Определение и свойства подобных треугольников
Числа a 1 , a 2 , a 3 , …, a n называются пропорциональными числам b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , если выполняется равенство: a 1 /b 1 = а 2 /b 2 = a 3 /b 3 = … = a n /b n = k, где k – некоторое число, которое называют коэффициентом пропорциональности.
Пример. Числа 6; 7,5 и 15 пропорциональны числам ‑4; 5 и 10. Коэффициентом пропорциональности является число ‑1,5, поскольку
6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.
Пропорциональность чисел имеет место быть, если эти числа связаны пропорцией.
Известно, что пропорцию можно составить не менее чем из четырех чисел, поэтому понятие пропорциональности применимо как минимум к четырем числам (одна пара чисел пропорциональна другой паре, или одна тройка чисел пропорциональна другой тройке, и т.д.).
Рассмотрим на рис. 1 два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 с равными попарно углами: A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 .
Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными . Так, на рис. 1 стороны AB и A 1 B 1 , AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 , сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 .
Дадим определение подобных треугольников:
Два треугольника называются подобными , если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия .
Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .
Итак, на рис. 2 имеем: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1
углы A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 и AB/A 1 B 1 = ВC/В 1 C 1 = АС/А 1 С 1 = k, где k – коэффициент подобия. Из рис. 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.
Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.
Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «Δ ABC ~ Δ KNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.
Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.
Сформулируем свойства подобных треугольников:
- Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
Пусть треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны с коэффициентом k (рис. 2).
Докажем, что S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .
Поскольку углы подобных треугольников попарно равны, т.е A = A 1 , и по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем:
S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .
В силу подобия треугольников AB/A 1 B 1 = k и AC/A 1 C 1 = k,
поэтому S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .
Замечание: Сформулированные выше свойства подобных треугольников справедливы и для произвольных фигур.
Признаки подобия треугольников
Требования, которые предъявляются к подобным треугольникам определением (это равенство углов и пропорциональность сторон) являются избыточными. Устанавливать подобие треугольников можно и по меньшему количеству элементов.
Так, при решении задач чаще всего используется первый признак подобия треугольников, утверждающий, что для подобия двух треугольников достаточно равенства их углов:
Первый признак подобия треугольников
(по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны (рис. 3)
.
Пусть даны треугольники Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1 , в которых углы A = A 1 , B = B 1 . Необходимо доказать, что Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .
Доказательство.
1) По теореме о сумме углов треугольника имеем:
угол C = 180 ° (угол A + угол B) = 180° (угол A 1 + угол B 1) = угол C 1 .
2) По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу,
S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1).
3) Из равенства (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) следует, что AC/A 1 C 1 = BС/В 1 С 1 .
4) Из равенства (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1) следует, что AВ/A 1 В 1 = АС/А 1 С 1 .
Таким образом, у треугольников ABCи A 1 B 1 C 1 DA = DA 1 , DB = DB 1 , DC = DC 1 , и AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 .
5) AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 = ВC/В 1 C 1 , то есть сходственные стороны пропорциональны. А значит, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 по определению.
Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении
Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса.
Для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой.
Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).
Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Свойство медиан треугольника
Первый признак подобия треугольников позволяет доказать свойство медиан треугольника:
Свойство медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины (рис. 4) .
Точка пересечения медиан называется центроидом треугольника.
Пусть дан Δ ABC, у которого AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы, кроме того, AA 1 ∩CC 1 = O. Необходимо доказать, что BB 1 ∩ CC 1 = O и АО/ОА 1 = ВО/ОВ 1 = СО/ОС 1 = 2.
Доказательство.
1) Проведем среднюю линию A 1 C 1 . По теореме о средней линии треугольника A 1 C 1 || AC, и A 1 C 1 = AC/2.
2) Треугольники AOC и A 1 OC 1 подобны по двум углам (угол AOC = углу A 1 OC 1 как вертикальные, угол OAC = углу OA 1 C 1 как внутренние накрест лежащие при A 1 C 1 || AC и секущей AA 1), следовательно, по определению подобных треугольников АО/А 1 О = ОС/ОС 1 = АС/А 1 С 1 = 2.
3) Пусть BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Аналогично пунктам 1 и 2 можно доказать, что ВО/О 1 В 1 = СО 1 /О 1 С = 2. Но поскольку на отрезке СС 1 существует единственная точка О, делящая его в отношении СО: ОС 1 = 2: 1, то точки О и О 1 совпадают. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины.
В курсе геометрии в теме «площади многоугольников» доказывается тот факт, что медиана разбивает произвольный треугольник на две равновеликие части. Кроме того, при пересечении трех медиан треугольника образуется шесть равновеликих треугольников.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на подобие треугольников?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Пропорциональные отрезки
Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.
Определение 1
Отношением двух отрезков называется отношение их длин.
Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда
То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.
Подобные треугольники
Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.
Определение 3
Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.
Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.
Рисунок 1. Два треугольника
Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:
Определение 4
Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.
На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.
Определение 5
Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть
\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]
На рисунке 1 изображены подобные треугольники.
Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$
Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.
Определение 6
Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.
Площади подобных треугольников
Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Теорема 1
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]
Доказательство.
Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:
Теорема 2
Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что
Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим
Теорема доказана.
Задачи, связанные с понятием подобия треугольника
Пример 1
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.
Решение.
Данная задача имеет два возможных решения.
Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.
Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.
Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$
Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$
Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.
Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.
Пример 2
Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.
Решение.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.
Найдем площадь первого треугольника.
По теореме 1, имеем:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \
Урок 34. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. ТЕОРЕМА. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. где k – коэффициент подобия. Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. В. А. С. Р. М. К. Решение задач: № 545, 549. Домашнее задание: п. 56-58, № 544, 548.
Слайд 6 из презентации «Геометрия «Подобные треугольники»» . Размер архива с презентацией 232 КБ.Геометрия 8 класс
краткое содержание других презентаций«Определение осевой симметрии» - Симметрия в природе. Подсказка. Оси симметрии. Изобразите точку. Построение точки. Построение треугольника. Построение отрезка. Народы. Симметрия в поэзии. Фигуры, не обладающие осевой симметрией. Фигуры, обладающие двумя осями симметрии. Прямоугольник. Симметрия. Прямая. Постройте точки. Осевая симметрия. Отрезок. Ось симметрии. Начертите две прямые. Точки, лежащие на одном перпендикуляре. Соразмерность.
«Нахождение площади параллелограмма» - Найдите площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма. Высота. Найдите площадь квадрата. Площадь квадрата. Высоты параллелограмма. Найдите площадь треугольника. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Найдите площадь прямоугольника. Определение высоты параллелограмма. Основание. Площадь треугольника. Найдите периметр квадрата. Свойства площадей. Устные упражнения.
«Задачи на нахождение площади» - Урок -объяснение нового материала, выполнен в виде презентации «Power point». Основная цель. «Площадь параллелограмма». «Площадь трапеции». ПрОВЕРКА УСВОЕННОГО МАТЕРИАЛА. Решить задачу. Рабочая тетрадь №42, повторить все изученные формулы. Вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции, треугольника. Расширить и углубить представления об измерении площадей. Сформировать у учащихся понятие площади.
«Геометрия «Подобные треугольники»» - Два треугольника называются подобными. Пропорциональность сторон угла. Значения синуса, косинуса и тангенса. Первый признак подобия треугольников. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Свойство биссектрисы треугольника. Математический диктант. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника. Пропорциональные отрезки. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
«Прямоугольники» - Человек. Противоположные стороны. Сторона прямоугольника. Сказка о прямоугольнике. Стороны прямоугольника. Прямоугольник в жизни. Периметр прямоугольника. Прямоугольник. Диагонали. Картины. Диагональ. Определение. Площадь прямоугольника.
««Площадь прямоугольника» 8 класс» - Площадь заштрихованного квадрата. Стороны каждого из прямоугольников. АBCD и DСМK – квадраты. На стороне АВ построен параллелограмм. Единицы измерения площадей. Найдите площадь квадрата. Площадь прямоугольника. ABCD – параллелограмм. Свойства площадей. Найдите площадь четырехугольника. Площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольника. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
1.3. Отношение площадей подобных треугольников. Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то.
Слайд 11 из презентации ««Подобные треугольники» 8 класс» . Размер архива с презентацией 1756 КБ.Геометрия 8 класс
краткое содержание других презентаций«Прямоугольники» - Диагональ. Картины. Стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника. Человек. Площадь прямоугольника. Прямоугольник в жизни. Определение. Сторона прямоугольника. Диагонали. Сказка о прямоугольнике. Прямоугольник. Противоположные стороны.
«Скалярное произведение в координатах» - Вектор. Теорема Наполеона. Следствие. Свойства скалярного произведение векторов. Обменяйтесь карточками. Решим задание. Геометрия. Скалярное произведение в координатах и его свойства. Математический тест. Новый материал. Решение треугольника. Математическая разминка. Имя автора теоремы. Доказательство теоремы Пифагора.
«Нахождение площади параллелограмма» - Площадь параллелограмма. Устные упражнения. Высота. Определение высоты параллелограмма. Высоты параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь квадрата. Свойства площадей. Найдите площадь треугольника. Найдите периметр квадрата. Основание. Найдите площадь прямоугольника. Найдите площадь квадрата. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
«Векторы 8 класс» - Назовите равные и противоположные векторы. Векторы на уроках физики. Абсолютная величина вектора. Абсолютная величина вектора. Прямоугольник, у которого все стороны равны. Понятие вектора. Определите координаты вектора. Найдите и назовите равные векторы на данном рисунке. Равные вектора. Самостоятельная работа в парах. Координаты вектора. Девиз урока. Скалярные физические величины, такие как сила трения, скорость.
«Разные виды симметрии» - Требование. Скользящая симметрия. Равнобедренный треугольник с зеркальной симметрией. Теория групп. Симметрия в биологии. Вращательная симметрия. Двулучевая радиальная симметрия. Что такое симметрия. Суперсимметрия. Симметрия в геометрии. Симметрия в физике. Верхушка колокола. Появление билатеральной симметрии. Билатеральная симметрия. Теорема Нётер. Отсутствие симметрии. Симметрия физике. Центральная симметрия.
«Квадрат в жизни» - Квадраты находят нас везде. Индия. Магический квадрат Альбрехта Дюрера. История. Квадраты. Магический квадрат Ло Шу. Черный квадрат. Загадка «Квадрат». Интересные факты о квадрате. Геометрическая фигура квадрат. Квадрат Малевича. Магический квадрат. Прямоугольник. Квадрат. Основное понятие. Интересные факты. Китай.
ГЛАВА VIII.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
1. Отношение площадей квадратов.
Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т
, а сторону другого - через п
, то площади будут соответственно равны
т
2 и п
2 (черт. 379).
Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.
На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников.
Пусть /\
AВС /\
A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/
A = /
A" , /
B = /
B" и /
С = /
С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .
В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .
Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"
Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно /
A = /
A") следует:
h
/ h"
= AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h
/ h"
= AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h
/ h"
отношение h
/ h"
равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .
Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .
Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.
3. Отношение площадей подобных многоугольников.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).
Известно, что /\
AВС /\
A"В"С"; /\
ACD /\
A"C"D" и /\
ADE /\
A"D"E" (§90).
Кроме того,
;
Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то
Используя свойство ряда равных отношений получим:
Или 
где S и S" - площади данных подобных многоугольников.
Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2
Упражнения.
1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?
2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?
3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?
4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?