Metode za određivanje ravni koje jedinstveno određuju položaj ravni u prostoru (vidi sliku 16):
a) tri tačke koje ne leže na istoj pravoj;
b) prava i tačka van prave;
c) paralelne prave;
d) linije koje se seku.
e) ravna figura;
Na dijagramu je ravan definirana projekcijama navedenih geometrijskih elemenata i tragova. Ovi elementi se nazivaju ravninska determinanta (∆).
Ravan u prostoru se može odrediti tragovima (vidi sliku 17). Trag ravni je linija preseka date ravni sa ravninom projekcije. U sistemu od tri projekcijske ravni, ravan opšti položaj str(nije okomito i nije paralelno sa ravnima projekcije) može imati tri traga - horizontalna ( R 1 ), prednji ( R 2 ), profil ( R 3 ); Rh, Ru, Rz- tačke nestajanja tragova (slika 17)
3.2. Avioni određene pozicije.
Avioni određene pozicije uključuju:
Projektovanje aviona, tj. ravni okomite na jednu od ravni projekcije (slika 18);
Ravnine su ravni paralelne jednoj od ravni projekcije (slika 19).
3.3. Projekcione ravni
Karakteristike projekcijskih ravni:
1. Jedna projekcija bilo kojeg elementa koji se nalazi u projekcijskoj ravni poklapa se sa odgovarajućim tragom ove ravni;
2. Na dijagramu se ugao nagiba date ravni prema ravni projekcije projektuje u pravu vrijednost (slika 18).
3.4. Nivo ravni
Karakteristika ravnih ravni je da se svaka ravna figura koja se nalazi u takvoj ravni projektuje na ravan paralelnu njoj bez izobličenja, tj. na pravu vrednost (slika 19).
Da biste konstruirali elemente koji se nalaze u opštoj ravni, morate slijediti dva pravila:
Prava pripada ravni ako prolazi kroz dve tačke koje leže u ravni ili ako prolazi kroz tačku koja leži u ravni i paralelna je sa drugom pravom linijom koja se nalazi u ovoj ravni (slika 20);
Tačka leži u ravni ako leži na pravoj liniji koja se nalazi u ovoj ravni (slika 21).
3.6. Glavne linije aviona.
Horizontalno (h) - prava linija koja leži u ravni i istovremeno se nalazi paralelno sa ravninom P 1 (Slika 22). Frontalni ( f) - prava linija koja leži u ravni i paralelno sa ravninom P 2 . Linija najvećeg nagiba je prava linija koja leži u ravni i okomita na horizontale ili fronte ravnine. Koristeći liniju najvećeg nagiba, određuje se ugao nagiba ravni prema ravnima projekcije. Linija najvećeg nagiba koja se nalazi okomito na horizontale ravni naziva se i linija nagiba ravnine (VC sl. 22).
Pomoću linije nagiba određuje se ugao nagiba ravnine ABC na horizontalnu ravan projekcije. Da biste to učinili, potrebno je odrediti njegovu prirodnu veličinu metodom pravokutnog trokuta, a kut između prirodne veličine i horizontalne projekcije bit će željeni kut.
3.7. Pitanja za samotestiranje.
Navesti i prikazati grafičke metode za definisanje ravni u složenom crtežu.
Šta se podrazumeva pod tragom aviona?
Koja se ravan naziva projektovana ravan i koje su njene grafičke karakteristike na crtežu?
Dati grafičke karakteristike ravninama: horizontalno - projekcija, frontalno - projekcija, profilno - projekcija.
Koja se ravan naziva ravnina?
Koja se ravan naziva horizontalna? Frontalni? Profil? Nacrtajte ih na crtežu.
Imenujte znakove pripadnosti pravoj ravni, tačke ravni.
Pokažite na crtežu kako se prava linija može ugraditi u ravan.
Imenujte glavne linije aviona.
Kako odrediti ugao nagiba ravni prema horizontalnoj ravni projekcija?
Ovdje ćemo, iz aksioma stereometrije koje smo prihvatili, dobiti važne teoreme i posljedice o pravim linijama i ravnima. Sami po sebi su prilično očigledni. Razmotrimo njihove dokaze, koji pokazuju kako se bilo koja izjava može striktno izvesti iz aksioma sa svim potrebnim referencama.
2.1 Definiranje prave linije sa dvije tačke
Dokaz. U paragrafu 1.1 je već dokazano da kroz svake dvije tačke A, B prolazi prava a.
Dokažimo da postoji samo jedna linija. Prava a leži u određenoj ravni a. Pretpostavimo da, pored prave a, kroz tačke A i B prolazi i prava b (Sl. 31). Prema Aksiomu 3, prava linija koja ima dvije zajedničke tačke sa ravninom leži u ovoj ravni. Pošto prava b ima zajedničke tačke A i B sa a, onda b leži u α ravni.
Rice. 31
Ali u ravni a se izvodi planimetrija, pa stoga samo jedna ravna linija prolazi kroz dvije tačke A i B. To znači da se prave a i b poklapaju. Dakle, samo jedna prava prolazi kroz tačke A i B.
Posljedica. U prostoru (kao i na ravni) dvije različite prave ne mogu imati više od jedne zajedničke tačke.
Dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku nazivaju se ukrštanjem.
Komentar. Propozicija koja vrijedi u planimetriji nije uvijek tačna u stereometriji. Tako, na primjer, u ravni kroz dvije date tačke N, S prolazi samo jedan krug prečnika NS, a u prostoru takvih kružnica postoji beskonačan broj - u svakoj ravni koja prolazi kroz tačke N, S leži takav krug (slika 32, a) .
Rice. 32
Ali postoji samo jedna prava linija koja prolazi kroz tačke N, S u prostoru. Ovo je zajednička prava linija svih ravni koje prolaze kroz tačke N, S (slika 32, b).
Pošto smo dokazali da kroz svake dvije tačke u prostoru prolazi jedna prava linija, možemo definirati pravu liniju u prostoru bilo kojim parom njenih tačaka, bez brige o ravni u kojoj se ta prava nalazi. Prava linija koja prolazi kroz tačke A, B označava se (AB).
Isto važi i za segmente: svake dve tačke u prostoru služe kao krajevi jednog segmenta.
2.2 Definiranje ravni sa tri tačke
Dokaz. Neka tačke A, B, C ne leže na istoj pravoj liniji. Prema aksiomu ravni, određena ravan a prolazi kroz ove tačke (vidi sliku 6). Dokažimo da postoji samo jedan.
Pretpostavimo da druga ravan (3, različita od a) prolazi kroz tačke A, B, C. Ravnine a i p imaju zajedničke tačke (na primer tačka A). Prema aksiomu 2, presek ravni α i β je njihova zajednička prava linija. Na ovoj sve zajedničke tačke ravni α i β leže na pravoj liniji, pa prema tome tačke A, B, C. Ali to je u suprotnosti sa uslovom teoreme, jer prema njoj A, B, C ne leže na istoj pravoj. Dakle, kroz tačke A, B, C prolazi samo jedna ravan α.
Ravan koja prolazi kroz tri tačke A, B, C koje ne leže na istoj pravoj označena je (ABC).
Lako je ilustrirati Teoremu 2. Na primjer, položaj vrata je fiksiran pomoću dvije šarke vrata i brave.
2.3 Određivanje ravni sa pravom linijom i tačkom i dve prave
Dokaz. Neka su date prava a i tačka A koja ne leži na njoj. Uzmimo dve tačke B i C na pravoj a (slika 33). Tačka A ne leži na istoj pravoj liniji sa njima, jer samo jedna prava prolazi kroz tačke B i C - to je prava linija a, a tačka A ne leži na njoj prema uslovima teoreme.
Rice. 33
Kroz tačke A, B, C, koje ne leže na istoj pravoj, prolazi (prema teoremi 2) jedna ravan ABC. Prava a ima dvije zajedničke tačke B i C sa sobom i stoga, prema aksiomu 3, leži u njoj. Dakle, ravan ABC je ravan koja prolazi kroz pravu a i tačku A.
Jedinstvenost takve ravni ćemo dokazati kontradikcijom.
Neka postoji još jedna ravan β koja sadrži pravu a i tačku A. Tada ona sadrži tačke B i C. Prema teoremi 2, mora se poklapati sa ravninom ABC. Nastala kontradikcija dokazuje jedinstvenost.
Evo ilustracije ove teoreme: kada okrećete uvez knjige, u svakom trenutku fiksirate njen položaj prstima.
Dokaz. Neka se prave a i b seku u tački A. Uzmimo drugu tačku B na pravoj b (slika 34). Prema teoremi 3, ravan a prolazi pravom a i tačkom B. Prema aksiomu 3, prava b leži u ovoj ravni, jer sa sobom ima dvije zajedničke tačke A i B. To znači da ravan a prolazi kroz prave a i b. Dokažite jedinstvenost takve ravni sami kontradikcijom.
Rice. 34
Sada znamo tri načina da definiramo ravan:
- tri tačke koje ne leže na istoj pravoj;
- prava linija i tačka koja ne leži na njoj;
- dve linije koje se seku.
Pitanja za samokontrolu
- Koje metode znate za definiranje linije u prostoru?
- Koje načine znate da definišete ravan?
Položaj ravni u prostoru određuju njene tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Dakle, da bi se definisala ravan na dijagramu, dovoljno je navesti tri njene tačke (Sl. 206). Ravan se može definisati tačkom i pravom (sl. 207, a), dve paralelne prave (sl. 207, b), dve prave koje se seku (sl. 207, c), trouglom (sl. 207). , d).
Možete definirati ravan sa tragovima. Trag ravni je prava linija duž koje dati avion seče ravan projekcije. Na sl. 208 Pv - frontalni trag ravni P, Rn - horizontalni trag ravni P, Pw - profilni trag ravni P.
Različiti slučajevi rasporeda ravni u odnosu na ravni projekcije
Generalni avion - ravan koja se nalazi koso na sve ravni projekcije (Sl. 208). Takva ravan seku se sa tri projekcijske ravni duž pravih, koje su tragovi ove ravni. Svaki par tragova konvergira u tački koja se zove tačka nestajanja ravnih tragova i nalazi se na osi projekcije. Ravan opšte pozicije ima tri tačke nestajanja, koje su označene kao Px, Py, Pz. U tim tačkama ravan seče koordinatne ose. Ravne figure koje leže u opštoj ravni se projektuju sa izobličenjem.
Projekciona ravan - ravan okomita na bilo koju ravan projekcije.
Horizontalna projekcijska ravan - ravan okomita na horizontalnu ravan projekcija H (sl. 209).
Ravan frontalne projekcije - ravan okomita na frontalnu ravan projekcije (sl. 210).
Profilna ravan - ravan okomita na profilnu ravan projekcija (Sl. 211).
Ravan projekcije se projektuje na ravan projekcije na koju je okomita na pravu liniju. Pa fig. 209 ravan P je horizontalno projektovana, ΔAVS, koja leži u ravni P, projektovana je u pravi segment koji se poklapa sa tragom ravni Rn. Na sl. 210 ΔDEF, koji pripada frontalno projektovanoj ravni R, projektuje se u segment koji se poklapa sa tragom ravnine Rv. Na sl. 211 ΔKMN, koji leži u ravnini koja projekcije profila Q, projektuje se na ravan W u segment koji se poklapa sa tragom ravni Qw. Stoga se projekcijske ravni često koriste kao pomoćne ravni u raznim konstrukcijama. Na primjer, da bi se povukla horizontalno projektovana ravan kroz pravu AB (Sl. 212), dovoljno je povući horizontalni trag ove ravni kroz horizontalnu projekciju prave AB, jer sve što leži u ovoj ravni, uključujući i pravu AB , projektovan je na njegovu horizontalnu stazu. Frontalni trag frontalno isturene ravni poklapa se sa frontalnom projekcijom prave a"b" (sl. 213). Tragovi projekcijskih ravnina na drugim ravnima projekcije su okomiti na odgovarajuće osi projekcije (vidi slike 209, 210, 211).
Rice. 212 Fig. 213
Ravnine okomite na dvije ravni projekcije paralelne su s trećom ravninom projekcije . Geometrijske figure koje leže u ovim ravnima projektovane su bez izobličenja na ravan projekcije kojoj je ova ravan paralelna (sl. 214, 215; 216). Takve ravni se nazivaju isto kao i projekcijska ravan paralelna s kojom se nalaze: horizontalna ravan (sl. 214), frontalna ravan (sl. 215), ravan profila (sl. 216).
Položaj ravni u prostoru određuju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, prava i tačka van prave, dve prave koje se seku i dve paralelne prave. Shodno tome, ravan na crtežu (slika 3.1) može se specificirati projekcijama tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji (a), prave i tačke izvan prave (b), dve linije koje se seku (V), dvije paralelne prave (d). Projekcije bilo koje ravne figure mogu poslužiti i kao definicija ravni na crtežu; na primjer, vidi sl. 3.10 slika ravni projekcijom trougla.
Položaj ravni u odnosu na ravni projekcije
Ravan u odnosu na ravni projekcije može da zauzima sledeće položaje: 1) nije okomita na ravni projekcije; 2) okomito na jednu ravan projekcije; 3) okomito na dvije ravni projekcije.
Ravan koja nije okomita ni na jednu od ravni projekcije naziva se opšta ravan (vidi sliku 3.1).
Druga i treća pozicija aviona su posebni slučajevi. Ravnine u ovim položajima nazivaju se ravnima za projektovanje.
Ravan okomita na jednu ravninu projekcije. Vizuelni prikaz ravni a definisan trouglom ABC i okomito na ravan ∏!, prikazanu na sl. 3.2, njegov crtež je na Sl. 3.3. Ovaj avion se zove horizontalno projektovanje.
Vizuelni prikaz β ravni definisane paralelogramom A B C D, okomito na frontalnu ravan projekcija, prikazano je na sl. 3.4, njegov crtež je na Sl. 3.5. Ovaj avion se zove frontalno projektovana.
Crtež ravni u obliku trougla sa projekcijama A "B"C" A "B"C", A ""B tn C"", okomito na profilnu ravan projekcija, prikazano na sl. 3.6. Takva ravan se zove profilna projekcija.
Tragovi aviona. Linija presjeka ravnine s ravninom projekcije naziva se sljedeći. Linija preseka neke ravni
stvrdnjavanje dato trouglom ABC, sa ravninom π, označenom a", a sa ravninom π2 - a" (vidi sliku 3.2).
Linija presjeka ravnine sa ravninom π naziva se horizontalni trag, sa ravninom π2 - frontalni trag, sa ravninom π - profilni trag.
Za ravan a okomitu na ravan π, horizontalni trag a" (vidi slike 3.2,3.3) nalazi se pod uglom u odnosu na os x koja odgovara kutu nagiba ove ravni prema frontalnoj ravni projekcija, a frontalni trag a" je okomit na x os.
Slično, za određenu ravan β, okomitu na ravan π2 (vidi sliku 3.4,3.5), frontalni trag β" nalazi se pod uglom u odnosu na osu X, odgovarajući ugao nagiba ove ravni prema ravni ∏), a horizontalni trag β" je okomit na osu X.
Na crtežima se trag koji je okomit na osu projekcije obično ne prikazuje kada nije uključen u konstrukcije.
Svojstvo projekcija geometrijskih elemenata koji leže u ravnima projektovanja(vidi § 1.1, ∏. 1, V). Projektovana ravan je prikazana kao prava linija
prava na ravni projekcije na koju je okomita. Shodno tome, bilo koji zatvoren geometrijska figura, koji leži u ravni projekcije, projektuje se na ovu ravan projekcije u pravi segment.
Ravne okomite na dvije ravni projekcije. Ako je ravan okomita na dvije ravni projekcije, onda je paralelna s trećom ravninom projekcije. Takva ravan se naziva horizontalna (paralelna ravnini π,), frontalna (paralelna ravnini π2) i profilna (paralelna ravnini π3).
Primjeri njihovih vizualnih slika i crteža prikazani su na Sl. 3.7, a, b(frontalna ravan at i tačka koja joj pripada A), na sl. 3.8, a, b (horizontalna ravan β i tačka koja joj pripada IN), na sl. 3.9, a, b(profilna ravan a i tačka Q koja joj pripada.
Položaj ravni u prostoru može se odrediti na crtežu na jedan od sljedećih načina:
1. Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj ( pirinač. 35).
2. Prava i tačka koja ne leži na ovoj pravoj ( pirinač. 36).
3. Dvije prave koje se seku ( pirinač. 37).
4. Dvije paralelne prave (sl. 38 ).
5. Ravna figura ( pirinač. 39).
6. Tragovi ( pirinač. 40, 41).
7. Parametri ravni.
 |
|
 |  |
 | |
 |  |
Tragovi aviona
Prati avion zove se linija preseka ravni sa ravninom projekcije . Trag ravni se označava istim slovom kao i ravan sa indeksom koji odgovara imenu ravni projekcije sa kojom se ona seče. Ako je avion (nazovimo ga P ) nije paralelna ni sa jednom ravninom projekcije, tada siječe sve tri projekcijske ravni i, prema tome, ima tri traga - horizontalna P H , frontalni P V i profil P W (pirinač. 40, 41). Kao i svaka prava linija, svaki trag ravni ima tri projekcije, ali da bi dijagram bio lakši za čitanje, uobičajeno je označiti samo onu projekciju traga koja se ne poklapa sa osom projekcija. Položaj bilo kojeg traga ravni, kao i svake prave linije, određen je položajem njegove dvije tačke. Za tragove ravni, takve tačke se mogu nazvati tačkama tačke nestajanja, odnosno tačke u kojima ravan seče koordinatne ose - P x ,Py ,P z . Numeričke vrijednosti koordinate x , y , And z nazivaju se tačke nestajanja tragova parametri ravni.