Enciklopedijski YouTube
1 / 1
✪ Vektorska norma. dio 4.
titlovi
Definicija
Neka K bude glavno polje (obično K = R ili K = C ) i linearni je prostor svih matrica s m redaka i n stupaca koje se sastoje od elemenata K. Norma je dana na prostoru matrica ako je svakoj matrici pridružen nenegativan realni broj ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), naziva svojom normom, tako da
U slučaju kvadratnih matrica (tj. m = n), matrice se mogu množiti bez napuštanja prostora, pa stoga norme u tim prostorima obično također zadovoljavaju svojstvo submultiplikativnost :
Submultiplikativnost se također može ispuniti za norme nekvadratnih matrica, ali definiranih za nekoliko potrebnih veličina odjednom. Naime, ako je A matrica ℓ × m, a B je matrica m × n, To A B- matrica ℓ × n .
Norme operatera
Važna klasa matričnih normi su standardi operatera, također zvan podređeni ili induciran . Norma operatora je jedinstveno konstruirana pomoću dvije norme definirane u i , na temelju činjenice da svaka matrica m × n predstavljen linearnim operatorom iz K n (\displaystyle K^(n)) V K m (\displaystyle K^(m)). Posebno,
‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n , ‖ x ‖ = 1 ) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n, x ≠ 0) . (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \lijevo\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\desno\).\end(poravnano)))Pod uvjetom da su norme specificirane dosljedno na vektorskim prostorima, takva norma je submultiplikativna (vidi).
Primjeri operatorskih normi
Svojstva spektralne norme:
- Spektralna norma operatora jednaka je najvećoj singularnoj vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma normalnog operatora jednaka je apsolutnoj vrijednosti maksimalne modulo svojstvene vrijednosti ovog operatora.
- Spektralna norma se ne mijenja kada se matrica pomnoži s ortogonalnom (unitarnom) matricom.
Neoperatorske norme matrica
Postoje matrične norme koje nisu operatorske norme. Koncept neoperatorskih normi matrica uveo je Yu. I. Lyubich, a proučavao G. R. Belitsky.
Primjer norme bez operatora
Na primjer, razmotrite dvije različite operatorske norme ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) I ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), na primjer norme redaka i stupaca. Stvorimo novu normu ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Nova norma ima svojstvo kružnosti ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), čuva jedinstvo ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1) i nije operater.
Primjeri standarda
Vektor p (\displaystyle p)-norma
Može se uzeti u obzir m × n (\displaystyle m\puta n) matrica kao vektor veličine m n (\displaystyle mn) i koristiti standardne vektorske norme:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\lijevo(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ desno)^(1/p))Frobeniusova norma
Frobeniusova norma, ili Euklidska norma predstavlja poseban slučaj p-norme za str = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j =1)^(n)a_(ij)^(2)))).
Frobeniusovu normu je lako izračunati (u usporedbi s npr. spektralnom normom). Ima sljedeća svojstva:
‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\zbroj _(i=1)^(m)\lijevo|\zbroj _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\desno|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\lijevo(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\desno)=\zbroj _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)- Submultiplikativnost: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), jer ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\desno|^(2)\leq \sum _(i,j)\lijevo(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\desno)^(2)\ leq \sum _(i,j)\lijevo(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\desno)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\zbroj _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
- ‖ A ‖ F 2 = t r A ∗ A = t r A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), Gdje t r A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- trag matrice A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*))- Hermitska konjugirana matrica.
- ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\točkice +\rho _(n)^(2)), Gdje ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\točke ,\rho _(n))- singularni brojevi matrice A (\displaystyle A).
- ‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) ne mijenja se kada se matrica množi A (\displaystyle A) lijevo ili desno u ortogonalne (unitarne) matrice.
Maksimalni modul
Norma maksimalnog modula još je jedan poseban slučaj p-norme za str = ∞ .
‖ A ‖ max = max ( | a i j | ) . (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)Norma Schatten
Konzistentnost matrice i vektorske norme
Norma matrice ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) na K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) nazvao ugovoren sa standardima ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a)) na K n (\displaystyle K^(n)) I ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b)) na K m (\displaystyle K^(m)), ako:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))za bilo koji A ∈ K m × n, x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\puta n),x\in K^(n)). Operatorska norma po konstrukciji je konzistentna s izvornom vektorskom normom.
Primjeri koordiniranih, ali ne i podređenih matričnih normi:
Ekvivalencija standarda
Sve norme u prostoru K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) ekvivalent, odnosno za bilo koje dvije norme ‖ . ‖ α (\displaystyle \|.\|_(\alpha )) I ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta )) i za bilo koju matricu A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\puta n)) dvostruka nejednakost je istinita.
Norma matrice Nazovimo realni broj pridružen ovoj matrici ||A|| takav da je, kao realan broj, pridružen svakoj matrici iz n-dimenzionalnog prostora i zadovoljava 4 aksioma:
1. ||A||³0 i ||A||=0, samo ako je A nula matrica;
2. ||αA||=|α|·||A||, gdje je R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (svojstvo multiplikativnosti)
Norma matrica može se uvesti na razne načine. Matrica A se može promatrati kao n 2 - dimenzionalni vektor.
Ova norma se naziva euklidska norma matrice.
Ako je za bilo koju kvadratnu matricu A i bilo koji vektor x čija je dimenzija jednaka redu matrice, nejednakost ||Ax||£||A||·||x|| zadovoljena,
tada kažemo da je norma matrice A konzistentna s normom vektora. Primijetimo da je lijevo u zadnjem uvjetu norma vektora (Ax je vektor).
Različite matrične norme su u skladu s danom vektorskom normom. Odaberimo najmanji među njima. Ovo će biti slučaj
Ova matrična norma je podređena danoj vektorskoj normi. Postojanje maksimuma u ovom izrazu slijedi iz kontinuiteta norme, budući da uvijek postoji vektor x -> ||x||=1 i ||Ax||=||A||.
Pokažimo da norma N(A) ne podliježe niti jednoj vektorskoj normi. Matrične norme, podređene prethodno uvedenim vektorskim normama, izražene su na sljedeći način:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimum)
2. ||A|| 1 = |a ij | (normativ)
3. ||A|| 2 = , (spektralna norma)
gdje je s 1 najveća svojstvena vrijednost simetrične matrice A¢A, koja je produkt transponirane i izvorne matrice. Budući da je matrica A¢A simetrična, tada su sve njezine svojstvene vrijednosti realne i pozitivne. Broj l je svojstvena vrijednost, a vektor x različit od nule je svojstveni vektor matrice A (ako su međusobno povezani relacijom Ax=lx). Ako je sama matrica A simetrična, A¢ = A, tada je A¢A = A 2 i tada s 1 = , gdje je najveća apsolutna svojstvena vrijednost matrice A. Prema tome, u ovom slučaju imamo = .
Svojstvene vrijednosti matrice ne prelaze nijednu od njenih dosljednih normi. Normalizirajući relaciju koja određuje svojstvene vrijednosti, dobivamo ||λx||=|||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, |λ|£||A||
Budući da ||A|| 2 £||A|| e, gdje se euklidska norma izračunava jednostavno, u procjenama, umjesto spektralne norme, možete koristiti euklidsku normu matrice.
30. Uvjetovanost sustava jednadžbi. Koeficijent uvjetovanosti .
Stupanj kondicioniranja- utjecaj odluke na početne podatke. Sjekira = b: vektor b odgovara rješenju x. Neka b promijenit će se po vrijednosti. Zatim vektor b+ novo rješenje će odgovarati x+ : A(x+ ) = b+. Budući da je sustav linearan, dakle Sjekira+A = b+, Zatim A = ; = ; = ; b = Sjekira; = onda ; * , gdje je relativna pogreška poremećaja rješenja, – faktor uvjetovanjauvjet (A) (koliko puta se pogreška rješenja može povećati), – relativni poremećaj vektora b. uvjet (A) = ; uvjet(A)* Svojstva koeficijenta: ovisi o izboru norme matrice; uvjet( = cond(A); množenje matrice brojem ne utječe na koeficijent uvjetovanja. Što je veći koeficijent, to jače pogreška u izvornim podacima utječe na rješenje SLAE. Broj uvjeta ne može biti manji od 1.
31. Sweep metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Često se javlja potreba za rješavanjem sustava čije matrice, budući da su slabo popunjene, tj. koji sadrži mnogo elemenata različitih od nule. Matrice takvih sustava obično imaju određenu strukturu, među kojima se razlikuju sustavi s matricama vrpčaste strukture, tj. kod njih se različiti od nule elementi nalaze na glavnoj dijagonali i na nekoliko sporednih dijagonala. Za rješavanje sustava s trakastim matricama Gaussova se metoda može transformirati u učinkovitije metode. Razmotrimo najjednostavniji slučaj trakastih sustava, na koji se, kao što ćemo kasnije vidjeti, svodi rješavanje problema diskretizacije rubnih problema za diferencijalne jednadžbe metodama konačnih razlika, konačnih elemenata itd. Trodijagonala matrica je matrica u kojoj se elementi različiti od nule nalaze samo na glavnoj dijagonali i uz nju:
Tri dijagonalne matrice imaju ukupno (3n-2) elemenata različitih od nule.
Ponovno označimo koeficijente matrice:
Tada se u notaciji po komponentama sustav može predstaviti kao:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)
a 1 =0, c n =0. (8)
Struktura sustava pretpostavlja odnos samo između susjednih nepoznanica:
x i =x i * x i +1 +h i (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 i zamijenite u (7):
A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1
Uspoređujući dobiveni izraz s prikazom (7), dobivamo:
Formule (10) predstavljaju rekurentne relacije za izračun koeficijenata pomicanja. Oni zahtijevaju postavljanje početnih vrijednosti. U skladu s prvim uvjetom (8) za i =1 imamo 1 =0, što znači
Zatim se preostali koeficijenti kretanja izračunavaju i spremaju prema formulama (10) za i=2,3,..., n, a za i=n, uzimajući u obzir drugi uvjet (8), dobivamo x n =0. Dakle, u skladu s formulom (9) x n = h n.
Nakon toga se prema formuli (9) sukcesivno pronalaze nepoznanice x n -1, x n -2, ..., x 1. Ova faza proračuna naziva se hod unazad, dok se izračun koeficijenata zamaha naziva hod naprijed.
Za uspješnu primjenu metode sweep potrebno je da tijekom proračuna ne bude situacija s dijeljenjem s nulom, a kod velikih dimenzija sustava ne smije doći do brzog porasta pogrešaka zaokruživanja. Nazovimo to trčanjem ispraviti, ako nazivnik tekućih koeficijenata (10) ne nestaje, i održivi, ako je ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.
Teorema. Neka su koeficijenti a i c i jednadžbe (7) za i=2,3,..., n-1 različiti od nule i neka
½b i ½>½a i ½+½c i ½ za i=1, 2,..., n. (jedanaest)
Tada je sweep definiran formulama (10), (9) točan i stabilan.
» Lekcija 12. Rang matrice. Izračunavanje ranga matrice. Norma matrica
Lekcija #12. Rang matrice. Izračunavanje ranga matrice. Norma matrica.
Ako su svi minori matriceAnarudžbakjednaki nuli, onda su svi minori reda k+1, ako takvi postoje, također jednaki nuli.
Rang matrice A
naziva se najveći od sporednih redova matrice A
, različit od nule.
Maksimalni rang može biti jednak minimalnom broju redaka ili stupaca matrice, tj. ako matrica ima veličinu 4x5, tada će maksimalni rang biti 4.
Minimalni rang matrice je 1, osim ako nemate posla s nultom matricom, gdje je rang uvijek nula.
Rang nesingularne kvadratne matrice reda n jednak je n, budući da je njena determinanta minor reda n i različita je od nule za nesingularnu matricu.
Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja.
Neka je rang matrice . Tada se naziva bilo koji minor reda , različit od nule osnovni mol.
Primjer. Dana je matrica A. 
Determinanta matrice je nula.
Minor drugog reda 
. Dakle, r(A)=2 i minor je bazičan.
Osnovni umanjenik je ujedno i umanjenik 
.
Minor 
, jer =0, pa neće biti osnovno.
Vježbajte: samostalno provjeriti koji će još minori drugog reda biti osnovni, a koji ne.
Pronalaženje ranga matrice izračunavanjem svih njenih minora zahtijeva previše računalnog rada. (Čitatelj može provjeriti postoji li 36 minora drugog reda u kvadratnoj matrici četvrtog reda.) Stoga se za pronalaženje ranga koristi drugačiji algoritam. Da bismo ga opisali, bit će potrebne brojne dodatne informacije.
Sljedeće radnje na njima nazovimo elementarnim transformacijama matrica:
1) preuređivanje redaka ili stupaca;
2) množenje retka ili stupca s brojem koji nije nula;
3) dodavanjem jednom od redaka drugog reda pomnoženog brojem ili dodavanjem jednom od stupaca drugog stupca pomnoženog brojem.
Tijekom elementarnih transformacija rang matrice se ne mijenja.
Algoritam za izračunavanje ranga matrice sličan je algoritmu za izračunavanje determinante i sastoji se u činjenici da se pomoću elementarnih transformacija matrica svodi na jednostavan oblik za koji nije teško pronaći rang. Budući da se rang nije mijenjao tijekom svake transformacije, izračunavanjem ranga transformirane matrice nalazimo rang originalne matrice.
Pretpostavimo da trebamo izračunati rang matrice veličine mxn.
Kao rezultat izračuna, matrica A1 ima oblik 
Ako su svi redovi počevši od trećeg nula, tada 
, budući da je mal 
. Inače, preuređivanjem redaka i stupaca s brojevima većim od dva osiguravamo da treći element trećeg retka bude različit od nule. Dalje, dodavanjem trećeg retka, pomnoženog s odgovarajućim brojevima, redovima s većim brojevima, dobivamo nule u trećem stupcu, počevši od četvrtog elementa itd.
U nekoj ćemo fazi doći do matrice u kojoj su svi retci, počevši od (r+1)th, jednaki nuli (ili odsutni za ), a minor u prvim retcima i prvim stupcima je determinanta trokuta matrica s elementima različitim od nule na dijagonali . Rang takve matrice je jednak . Prema tome, Rang(A)=r.
U predloženom algoritmu za pronalaženje ranga matrice svi izračuni moraju se izvesti bez zaokruživanja. Proizvoljno mala promjena u barem jednom od elemenata srednjih matrica može dovesti do činjenice da će se dobiveni odgovor razlikovati od ranga izvorne matrice za nekoliko jedinica.
Ako su elementi u izvornoj matrici bili cijeli brojevi, tada je prikladno izvesti izračune bez korištenja razlomaka. Stoga je u svakoj fazi preporučljivo pomnožiti retke takvim brojevima kako se tijekom izračuna ne bi pojavili razlomci.
U laboratorijskom i praktičnom radu razmotrit ćemo primjer određivanja ranga matrice.
ALGORITAM PRONALAŽENJA MATRIČNI STANDARDI
.
Postoje samo tri norme matrice.
Prva norma matrice= najveći broj brojeva dobivenih zbrajanjem svih elemenata svakog stupca, uzet po modulu.
Primjer: neka je dana matrica A veličine 3x2 (slika 10). Prvi stupac sadrži elemente: 8, 3, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbroj: 8+3+8=19. Drugi stupac sadrži elemente: 8, -2, -8. Dva su elementa negativna, stoga je pri zbrajanju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul tih brojeva (tj. Bez znakova minus). Nađimo njihov zbroj: 8+2+8=18. Maksimalni od ova dva broja je 19. To znači da je prva norma matrice 19.
Slika 10.
Druga norma matrice je kvadratni korijen zbroja kvadrata svih elemenata matrice. To znači da kvadriramo sve elemente matrice, zatim zbrajamo dobivene vrijednosti i iz rezultata izvlačimo kvadratni korijen.
U našem slučaju, pokazalo se da je 2 norma matrice jednaka kvadratnom korijenu od 269. U dijagramu sam približno uzeo kvadratni korijen od 269 i rezultat je bio približno 16,401. Iako je ispravnije ne vaditi korijen. 
Treća norma matrice predstavlja maksimum brojeva dobivenih zbrajanjem svih elemenata svakog retka, uzetih po modulu.
U našem primjeru: prvi red sadrži elemente: 8, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbroj: 8+8=16. Drugi red sadrži elemente: 3, -2. Jedan od elemenata je negativan, pa je pri zbrajanju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul tog broja. Nađimo njihov zbroj: 3+2=5. Treći red sadrži elemente 8 i -8. Jedan od elemenata je negativan, pa je pri zbrajanju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul tog broja. Nađimo njihov zbroj: 8+8=16. Maksimalni od ova tri broja je 16. To znači da je treća norma matrice 16. 
Sastavio: Saliy N.A.