Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Свойства функции y=tg x. y x 1 -1 у=tg x Нули функции:tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 10 Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у title="Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у
У х y = tgx y = tgx + a y = tgx – b
У х y = tgx y = tg(x – a)
У х y = tgx y = ItgxI
Функция y = ctg x 1. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= πk, k Z. 2. Область значений функции – все действительные числа. 3. Функция убывает на интервалах 4. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. 5. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - 1 у х π0-π-π - у=ctg x
В этом видеуроке рассмотрены свойства функций у = tg x, y = ctg x , показано, как построить их графики.
Видеоурок начинается с рассмотрения функции у = tg x .
Выделены свойства функции.
1) Областью определения функции у = tg x называются все действительные числа, за исключением х = π/2 + 2 πk. Т.е. на графике нет точек, которые принадлежат прямой х = π/2 и х = - π/2, а также х = 3π/2 и так далее (с той же периодичностью). Значит, график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми х = - 3π/2 и х = - π/2 , х = - π/2 и х = π/2 и так далее.
2) Функция у = tg x является периодической, где основной период равенπ. Это подтверждает равенство tg (x - π) = tg x = tg (x + π) . Эти равенства изучались ранее, автор предлагает ученикам вспомнить их, указывая, что для любого допустимого значения t справедливы равенства:
tg (t + π) = tg t , и ctg (t + π) = ctg t . Следствием этих равенств является то, что, если построена одна ветвь графика функции у = tgx в промежутке между прямыми х = - π/2 и х = π/2 , то остальные ветви можно получить путем сдвига этой ветви по оси х на π, 2π и так далее.
3) Функция у = tg x является нечетной, т.к. tg (- x) = - tg x .
Далее перейдем к построению графика функции у = tg x . Как следует из свойств функции, описанных выше, функция у = tg x периодическая и нечетная. Поэтому достаточно построить часть графика - одну ветвь в одном промежутке, а затем воспользоваться симметрией для переноса. Автор приводит таблицу, в которой рассчитываются значения tg x при определенных значениях x для более точного построения графика. Данные точки отмечаются на оси координат и соединяются плавной линией. Т.к. график симметричен относительно начала координат, то строится такая же ветвь, симметричная началу координат. В результате получаем одну ветвь графика у = tg x . Далее с помощью сдвига по оси х наπ, 2 πи так далее получается график у = tg x .
График функции у = tg x называется тангенсоида, а три ветви графика, показанные на рисунке - главные ветви тангенсоиды.
4) Функция у = tg x на каждом из промежутков (- + ; +) возрастает.
5) График функции у = tg x не имеет ограничений сверху и снизу.
6) Функция у = tg x не имеет наибольшего и наименьшего значения.
7) Функция у = tg x непрерывна на любом промежутке (-- π/2+π;π/2+π). Прямая π/2+π называется асимптотой графика функции у = tg x , т.к. в этих точках график функции прерывается.
8) Множеством значений функции у = tg x называются все действительные числа.
Далее в видеоуроке дается пример: решить уравнение с tg x . Для решения построим 2 графика функции у и найдем точки пересечения этих графиков: это бесконечное множество точек, абсциссы которых отличаются на πk. Корнем данного уравнения будет х = π/6 +πk.
Рассмотрим график функции у = ctg x . График функции можно построить двумя способами.
Первый способ предполагает построение графика аналогично построению графика функции у = tg x . Построим одну ветвь графика функции у = с tg x в промежутке между прямыми х = 0и х = π. Затем с помощью симметрии и периодичности построим другие ветви графика.
Второй способ более простой. График функции у = сtgx можно получить путем преобразования тангенсоиды с помощью формулы приведения с tgx = - tg (x + π/2). Для этого сдвинем одну ветвь графика функции у = tgx вдоль оси абсцисс на π/2вправо. Остальные ветви получаем путем сдвига этой ветви по оси х наπ, 2π и так далее. График функции у = ctgx называется также тангенсоида, а ветвь графика в промежутке (0;π) - главная ветвь тангенсоиды.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Мы рассмотрим свойства функции у = tg x (игрек равно тангенс икс), у = ctg x(игрек равно котангенс икс), построим их графики. Рассмотрим функцию y = tgx
Прежде, чем строить график функции у = tg x, запишем свойства этой функции.
СВОЙСТВО 1. Областью определения функции у = tg x являются все действительные числа, кроме чисел вида х = + πk (икс равен сумме пи на два и пи ка).
Это значит, что на графике этой функции нет точек, которые принадлежат прямой х = (получаем, если k= 0 ка равно нулю) и прямой х = (икс равно минус пи на два) (получаем, если k= - 1 ка равно минус одному), и прямой х = (икс равно три пи на два) (получаем, если k= 1 ка равно одному) и т. д. Значит график функции у = tg x будет состоять из бесконечного множества ветвей, которые будут находиться в промежутках между прямыми. А именно в полосе между х = и х =- ; в полосе х =- и х = ; в полосе х = и х = и так до бесконечности.
СВОЙСТВО 2. Функция у = tg x является периодической с основным периодом π. (Так как справедливо двойное равенство
tg(x- π) = tgx = tg (x+π) тангенс от икс минус пи равен тангенсу икс и равен тангенсу от икс плюс пи). Это равенство мы рассматривали при изучении тангенса и котангенса. Напомним его:
Для любого допустимого значения t справедливы равенства:
tg (t + π)= tgt
ctg (t + π) = ctgt
Из этого равенства следует, что, построив ветвь графика функции у = tg x в промежутке от х =- и х = , мы получим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.
СВОЙСТВО 3. Функция у = tg x является нечетной функцией, так как справедливо равенство tg (- x) = - tg x.
Построим график функции у = tg x
Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = и х = , а также в полосе между х = и х = и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией начала координат и периодичностью.
Построим таблицу значений тангенса для построения графика.
Находим первую точку: зная, что при х = 0 tg x = 0(икс равном нулю тангенс икс тоже равен нулю); следующая точка: при х = tg x = (икс равном пи на шесть тангенс икс равен корень из трех на три); отметим следующие точки: при х = tg x = 1 (икс равном пи на четыре тангенс икс равен единице), а при х = tg x = (икс равном пи на три тангенс икс равен корню квадратному из трех). Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией (рис. 2).
Так как график функции симметричен относительно начала координат, то построим такую же ветвь симметрично начала координат. (рис.3).
И, наконец, применив периодичность, получим график функции у = tg x.
Мы построили ветвь графика функции у = tg x в полосе от х =- и х = . Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси Х на π, 2π, и так далее.
Построенный график называется тангенсоида.
Изображенную на рисунке 3 часть тангенсоиды называют главной ветвью тангенсоиды.
На основании графика запишем еще свойства этой функции.
СВОЙСТВО 4. Функция у = tg x возрастает на каждом из промежутков (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).
СВОЙСТВО 5. Функция у = tg x не ограничена ни сверху, ни снизу.
СВОЙСТВО 6. Функция у = tg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
СВОЙСТВО 7. Функция у = tg x непрерывна на любом интервале вида (от минус пи на два плюс пи ка до пи на два плюс пи ка).
Прямая вида х = + πk (икс равно сумме пи на два и пи ка) является вертикальной асимптотой графика функции, так как в точках вида х = + πk функция терпит разрыв.
СВОЙСТВО 8. Множеством значений функции у = tg x являются все действительные числа, то есть (е от эф равно промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности).
ПРИМЕР 1. Решить уравнение tg x = (тангенс икс равен корень из трех на три).
Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = tg x
(игрек равен тангенсу икс) и у = (игрек равен корню из трех, деленному на три).
Получили бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых отличаются друг от друга на πk (пи ка).Так как tg x = при х = , то абсцисса точки пересечения на главной ветви равна (пи на шесть).
Все решения данного уравнения запишем формулой х = + πk (икс равно пи на шесть плюс пи ка).
Ответ: х = + πk.
Построим график функции у = сtg x.
Рассмотрим два способа построения.
Первый способ аналогичен построению графика функции у = tg x.
Так как эта функция периодическая, состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между х = 0 и х =π , а также в полосе между х =π и х = 2π и т.д.) и нечетная, то построим по точкам часть графика на промежутке от нуля до пи на два (), затем воспользуемся симметрией и периодичностью.
Воспользуемся таблицей значений котангенса для построения графика.
Отметив полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.
Так как график функции симметричен относительно, то построим такую же ветвь симметрично.
Применим периодичность, получим график функции у = сtg x.
Мы построили ветвь графика функции у = сtg x в полосе от х = 0 и х =π. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, - π, 2π, - 2π и так далее.
Второй способ построения графика функции у =сtg x.
Получить график функции у =сtg x проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, используя формулу приведения (котангенс икс равно минус тангенс от суммы икс и пи на два).
При этом сначала, сдвинем ветвь графика функции у =tg x вдоль оси абсцисс на вправо, получим
у = tg (x+), а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получится ветвь графика функции у =сtg x (рис.4). Зная одну ветвь, можем построить весь график используя периодичность функции. Строим остальные ветви путем сдвига построенной ветви по оси x на π, 2π, и так далее.
График функции у =сtg x называется тоже тангенсоида, как и график функции у =tg x. Ветвь, которая заключена в промежутке от нуля до пи, называют главной ветвью графика функции у =сtg x.
09.07.2015 7068 0Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант I
2. Постройте график функции:
Вариант 2
1. Как построить график функции:
2. Постройте график функции:
III. Изучение нового материала
Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.
1. Функция у = tg x
Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).
Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.
Приведем основные свойства функции у = tg х:
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида
y (x
3. Функция возрастает на промежутках вида
где к
∈
Z
.
4. Функция не ограничена.
6. Функция непрерывная.
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты
Пример 1
Установим четность или нечетность функции:
Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).
а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.
б) Имеем:
Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.
в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.
Пример 2
Найдем основной период функции
Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны:
T
1
= 2π,
Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями
Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции
Пример 3
Построим график функции
Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции
получается смещением графика функции у =
tg
х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.
Пример 4
Построим график функции
Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем:
При 0 ≤
x
≤
π
/4 имеем:
Для х >
π
/4 имеем:
Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤
x
≤
π
/4 строим тангенсоиду
Этот график получается смещением графика функции у =
tg
х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π
/4
строим прямую у = 1.
2. Функция у = ctg x
Аналогично графику функции у =
tg
х или с помощью формулы приведения
строится график функции у =
ctg
x
.
Перечислим основные свойства функции у = ctg x :
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .
2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .
4. Функция не ограничена.
5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Функция непрерывная.
7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .
Пример 5
Найдем область определения и область значений функции
Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .
Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = .
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
.jpg)
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
.jpg)
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: