Matrična norma. Učenje programiranja norme inverzne matrice

Enciklopedijski YouTube

1 / 1

✪ Vektorska norma. dio 4.

Titlovi

Definicija

Neka je K glavno polje (obično K = R ili K = C ) i linearni je prostor svih matrica sa m redaka i n stupaca koji se sastoje od elemenata K. Norma se daje na prostoru matrica ako je svakoj matrici pridružen nenegativni realni broj ‖ A ‖ (\displaystyle \|A\|), nazvao svoju normu, tako da

U slučaju kvadratnih matrica (tj. m = n), matrice se mogu množiti bez napuštanja prostora, pa stoga norme u tim prostorima obično također zadovoljavaju svojstvo submultiplikativnost :

Submultiplikativnost se može ispuniti i za norme nekvadratnih matrica, ali definirana za nekoliko potrebnih veličina odjednom. Naime, ako je A matrica ℓ × m, a B je matrica m × n, To A B- matrica ℓ × n .

Operatorske norme

Važna klasa matričnih normi su standardi operatera, također se zove podređeni ili inducirano . Norma operatora je jedinstveno konstruirana korištenjem dvije norme definirane u i , na osnovu činjenice da bilo koja matrica m × n predstavljen linearnim operatorom iz K n (\displaystyle K^(n)) V K m (\displaystyle K^(m)). Konkretno,

‖ A ‖ = sup ( ‖ A x ‖ : x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup ( ‖ A x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ K n, x ≠ 0). (\displaystyle (\begin(aligned)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac (\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\desno\).\end(poravnano)))

Pod uslovom da su norme konzistentno specificirane na vektorskim prostorima, takva norma je submultiplikativna (vidi).

Primjeri normi operatera

Svojstva spektralne norme:

Spektralna norma operatora jednaka je maksimalnoj singularnoj vrijednosti ovog operatora.
Spektralna norma normalnog operatora jednaka je apsolutnoj vrijednosti maksimalne modulo svojstvene vrijednosti ovog operatora.
Spektralna norma se ne mijenja kada se matrica pomnoži sa ortogonalnom (unitarnom) matricom.

Neoperatorske norme matrica

Postoje matrične norme koje nisu norme operatora. Koncept neoperatorskih normi matrica uveo je Yu. I. Lyubich, a proučavao G. R. Belitsky.

Primjer neoperaterske norme

Na primjer, razmotrite dvije različite norme operatora ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) I ‖ A ‖ 2 (\displaystyle \|A\|_(2)), na primjer norme reda i stupaca. Hajde da stvorimo novu normu ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2))). Nova norma ima kružno svojstvo ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), čuva jedinstvo ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle \|I\|=1) i nije operator.

Primjeri standarda

Vector p (\displaystyle p)-norm

Može se uzeti u obzir m × n (\displaystyle m\puta n) matrica kao vektor veličine m n (\displaystyle mn) i koristiti standardne vektorske norme:

‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm ( vec) (A)\|_(p)=\left(\suma _(i=1)^(m)\suma _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ desno)^(1/p))

Frobenius norm

Frobenius norm, ili Euklidska norma predstavlja poseban slučaj p-norme za str = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j) =1)^(n)a_(ij)^(2)))).

Frobeniusovu normu je lako izračunati (u poređenju sa, na primjer, spektralnom normom). Ima sljedeća svojstva:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\suma _(i=1)^(m)\levo|\suma _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\desno|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\levo(\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\suma _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\desno)=\suma _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\ |_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)

Submultiplikativnost: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq \|A\|_(F)\|B\|_(F)), jer ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i , j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\right|^(2)\leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\right)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\right)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\suma _(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).
‖ A ‖ F 2 = t r ⁡ A ∗ A = t r ⁡ A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr)) A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), Gdje t r ⁡ A (\displaystyle \mathop (\rm (tr)) A)- matrični trag A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*))- Hermitska konjugirana matrica.
‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _ (2)^(2)+\dots +\rho _(n)^(2)), Gdje ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n (\displaystyle \rho _(1),\rho _(2),\dots ,\rho _(n))- singularni brojevi matrice A (\displaystyle A).
‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) se ne mijenja kada se matrica pomnoži A (\displaystyle A) lijevo ili desno u ortogonalne (unitarne) matrice.

Maksimalni modul

Maksimalna norma modula je još jedan poseban slučaj p-norme za str = ∞ .

‖ A ‖ max = max ( | a i j | ). (\displaystyle \|A\|_(\text(max))=\max\(|a_(ij)|\).)

Norma Schatten

Konzistentnost matričnih i vektorskih normi

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))

za bilo koji A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\u K^(m\puta n),x\u K^(n)). Norma operatora po konstrukciji je konzistentna s originalnom vektorskom normom.

Primjeri koordiniranih, ali ne i podređenih matričnih normi:

Ekvivalencija standarda

Sve norme u svemiru K m × n (\displaystyle K^(m\puta n)) ekvivalentno, odnosno za bilo koje dvije norme ‖ . ‖ α (\displaystyle \|.\|_(\alpha)) I ‖ . ‖ β (\displaystyle \|.\|_(\beta)) i za bilo koju matricu A ∈ K m × n (\displaystyle A\in K^(m\puta n)) dvostruka nejednakost je tačna.

Matrična norma Nazovimo pravi broj koji je dodeljen ovoj matrici ||A|| takav koji je, kao realan broj, pridružen svakoj matrici iz n-dimenzionalnog prostora i zadovoljava 4 aksioma:

1. ||A||³0 i ||A||=0, samo ako je A nula matrica;

2. ||αA||=|α|·||A||, pri čemu je R;

3. ||A+B||£||A||+||B||;

4. ||A·B||£||A||·||B||. (svojstvo multiplikativnosti)

Norma matrica se može uvesti na različite načine. Matrica A se može posmatrati kao n 2 - dimenzionalni vektor.

Ova norma se zove Euklidova norma matrice.

Ako je za bilo koju kvadratnu matricu A i bilo koji vektor x čija je dimenzija jednaka redu matrice, nejednakost ||Ax||£||A||·||x||

tada kažemo da je norma matrice A konzistentna sa normom vektora. Imajte na umu da je lijevo u posljednjem uvjetu norma vektora (Ax je vektor).

Različite matrične norme su konzistentne sa datom vektorskom normom. Odaberimo najmanju među njima. Ovo će biti slučaj

Ova norma matrice je podređena datoj vektorskoj normi. Postojanje maksimuma u ovom izrazu proizilazi iz kontinuiteta norme, jer uvijek postoji vektor x -> ||x||=1 i ||Ax||=||A||.

Pokažimo da norma N(A) ne podliježe nijednoj vektorskoj normi. Matrične norme, podređene prethodno uvedenim vektorskim normama, izražavaju se na sljedeći način:

1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimum)

2. ||A|| 1 = |a ij | (norm-zbroj)

3. ||A|| 2 = , (spektralna norma)

gdje je s 1 najveća vlastita vrijednost simetrične matrice A¢A, koja je proizvod transponovane i originalne matrice. Pošto je matrica A¢A simetrična, onda su sve njene sopstvene vrijednosti realne i pozitivne. Broj l je svojstvena vrijednost, a vektor različit od nule x je svojstveni vektor matrice A (ako su međusobno povezani relacijom Ax=lx). Ako je sama matrica A simetrična, A¢ = A, tada je A¢A = A 2 i onda s 1 = , gdje je najveća apsolutna svojstvena vrijednost matrice A. Posljedično, u ovom slučaju imamo = .

Svojstvene vrijednosti matrice ne prelaze nijednu od njenih konzistentnih normi. Normalizujući relaciju koja određuje sopstvene vrednosti, dobijamo ||λx||=||Ax||, |λ|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, |λ|£||A||

Od ||A|| 2 £||A|| e, gdje se Euklidska norma izračunava jednostavno, u procjenama, umjesto spektralne norme, možete koristiti Euklidsku normu matrice.

30. Uslovljenost sistema jednačina. Koeficijent uslovljenosti .

Stepen kondicioniranja- uticaj odluke na početne podatke. Ax = b: vektor b odgovara rješenju x. Neka bće se promijeniti po vrijednosti. Zatim vektor b+ novo rješenje će odgovarati x+ : A(x+ ) = b+. Pošto je sistem linearan, onda Ax+A = b+, Onda A = ; = ; = ; b = Ax; = tada ; * , gdje je relativna greška poremećaja rješenja, – faktor uslovljavanjakond(A) (koliko puta se može povećati greška rješenja), – relativni poremećaj vektora b. kond(A) = ; kond(A)* Svojstva koeficijenta: zavisi od izbora norme matrice; kond( = kond(A); množenje matrice brojem ne utiče na koeficijent uslovljavanja. Što je koeficijent veći, to jače greška u izvornim podacima utiče na rješenje SLAE. Broj uslova ne može biti manji od 1.

31. Metoda sweep-a za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Često postoji potreba za rješavanjem sistema čije su matrice, slabo popunjene, tj. koji sadrži mnogo elemenata koji nisu nula. Matrice takvih sistema obično imaju određenu strukturu, među kojima se razlikuju sistemi sa matricama trakaste strukture, tj. u njima se elementi različiti od nule nalaze na glavnoj dijagonali i na nekoliko sekundarnih dijagonala. Za rješavanje sistema sa trakastim matricama, Gaussova metoda se može transformisati u efikasnije metode. Razmotrimo najjednostavniji slučaj sistema traka, na koji se, kao što ćemo kasnije vidjeti, svodi rješavanje problema diskretizacije graničnih problema za diferencijalne jednadžbe metodama konačnih razlika, konačnih elemenata itd. Trodijagonala matrica je matrica u kojoj se elementi različiti od nule nalaze samo na glavnoj dijagonali i uz nju:

Tri dijagonalne matrice imaju ukupno (3n-2) elemenata koji nisu nula.

Preoznačimo koeficijente matrice:

Tada se u notaciji po komponentama sistem može predstaviti kao:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)

a 1 =0, c n =0. (8)

Struktura sistema pretpostavlja odnos samo između susjednih nepoznanica:

x i =x i * x i +1 +h i (9)

x i -1 =x i -1* x i + h i -1 i zamijeni u (7):

A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i

(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1

Upoređujući rezultujući izraz sa prikazom (7), dobijamo:

Formule (10) predstavljaju rekurentne relacije za izračunavanje koeficijenata sweep-a. Oni zahtijevaju postavljanje početnih vrijednosti. U skladu sa prvim uslovom (8) za i =1 imamo 1 =0, što znači

Zatim se izračunavaju i spremaju preostali tekući koeficijenti prema formulama (10) za i=2,3,...,n, a za i=n, uzimajući u obzir drugi uslov (8), dobijamo x n =0. Dakle, u skladu sa formulom (9) x n = h n.

Nakon toga, prema formuli (9), sukcesivno se pronalaze nepoznanice x n -1, x n -2, ..., x 1. Ova faza proračuna naziva se hod unazad, dok se izračunavanje koeficijenata zamaha naziva hod naprijed.

Za uspješnu primjenu sweep metode potrebno je da tokom proračuna ne bude situacija sa podjelom na nulu, a kod velikih dimenzija sistema ne dođe do naglog povećanja grešaka zaokruživanja. Nazovimo to trčanje ispravan, ako nazivnik tekućih koeficijenata (10) ne nestane, i održivo, ako je ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Teorema. Neka su koeficijenti a i i c i jednadžbe (7) za i=2,3,..., n-1 različiti od nule i neka

½b i ½>½a i ½+½c i ½ za i=1, 2,..., n. (jedanaest)

Tada je sweep definiran formulama (10), (9) ispravan i stabilan.

» Lekcija 12. Matrični rang. Izračunavanje ranga matrice. Norma matrica

Lekcija #12. Matrix rang. Izračunavanje ranga matrice. Norma matrica.

Ako su svi minori matriceAredksu jednaki nuli, onda su svi minori reda k+1, ako takvi postoje, također jednaki nuli.
Matrix rang A naziva se najvećim od sporednih redova matrice A , različito od nule.
Maksimalni rang može biti jednak minimalnom broju redova ili stupaca matrice, tj. ako matrica ima veličinu 4x5, tada će maksimalni rang biti 4.
Minimalni rang matrice je 1, osim ako imate posla sa nultom matricom, gdje je rang uvijek nula.

Rang nesingularne kvadratne matrice reda n je jednak n, pošto je njena determinanta minor reda n i nije nula za nesingularnu matricu.
Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja.

Neka je rang matrice . Tada se poziva bilo koji minor reda različitog od nule osnovni mol.
Primjer. Matrica A je data.

Determinanta matrice je nula.
Minor drugog reda . Dakle, r(A)=2 i minor je bazičan.
Osnovni mol je i mol .
Minor , jer =0, tako da neće biti osnovno.
Vježbajte: samostalno provjerite koji će drugi maloljetnici drugog reda biti osnovni, a koji ne.

Pronalaženje ranga matrice izračunavanjem svih njenih minora zahtijeva previše računskog rada. (Čitalac može provjeriti da postoji 36 minora drugog reda u kvadratnoj matrici četvrtog reda.) Stoga se za pronalaženje ranga koristi drugačiji algoritam. Da bismo ga opisali, bit će potrebne brojne dodatne informacije.

Nazovimo sljedeće akcije na njima elementarnim transformacijama matrica:
1) preuređenje redova ili kolona;
2) množenje reda ili kolone brojem koji nije nula;
3) dodavanje u jedan od redova drugog reda pomnoženog brojem ili dodavanje u jednu od kolona još jedne kolone pomnožene brojem.

Tokom elementarnih transformacija, rang matrice se ne mijenja.
Algoritam za izračunavanje ranga matrice je sličan algoritmu za izračunavanje determinante i sastoji se u činjenici da se pomoću elementarnih transformacija matrica svodi na jednostavan oblik za koji nije teško pronaći rang. Kako se rang nije mijenjao tokom svake transformacije, izračunavanjem ranga transformirane matrice, na taj način nalazimo rang originalne matrice.

Pretpostavimo da trebamo izračunati rang matrice veličine mxn.

Kao rezultat proračuna, matrica A1 ima oblik

Ako su sve linije koje počinju od treće nula, onda , od maloljetnog . Inače, preuređivanjem redova i kolona s brojevima većim od dva, osiguravamo da se treći element trećeg reda razlikuje od nule. Zatim, dodavanjem trećeg reda, pomnoženog sa odgovarajućim brojevima, redovima sa većim brojevima, dobijamo nule u trećem stupcu, počevši od četvrtog elementa itd.
U nekoj fazi ćemo doći do matrice u kojoj su svi redovi, počevši od (r+1)-og, jednaki nuli (ili ih nema za ), a minor u prvim redovima i prvim stupcima je determinanta trokuta matrica sa elementima koji nisu nula na dijagonali . Rang takve matrice je jednak . Prema tome, Rang(A)=r.

U predloženom algoritmu za pronalaženje ranga matrice svi proračuni moraju biti izvedeni bez zaokruživanja. Proizvoljno mala promjena u barem jednom od elemenata međumatrice može dovesti do činjenice da će se rezultirajući odgovor razlikovati od ranga originalne matrice za nekoliko jedinica.
Ako su elementi u originalnoj matrici bili cijeli brojevi, onda je zgodno izvoditi proračune bez korištenja razlomaka. Stoga je u svakoj fazi preporučljivo pomnožiti linije takvim brojevima kako se razlomci ne bi pojavili tijekom izračunavanja.

U laboratorijskom i praktičnom radu razmatrat ćemo primjer pronalaženja ranga matrice.

ALGORITAM PRONALAŽENJA MATRIX STANDARDI .
Postoje samo tri norme matrice.
Prva norma matrice= maksimum brojeva dobijenih sabiranjem svih elemenata svake kolone, uzetih po modulu.
Primjer: neka je data matrica A veličine 3x2 (slika 10). Prva kolona sadrži elemente: 8, 3, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbir: 8+3+8=19. Druga kolona sadrži elemente: 8, -2, -8. Dva elementa su negativna, pa je pri sabiranju ovih brojeva potrebno zamijeniti modul ovih brojeva (tj. bez predznaka minus). Nađimo njihov zbir: 8+2+8=18. Maksimum ova dva broja je 19. To znači da je prva norma matrice 19.

Slika 10.

Druga norma matrice je kvadratni korijen zbira kvadrata svih elemenata matrice. To znači da kvadriramo sve elemente matrice, zatim dodamo rezultirajuće vrijednosti i izvučemo kvadratni korijen iz rezultata.
U našem slučaju, ispostavilo se da je norma 2 matrice jednaka kvadratnom korijenu od 269. Na dijagramu sam otprilike uzeo kvadratni korijen od 269 i rezultat je bio otprilike 16,401. Iako je ispravnije ne vaditi korijen.

Treća norma matrice predstavlja maksimum brojeva dobijenih zbrajanjem svih elemenata svakog reda, uzetih po modulu.
U našem primjeru: prvi red sadrži elemente: 8, 8. Svi elementi su pozitivni. Nađimo njihov zbir: 8+8=16. Drugi red sadrži elemente: 3, -2. Jedan od elemenata je negativan, pa je prilikom sabiranja ovih brojeva potrebno zamijeniti modul ovog broja. Nađimo njihov zbir: 3+2=5. Treći red sadrži elemente 8 i -8. Jedan od elemenata je negativan, pa je prilikom sabiranja ovih brojeva potrebno zamijeniti modul ovog broja. Nađimo njihov zbir: 8+8=16. Maksimum ova tri broja je 16. To znači da je treća norma matrice 16.

Sastavio: Saliy N.A.