάν δεν πληρούται η απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι παράλληλες οι ευθείες, τότε οι ευθείες δεν είναι παράλληλες. Ετσι, απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για παράλληλες γραμμέςείναι μια προϋπόθεση η εκπλήρωση της οποίας είναι και απαραίτητη και επαρκής για παράλληλες ευθείες. Δηλαδή, αφενός, αυτό είναι σημάδι παραλληλισμού ευθειών και αφετέρου, αυτό είναι μια ιδιότητα που έχουν οι παράλληλες ευθείες.
Πριν διατυπώσετε μια απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για τον παραλληλισμό των γραμμών, καλό είναι να υπενθυμίσουμε αρκετούς βοηθητικούς ορισμούς.
Τέμνουσα γραμμήείναι μια ευθεία που τέμνει καθεμία από δύο δεδομένες μη συμπίπτουσες ευθείες.
Όταν δύο ευθείες τέμνονται με ένα εγκάρσιο, σχηματίζονται οκτώ μη ανεπτυγμένες. Στη διατύπωση της αναγκαίας και ικανής συνθήκης για τον παραλληλισμό των ευθειών, τα λεγόμενα ξαπλωμένος σταυρωτά, αντίστοιχοςΚαι μονόπλευρες γωνίες. Ας τα δείξουμε στο σχέδιο.
Θεώρημα.
Εάν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο τέμνονται από ένα εγκάρσιο, τότε για να είναι παράλληλες είναι απαραίτητο και αρκετό οι τέμνουσες γωνίες να είναι ίσες ή οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες ή το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών να είναι ίσο με 180 βαθμούς.
Ας δείξουμε μια γραφική απεικόνιση αυτής της απαραίτητης και ικανής συνθήκης για τον παραλληλισμό των γραμμών σε ένα επίπεδο.
Μπορείτε να βρείτε αποδείξεις αυτών των συνθηκών για τον παραλληλισμό των γραμμών σε εγχειρίδια γεωμετρίας για τις τάξεις 7-9.
Σημειώστε ότι αυτές οι συνθήκες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε τρισδιάστατο χώρο - το κύριο πράγμα είναι ότι οι δύο ευθείες γραμμές και η τομή βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Ακολουθούν μερικά ακόμη θεωρήματα που χρησιμοποιούνται συχνά για να αποδείξουν τον παραλληλισμό των ευθειών.
Θεώρημα.
Εάν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες. Η απόδειξη αυτού του κριτηρίου προκύπτει από το αξίωμα των παράλληλων ευθειών.
Υπάρχει παρόμοια συνθήκη για παράλληλες γραμμές στον τρισδιάστατο χώρο.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες στο διάστημα είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες. Η απόδειξη αυτού του κριτηρίου συζητείται στα μαθήματα γεωμετρίας στη 10η τάξη.
Ας επεξηγήσουμε τα θεωρήματα που αναφέρθηκαν.
Ας παρουσιάσουμε ένα άλλο θεώρημα που μας επιτρέπει να αποδείξουμε τον παραλληλισμό των ευθειών σε ένα επίπεδο.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες σε ένα επίπεδο είναι κάθετες σε μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες.
Υπάρχει ένα παρόμοιο θεώρημα για τις ευθείες στο διάστημα.
Θεώρημα.
Αν δύο ευθείες στον τρισδιάστατο χώρο είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο, τότε είναι παράλληλες.
Ας σχεδιάσουμε εικόνες που αντιστοιχούν σε αυτά τα θεωρήματα.
Όλα τα θεωρήματα, τα κριτήρια και οι απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες που διατυπώθηκαν παραπάνω είναι εξαιρετικά για την απόδειξη του παραλληλισμού των ευθειών χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της γεωμετρίας. Δηλαδή, για να αποδείξετε τον παραλληλισμό δύο δεδομένων ευθειών, πρέπει να δείξετε ότι είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή ή να δείξετε την ισότητα των εγκάρσιων γωνιών κ.λπ. Πολλά παρόμοια προβλήματα λύνονται στα μαθήματα γεωμετρίας στο Λύκειο. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος συντεταγμένων για να αποδειχθεί ο παραλληλισμός των γραμμών σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο. Ας διατυπώσουμε τις απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τον παραλληλισμό των γραμμών που καθορίζονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Παραλληλισμός ευθειών σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Σε αυτή την παράγραφο του άρθρου θα διατυπώσουμε απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για παράλληλες γραμμέςσε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ανάλογα με τον τύπο των εξισώσεων που ορίζουν αυτές τις ευθείες γραμμές, και παρουσιάζουμε επίσης λεπτομερείς λύσειςχαρακτηριστικές εργασίες.
Ας ξεκινήσουμε με την συνθήκη του παραλληλισμού δύο ευθειών σε ένα επίπεδο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Η απόδειξή του βασίζεται στον ορισμό του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας και στον ορισμό του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.
Θεώρημα.
Για να είναι δύο μη συμπίπτουσες ευθείες παράλληλες σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά ή τα κανονικά διανύσματα αυτών των γραμμών να είναι συγγραμμικά ή το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας να είναι κάθετο στην κανονική διάνυσμα της δεύτερης γραμμής.
Προφανώς, η συνθήκη παραλληλισμού δύο ευθειών σε ένα επίπεδο μειώνεται σε (διανύσματα κατεύθυνσης ευθειών ή κανονικά διανύσματα ευθειών) ή σε (διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας και κανονικό διάνυσμα της δεύτερης ευθείας). Έτσι, εάν και είναι διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών a και b, και 
Και 
είναι κανονικά διανύσματα των ευθειών a και b αντίστοιχα, τότε η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τον παραλληλισμό των γραμμών a και b θα γραφεί ως 
, ή 
, ή , όπου t είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Με τη σειρά τους, οι συντεταγμένες των οδηγών και (ή) των κανονικών διανυσμάτων των γραμμών a και b βρίσκονται χρησιμοποιώντας τις γνωστές εξισώσεις των γραμμών.
Συγκεκριμένα, αν η ευθεία γραμμή a στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο ορίζει μια γενική ευθεία εξίσωση της μορφής 
και ευθεία γραμμή β - 
, τότε τα κανονικά διανύσματα αυτών των ευθειών έχουν συντεταγμένες και, αντίστοιχα, και η συνθήκη για παραλληλισμό των ευθειών a και b θα γραφεί ως .
Αν η ευθεία a αντιστοιχεί στην εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή της μορφής, και η ευθεία b-, τότε τα κανονικά διανύσματα αυτών των ευθειών έχουν συντεταγμένες και, και η συνθήκη για παραλληλισμό αυτών των ευθειών παίρνει τη μορφή 
. Κατά συνέπεια, εάν οι ευθείες σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι παράλληλες και μπορούν να προσδιοριστούν με εξισώσεις ευθειών με γωνιακούς συντελεστές, τότε οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών θα είναι ίσοι. Και αντιστρόφως: αν οι μη συμπίπτουσες γραμμές σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορούν να προσδιοριστούν από τις εξισώσεις μιας ευθείας με ίσους γωνιακούς συντελεστές, τότε τέτοιες ευθείες είναι παράλληλες.
Αν μια ευθεία a και μια ευθεία b σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζονται από τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο της μορφής 
Και 
, ή παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο της μορφής 
Και 
Συνεπώς, τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών έχουν συντεταγμένες και , και η συνθήκη για παραλληλισμό των ευθειών a και b γράφεται ως .
Ας δούμε λύσεις σε πολλά παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Είναι οι ευθείες παράλληλες; 
Και ?
Λύση.
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση μιας γραμμής σε τμήματα με τη μορφή μιας γενικής εξίσωσης μιας γραμμής: 
. Τώρα μπορούμε να δούμε ότι είναι το κανονικό διάνυσμα της γραμμής , το a είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας. Αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός t για τον οποίο η ισότητα ( 
). Συνεπώς, δεν ικανοποιείται η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό ευθειών σε ένα επίπεδο, επομένως οι δεδομένες ευθείες δεν είναι παράλληλες.
Απάντηση:
Όχι, οι γραμμές δεν είναι παράλληλες.
Παράδειγμα.
Είναι οι ευθείες και παράλληλες;
Λύση.
Ας ανάγουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας στην εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή: . Προφανώς, οι εξισώσεις των ευθειών και δεν είναι ίδιες (σε αυτή την περίπτωση, οι δεδομένες ευθείες θα ήταν ίδιες) και οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών είναι ίσοι, επομένως, οι αρχικές ευθείες είναι παράλληλες.
1. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες:
Αν ένα||ντοΚαι σι||ντο, Οτι ένα||σι.
2. Αν δύο ευθείες είναι κάθετες στην τρίτη ευθεία, τότε είναι παράλληλες:
Αν ένα⊥ντοΚαι σι⊥ντο, Οτι ένα||σι.
Τα υπόλοιπα σημάδια παραλληλισμού ευθειών βασίζονται στις γωνίες που σχηματίζονται όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τρίτη.
3. Αν το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠1 + ∠2 = 180°, τότε ένα||σι.
4. Αν οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠2 = ∠4, τότε ένα||σι.
5. Αν οι εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες:
Αν ∠1 = ∠3, τότε ένα||σι.
Ιδιότητες παράλληλων ευθειών
Οι δηλώσεις αντίστροφες προς τις ιδιότητες των παράλληλων ευθειών είναι οι ιδιότητές τους. Βασίζονται στις ιδιότητες των γωνιών που σχηματίζονται από την τομή δύο παράλληλων ευθειών με μια τρίτη ευθεία.
1. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, το άθροισμα των εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών που σχηματίζονται από αυτές είναι ίσο με 180°:
Αν ένα||σι, τότε ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζονται από αυτές είναι ίσες:
Αν ένα||σι, τότε ∠2 = ∠4.
3. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνουν μια τρίτη ευθεία, οι εγκάρσιες γωνίες που σχηματίζουν είναι ίσες:
Αν ένα||σι, τότε ∠1 = ∠3.
Η ακόλουθη ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση για κάθε προηγούμενη:
4. Αν μια ευθεία σε ένα επίπεδο είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη:
Αν ένα||σιΚαι ντο⊥ένα, Οτι ντο⊥σι.
Η πέμπτη ιδιότητα είναι το αξίωμα των παράλληλων ευθειών:
5. Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία.
Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών
Θεώρημα 1. Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τομή:
οι διασταυρωμένες γωνίες είναι ίσες ή
οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες ή
το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, λοιπόν
οι γραμμές είναι παράλληλες(Εικ. 1).
Απόδειξη. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη της περίπτωσης 1.
Έστω οι τεμνόμενες ευθείες a και b εγκάρσια και οι γωνίες ΑΒ ίσες. Για παράδειγμα, ∠ 4 = ∠ 6. Ας αποδείξουμε ότι a || σι.
Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες α και β δεν είναι παράλληλες. Τότε τέμνονται σε κάποιο σημείο Μ και, επομένως, μία από τις γωνίες 4 ή 6 θα είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΜ. Για βεβαιότητα, έστω ∠ 4 η εξωτερική γωνία του τριγώνου ABM, και ∠ 6 η εσωτερική. Από το θεώρημα για την εξωτερική γωνία ενός τριγώνου προκύπτει ότι το ∠ 4 είναι μεγαλύτερο από το ∠ 6, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη, που σημαίνει ότι οι ευθείες a και 6 δεν μπορούν να τέμνονται, άρα είναι παράλληλες.
Συμπέρασμα 1. Δύο διαφορετικές ευθείες σε ένα επίπεδο κάθετο στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες(Εικ. 2).
Σχόλιο. Ο τρόπος που μόλις αποδείξαμε την περίπτωση 1 του Θεωρήματος 1 ονομάζεται μέθοδος απόδειξης με αντίφαση ή αναγωγή σε παραλογισμό. Αυτή η μέθοδος έλαβε το πρώτο της όνομα επειδή στην αρχή του επιχειρήματος γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη (αντίθετα) με αυτό που πρέπει να αποδειχθεί. Ονομάζεται οδήγηση στον παραλογισμό λόγω του ότι, συλλογιζόμενοι με βάση την υπόθεση που έγινε, καταλήγουμε σε ένα παράλογο συμπέρασμα (στο παράλογο). Η λήψη ενός τέτοιου συμπεράσματος μας αναγκάζει να απορρίψουμε την υπόθεση που έγινε στην αρχή και να αποδεχτούμε αυτήν που έπρεπε να αποδειχθεί.
Εργασία 1.Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Μ και είναι παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία α, που δεν διέρχεται από το σημείο Μ.
Λύση. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή p μέσα από το σημείο Μ κάθετο στην ευθεία α (Εικ. 3).
Στη συνέχεια σχεδιάζουμε μια ευθεία b στο σημείο M κάθετη στην ευθεία p. Η ευθεία b είναι παράλληλη στην ευθεία a σύμφωνα με το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.
Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από το εξεταζόμενο πρόβλημα:
μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι πάντα δυνατό να τραβήξουμε μια γραμμή παράλληλη προς τη δεδομένη.
Η κύρια ιδιότητα των παράλληλων ευθειών είναι η εξής.
Αξίωμα παράλληλων ευθειών. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη.
Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των παράλληλων ευθειών που προκύπτουν από αυτό το αξίωμα.
1) Αν μια ευθεία τέμνει μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και την άλλη (Εικ. 4).
2) Εάν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες (Εικ. 5).
Το παρακάτω θεώρημα είναι επίσης αληθές.
Θεώρημα 2. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από ένα εγκάρσιο, τότε:
οι εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες.
οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.
Συμπέρασμα 2. Εάν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη(βλ. Εικ. 2).
Σχόλιο. Το Θεώρημα 2 ονομάζεται αντίστροφο του Θεωρήματος 1. Το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 είναι η συνθήκη του Θεωρήματος 2. Και η συνθήκη του Θεωρήματος 1 είναι το συμπέρασμα του Θεωρήματος 2. Δεν έχει κάθε θεώρημα αντίστροφο, δηλ. εάν αυτό το θεώρημα είναι αληθές, τότε θεώρημα αντίστροφηςμπορεί να είναι λάθος.
Ας το εξηγήσουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του θεωρήματος για τις κατακόρυφες γωνίες. Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες. Το αντίστροφο θεώρημα θα ήταν: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε είναι κάθετες. Και αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια. Δύο ίσες γωνίεςδεν χρειάζεται να είναι καθόλου κάθετη.
Παράδειγμα 1.Δύο παράλληλες γραμμές διασχίζονται από μια τρίτη. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ δύο εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 30°. Βρείτε αυτές τις γωνίες.
Λύση. Αφήστε το Σχήμα 6 να πληροί την προϋπόθεση.
Η έννοια των παράλληλων ευθειών
Ορισμός 1
Παράλληλες γραμμές– οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο δεν συμπίπτουν και δεν έχουν κοινά σημεία.
Αν οι ευθείες έχουν κοινό σημείο, τότε έχουν διατέμνω.
Αν όλα τα σημεία είναι ίσια αγώνας, τότε ουσιαστικά έχουμε μια ευθεία γραμμή.
Εάν οι ευθείες βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα, τότε οι συνθήκες για τον παραλληλισμό τους είναι κάπως μεγαλύτερες.
Όταν εξετάζουμε ευθείες στο ίδιο επίπεδο, μπορεί να δοθεί ο ακόλουθος ορισμός:
Ορισμός 2
Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλο, αν δεν τέμνονται.
Στα μαθηματικά, οι παράλληλες ευθείες συνήθως συμβολίζονται χρησιμοποιώντας το σύμβολο παραλληλισμού "$\παράλληλο$". Για παράδειγμα, το γεγονός ότι η γραμμή $c$ είναι παράλληλη με τη γραμμή $d$ συμβολίζεται ως εξής:
$c\παράλληλο d$.
Συχνά εξετάζεται η έννοια των παράλληλων τμημάτων.
Ορισμός 3
Τα δύο τμήματα ονομάζονται παράλληλο, εάν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.
Για παράδειγμα, στο σχήμα τα τμήματα $AB$ και $CD$ είναι παράλληλα, επειδή ανήκουν σε παράλληλες ευθείες:
$AB \παράλληλο CD$.
Ταυτόχρονα, τα τμήματα $MN$ και $AB$ ή $MN$ και $CD$ δεν είναι παράλληλα. Αυτό το γεγονός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας σύμβολα ως εξής:
$MN ∦ AB$ και $MN ∦ CD$.
Ο παραλληλισμός μιας ευθείας γραμμής και ενός τμήματος, μιας ευθείας γραμμής και μιας ακτίνας, ενός τμήματος και μιας ακτίνας ή δύο ακτίνων προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο.
Ιστορική αναφορά
ΜΕ ελληνική γλώσσαΗ έννοια του "parallelos" μεταφράζεται ως "κοντά" ή "κρατείται το ένα δίπλα στο άλλο". Ο όρος αυτός χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία σχολή του Πυθαγόρα πριν ακόμη καθοριστούν παράλληλες γραμμές. Σύμφωνα με ιστορικά γεγονόταΟ Ευκλείδης τον $III$ αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. τα έργα του ωστόσο αποκάλυψαν το νόημα της έννοιας των παράλληλων ευθειών.
Στην αρχαιότητα, το σύμβολο για τον προσδιορισμό παράλληλων γραμμών είχε διαφορετική εμφάνιση από αυτό που χρησιμοποιούμε στα σύγχρονα μαθηματικά. Για παράδειγμα, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Πάππος τον $III$ αιώνα. ΕΝΑ Δ Ο παραλληλισμός υποδεικνύεται χρησιμοποιώντας ένα πρόσημο ίσου. Εκείνοι. Το γεγονός ότι η γραμμή $l$ είναι παράλληλη με την ευθεία $m$ συμβολιζόταν προηγουμένως με "$l=m$". Αργότερα, το γνωστό πρόσημο "$\παράλληλο$" άρχισε να χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον παραλληλισμό των γραμμών και το πρόσημο ίσον άρχισε να χρησιμοποιείται για να δηλώσει την ισότητα των αριθμών και των παραστάσεων.
Παράλληλες γραμμές στη ζωή
Συχνά δεν παρατηρούμε ότι σε συνηθισμένη ζωήΜας περιβάλλουν ένας τεράστιος αριθμός παράλληλων γραμμών. Για παράδειγμα, σε ένα μουσικό βιβλίο και μια συλλογή τραγουδιών με νότες, το προσωπικό γίνεται χρησιμοποιώντας παράλληλες γραμμές. Παράλληλες ευθείες βρίσκονται επίσης σε μουσικά όργανα(για παράδειγμα, έγχορδα άρπας, χορδές κιθάρας, πλήκτρα πιάνου κ.λπ.).
Τα ηλεκτρικά καλώδια που βρίσκονται κατά μήκος των δρόμων και των δρόμων κινούνται επίσης παράλληλα. Ράγες γραμμής του μετρό και σιδηροδρόμωνβρίσκονται παράλληλα.
Εκτός από την καθημερινή ζωή, παράλληλες γραμμές μπορούν να βρεθούν στη ζωγραφική, στην αρχιτεκτονική και στην κατασκευή κτιρίων.
Παράλληλες γραμμές στην αρχιτεκτονική
Στις εικόνες που παρουσιάζονται, οι αρχιτεκτονικές κατασκευές περιέχουν παράλληλες γραμμές. Η χρήση παράλληλων γραμμών στην κατασκευή συμβάλλει στην αύξηση της διάρκειας ζωής τέτοιων κατασκευών και τους προσδίδει εξαιρετική ομορφιά, ελκυστικότητα και μεγαλοπρέπεια. Τα καλώδια ηλεκτρικού ρεύματος τοποθετούνται επίσης σκόπιμα παράλληλα για να αποφευχθεί η διέλευση ή η επαφή τους, κάτι που θα οδηγούσε σε βραχυκυκλώματα, διακοπές και απώλεια ηλεκτρικού ρεύματος. Για να μπορεί το τρένο να κινείται ελεύθερα, οι ράγες γίνονται και σε παράλληλες γραμμές.
Στη ζωγραφική, οι παράλληλες γραμμές απεικονίζονται ως συγκλίνουσες σε μία γραμμή ή κοντά σε αυτήν. Αυτή η τεχνική ονομάζεται προοπτική, η οποία προκύπτει από την ψευδαίσθηση της όρασης. Αν κοιτάξετε στην απόσταση για πολλή ώρα, οι παράλληλες ευθείες θα μοιάζουν με δύο συγκλίνουσες γραμμές.
Στην ερώτηση 1. Δώστε τον ορισμό των παράλληλων ευθειών. Ποια δύο τμήματα ονομάζονται παράλληλα; δίνεται από τον συγγραφέα Σάσα Νιζεβιάσοφη καλύτερη απάντηση είναι που δεν θα τέμνονται ποτέ σε ένα επίπεδο
Απάντηση από Προσαρμογή[γκουρού]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται.
Απάντηση από Ναουμένκο[γκουρού]
τμήματα. που ανήκουν σε παράλληλες ευθείες. είναι παράλληλες.
Οι ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλο. αν δεν τέμνονται ή συμπίπτουν.
Απάντηση από Νευροπαθολόγος[αρχάριος]
Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται παράλληλες
Απάντηση από Προσθήκη[κύριος]
Απάντηση από Βαρβάρα Λαμεκίνα[αρχάριος]
δύο ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλες αν δεν τέμνονται)
Απάντηση από Μαξίμ Ιβάνοφ[αρχάριος]
Τα οποία δεν θα τέμνονται στο επίπεδο.
Απάντηση από Sem2805[ενεργός]
δύο ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλες αν δεν τέμνονται (βαθμός 7)
Απάντηση από Σάσα Κλιούτσνικοφ[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Στην απόλυτη γεωμετρία, από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία διέρχεται τουλάχιστον μία ευθεία που δεν τέμνει τη δεδομένη. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία υπάρχει μόνο μία τέτοια γραμμή. Αυτό το γεγονός είναι ισοδύναμο με το αξίωμα V του Ευκλείδη (περί παραλλήλων). Στη γεωμετρία Lobachevsky (βλ. γεωμετρία Lobachevsky) στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο C (βλέπε σχήμα) έξω από μια δεδομένη ευθεία ΑΒ διέρχεται άπειρος αριθμός ευθειών που δεν τέμνονται με την AB. Από αυτά, μόνο δύο ονομάζονται παράλληλα με το ΑΒ. Η ευθεία CE ονομάζεται παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ προς την κατεύθυνση από το Α προς το Β εάν: 1) τα σημεία Β και Ε βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας AC, 2) η ευθεία CE δεν τέμνει την ευθεία ΑΒ, κάθε ακτίνα που διέρχεται εντός της γωνίας ACE τέμνεται ακτίνα ΑΒ. Η ευθεία CF, παράλληλη προς την ΑΒ προς την κατεύθυνση από Β προς Α, ορίζεται παρόμοια.
Απάντηση από Ανατόλι Μισίν[αρχάριος]
Δύο ευθείες στο διάστημα ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται.
Απάντηση από Ολίγια[ενεργός]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που δεν τέμνονται
Απάντηση από είπε ο Charakov[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.
Μέσα από ένα σημείο μπορείτε να σχεδιάσετε μόνο μία ευθεία παράλληλη σε ένα δεδομένο επίπεδο.
Απάντηση από Oliya Nemtyreva[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες είναι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται. ..Γεωμετρία Λομπατσέφσκι) στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Γ (βλ. σχήμα) έξω από μια δεδομένη ευθεία ΑΒ διέρχεται άπειρος αριθμός ευθειών που δεν τέμνουν την ΑΒ. Από αυτά, μόνο δύο ονομάζονται παράλληλα με το ΑΒ
Απάντηση από Oksana Tyshchenko[αρχάριος]
Οι παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες σε ένα επίπεδο που δεν τέμνονται. Δύο τμήματα ονομάζονται παράλληλα αν βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.