ΣΕ πραγματική ζωήΠρέπει να λειτουργήσουμε με συνηθισμένα κλάσματα. Ωστόσο, για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, όπως 2/3 και 5/7, πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή. Φέρνοντας τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, μπορούμε εύκολα να εκτελέσουμε πράξεις πρόσθεσης ή αφαίρεσης.
Ορισμός
Τα κλάσματα είναι από τα περισσότερα δύσκολα θέματαστη δημοτική αριθμητική, και οι ορθολογικοί αριθμοί τρομάζουν τους μαθητές που τους συναντούν για πρώτη φορά. Έχουμε συνηθίσει να δουλεύουμε με αριθμούς γραμμένους σε δεκαδική μορφή. Είναι πολύ πιο εύκολο να προσθέσετε αμέσως 0,71 και 0,44 παρά να προσθέσετε 5/7 και 4/9. Εξάλλου, για να αθροιστούν τα κλάσματα, πρέπει να αναχθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Ωστόσο, τα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τη σημασία των ποσοτήτων με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από τα δεκαδικά τους ισοδύναμα και στα μαθηματικά, η αναπαράσταση σειρών ή παράλογων αριθμών ως κλάσμα γίνεται προτεραιότητα. Αυτή η εργασία ονομάζεται «φέροντας μια έκφραση σε κλειστή μορφή».
Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο παράγοντα, η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει. Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες κλασματικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/4 σε δεκαδική μορφή γράφεται ως 0,75. Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3, παίρνουμε το κλάσμα 9/12, το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο με το 0,75. Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε διαφορετικά κλάσματα έτσι ώστε όλα να έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Πως να το κάνεις?
Εύρεση κοινού παρονομαστή
Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών σε μια παράσταση. Μπορούμε να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό με τρεις τρόπους.
Χρησιμοποιώντας τον μέγιστο παρονομαστή
Αυτή είναι μια από τις απλούστερες, αλλά πιο χρονοβόρες μεθόδους αναζήτησης για ΜΚΠ. Αρχικά, γράφουμε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων και ελέγχουμε τη διαιρετότητά του με μικρότερους αριθμούς. Αν είναι διαιρετό, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι το NCD.
Εάν στην προηγούμενη πράξη οι αριθμοί διαιρούνται με ένα υπόλοιπο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2 και να επαναληφθεί η δοκιμή διαιρετότητας. Αν διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο, τότε ο νέος συντελεστής γίνεται NOZ.
Εάν όχι, τότε ο μεγαλύτερος παρονομαστής πολλαπλασιάζεται με 3, 4, 5 και ούτω καθεξής μέχρι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του κάτω μέρηόλα τα κλάσματα. Στην πράξη μοιάζει με αυτό.
Ας έχουμε τα κλάσματα 1/5, 1/8 και 1/20. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα του 5 και του 8. Το 20 δεν διαιρείται με το 8. Πολλαπλασιάζουμε το 20 με το 2. Ελέγξτε το 40 για τη διαιρετότητα του 5 και του 8. Οι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο, επομένως, N3 (1/5, 1/8 και 1/20) = 40 , και τα κλάσματα γίνονται 8/40, 5/40 και 2/40.
Διαδοχική αναζήτηση πολλαπλών
Η δεύτερη μέθοδος είναι μια απλή αναζήτηση πολλαπλών και η επιλογή του μικρότερου. Για να βρούμε πολλαπλάσια, πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με 2, 3, 4 κ.ο.κ., οπότε ο αριθμός των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο. Αυτή η ακολουθία μπορεί να περιοριστεί από ένα όριο, το οποίο είναι το γινόμενο δεδομένων αριθμών. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 12 και 20 το LCM βρίσκεται ως εξής:
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.
- γράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 20 - 40, 60, 80, 100, 120.
- προσδιορίστε κοινά πολλαπλάσια - 60, 120.
- επιλέξτε το μικρότερο από αυτά - 60.
Έτσι, για το 1/12 και το 1/20, ο κοινός παρονομαστής είναι 60 και τα κλάσματα μετατρέπονται σε 5/60 και 3/60.
Πρωταρχική παραγοντοποίηση
Αυτή η μέθοδος εύρεσης του LOC είναι η πιο σχετική. Αυτή η μέθοδοςσυνεπάγεται την αποσύνθεση όλων των αριθμών από τα κατώτερα μέρη των κλασμάτων σε αδιαίρετους παράγοντες. Μετά από αυτό, συντάσσεται ένας αριθμός που περιέχει τους παράγοντες όλων των παρονομαστών. Στην πράξη λειτουργεί έτσι. Ας βρούμε το LCM για το ίδιο ζεύγος 12 και 20:
- παραγοντοποίηση 12 - 2 × 2 × 3;
- lay out 20 - 2 × 2 × 5.
- Συνδυάζουμε τους παράγοντες έτσι ώστε να περιέχουν τους αριθμούς τόσο 12 όσο και 20 - 2 × 2 × 3 × 5.
- πολλαπλασιάστε τα αδιαίρετα και λάβετε το αποτέλεσμα - 60.
Στο τρίτο σημείο συνδυάζουμε πολλαπλασιαστές χωρίς επαναλήψεις, δηλαδή αρκούν δύο δύο για να σχηματιστεί το 12 σε συνδυασμό με ένα τρία και το 20 με ένα πέντε.
Η αριθμομηχανή μας σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε το NOZ για έναν αυθαίρετο αριθμό κλασμάτων γραμμένων τόσο σε συνηθισμένη όσο και σε δεκαδική μορφή. Για να αναζητήσετε NOS, απλά πρέπει να εισαγάγετε τιμές που χωρίζονται με καρτέλες ή κόμματα, μετά από τις οποίες το πρόγραμμα θα υπολογίσει τον κοινό παρονομαστή και θα εμφανίσει τα κλάσματα που έχουν μετατραπεί.
Παράδειγμα πραγματικής ζωής
Προσθήκη κλασμάτων
Ας υποθέσουμε ότι σε ένα αριθμητικό πρόβλημα πρέπει να προσθέσουμε πέντε κλάσματα:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Η λύση θα γινόταν χειροκίνητα με τον ακόλουθο τρόπο. Αρχικά, πρέπει να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς σε μια μορφή συμβολισμού:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Τώρα έχουμε μια σειρά από συνηθισμένα κλάσματα που πρέπει να μειωθούν στον ίδιο παρονομαστή:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Δεδομένου ότι έχουμε 5 όρους, ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αναζήτησης NOZ από ο μεγαλύτερος αριθμός. Ελέγχουμε το 20 για διαιρετότητα με άλλους αριθμούς. Το 20 δεν διαιρείται με το 8 χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλασιάζουμε το 20 επί 2, ελέγχουμε το 40 για διαιρετότητα - όλοι οι αριθμοί διαιρούν το 40 με ένα σύνολο. Αυτός είναι ο κοινός μας παρονομαστής. Τώρα, για να αθροίσουμε τους ρητούς αριθμούς, πρέπει να προσδιορίσουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με αυτό:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Τώρα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή των κλασμάτων με τους αντίστοιχους πρόσθετους παράγοντες:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
Για μια τέτοια έκφραση, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε το άθροισμα ίσο με 85/40 ή 2 ολόκληρα και 1/8. Αυτός είναι ένας περίπλοκος υπολογισμός, επομένως μπορείτε απλά να εισαγάγετε τα δεδομένα του προβλήματος στη φόρμα της αριθμομηχανής και να λάβετε την απάντηση αμέσως.
συμπέρασμα
Οι αριθμητικές πράξεις με κλάσματα δεν είναι πολύ βολικό πράγμα, γιατί για να βρείτε την απάντηση πρέπει να κάνετε πολλούς ενδιάμεσους υπολογισμούς. Χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική μας αριθμομηχανή για να μετατρέψετε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή και γρήγορη λύσησχολικές εργασίες.
Για να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Παρακάτω είναι αναλυτικές οδηγίες.
Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - έννοια
Ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) με απλά λόγιαείναι ο ελάχιστος αριθμός που διαιρείται με τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων σε αυτό το παράδειγμα. Με άλλα λόγια, ονομάζεται Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Το NOS χρησιμοποιείται μόνο εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί.
Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - παραδείγματα
Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης NOC.
Υπολογίστε: 3/5 + 2/15.
Λύση (ακολουθία ενεργειών):
- Εξετάζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων, βεβαιωνόμαστε ότι είναι διαφορετικοί και ότι οι εκφράσεις είναι όσο το δυνατόν πιο συντετμημένες.
- Βρίσκουμε τον μικρότερο αριθμό που διαιρείται και με το 5 και με το 15. Αυτός ο αριθμός θα είναι 15. Έτσι, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Καταλάβαμε τον παρονομαστή. Τι θα υπάρχει στον αριθμητή; Ένας επιπλέον πολλαπλασιαστής θα μας βοηθήσει να το καταλάβουμε. Ένας επιπλέον παράγοντας είναι ο αριθμός που προκύπτει διαιρώντας το NZ με τον παρονομαστή ενός συγκεκριμένου κλάσματος. Για 3/5, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3, αφού 15/5 = 3. Για το δεύτερο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 1, αφού 15/15 = 1.
- Αφού ανακαλύψαμε τον πρόσθετο παράγοντα, τον πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές των κλασμάτων και προσθέτουμε τις τιμές που προκύπτουν. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Απάντηση: 3/5 + 2/15 = 15/11.
Εάν στο παράδειγμα δεν προστεθούν ή αφαιρεθούν 2, αλλά 3 ή περισσότερα κλάσματα, τότε το NCD πρέπει να αναζητηθεί για όσα κλάσματα δίνονται.
Υπολογίστε: 1/2 – 5/12 + 3/6
Λύση (ακολουθία ενεργειών):
- Εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή. Ο ελάχιστος αριθμός που διαιρείται με το 2, το 12 και το 6 είναι το 12.
- Παίρνουμε: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Αναζητούμε επιπλέον πολλαπλασιαστές. Για 1/2 – 6; για 5/12 – 1; για 3/6 – 2.
- Πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές και αποδίδουμε τα αντίστοιχα πρόσημα: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Απάντηση: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Το \(5x+xy\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(x(5+y)\). Αυτές είναι πράγματι πανομοιότυπες εκφράσεις, μπορούμε να το επαληθεύσουμε αν ανοίξουμε τις αγκύλες: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Όπως μπορείτε να δείτε, ως αποτέλεσμα παίρνουμε την αρχική έκφραση. Αυτό σημαίνει ότι το \(5x+xy\) είναι πράγματι ίσο με το \(x(5+y)\). Παρεμπιπτόντως, αυτός είναι ένας αξιόπιστος τρόπος για να ελέγξετε την ορθότητα των κοινών παραγόντων - ανοίξτε την προκύπτουσα αγκύλη και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την αρχική έκφραση.
Ο κύριος κανόνας για το bracketing:
Για παράδειγμα, στην έκφραση \(3ab+5bc-abc\) μόνο το \(b\) μπορεί να αφαιρεθεί από την αγκύλη, επειδή είναι το μόνο που υπάρχει και στους τρεις όρους. Η διαδικασία αφαίρεσης κοινών παραγόντων από παρενθέσεις φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Κανόνες Bracketing
Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να αφαιρούμε όλους τους κοινούς παράγοντες ταυτόχρονα.
Παράδειγμα:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Σημειώστε ότι εδώ θα μπορούσαμε να επεκταθούμε ως εξής: \(3(xy-xz)\) ή ως εξής: \(x(3y-3z)\). Ωστόσο, αυτές θα ήταν ημιτελείς αποσυνθέσεις. Και το C και το X πρέπει να αφαιρεθούν.
Μερικές φορές τα κοινά μέλη δεν φαίνονται αμέσως.
Παράδειγμα:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Σε αυτή την περίπτωση, ο κοινός όρος (πέντε) αποκρύφτηκε. Ωστόσο, έχοντας αναπτύξει το \(10\) ως \(2\) πολλαπλασιασμένο με \(5\), και το \(15\) ως \(3\) πολλαπλασιασμένο με \(5\) - "τραβήξαμε τα πέντε στο φως του Θεού», μετά από το οποίο μπόρεσαν εύκολα να το βγάλουν από την αγκύλη.
Εάν ένα μονώνυμο αφαιρεθεί εντελώς, παραμένει ένα από αυτό.
Παράδειγμα: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Βάζουμε το \(x\) εκτός αγκύλων και το τρίτο μονώνυμο αποτελείται μόνο από x. Γιατί μένει κανείς από αυτό; Γιατί αν πολλαπλασιαστεί οποιαδήποτε έκφραση με ένα, δεν θα αλλάξει. Δηλαδή, αυτό το ίδιο \(x\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(1\cdot x\). Τότε έχουμε την ακόλουθη αλυσίδα μετασχηματισμών:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \(5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Επιπλέον, αυτό είναι το μόνο Ο σωστός τρόποςαφαίρεση, γιατί αν δεν αφήσουμε ένα, τότε όταν ανοίξουμε τις αγκύλες δεν θα επιστρέψουμε στην αρχική έκφραση. Πράγματι, αν κάνουμε την εξαγωγή ως εξής \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), τότε όταν αναπτυχθεί θα πάρουμε \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Το τρίτο μέλος λείπει. Αυτό σημαίνει ότι μια τέτοια δήλωση είναι εσφαλμένη.
Μπορείτε να τοποθετήσετε ένα σύμβολο μείον έξω από την αγκύλη και τα πρόσημα των όρων στην αγκύλη αντιστρέφονται.
Παράδειγμα:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Ουσιαστικά, εδώ βγάζουμε το «μείον ένα», το οποίο μπορεί να «επιλεγεί» μπροστά από οποιοδήποτε μονώνυμο, ακόμα κι αν δεν υπήρχε μείον μπροστά του. Χρησιμοποιούμε εδώ το γεγονός ότι κάποιος μπορεί να γραφτεί ως \((-1) \cdot (-1)\). Ακολουθεί το ίδιο παράδειγμα, που περιγράφεται αναλυτικά:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Μια παρένθεση μπορεί επίσης να είναι ένας κοινός παράγοντας.
Παράδειγμα:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Συχνότερα αντιμετωπίζουμε αυτήν την κατάσταση (αφαίρεση παρενθέσεων από αγκύλες) κατά την παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ομαδοποίησης ή
Ο παρονομαστής του αριθμητικού κλάσματος a / b είναι ο αριθμός b, ο οποίος δείχνει το μέγεθος των κλασμάτων μιας μονάδας από την οποία αποτελείται το κλάσμα. Ο παρονομαστής του αλγεβρικού κλάσματος Α / Β είναι η αλγεβρική παράσταση Β. Για να εκτελέσετε αριθμητικές πράξειςμε τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή.
Θα χρειαστείτε
- Για να δουλέψετε με αλγεβρικά κλάσματα και να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει να ξέρετε πώς να συνυπολογίζετε τα πολυώνυμα.
Οδηγίες
Ας εξετάσουμε την αναγωγή δύο αριθμητικών κλασμάτων n/m και s/t στον ελάχιστο κοινό παρονομαστή, όπου τα n, m, s, t είναι ακέραιοι. Είναι σαφές ότι αυτά τα δύο κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε οποιονδήποτε παρονομαστή διαιρούμενο με m και t. Προσπαθούν όμως να οδηγήσουν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών m και t των δοσμένων κλασμάτων. Το ελάχιστο πολλαπλάσιο (LMK) ενός αριθμού είναι το μικρότερο που διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς ταυτόχρονα. Εκείνοι. στην περίπτωσή μας, πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών m και t. Συμβολίζεται ως LCM (m, t). Στη συνέχεια, τα κλάσματα πολλαπλασιάζονται με τα αντίστοιχα: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Ας βρούμε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή τριών κλασμάτων: 4/5, 7/8, 11/14. Αρχικά, ας επεκτείνουμε τους παρονομαστές 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Στη συνέχεια, υπολογίστε το LCM (5, 8, 14) πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις επεκτάσεις. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Σημειώστε ότι εάν ένας παράγοντας εμφανίζεται στην επέκταση πολλών αριθμών (συντελεστής 2 στην επέκταση των παρονομαστών 8 και 14), τότε παίρνουμε τον παράγοντα σε μεγαλύτερο βαθμό (2^3 στην περίπτωσή μας).
Άρα, προκύπτει το γενικό. Είναι ίσο με 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Εδώ παίρνουμε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους αντίστοιχους παρονομαστές για να τα φέρουμε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Παίρνουμε 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Η αναγωγή των αλγεβρικών κλασμάτων στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή πραγματοποιείται κατ' αναλογία με τα αριθμητικά. Για λόγους σαφήνειας, ας δούμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Έστω δύο κλάσματα (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) και (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Ας παραγοντοποιήσουμε και τους δύο παρονομαστές. Σημειώστε ότι ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Για
Όταν προσθέτουμε και αφαιρούμε αλγεβρικά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τα κλάσματα οδηγούν πρώτα σε κοινό παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουν έναν παρονομαστή που διαιρείται με τον αρχικό παρονομαστή κάθε αλγεβρικού κλάσματος που περιλαμβάνεται στη δεδομένη έκφραση.
Όπως γνωρίζετε, εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Επομένως, όταν τα κλάσματα ανάγονται σε κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά πολλαπλασιάζουν τον αρχικό παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον παράγοντα που λείπει για να ληφθεί ένας κοινός παρονομαστής. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον παράγοντα (είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα).
Για παράδειγμα, δίνεται το ακόλουθο άθροισμα αλγεβρικών κλασμάτων:
Απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης, δηλαδή η προσθήκη δύο αλγεβρικών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, πρώτα απ 'όλα, πρέπει να φέρετε τους όρους του κλάσματος σε έναν κοινό παρονομαστή. Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε ένα μονώνυμο που να διαιρείται τόσο με το 3x όσο και με το 2y. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επιθυμητό να είναι το μικρότερο, δηλαδή να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) για 3x και 2y.
Για αριθμητικούς συντελεστές και μεταβλητές, το LCM αναζητείται χωριστά. LCM(3, 2) = 6, και LCM(x, y) = xy. Στη συνέχεια, οι τιμές που βρέθηκαν πολλαπλασιάζονται: 6xy.
Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε με ποιον παράγοντα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε 3x για να πάρουμε 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Αυτό σημαίνει ότι όταν ανάγεται το πρώτο αλγεβρικό κλάσμα σε κοινό παρονομαστή, ο αριθμητής του πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2y (ο παρονομαστής έχει ήδη πολλαπλασιαστεί όταν ανάγεται σε κοινό παρονομαστή). Ο πολλαπλασιαστής για τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος αναζητείται με τον ίδιο τρόπο. Θα είναι ίσο με 3x.
Έτσι παίρνουμε: 
Στη συνέχεια, μπορείτε να ενεργήσετε όπως με κλάσματα με ίδιους παρονομαστές: προσθέστε τους αριθμητές και γράψτε έναν κοινό παρονομαστή: 
Μετά τους μετασχηματισμούς, προκύπτει μια απλοποιημένη έκφραση, η οποία είναι ένα αλγεβρικό κλάσμα, το οποίο είναι το άθροισμα των δύο αρχικών: 
Τα αλγεβρικά κλάσματα στην αρχική έκφραση μπορεί να περιέχουν παρονομαστές που είναι πολυώνυμα και όχι μονώνυμα (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Σε αυτήν την περίπτωση, πριν αναζητήσετε έναν κοινό παρονομαστή, θα πρέπει να συνυπολογίσετε τους παρονομαστές (αν είναι δυνατόν). Στη συνέχεια, ο κοινός παρονομαστής συλλέγεται από διαφορετικούς παράγοντες. Εάν ο πολλαπλασιαστής είναι σε πολλούς αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται μία φορά. Αν ο πολλαπλασιαστής έχει διαφορετικούς βαθμούςστους αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται με τον μεγαλύτερο. Για παράδειγμα: 
Εδώ το πολυώνυμο a 2 – b 2 μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο (a – b)(a + b). Ο παράγοντας 2a – 2b διευρύνεται ως 2(a – b). Έτσι, ο κοινός παρονομαστής θα είναι 2(a – b)(a + b).