U savremenim uslovima, interesovanje za analizu podataka stalno i intenzivno raste u potpuno različitim oblastima, kao što su biologija, lingvistika, ekonomija i, naravno, IT. Osnova ove analize su statističke metode i svaki stručnjak za rudarenje podataka koji poštuje sebe treba da ih razumije.
Nažalost, istinski dobra literatura, ona vrsta koja može pružiti i matematički rigorozne dokaze i jasna intuitivna objašnjenja, nije baš uobičajena. I ova su predavanja, po mom mišljenju, neobično dobra za matematičare koji razumiju teoriju vjerovatnoće upravo iz tog razloga. Predaju se kao master na njemačkom Univerzitetu Christian-Albrecht na programima matematike i finansijske matematike. A za one koje zanima kako se ovaj predmet predaje u inostranstvu, preveo sam ova predavanja. Za prevođenje mi je trebalo nekoliko mjeseci, predavanja sam razvodnjavao ilustracijama, vježbama i fusnotama o nekim teoremama. Napominjem da nisam profesionalni prevodilac, već jednostavno altruista i amater u ovoj oblasti, pa ću prihvatiti svaku kritiku ako je konstruktivna.
Ukratko, ovo je ono o čemu su predavanja: 
Uslovno matematičko očekivanje
Ovo poglavlje se ne odnosi direktno na statistiku, ali je idealno za početak proučavanja. Uslovno očekivanje je najbolji izbor za predviđanje slučajnog ishoda na osnovu već dostupnih informacija. I ovo je takođe slučajna varijabla. Ovdje razmatramo njena različita svojstva, poput linearnosti, monotonosti, monotone konvergencije i drugih.Osnove procjene bodova
Kako procijeniti parametar distribucije? Koji kriterijum da odaberem za ovo? Koje metode da koristim? Ovo poglavlje pomaže odgovoriti na sva ova pitanja. Ovdje uvodimo koncepte nepristrasnog estimatora i uniformno nepristrasnog estimatora minimalne varijance. Objašnjava odakle potiču hi-kvadrat i t-distribucije i zašto su važne u procjeni parametara normalne distribucije. Objašnjava šta su Rao-Kramerova nejednakost i Fišerova informacija. Uvodi se i koncept eksponencijalne porodice, što uvelike olakšava dobijanje dobre procjene.Bayesova i minimalna procjena parametara
Ovdje je opisan drugačiji filozofski pristup evaluaciji. U ovom slučaju, parametar se smatra nepoznatim jer se radi o realizaciji određene slučajne varijable sa poznatom (a priori) raspodjelom. Posmatrajući rezultat eksperimenta, izračunavamo takozvanu posteriornu distribuciju parametra. Na osnovu toga možemo dobiti Bayesov estimator, gdje je kriterij minimalni gubitak u prosjeku, ili minimax estimator, koji minimizira maksimalni mogući gubitak.
Dovoljnost i potpunost
Ovo poglavlje ima ozbiljan praktični značaj. Dovoljna statistika je funkcija uzorka takva da je dovoljno pohraniti samo rezultat ove funkcije da bi se procijenio parametar. Takvih funkcija ima mnogo, a među njima je i takozvana minimalna dovoljna statistika. Na primjer, za procjenu medijane normalne distribucije, dovoljno je pohraniti samo jedan broj - aritmetičku sredinu za cijeli uzorak. Radi li ovo i za druge distribucije, kao što je Cauchyjeva distribucija? Kako dovoljna statistika pomaže u odabiru procjena? Ovdje možete pronaći odgovore na ova pitanja.Asimptotska svojstva procjena
Možda je najvažnije i neophodno svojstvo procjene njena konzistentnost, odnosno sklonost ka pravom parametru kako se veličina uzorka povećava. Ovo poglavlje opisuje koja svojstva imaju procjene koje poznajemo, dobijene statističkim metodama opisanim u prethodnim poglavljima. Uvode se koncepti asimptotske nepristrasnosti, asimptotske efikasnosti i Kullback-Leiblerove udaljenosti.Osnove testiranja
Pored pitanja kako procijeniti nama nepoznati parametar, moramo nekako provjeriti da li on zadovoljava tražena svojstva. Na primjer, provodi se eksperiment za testiranje novog lijeka. Kako znati da li je vjerovatnoća oporavka veća s njim nego uz korištenje starih lijekova? Ovo poglavlje objašnjava kako se takvi testovi konstruišu. Naučit ćete koji je jednolično najmoćniji test, Neyman-Pearsonov test, nivo značajnosti, interval povjerenja i odakle potiču dobro poznati Gaussov test i t-test.Asimptotska svojstva kriterija
Kao i procjene, kriteriji moraju zadovoljiti određena asimptotska svojstva. Ponekad se mogu pojaviti situacije kada je nemoguće konstruisati traženi kriterijum, međutim, koristeći dobro poznatu centralnu graničnu teoremu, konstruišemo kriterijum koji asimptotski teži potrebnom. Ovdje ćete naučiti koji je nivo asimptotske važnosti, metod omjera vjerovatnoće i kako se konstruišu Bartletov test i hi-kvadrat test nezavisnosti.Linearni model
Ovo poglavlje se može posmatrati kao dopuna, odnosno primjena statistike u slučaju linearne regresije. Shvatićete koje su ocene dobre i pod kojim uslovima. Naučit ćete odakle dolazi metoda najmanjih kvadrata, kako konstruirati testove i zašto je potrebna F-distribucija.Za opis asimptotičkih procjena postoji sistem notacije:
§ Kažu da je f(n)= O(g(n)), ako postoji konstanta c>0 i broj n0 takvi da je uslov 0≤f(n)≤c*g(n) zadovoljen za sve n≥n0. formalnije:
(()) { () | 0, } 0 0 O g n= fn$c> $n"n> n£ fn£ cg n
O(g(n)) se koristi za označavanje funkcija koje nisu više od konstantnog broja puta veće od g(n), ova varijanta se koristi za opisivanje gornjih granica (u smislu “ne gore od”). Kada govorimo o specifičnom algoritmu za rješavanje određenog problema, cilj analize vremenske složenosti ovog algoritma je da se dobije procjena za vrijeme u najgorem ili u prosjeku, obično asimptotička procjena odozgo. O(g(n)), i, ako je moguće, asimptotski nižu procjenu za W(g(n)), a još bolje, asimptotski tačnu procjenu za Q(g(n)).
Ali ostaje pitanje: mogu li postojati još bolji algoritmi rješenja za ovaj problem? Ovo pitanje postavlja problem pronalaženja niže procjene vremenske složenosti za sam problem (za sve moguće algoritme za njegovo rješavanje, a ne za jedan od poznatih algoritama za njegovo rješavanje). Pitanje dobijanja netrivijalnih donjih granica je veoma teško. Do danas nema mnogo takvih rezultata, ali su dokazane netrivijalne donje granice za neke ograničene računarske modele, a neki od njih igraju važnu ulogu u praktičnom programiranju. Jedan od problema za koji je poznata donja granica vremenske složenosti je problem sortiranja:
§ Dat je niz od n elemenata a1,a2,... an, odabranih iz skupa na kojem je specificiran linearni red.
§ Potrebno je pronaći permutaciju p od ovih n elemenata koji će preslikati dati niz u neopadajući niz ap(1),ap(2),... ap(n), tj. ap(i)≤ap(i+1) za 1≤i
1) Izvorni podaci za zadatak A se pretvaraju u odgovarajuće izvorne podatke
podaci za zadatak B.
2) Problem B se rješava.
3) Rezultat rješavanja problema B pretvara se u ispravno rješenje zadatka A.__ U ovom slučaju kažemo da zadatak A svesti na problem B. Ako se gore navedeni koraci (1) i (3) mogu završiti na vrijeme O(t(n)), gdje je, kao i obično, n 25 “volumen” zadatka A, onda kažemo da je A t (n)-svodivo na B, i napišite to ovako: A μt (n) B. Uopšteno govoreći, reducibilnost nije simetrična relacija; u posebnom slučaju kada su A i B međusobno svodivi, nazivamo ih ekvivalentnim. Sljedeće dvije očigledne tvrdnje karakteriziraju snagu redukcijske metode pod pretpostavkom da ova redukcija čuva redoslijed “obuhvata” problema.
"O" veliko I "o" mala( i ) - matematičke notacije za poređenje asimptotskog ponašanja funkcija. Koriste se u raznim granama matematike, ali najaktivnije u matematičkoj analizi, teoriji brojeva i kombinatorici, kao iu informatici i teoriji algoritama.
, « O mali od " znači "beskonačno mali u odnosu na " [, zanemarljiva količina kada se uzme u obzir. Značenje izraza "O veliki" ovisi o području njegove primjene, ali uvijek ne raste brže od, " O veliki od "(tačne definicije su date u nastavku).
posebno:
Nastavak 7
izraz “složenost algoritma je” znači da s povećanjem parametra koji karakterizira količinu ulaznih informacija algoritma, vrijeme rada algoritma ne može biti ograničeno na vrijednost koja raste sporije od n!;
izraz “funkcija je “otprilike” mala od funkcije u susjedstvu tačke” znači da kako se k približava ona opada brže od (omjer teži nuli).
Pravilo suma: Neka je konačni skup M podijeljen na dva disjunktna podskupa M 1 i M 2 (u uniji daje cijeli skup M). Tada je snaga |M| = |M 1 | + |M 2 |.
Pravilo proizvoda: Neka objekat a u određenom skupu bude odabran na n načina, a nakon toga (tj. nakon odabira objekta a) objekt b može biti odabran na m načina. Tada se objekat ab može odabrati na n*m načina.
Komentar: Oba pravila dozvoljavaju induktivnu generalizaciju. Ako konačni skup M dopušta particiju na r parno disjunktnih podskupova M 1 , M 2 ,…,M r , tada je kardinalnost |M| = |M 1 |+|M 2 |+…+|M r |. Ako se objekat A 1 može selektovati na k 1 načina, onda (nakon što se odabere objekat A 1) objekat A 2 se može selektovati na k 2 načina, i tako dalje i konačno, objekat AR se može izabrati na k načina, a zatim objekat A 1 A 2 ... I r se može izabrati na k 1 k 2 ...k r načina.
480 rub. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Disertacija - 480 RUR, dostava 10 minuta, non-stop, sedam dana u nedelji i praznicima
Kolodzey Aleksandar Vladimirovič. Asimptotička svojstva kriterijuma saglasnosti za testiranje hipoteza u šemi selekcije bez povratka, na osnovu popunjavanja ćelija u generalizovanoj šemi plasmana: disertacija... Kandidat fizičko-matematičkih nauka: 01.01.05.- Moskva, 2006.- 110 str.: ill. RSL OD, 61 07-1/496
Uvod
1 Entropija i informacijska udaljenost 36
1.1 Osnovne definicije i oznake 36
1.2 Entropija diskretnih distribucija sa ograničenim matematičkim očekivanjima 39
1.3 Logaritamska generalizovana metrika na skupu diskretnih distribucija 43
1.4 Kompaktnost funkcija s prebrojivim skupom argumenata. 46
1.5 Kontinuitet informacije udaljenost Kullback - Leibler - Sanov 49
1.6 Zaključci 67
2 Vjerojatnosti velikih odstupanja 68
2.1 Vjerojatnosti velikih odstupanja funkcija od broja ćelija sa datim punjenjem 68
2.1.1 Lokalna granična teorema 68
2.1.2 Integralna granična teorema 70
2.1.3 Informacijska udaljenost i vjerovatnoće velikih odstupanja odvojivih statistika 75
2.2 Vjerojatnosti velikih odstupanja odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov 81
2.3 Zaključci 90
3 Asimptotska svojstva kriterija dobrote uklapanja 92
3.1 Kriterijumi pristanka za odabir bez dizajna povrata. 92
3.2 Asimptotička relativna efikasnost kriterijuma dobrote uklapanja 94
3.3 Kriterijumi zasnovani na broju ćelija u generalizovanim rasporedima 95
3.4 Zaključci 98
Zaključak 99
Literatura 103
Uvod u rad
Predmet istraživanja i relevantnost teme. U teoriji statističke analize diskretnih nizova, posebno mjesto zauzimaju kriteriji dobrote prilagodbe za testiranje eventualno složene nulte hipoteze, a to je ona za slučajni niz pQ)?=i takav da
Hí Ê Im,í= 1,...,n, Im = (o, í,..., M), za bilo koje í = 1,..., n, i za bilo koje k Ê í̈m vjerovatnoću događaja ( Hí = k) ne zavisi od r. To znači da je niz (Hí)f =1 u nekom smislu stacionaran.
U brojnim primijenjenim problemima, sekvenca (X() =1) se smatra nizom boja kuglica pri odabiru bez povratka do iscrpljenosti iz urne koja sadrži rik - 1 > 0 kuglica boje k, k Ê í̈m - Označićemo skup takvih selekcija T(n 0 - 1, ...,pd/ - 1). Neka urna sadrži ukupno n - 1 kuglica, m n-l= (n fc -l).
Označimo sa r (k) _ r (fc) r (fc) niz brojeva loptica boje k u uzorku. Razmotrimo niz h« = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)
Niz h^ je određen korištenjem udaljenosti između mjesta susjednih kuglica boje k na način da je *F = n.
Skup sekvenci h(fc) za sve k Ê njima jedinstveno određuje niz (H()^ =1. Sekvence h k za različite k zavisne su jedna od druge. Posebno, bilo koja od njih je jedinstveno određena svim ostalima. Ako je kardinalnost skupa 1m 2, tada je niz boja loptica jedinstveno određen nizom h() udaljenosti između mjesta susjednih loptica iste fiksne boje. Neka postoji N - 1 kuglica boje 0 u urni koja sadrži n - 1 kuglice dvije različite boje. Možemo uspostaviti korespondenciju jedan prema jedan između skupa M(N-l,n - N) i skupa 9\ Pí m vektora h(n, N) = (hi,..., /i#) sa pozitivnim cjelobrojnim komponentama tako da
Skup 9\n,m odgovara skupu svih različitih particija pozitivnog cijelog broja n na N uređenih članova.
Određivanjem određene distribucije vjerovatnoće na skupu vektora 9R n d, dobijamo odgovarajuću raspodjelu vjerovatnoće na skupu Wl(N - l,n - N). Skup V\n,y je podskup skupa 2J n,iv vektora sa nenegativnim cjelobrojnim komponentama koje zadovoljavaju (0.1). U disertaciji će se distribucije oblika razmatrati kao distribucije vjerovatnoće na skupu vektora
P(%, N) = (r b..., r N)) = P(& = r„, u = 1,..., N\ & = n), (0.2) gdje je 6 > , lg - nezavisne nenegativne cjelobrojne slučajne varijable.
Distribucije oblika (0.2) u /24/ nazivaju se generalizovane šeme za postavljanje n čestica u N ćelija. Konkretno, ako su slučajne varijable b...,lr u (0.2) raspoređene prema Poissonovim zakonima sa parametrima Ai,...,Alr, respektivno, tada vektor h(n,N) ima polinomsku distribuciju sa vjerovatnoće ishoda
Ri = t--~t~> ^ = 1,---,^-
Li + ... + l^
Ako su slučajne varijable i> >&v u (0.2) identično raspoređene prema geometrijskom zakonu V(Zi = k)= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., gdje je p bilo koji u interval 0
Kao što je navedeno u /14/,/38/, posebno mjesto u testiranju hipoteza o raspodjeli vektora frekvencije h(n, N) = (hi,..., h^) u generaliziranim šemama za smještaj n čestica u N ćelija zauzimaju kriterijumi konstruisani na osnovu statistike oblika ad%,lo) = L(i (o.z)
Fk «%,%..;$, (0.4) gdje su /j/, v = 1,2,... i f neke funkcije realne vrijednosti,
Mg = E 1(K = g), g = 0,1,.... 1/=1
Količine // r u /27/ nazvane su brojem ćelija koje sadrže tačno r čestica.
Statistika oblika (0.3) u /30/ naziva se odvojiva (aditivno odvojiva) statistika. Ako funkcije /„ u (0.3) ne zavise od u, tada su takve statistike nazvane u /31/ simetričnim odvojivim statistikama.
Za bilo koje r, statistika /x r je simetrična odvojiva statistika. Od jednakosti
DM = DFg (0.5) slijedi da se klasa simetričnih odvojivih statistika od h u poklapa sa klasom linearnih funkcija fi r. Štaviše, klasa funkcija oblika (0.4) je šira od klase simetričnih odvojivih statistika.
H 0 = (Rao(n,A0) je niz jednostavnih nul hipoteza da je distribucija vektora h(n,N) (0.2), gdje su slučajne varijable i,...,ln i (0.2) identično raspoređeni i P(ti = k)=p k ,k = 0,l,2,..., parametri n, N se mijenjaju u centralnom području.
Razmotrimo neki P Ê (0,1) i niz, općenito govoreći, kompleksnih alternativa n = (H(n,N)) tako da postoji n
P(fm > OpAR)) >: 0-Odbacit ćemo hipotezu Hq(ti,N) ako je fm > a s m((3). Ako postoji granica jim ~1nP(0l > a n, N (P)) = ŠN ), gdje se vjerovatnoća za svako N izračunava pod hipotezom #o(n,iV), tada se vrijednost j (fi,lcl) naziva u /38/ indeksom kriterija φ u tački (/?, N). Posljednja granica možda, općenito govoreći, ne postoji. Stoga se u radu disertacije, pored indeksa kriterija, uzima u obzir i vrijednost lim (_IlnP(tor > a N (J3))) =if(P,P), koju autor disertacije analogno, naziva se indeksom kriterijuma φ u tački (/3,H) . Ovdje i ispod, lim adg, lim a# jV-uo LG-oo znače, respektivno, donju i gornju granicu niza (odg) za N -> yu,
Ako indeks kriterija postoji, onda se indeks kriterija podudara s njim. Donji indeks kriterija uvijek postoji. Što je veća vrijednost indeksa kriterija (subscript od kriterija), to je statistički kriterij u ovom smislu bolji. U /38/, riješen je problem konstruisanja kriterijuma saglasnosti za generalizovane rasporede sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma u klasi kriterijuma koji odbacuju hipotezu Ho(n,N) za gde je m > 0 neki fiksni broj, niz konstantne jedinice se biraju na osnovu datih vrijednosti snage kriterija za niz alternativa, ft t - realna funkcija od t + 1 argumenata.
Indeksi kriterija određeni su vjerovatnoćama velikih odstupanja. Kao što je pokazano u /38/, gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja odvojivih statistika kada je zadovoljen Cramerov uslov za slučajnu varijablu /() određena je odgovarajućim Kull-Bak-Leibler- Sanov informacijska udaljenost (slučajna varijabla q zadovoljava Cramerov uslov, ako je za neki # > 0 funkcija koja generiše moment Me f7? konačna u intervalu \t\
Ostalo je otvoreno pitanje vjerovatnoće velikih odstupanja statistike od neograničenog broja fi r, kao i proizvoljnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov. To nije omogućilo da se konačno riješi problem konstruiranja kriterija za testiranje hipoteza u generaliziranim shemama postavljanja s najvećom stopom težnje ka nuli vjerovatnoće greške tipa I sa približavanjem alternativama u klasi kriterija na osnovu statistike oblik (0.4). Relevantnost istraživanja disertacije određena je potrebom da se dovrši rješenje navedenog problema.
Svrha rada na disertaciji je da se konstruišu kriterijumi slaganja sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma (subscript od kriterijuma) za testiranje hipoteza u šemi selekcije bez povratka u klasu kriterijuma koji odbacuju hipotezu U(n, N) za 0(iv"iv"-""" o """)>CiV " (0 " 7) gdje je φ funkcija prebrojivog broja argumenata, a parametri n, N se mijenjaju u centralnom području.
U skladu sa svrhom istraživanja postavljeni su sljedeći zadaci: istražiti svojstva entropije i informacijske udaljenosti Kull-Bak - Leibler - Sanov za diskretne distribucije sa prebrojivim brojem ishoda; proučavanje vjerovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0,4); proučavati vjerovatnoće velikih odstupanja simetrične odvojive statistike (0.3) koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; - pronaći takvu statistiku da kriterijum dogovora konstruisan na osnovu njega za testiranje hipoteza u generalizovanim šemama plasmana ima najveću vrednost indeksa u klasi kriterijuma oblika (0,7).
Znanstvena novina: dat je koncept generalizirane metrike - funkcije koja dopušta beskonačne vrijednosti i zadovoljava aksiome identiteta, simetrije i nejednakosti trokuta. Pronađena je generalizirana metrika i naznačeni skupovi na kojima su funkcije entropije i informacijske udaljenosti, definirane na porodici diskretnih distribucija s prebrojivim brojem ishoda, kontinuirane u ovoj metrici; u generalizovanoj šemi postavljanja pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0.4), koja zadovoljava odgovarajući oblik Cramerovog uslova; u generalizovanoj šemi plasmana, pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; u klasi kriterijuma oblika (0.7) konstruiše se kriterijum sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma.
Naučna i praktična vrijednost. Rad rješava niz pitanja o ponašanju vjerovatnoća velikih odstupanja u generaliziranim shemama postavljanja. Dobijeni rezultati mogu se koristiti u obrazovnom procesu na specijalnostima matematička statistika i teorija informacija, u proučavanju statističkih postupaka za analizu diskretnih nizova, a korišćeni su u /3/, /21/ za opravdanje sigurnosti jednog klasa informacionih sistema. Odredbe iznesene za odbranu: svođenje problema testiranja hipoteze iz jednog niza boja kuglica od činjenice da se ovaj niz dobije kao rezultat izbora bez vraćanja do iscrpljivanja loptica iz urne koja sadrži kuglice dvije boje , a svaki takav izbor ima istu vjerovatnoću, za konstrukciju kriterija dogovora za testiranje hipoteza u odgovarajućem generaliziranom izgledu; kontinuitet entropijskih i Kullback-Leibler-Sanov informacijskih funkcija udaljenosti na beskonačno-dimenzionalnom simpleksu s uvedenom logaritamskom generaliziranom metrikom; teorema o gruboj (do logaritamske ekvivalencije) asimptotici vjerovatnosti velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov u generaliziranoj šemi smještaja u polueksponencijalnom slučaju; teorema o gruboj (do logaritamske ekvivalencije) asimptotici vjerovatnoća velikih odstupanja za statistiku oblika (0,4); - konstrukcija kriterijuma dobrosti uklapanja za testiranje hipoteza u generalizovanim izgledima sa najvećom vrednošću indeksa u klasi kriterijuma oblika (0,7).
Apromacija rada. Rezultati su predstavljeni na seminarima Katedre za diskretnu matematiku Matematičkog instituta im. V. A. Steklov RAS, odeljenje za bezbednost informacija ITM&VT po imenu. S. A. Lebedev RAS i na: petom sveruskom simpozijumu o primenjenoj i industrijskoj matematici. Proljetna sesija, Kislovodsk, 2. - 8. maj 2004; šesta međunarodna konferencija u Petrozavodsku "Probabilističke metode u diskretnoj matematici" 10. - 16. juna 2004.; Druga međunarodna konferencija "Informacioni sistemi i tehnologije (IST" 2004)", Minsk, 8. - 10. novembar 2004.;
Međunarodna konferencija "Savremeni problemi i novi trendovi u teoriji vjerovatnoće", Černivci, Ukrajina, 19. - 26. juna 2005.
Glavni rezultati rada korišćeni su u istraživačkom radu "Izvinjenje", koji je sproveo ITMiVT RAS. S. A. Lebedeva u interesu Federalne službe za tehničku i izvoznu kontrolu Ruske Federacije, a uključeni su u izvještaj o realizaciji faze istraživanja /21/. Neki rezultati disertacije uključeni su u istraživački izvještaj "Razvoj matematičkih problema kriptografije" Akademije kriptografije Ruske Federacije za 2004. godinu /22/.
Autor izražava duboku zahvalnost naučnom rukovodiocu, doktoru fizičko-matematičkih nauka A. F. Ronžinu i naučnom savetniku, doktoru fizičko-matematičkih nauka, višem istraživaču A. V. Knjazevu. Autor se zahvaljuje doktoru fizičko-matematičkih nauka, profesoru Zubkovu A. M. i kandidatu fizičko-matematičkih nauka matematičkih nauka I. A. Kruglovu na pažnji prema radu i nizu vrijednih komentara.
Struktura i sadržaj rada.
Prvo poglavlje ispituje svojstva entropije i informacijske udaljenosti za distribucije na skupu nenegativnih cijelih brojeva.
U prvom pasusu prvog poglavlja uvode se oznake i daju se potrebne definicije. Posebno se koristi sljedeća notacija: x = (:ro,i, ---) - beskonačno-dimenzionalni vektor sa prebrojivim brojem komponenti;
N(h) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (x 0,x 1,...,x t,0,0,...); SI* = (x, x u > 0, u = 0,1,..., E~ o x„ 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1); fi 7 = (x Ê O, L 0 vx v = 7); %] = (hÊP,Éo»h i
16 mí = e o ** v \ &c = Ue>1 | 5 ê Q 7) o
Jasno je da skup Vt odgovara porodici distribucija vjerovatnoće na skupu nenegativnih cijelih brojeva, P 7 - porodici distribucija vjerovatnoće na skupu nenegativnih cijelih brojeva sa matematičkim očekivanjem 7 - Ako je y Ê Q, tada će za ê > 0 skup biti označen sa O e (y)
Oê(u) - (h eO,x v
U drugom pasusu prvog poglavlja dokazana je teorema o ograničenosti entropije diskretnih distribucija sa ograničenim matematičkim očekivanjem.
Teorema 1. O ograničenosti entropije diskretnih distribucija s ograničenim matematičkim očekivanjem. Za bilo koji armirani beton 7
Ako x Ê fi 7 odgovara geometrijskoj distribuciji sa matematičkom distribucijom 7; to je
7 x„ = (1- r)r\ v = 0.1,..., gdje je r = --,
1 + 7 onda vrijedi jednakost H(x) = F(1).
Izjava teoreme može se posmatrati kao rezultat formalne primjene Lagrangeove metode uvjetnih množitelja u slučaju beskonačnog broja varijabli. Teorema da je jedina raspodjela na skupu (k, k + 1, k + 2,...) sa datim matematičkim očekivanjem i maksimalnom entropijom geometrijska raspodjela sa datim matematičkim očekivanjem data je (bez dokaza) u /47 /. Autor je, međutim, dao strogi dokaz.
Treći paragraf prvog poglavlja daje definiciju generalizovane metrike – metrike koja dozvoljava beskonačne vrednosti.
Za x,y Ê Gi funkcija p(x,y) je definirana kao minimum ê > O sa svojstvom y v e~ e
Ako takav ê ne postoji, onda se pretpostavlja da je p(x,y) = oo.
Dokazano je da je funkcija p(x,y) generalizirana metrika na familiji distribucija na skupu nenegativnih cijelih brojeva, kao i na cijelom skupu Ci*. Umjesto e u definiciji metrike p(x,y), možete koristiti bilo koji drugi pozitivan broj osim 1. Rezultirajuća metrika će se razlikovati po multiplikativnoj konstanti. Označimo sa J(x, y) informacijsku udaljenost
Ovdje i ispod pretpostavlja se da je 0 In 0 = 0.01n ^ = 0. Informacijska udaljenost je definirana za takve x, y da je x v - 0 za sve i takvo da je y v = 0. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada ćemo pretpostavimo da je J (S,y) = co. Neka A C $1. Tada ćemo označiti J(Ay)="mU(x,y).
Stavimo J(Jb,y) = 00.
U četvrtom pasusu prvog poglavlja data je definicija kompaktnosti funkcija definiranih na skupu P*. Kompaktnost funkcije sa prebrojivim brojem argumenata znači da se sa bilo kojim stepenom tačnosti vrednost funkcije može aproksimirati vrednostima ove funkcije u tačkama u kojima je samo konačan broj argumenata različit od nule. Dokazana je kompaktnost funkcija entropije i informacijske udaljenosti.
Za bilo koje 0
Ako je za neki 0 0 funkcija \(x) = J(x,p) kompaktna na skupu 7 ] P O g (p).
Peti paragraf prvog poglavlja razmatra svojstva informacijske udaljenosti definirane na beskonačno-dimenzionalnom prostoru. U poređenju sa konačnodimenzionalnim slučajem, situacija s kontinuitetom funkcije informacijske udaljenosti se kvalitativno mijenja. Pokazano je da funkcija udaljenosti informacija nije kontinuirana na skupu G2 ni u jednoj metrici pi(,y)= E|z„-i/„|, (
00 \ 2 p 2 (x,y) = sup (x^-ij^.
Za entropijske funkcije H(x) i informacijsku udaljenost J(x,p) dokazana je valjanost sljedećih nejednakosti:
1. Za bilo koje x, x" Ê fi \H(x) - H(x")\
2. Ako za neko h,r ê P postoji ê > 0 tako da je hê O ê (r), onda za bilo koje X í Ê Q \J(x,p) - J(x,p)\
Iz ovih nejednakosti, uzimajući u obzir teoremu 1, slijedi da su funkcije entropije i informacijske udaljenosti uniformno kontinuirane na odgovarajućim podskupovima fi u metrici p(x,y), naime,
Za bilo koje 7 takvih da je 0
Ako za nekih 7o, O
20 onda je za bilo koje 0 0 funkcija \p(x) = J(x t p) uniformno neprekidna na skupu 7 ] P O ê (p) u metrici p(x,y).
Dana je definicija neekstremalne funkcije. Neekstremalni uvjet znači da funkcija nema lokalne ekstreme, ili funkcija uzima iste vrijednosti na lokalnim minimumima (lokalni maksimumi). Neekstremno stanje slabi zahtjev odsustva lokalnih ekstrema. Na primjer, funkcija sin x na skupu realnih brojeva ima lokalne ekstreme, ali zadovoljava neekstremalni uvjet.
Neka je za neko 7 > 0, oblast A data uslovom
A = (hÊÍ̈1 1 ,f(h) >a), (0.9) gdje je F(h) funkcija realne vrijednosti, a neka realna konstanta, inf F(h)
I 3y, postavilo se pitanje, n P „ pod kojim uslovima „a „ φ za i_ „ara- q metara n, N u centralnom regionu, ^ -> 7, za sve njihove dovoljno velike vrednosti biće takvih ne -negativni cijeli brojevi ko, k\, ..., k n, što ko + hi + ... + k n = N,
21 k\ + 2/... + nk n - N
Kq k\ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -
Dokazano je da je za to dovoljno zahtijevati da funkcija φ bude neekstremalna, kompaktna i kontinuirana u metrici p(x,y), kao i da za barem jednu tačku x koja zadovoljava (0.9), za neki ê > 0 postoji konačan moment stepena 1 + ê Ml + = í 1+ê x i 0 za bilo koje u = 0,1,....
U drugom poglavlju proučavamo grubu (do logaritamske ekvivalencije) asimptotiku vjerovatnoće velikih odstupanja funkcija od D = (fio,..., cn, 0,...) - broja ćelija sa datim popunjavanje centralnog područja varijacije parametara N,n . Gruba asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja dovoljna je za proučavanje indeksa kriterija dobrote uklapanja.
Neka su slučajne varijable ^ u (0.2) identično raspoređene i
R(Sí = k)=rʹk = 0.1,... > P(z) - generirajuća funkcija slučajne varijable i - konvergira u krug radijusa 1
22 Označimo p(.) = (p(ad = o),P№) = i),...).
Ako postoji rješenje z 1 jednačine
M(*) = 7, onda je jedinstven /38/. U nastavku ćemo pretpostaviti da je Pjfc>0,fc = 0,l,....
U prvom pasusu prvog paragrafa drugog poglavlja nalazi se asimptotika logaritama vjerovatnoća oblika -m^1nP(th) = ^,...,/ = K)-
Dokazana je sljedeća teorema.
Teorema 2. Gruba lokalna teorema o vjerovatnoći velikih odstupanja. Neka je n, N -* co tako da je - ->7>0
Izjava teoreme proizilazi direktno iz formule za zajedničku distribuciju /to, A*b / u /26/ i sljedeće procjene: ako nenegativne cjelobrojne vrijednosti fii,fi2,/ zadovoljavaju uvjet /I1 + 2 // 2 + ... + 71/ = 71, tada je broj nenultih vrijednosti među njima 0 (l/n). Ovo je gruba procjena i ne tvrdi se da je nova. Broj τ različitih od nule u generalizovanim shemama rasporeda ne prelazi vrijednost maksimalnog punjenja ćelija, koja u centralnom području, s vjerovatnoćom koja teži 1, ne prelazi vrijednost 0(\n) /25/, /27/. Ipak, rezultirajuća procjena 0(y/n) zadovoljava vjerovatnoću 1 i dovoljna je da dobije grubu asimptotiku.
U drugom pasusu prvog paragrafa drugog poglavlja nalazi se vrijednost granice gdje je adg niz realnih brojeva koji konvergiraju nekom a Ê R, φ(x) je funkcija realne vrijednosti. Dokazana je sljedeća teorema.
Teorema 3. Gruba integralna teorema o vjerovatnoćama velikih odstupanja. Neka su ispunjeni uslovi teoreme 2, za neki r > 0, (> 0) realna funkcija φ(x) je kompaktna i uniformno neprekidna u metrici p na skupu
A = 0 rH (p(r 1))nP bn] i zadovoljava uslov neekstremalnosti na skupu G2 7 . Ako je za neku konstantu a takvu da je inf f(x)
24 postoji vektor p a fi 7 P 0 r (p(z 7)); takav da
F(ra) > a J(( (x) >a,hÊ P 7 ),r(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo za bilo koji niz a^ koji konvergira na a, ^ -^\nP(f(^,^,...)>a m) = Pr a,p(r,)). (0,11)
Uz dodatna ograničenja na funkciju φ(x), informacijska udaljenost J(pa,P(zy)) u (2.3) može se preciznije izračunati. Naime, tačna je sljedeća teorema. Teorema 4. O informacijskoj udaljenosti. Neka za nekih 0
Bilo da je neka r > 0, C > 0, realna funkcija φ(x) i njeni parcijalni derivati prvog reda kompaktni i uniformno kontinuirani u generaliziranoj metrici p(x, y) na skupu
A = O g (p)PP bn] , postoji T > 0, R > 0 takvi da je za sve \t\ O p v v 1+ z u exp(i--ph(x))
0(p(gaL)) = a, / h X v \Z,t) T, u= oX LJ (Z,t)
Tada je p(z a , t a) Ê ft, u J((z Ê L,0(z) = a),r) = J(p(z a ,t a),p) d _ 9 = 7111 + t a «-^ OFaL)) - U 2Wexp( a --0(p(g a,i a))). j/=0 CnEi/ ^_o CX(/
Ako je funkcija f(x) linearna funkcija, a funkcija fix) je definirana pomoću jednakosti (0.5), tada se uvjet (0.12) pretvara u Cramerov uvjet za slučajnu varijablu f(,(z)). Uslov (0.13) je oblik uslova (0.10) i koristi se za dokazivanje prisutnosti u domenima oblika (x Ê G2, φ(x) > a) najmanje jedne tačke iz 0(n, N) za sve dovoljno veliko n, N.
Neka je v ()(n,iV) = (/gí,...,/ijv) vektor frekvencije u generaliziranom rasporedu (0.2). Kao posledica teorema 3 i 4, formulisana je sledeća teorema.
Teorema 5. Gruba integralna teorema o vjerovatnoćama velikih odstupanja simetrične odvojive statistike u generaliziranoj šemi smještaja.
Neka je n, N -> co tako da je jfr - 7» 0 0,R > 0 tako da je za sve \t\ Tada za bilo koji niz a# koji konvergira u a, 1 iv =
Ovu teoremu je prvi dokazao A.F. Ronzhin u /38/ koristeći metodu sedla.
U drugom pasusu drugog poglavlja, proučavaju se vjerovatnoće velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanom položaju cxj^iax u slučaju neuspjeha da se zadovolji Cramerov uslov za slučajnu varijablu /((z)). Cramerov uslov za slučajnu varijablu f(,(z)) nije zadovoljen, posebno ako je (z) Poissonova slučajna varijabla i /(x) = x 2. Imajte na umu da je Cramerov uslov za samu odvojivu statistiku u generaliziranim shemama alokacije uvijek zadovoljen, budući da je za bilo koje fiksno n, N broj mogućih ishoda u ovim šemama konačan.
Kako je navedeno u /2/, ako nije zadovoljen Cramerov uslov, tada je za pronalaženje asimptotike vjerovatnoća velikih odstupanja suma identično raspoređenih slučajnih varijabli potrebno ispuniti dodatne uslove za ispravnu promjenu raspodjele. termina. Rad (razmatra slučaj koji odgovara ispunjenju uslova (3) u /2/, tj. sedmoeksponencijalni slučaj. Neka je P(i = k) > O za sve
28 k = 0.1,... i funkcija p(k) = -\nP(^ = k), može se nastaviti na funkciju kontinuiranog argumenta - redovno promjenjivu funkciju reda p, 0 oo P(tx) , r v P(t )
Neka funkcija f(x) za dovoljno velike vrijednosti argumenta bude pozitivna, striktno rastuća, redovno promjenjiva funkcija reda d>1,^ Na ostatku brojevne ose
Zatim s. V. /(i) ima momente bilo kojeg reda i ne zadovoljava Cramerov uslov, ip(x) = o(x) kao x -> oo, a vrijedi sljedeća teorema 6. Neka je funkcija ip(x) monotono neopadajuća za dovoljno veliki x, funkcija ^p ne raste monotono, n, N --> oo tako da je jf - A, 0 b(z\), gdje je b(z) = M/(1(2)), postoji je granica l(n,lg)) > cN] = "(c ~ b(zx))l b""í̈
Iz teoreme b slijedi da ako Cramerov uvjet nije zadovoljen, granica (^ lim ~\nP(L N (h(n,N)) > cN) = 0, "" Dv
L/-too iV i što dokazuje valjanost hipoteze izražene u /39/. Dakle, vrijednost indeksa kriterija dogovora u generaliziranim šemama plasmana -^ kada nije ispunjen Cramerov uslov uvijek je jednaka nuli. U ovom slučaju, u klasi kriterijuma, kada je Cramerov uslov zadovoljen, konstruišu se kriterijumi sa nenultom vrednošću indeksa. Iz ovoga možemo zaključiti da korištenjem kriterija čija statistika ne zadovoljava Cramerov uvjet, na primjer, hi-kvadrat test u polinomskoj shemi, konstruirati testove dobrote uklapanja za testiranje hipoteza za nekonvergentne alternative u naznačenom smislu je asimptotski neefikasna. Sličan zaključak donesen je u /54/ na osnovu rezultata poređenja statistike hi-kvadrata i maksimalne vjerovatnoće u polinomskoj šemi.
Treće poglavlje rješava problem konstruiranja kriterija dobrote uklapanja s najvećom vrijednošću indeksa kriterija (najvećom vrijednošću indeksa kriterija) za testiranje hipoteza u generaliziranim šemama postavljanja. Na osnovu rezultata prvog i drugog poglavlja o svojstvima entropijskih funkcija, informacijskoj udaljenosti i vjerovatnoćama velikih odstupanja, u trećem poglavlju je pronađena funkcija oblika (0.4) tako da je konstruiran kriterij dobrote na svojoj osnovi ima najveću vrijednost egzaktnog indeksa u klasi kriterija koji se razmatra. Dokazana je sljedeća teorema. Teorema 7. O postojanju indeksa. Neka su ispunjeni uslovi teoreme 3, 0 ,... - niz alternativnih distribucija, 0^(/3, iV) - maksimalni broj za koji je, pod hipotezom NR (lo, nejednakost
P(φ(^^,...)>a φ (P,M))>(3, postoji granica limjv-»oo o>φ(P, N) - a. Tada u tački (/3 , N) postoji kriterijski indeks f
Zff,K) = 3((φ(x) >a,xe ZD.P^)).
U ovom slučaju, zf(0,th)N NP(e(2 7) = fc)"
U Zaključku se iznose dobijeni rezultati u njihovom odnosu sa opštim ciljem i konkretnim zadacima postavljenim u disertaciji, formulišu se zaključci na osnovu rezultata istraživanja disertacije, ukazuje se na naučnu novinu, teorijsku i praktičnu vrednost rada, kao i specifične naučnih zadataka koje je autor identifikovao i čije se rešavanje čini relevantnim.
Kratak pregled literature na temu istraživanja.
U radu se ispituje problem konstruisanja kriterijuma saglasnosti u generalizovanim šemama postavljanja sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma u klasi funkcija oblika (0.4) sa nekonvergirajućim alternativama.
Generalizirane sheme rasporeda uveo je V.F. Kolchin u /24/. Veličine fi r u polinomskoj shemi nazvane su brojem ćelija sa r peletama i detaljno su proučavane u monografiji V. F. Kolčina, B. A. Sevastjanova, V. P. Čistjakova /27/. Vrijednosti \i r u generaliziranim rasporedima proučavao je V.F. Kolchin u /25/, /26/. Statistiku oblika (0,3) prvi je razmatrao Yu. I. Medvedev u /30/ i nazvana je odvojiva (aditivno odvojiva) statistika. Ako funkcije /„ u (0.3) ne zavise od u, takve statistike su nazvane u /31/ simetričnim odvojivim statistikama. Asimptotičko ponašanje momenata odvojivih statistika u generalizovanim alokacionim šemama dobio je G. I. Ivčenko u /9/. Granične teoreme za generalizovanu shemu rasporeda takođe su razmatrane u /23/. Preglede rezultata graničnih teorema i kriterijuma saglasnosti u diskretnim verovatnoćastim šemama tipa (0.2) dali su V. A. Ivanov, G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev u /8/ i G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin u /14/. Kriterijume sporazuma za generalizovane rasporede razmatrao je A.F. Ronzhin u /38/.
Poređenje svojstava statističkih kriterijuma u ovim radovima izvršeno je sa stanovišta relativne asimptotske efikasnosti. Razmatran je slučaj konvergirajućih (kontigualnih) hipoteza - efikasnost u smislu Pitmana i nekonvergentne hipoteze - efikasnost u smislu Bahadura, Hodgesa - Lehmana i Chernova. Odnos između različitih tipova statističkih testova relativnih performansi razmatra se, na primjer, u /49/. Kao što slijedi iz rezultata Yu. I. Medvedeva u /31/ o raspodjeli odvojivih statistika u polinomskoj šemi, kriterij zasnovan na hi-kvadrat statistici ima najveću asimptotičku snagu pod konvergentnim hipotezama u klasi odvojivih statistika o frekvencije ishoda u polinomskoj šemi. Ovaj rezultat je generalizovao A.F. Ronzhin za kola tipa (0.2) u /38/. I. I. Viktorova i V. P. Čistjakov u /4/ konstruisali su optimalni kriterijum za polinomsku šemu u klasi linearnih funkcija od fi r. A.F. Ronzhin u /38/ je konstruisao kriterijum koji, s obzirom na niz alternativa koje nisu bliske nultoj hipotezi, minimizira logaritamsku stopu pri kojoj verovatnoća greške prve vrste teži nuli, u klasi statistike oblik (0.6). Poređenje relativne performanse hi-kvadrata i statistike omjera maksimalne vjerovatnoće prema približnim i neaproksimativnim hipotezama izvršeno je u /54/. U tezi je razmatran slučaj nekonvergirajućih hipoteza. Proučavanje relativne statističke efikasnosti kriterijuma pod nekonvergentnim hipotezama zahteva proučavanje verovatnoće izuzetno velikih odstupanja - reda 0(u/n). Prvi put je takav problem za polinomsku distribuciju sa fiksnim brojem ishoda riješio I. N. Sanov u /40/. U /48/ je razmatrana asimptotička optimalnost testova dobrosti za testiranje jednostavnih i složenih hipoteza za multinomijalnu distribuciju u slučaju konačnog broja ishoda sa nekonvergirajućim alternativama. Svojstva informacione distance su prethodno razmatrali Kullback, Leibler /29/,/53/ i I. II. Sanov /40/, kao i Hoeffding /48/. U ovim radovima razmatran je kontinuitet informacijske udaljenosti na konačnodimenzionalnim prostorima u euklidskoj metrici. Jedan broj autora razmatrao je niz prostora sa rastućom dimenzijom, na primjer, u radu Yu. V. Prokhorova /37/ ili u radu V. I. Bogacheva, A. V. Kolesnikova /1/. Grube (do logaritamske ekvivalencije) teoreme o vjerovatnoćama velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanim šemama plasmana pod Cramerovim uslovom dobio je A. F. Roizhin u /38/. A. N. Timashev u /42/,/43/ dobio je tačne (do ekvivalencije) višedimenzionalne integralne i lokalne granične teoreme o vjerovatnoćama velikih odstupanja vektora fir^n, N),..., fi rs (n,N) , gdje su s, gi,..., r s fiksni cijeli brojevi,
Statističke probleme testiranja hipoteza i procene parametara u šemi selekcije bez povratka u nešto drugačijoj formulaciji razmatrali su G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, gde su problemi procene rešavani za konačnu populaciju, kada je broj njegovih elemenata je nepoznata veličina, dokazana je asimptotička normalnost multivarijantne S - statistike iz s nezavisnih uzoraka u šemi selekcije bez reverzije. Problem proučavanja slučajnih varijabli povezanih sa ponavljanjima u nizovima nezavisnih ispitivanja proučavali su A. M. Zubkov, V. G. Mihajlov, A. M. Šoitov u /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Analizu glavnih statističkih problema procene i testiranja hipoteza u okviru opšteg modela Markov-Pólya izvršili su G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev u /13/, čija je probabilistička analiza data u /11 /. Metoda za specificiranje neuniformnih mjera vjerovatnoće na skupu kombinatornih objekata, koja nije svodiva na generalizovanu šemu smještaja (0.2), opisana je u G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Brojne probleme u teoriji vjerovatnoće, u kojima se odgovor može dobiti kao rezultat proračuna pomoću rekurentnih formula, ukazuje A. M. Zubkov u /5/.
Nejednakosti za entropiju diskretnih distribucija dobijene su u /50/ (citirano iz sažetka A. M. Zubkova u RZhMat). Ako je (p n )Lo distribucija vjerovatnoće,
Rp = E Rk, k=p A = supp^Pn+i
I + (In -f-) (X Rn - R n+1)
Rp= (x f 1)n+v n>Q. (0.15)
Imajte na umu da je ekstremna distribucija (0.15) geometrijska distribucija sa matematičkim očekivanjem A, a funkcija F(X) parametra (0.14) poklapa se sa funkcijom matematičkog očekivanja u teoremi 1.
Entropija diskretnih distribucija s ograničenim matematičkim očekivanjem
Ako indeks kriterija postoji, onda se indeks kriterija podudara s njim. Donji indeks kriterija uvijek postoji. Što je veća vrijednost indeksa kriterija (subscript od kriterija), to je statistički kriterij u ovom smislu bolji. U /38/, riješen je problem konstruisanja kriterijuma slaganja za generalizovane rasporede sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma u klasi kriterijuma koji odbacuju hipotezu Ho(n,N) za gde je m 0 neki fiksni broj, niz konstantnih jedinica se bira na osnovu date vrijednosti snage kriterija za niz alternativa, ft - realna funkcija od m + 1 argumenata.
Indeksi kriterija određeni su vjerovatnoćama velikih odstupanja. Kao što je pokazano u /38/, gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja odvojivih statistika kada je zadovoljen Cramerov uslov za slučajnu varijablu /() određena je odgovarajućim Kull-Bak-Leibler- Sanov informacijska udaljenost (slučajna varijabla q zadovoljava Cramerov uslov, ako je za neki # 0 generirajuća funkcija momenata Mef7? konačna u intervalu \t\ H /28/).
Ostalo je otvoreno pitanje vjerovatnoće velikih odstupanja statistike od neograničenog broja jele, kao i proizvoljnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov. To nije omogućilo da se konačno riješi problem konstruiranja kriterija za testiranje hipoteza u generaliziranim shemama postavljanja s najvećom stopom težnje ka nuli vjerovatnoće greške tipa I sa približavanjem alternativama u klasi kriterija na osnovu statistike oblik (0.4). Relevantnost istraživanja disertacije određena je potrebom da se dovrši rješenje navedenog problema.
Svrha rada na disertaciji je da se konstruišu kriterijumi slaganja sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma (subscript od kriterijuma) za testiranje hipoteza u šemi selekcije bez povratka u klasu kriterijuma koji odbacuju hipotezu U(n, N) za gdje je φ funkcija prebrojivog broja argumenata, a parametri n, N se mijenjaju u središnjem području. U skladu sa svrhom istraživanja postavljeni su sljedeći zadaci: - proučavanje svojstava entropije i informacijske distance Kull-Bak - Leibler - Sanov za diskretne distribucije sa prebrojivim brojem ishoda; - proučavanje vjerovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0,4); - proučavanje vjerovatnoće velikih devijacija simetrične odvojive statistike (0.3) koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; - pronaći takvu statistiku da kriterijum dogovora konstruisan na osnovu njega za testiranje hipoteza u generalizovanim šemama plasmana ima najveću vrednost indeksa u klasi kriterijuma oblika (0,7). Znanstvena novina: - dat je koncept generalizirane metrike - funkcija koja dopušta beskonačne vrijednosti i zadovoljava aksiome identiteta, simetrije i nejednakosti trokuta. Pronađena je generalizirana metrika i naznačeni skupovi na kojima su funkcije entropije i informacijske udaljenosti, definirane na porodici diskretnih distribucija s prebrojivim brojem ishoda, kontinuirane u ovoj metrici; - u generalizovanoj šemi plasmana pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0.4), koja zadovoljava odgovarajući oblik Cramerovog uslova; - u generalizovanoj šemi plasmana pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; - u klasi kriterijuma oblika (0,7) konstruiše se kriterijum sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma. Naučna i praktična vrijednost. Rad rješava niz pitanja o ponašanju vjerovatnoća velikih odstupanja u generaliziranim shemama postavljanja. Dobijeni rezultati mogu se koristiti u obrazovnom procesu na specijalnostima matematička statistika i teorija informacija, u proučavanju statističkih postupaka za analizu diskretnih nizova, a korišćeni su u /3/, /21/ za opravdanje sigurnosti jednog klasa informacionih sistema. Odredbe dostavljene u odbranu: - smanjenje problema testiranja hipoteze iz jednog niza boja kuglica sa činjenice da se ovaj niz dobije kao rezultat izbora bez vraćanja do iscrpljivanja loptica iz urne koja sadrži kuglice od dvije boje, a svaki takav izbor ima istu vjerovatnoću, na konstrukciju slaganja kriterijuma za testiranje hipoteza u odgovarajućem generalizovanom rasporedu; - kontinuitet entropijske i Kullback-Leibler-Sanov informacijske funkcije udaljenosti na beskonačno-dimenzionalnom simpleksu s uvedenom logaritamskom generaliziranom metrikom; - teorema o gruboj (do logaritamske ekvivalencije) asimptotici vjerovatnoća velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov u generaliziranoj šemi smještaja u polueksponencijalnom slučaju;
Kontinuitet informacione distance Kullback - Leibler - Sanov
Generalizirane sheme rasporeda uveo je V.F. Kolchin u /24/. Količine fir u polinomskoj shemi nazvane su broj ćelija sa r peleta i detaljno su obrađene u monografiji V. F. Kolčina, B. A. Sevastjanova, V. P. Čistjakova /27/. Vrijednosti \ír u generaliziranim rasporedima proučavao je V.F. Kolchin u /25/,/26/. Statistiku oblika (0,3) prvi je razmatrao Yu. I. Medvedev u /30/ i nazvana je odvojiva (aditivno odvojiva) statistika. Ako funkcije /„ u (0.3) ne zavise od u, takve statistike su nazvane u /31/ simetričnim odvojivim statistikama. Asimptotičko ponašanje momenata odvojivih statistika u generalizovanim alokacionim šemama dobio je G. I. Ivčenko u /9/. Granične teoreme za generalizovanu shemu rasporeda takođe su razmatrane u /23/. Preglede rezultata graničnih teorema i kriterijuma saglasnosti u diskretnim verovatnoćastim šemama tipa (0.2) dali su V. A. Ivanov, G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev u /8/ i G. I. Ivčenko, Yu. I. Medvedev, A. F. Ronžin u /14/. Kriterijume sporazuma za generalizovane rasporede razmatrao je A.F. Ronzhin u /38/.
Poređenje svojstava statističkih kriterijuma u ovim radovima izvršeno je sa stanovišta relativne asimptotske efikasnosti. Razmatran je slučaj konvergirajućih (kontigualnih) hipoteza - efikasnost u smislu Pitmana i nekonvergentne hipoteze - efikasnost u smislu Bahadura, Hodgesa - Lehmana i Chernova. Odnos između različitih tipova statističkih testova relativnih performansi razmatra se, na primjer, u /49/. Kao što slijedi iz rezultata Yu. I. Medvedeva u /31/ o raspodjeli odvojivih statistika u polinomskoj šemi, najveću asimptotičku moć pod konvergentnim hipotezama u klasi odvojivih statistika o učestalostima ishoda u polinomskoj shemi ima kriterijum zasnovan na hi-kvadrat statistici. Ovaj rezultat je generalizovao A.F. Ronzhin za kola tipa (0.2) u /38/. I. I. Viktorova i V. P. Čistjakov u /4/ konstruisali su optimalni kriterijum za polinomsku šemu u klasi linearnih funkcija fir. A.F. Ronzhin u /38/ je konstruisao kriterijum koji, s obzirom na niz alternativa koje nisu bliske nultoj hipotezi, minimizira logaritamsku stopu pri kojoj verovatnoća greške prve vrste teži nuli, u klasi statistike oblik (0.6). Poređenje relativne performanse hi-kvadrata i statistike omjera maksimalne vjerovatnoće prema približnim i neaproksimativnim hipotezama izvršeno je u /54/. U tezi je razmatran slučaj nekonvergirajućih hipoteza. Proučavanje relativne statističke efikasnosti kriterijuma pod nekonvergentnim hipotezama zahteva proučavanje verovatnoće izuzetno velikih odstupanja - reda 0(u/n). Prvi put je takav problem za polinomsku distribuciju sa fiksnim brojem ishoda riješio I. N. Sanov u /40/. U /48/ je razmatrana asimptotička optimalnost testova dobrosti za testiranje jednostavnih i složenih hipoteza za multinomijalnu distribuciju u slučaju konačnog broja ishoda sa nekonvergirajućim alternativama. Svojstva informacione distance su prethodno razmatrali Kullback, Leibler /29/,/53/ i I. II. Sanov /40/, kao i Hoeffding /48/. U ovim radovima razmatran je kontinuitet informacijske udaljenosti na konačnodimenzionalnim prostorima u euklidskoj metrici. Jedan broj autora razmatrao je niz prostora sa rastućom dimenzijom, na primjer, u radu Yu. V. Prokhorova /37/ ili u radu V. I. Bogacheva, A. V. Kolesnikova /1/. Grube (do logaritamske ekvivalencije) teoreme o vjerovatnoći velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanim šemama plasmana pod Cramerovim uslovom dobio je A. F. Roizhin u /38/. A. N. Timashev u /42/,/43/ dobio je egzaktne (do ekvivalencije) višedimenzionalne integralne i lokalne granične teoreme o vjerovatnoćama velikih odstupanja vektora
Proučavanje vjerovatnoća velikih odstupanja kada nije ispunjen Cramerov uslov za slučaj nezavisnih slučajnih varijabli sprovedeno je u radovima A. V. Nagaeva /35/. Metodu konjugiranih raspodjela opisuje Feller /45/.
Statističke probleme testiranja hipoteza i procene parametara u šemi selekcije bez povratka u nešto drugačijoj formulaciji razmatrali su G. I. Ivčenko, V. V. Levin, E. E. Timonina /10/, /15/, gde su problemi procene rešavani za konačnu populaciju, kada je broj njegovih elemenata je nepoznata veličina, dokazana je asimptotička normalnost multivarijantne S - statistike iz s nezavisnih uzoraka u šemi selekcije bez reverzije. Problem proučavanja slučajnih varijabli povezanih sa ponavljanjima u nizovima nezavisnih ispitivanja proučavali su A. M. Zubkov, V. G. Mihajlov, A. M. Šoitov u /6/, /7/, /32/, /33/, /34/ . Analizu glavnih statističkih problema procene i testiranja hipoteza u okviru opšteg modela Markov-Pólya izvršili su G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev u /13/, čija je probabilistička analiza data u /11 /. Metoda za specificiranje neuniformnih mjera vjerovatnoće na skupu kombinatornih objekata, koja nije svodiva na generalizovanu šemu smještaja (0.2), opisana je u G. I. Ivchenko, Yu. I. Medvedev /12/. Brojne probleme u teoriji vjerovatnoće, u kojima se odgovor može dobiti kao rezultat proračuna pomoću rekurentnih formula, ukazuje A. M. Zubkov u /5/.
Informacijska udaljenost i vjerovatnoće velikih odstupanja odvojivih statistika
Kada Cramerov uslov nije zadovoljen, velika odstupanja odvojivih statistika u generalizovanoj šemi plasmana u razmatranom sedmoeksponencijalnom slučaju određena su verovatnoćom odstupanja jednog nezavisnog člana. Kada je Cramerov uslov zadovoljen, to, kako je naglašeno u /39/, nije slučaj. Napomena 10. Funkcija φ(x) je takva da je matematičko očekivanje njenog AN) konačno za 0 t 1 i beskonačno za t 1. Napomena 11. Za odvojive statistike koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov, granica (2.14) je jednako 0, što dokazuje valjanost hipoteze , izražene u /39/. Napomena 12. Za statistiku hi-kvadrat u polinomskoj šemi za n, ./V - co tako da je - A, iz teoreme odmah slijedi da je ovaj rezultat dobijen u /54/ direktno. U ovom poglavlju, u središnjem području promjena parametara generaliziranih shema smještaja čestica u ćelijama, gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja aditivno odvojivih statistika od broja ćelija i funkcija od broja ćelija pronađene su ćelije sa datim punjenjem.
Ako je Cramerov uslov zadovoljen, onda je gruba asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja određena grubom asimptotikom vjerovatnoća ulaska u niz tačaka sa racionalnim koordinatama, konvergirajući u gornjem smislu do tačke u kojoj je ekstremum od je dostignuta odgovarajuća informacijska udaljenost.
Razmatran je sedmoeksponencijalni slučaj neispunjavanja Cramerovog uslova za slučajne varijable f(i),..., f(n), pri čemu su b, kr nezavisne slučajne varijable koje generišu generalizovanu šemu dekompozicije (0.2), f (k) je funkcija u definiciji simetrične aditivno odvojive statistike u (0.3). Odnosno, pretpostavljeno je da se funkcije p(k) = - lnP(i = k) i f(k) mogu proširiti na redovno promjenjive funkcije kontinuiranog argumenta reda p 0 i q 0, odnosno p q. Pokazalo se da glavni doprinos gruboj asimptotici verovatnoća velikih odstupanja odvojivih statistika u generalizovanim šemama postavljanja na sličan način daje gruba asimptotika verovatnoće jonizacije u odgovarajućem nizu tačaka. Zanimljivo je napomenuti da je ranije teorema o vjerovatnoći velikih odstupanja za odvojive statistike dokazana metodom sedla, pri čemu je glavni doprinos asimptotici dala jedna sedla. Slučaj u kojem, ako Cramerov uvjet nije ispunjen, 2-kN uvjet nije zadovoljen, ostaje neistražen.
Ako Cramerov uslov nije zadovoljen, onda navedeni uslov možda neće biti zadovoljen samo u slučaju p 1. Kao što direktno sledi iz logaritma odgovarajućih verovatnoća, za Poissonovu raspodelu i geometrijsku raspodelu p = 1. Iz rezultata o asimptotici verovatnoća velikih odstupanja kada nije ispunjen Cramerov uslov, možemo zaključiti da kriterijumi čija statistika ne zadovoljava Cramerov uslov imaju značajno nižu stopu tendencije ka nuli verovatnoće greške drugi tip sa fiksnom vjerovatnoćom greške prve vrste i nekonvergirajućim alternativama u poređenju sa kriterijima čija statistika zadovoljava Cramerov uslov. Neka se izvrši odabir iz urne koja sadrži N - 1 1 bijelih ip-JV 1 crnih kuglica bez vraćanja do potpune iscrpljenosti. Povezujemo mjesta bijelih kuglica u izboru 1 i\ ... r -i n - 1 sa nizom udaljenosti između susjednih bijelih kuglica hi,...,h na sljedeći način: Tada je hv l,v =1,.. ,N,M EjLi i/ - n- Definirajmo distribuciju vjerovatnoće na skupu vektora h = (hi,...,Lg) postavljanjem V(hv = rv,v = l,...,N ) gdje je i,...,lg - nezavisne nenegativne cjelobrojne slučajne varijable (r.v.), odnosno razmotrimo generaliziranu shemu alokacije (0.2). Distribucija vektora h ovisi o n,N, ali će odgovarajući indeksi biti izostavljeni gdje je to moguće radi pojednostavljenja zapisa. Napomena 14. Ako je svakom od (]) načina odabira loptica iz urne dodijeljena ista vjerovatnoća ( \) mn za bilo koje r i,..., rg tako da je r„ 1,u = l,...,N , T,v=\ru = n, vjerovatnoća da će udaljenosti između susjednih bijelih kuglica u izboru uzeti ove vrijednosti
Kriterijumi zasnovani na broju ćelija u opštim rasporedima
Svrha rada na disertaciji bila je da se konstruišu kriterijumi dobrote uklapanja za testiranje hipoteza u selekcionoj šemi bez vraćanja iz urne koja sadrži kuglice 2 boje. Autor je odlučio da proučava statistiku zasnovanu na frekvencijama udaljenosti između kuglica iste boje. U ovoj formulaciji, problem je sveden na zadatak testiranja hipoteza u odgovarajućem generaliziranom rasporedu.
Rad na disertaciji je uključivao: svojstva entropije i informacijske udaljenosti diskretnih distribucija sa neograničenim brojem ishoda sa ograničenim matematičkim očekivanjima; - dobijena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika vjerovatnoća velikih odstupanja široke klase statistika u generaliziranoj šemi plasmana; - na osnovu dobijenih rezultata konstruisana je kriterijumska funkcija sa najvećom logaritamskom stopom težnje ka nuli verovatnoće greške prve vrste sa fiksnom verovatnoćom greške druge vrste i nekonvergirajućim alternativama; - dokazano je da statistike koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov imaju nižu stopu konvergencije na nulu vjerovatnoće velikih odstupanja u poređenju sa statistikama koje zadovoljavaju ovaj uslov. Naučna novina rada je sljedeća. - dat je koncept generalizirane metrike - funkcije koja dopušta beskonačne vrijednosti i zadovoljava aksiome identiteta, simetrije i nejednakosti trokuta. Pronađena je generalizirana metrika i naznačeni skupovi na kojima su funkcije entropije i informacijske udaljenosti, definirane na porodici diskretnih distribucija s prebrojivim brojem ishoda, kontinuirane u ovoj metrici; - u generalizovanoj šemi plasmana pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja statistike oblika (0.4), koja zadovoljava odgovarajući oblik Cramerovog uslova; - u generalizovanoj šemi plasmana pronađena je gruba (do logaritamske ekvivalencije) asimptotika za verovatnoće velikih odstupanja simetričnih odvojivih statistika koje ne zadovoljavaju Cramerov uslov; - u klasi kriterijuma oblika (0,7) konstruiše se kriterijum sa najvećom vrednošću indeksa kriterijuma. Rad rješava niz pitanja o ponašanju vjerovatnoća velikih odstupanja u generaliziranim shemama postavljanja. Dobijeni rezultati mogu se koristiti u obrazovnom procesu na specijalnostima matematička statistika i teorija informacija, u proučavanju statističkih postupaka za analizu diskretnih nizova, a korišćeni su u /3/, /21/ za opravdanje sigurnosti jednog klasa informacionih sistema. Međutim, brojna pitanja ostaju otvorena. Autor se ograničio na razmatranje centralne zone promena parametara n, N generalizovanih šema za smeštaj n čestica u /V ćelije. Ako nosilac distribucije slučajnih varijabli koja generira generaliziranu shemu rasporeda (0.2) nije skup oblika r, r 4-1, r + 2,..., tada prilikom dokazivanja kontinuiteta funkcije informacijske udaljenosti i proučavajući vjerovatnoće velikih odstupanja, potrebno je uzeti u obzir aritmetičku strukturu takvog nosača, koja nije razmatrana u autorskom radu. Za praktičnu primenu kriterijuma izgrađenih na osnovu predložene funkcije sa maksimalnom vrednošću indeksa, potrebno je proučiti njenu distribuciju kako pod nultom hipotezom, tako i pod alternativama, uključujući i konvergirajuće. Takođe je od interesa da se razvijene metode prenesu i dobijeni rezultati generalizuju na druge probabilističke šeme osim generalizovanih šema postavljanja. Ako su //1,/ 2,-.. frekvencije udaljenosti između brojeva ishoda 0 u binomskoj shemi sa vjerovatnoćama roja ishoda 1 -POj, onda se u ovom slučaju može pokazati da se iz analize formule za zajedničku distribuciju vrijednosti \ít u generaliziranoj shemi plasmana, dokazanoj u /26/, slijedi da se raspodjela (3.3), općenito govoreći, ne može predstaviti u opštem slučaju kao zajednička raspodjela vrijednosti cg u bilo kojoj generalizovanoj šemi za postavljanje čestica u ćelije. Ova raspodjela je poseban slučaj distribucija na skupu kombinatornih objekata uvedenih u /12/. Čini se hitnim zadatkom da se rezultati rada na disertaciji za generalizovane šeme plasmana prenesu na ovaj slučaj, o kojem je bilo reči u /52/.
asimptotski optimalan
- - koncept koji kaže da je procjena nepristrasna u granici. Neka je niz slučajnih varijabli na prostoru vjerovatnoće, gdje je R jedna od mjera porodice...
Mathematical Encyclopedia
- - koncept koji potvrđuje nepristrasnost kriterija u granicama...
Mathematical Encyclopedia
- - rješenje diferencijalnog sistema koje je stabilno po Ljapunovu i privlači sva druga rješenja sa dovoljno bliskim početnim vrijednostima...
Mathematical Encyclopedia
- - koncept koji proširuje ideju efikasne procjene na slučaj velikih uzoraka. Nedvosmislena definicija A. e. O. nema. Na primjer, u klasici opciji govorimo o asimptotici...
Mathematical Encyclopedia
- - poželjno, svrsishodno...
Referentni komercijalni rječnik
- - 1. najbolji, najpovoljniji, najprikladniji određenim uslovima i zadacima 2...
Veliki ekonomski rječnik
- - najpovoljniji, najbolji mogući...
Velika sovjetska enciklopedija
- - najbolji, najprikladniji za određene uslove i zadatke...
Moderna enciklopedija
- - najbolji, najprikladniji za određene uslove i zadatke...
Veliki enciklopedijski rečnik
- - ...
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
- - ...
Pravopisni rječnik-priručnik
"asimptotski optimalan" u knjigama
Optimalni vizualni kontrast (OVC)
Iz knjige Boja i kontrast. Tehnologija i kreativni izbor autor Železnjakov Valentin NikolajevičOptimalni vizualni kontrast (OVC) Zamislite crno odijelo obasjano suncem i bijelu košulju obasjanu mjesecom. Ako instrumentom izmjerimo njihovu svjetlinu, ispada da je pod ovim uvjetima crno odijelo višestruko svjetlije od bijele košulje, a ipak znamo da
Koja je optimalna skala?
Iz knjige Twitonomics. Sve što trebate znati o ekonomiji, ukratko i konkretno od Compton NickaKoja je optimalna skala? Autor koncepta optimalne skale je njemačko-britanski filozof Fric Šumaher, autor knjige „Manje je bolje: Ekonomija kao ljudska suština.“ On je rekao da kapitalistička sklonost ka „gigantizmu“ nije samo
8.4.2. Optimalni put rasta
Iz knjige Ekonomska teorija: Udžbenik autor Makhovikova Galina Afanasjevna8.4.2. Optimalni put rasta Pretpostavimo da cijene resursa ostaju nepromijenjene, dok budžet preduzeća stalno raste. Povezivanjem tangentnih tačaka izokvanti sa izokostama dobijamo liniju 0G - „put razvoja“ (puta rasta). Ova linija pokazuje stopu rasta omjera
Najbolja opcija
Iz knjige SSSR: od propasti do svjetske sile. Sovjetski proboj od Boffa GiuseppeaOptimalna opcija U vatri bitaka 1928. rođen je prvi petogodišnji plan. Počevši od 1926. godine, dvije institucije, Gosplan i VSNKh, pripremale su različite nacrte planova jedan za drugim. Njihov razvoj pratile su kontinuirane rasprave. Kao jedna šema
OPTIMALNA OPCIJA
Iz knjige Ruski rok. Mala enciklopedija autor Bushueva SvetlanaOptimalno
Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (OP) autora TSBOptimalan red
Iz knjige CSS3 za web dizajnere od Siderholma DanOptimalni redosled Kada koristite prefikse pretraživača, važno je voditi računa o redosledu po kojem su svojstva navedena. Možda ćete primijetiti da su u prethodnom primjeru prvo napisana svojstva prefiksa, nakon čega slijedi svojstvo bez prefiksa. Zašto staviti original
Optimalna osoba
Iz knjige Computerra Magazin br.40 od 31.10.2006 autor Computerra MagazineOptimalna osoba Autor: Vladimir Guriev Neke teme koje su bile popularne prije četrdesetak godina danas izgledaju toliko marginalno da se o njima gotovo i ne razgovara ozbiljno. U isto vrijeme - sudeći po tonu članaka u popularnim časopisima - djelovali su relevantno i čak
Najbolja opcija
Iz knjige Staljinov prvi udar 1941. [Zbirka] autor Kremlev SergeyOptimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da razne “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj-juni-juli 1941. godine, ulijevaju optimizam. Ne, oni
Najbolja opcija
Iz knjige Velika patriotska alternativa autor Isaev Aleksej ValerijevičOptimalna opcija Analiza mogućih scenarija razvoja događaja neminovno navodi na razmišljanje o izboru optimalne opcije. Ne može se reći da različite “ljetne” opcije, odnosno alternative vezane za maj – jun – juli 1941., ulijevaju optimizam. Ne, oni
Optimalna kontrola
Iz knjige Samopoštovanje kod djece i adolescenata. Knjiga za roditelje od Eyestad GyruOptimalna kontrola Šta znači držati umjereno čvrsto? To morate sami utvrditi na osnovu poznavanja vlastitog djeteta i uslova sredine u kojoj živite. U većini slučajeva roditelji tinejdžera pokušavaju da zaštite svoju djecu od pušenja, pijenja alkohola,
Optimalan način
Iz knjige Perfekcionistički paradoks od Ben-Shahar TalOptimalni put Stalno smo bombardirani savršenstvom. Adonis krasi naslovnicu Men’s Healtha, Elena The Beautiful krasi naslovnicu Voguea; žene i muškarci na velikom ekranu, za sat-dva, rješavaju svoje sukobe, glume idealan zaplet, prepuštaju se idealnoj ljubavi. Svi smo čuli
Optimalan pristup
Iz knjige Ekspert br. 07 (2013) autorski stručni časopisOptimalan pristup Sergej Kostjajev, kandidat političkih nauka, viši istraživač na INION RAS Ministarstvo odbrane SAD potrošilo je milijardu dolara na nefunkcionalni kompjuterski program Foto: EPA Od 1. marta potrošnja Pentagona će verovatno biti smanjena za 43 milijarde
Najbolja opcija
Iz knjige Two Seasons autor Arsenjev LOptimalna opcija - Recite mi, da li je pametno igrati na nekoliko frontova odjednom? - pitali su novinari Bazilevič i Lobanovski na samom početku sezone '75. "To je nerazumno, naravno", odgovorili su. - Ali neophodno je. Vjerujemo da je imperativ razlikovati značaj
Optimalna kontrola
Iz knjige Upravljanje ličnim (porodičnim) finansijama. Sistemski pristup autor Steinbock MikhailOptimalna kontrola >> Kod optimalne kontrole sve troškove dijelimo u dvije velike grupe: – „obične“ – redovne troškove, – jednokratne ili nestandardne troškove Optimalna kontrola se može koristiti tek nakon višemjesečne detaljne kontrole.